2023年新高考数学一轮复习讲义第15讲 函数模型及其应用含解析

2023年新高考一轮复习讲义第15讲函数模型及其应用

学校:姓名：班级：考号：

【基础巩固】

1.（2022•辽宁葫芦岛•二模）某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y与温度x（单位：℃）的关系.现

收集了7组观测数据（%其）（，=1,2,乙,7）得到下面的散点图：

35o

30o

25o

20o

15o

10o

5O

0

^

222263236

24283CO34

S/0

由此散点图，在20℃至36℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方

程类型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+—C.y=a+bexD.y=a+b\nx

x

2.（2022・重庆巴蜀中学高三阶段练习）2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十

三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太

空，发射取得圆满成功.已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式u=%-ln丝计算火

m

箭的最大速度v（m/s）,其中%（m/s）是喷流相对速度，机（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推

M

进剂与火箭质量的总和，一称为“总质比若某型火箭的喷流相对速度为l（XX）m/s,当总质比为625时，

m

该型火箭的最大速度约为（）（附：Ige=0.434,Ig2=0.301）

A.5790m/sB.6219m/sC.6442m/sD.6689m/s

3.（2022•海南海口•二模）在核酸检测时，为了让标本中OM4的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常

采用PCR技术对。M4进行快速复制扩增数量.在此过程中，OM4的数量X“（单位：〃g/〃L）与PCR扩

增次数〃满足X“=X°xl.6",其中X。为的初始数量.已知某待测标本中DM4的初始数量为

O」Mg/〃L,核酸探针能检测到的数量最低值为10〃g/ML,则应对该标本进行PCR扩增的次数至少

为（）（参考数据：lg1.6»0.20,In1.6»0.47）

A.5B.10C.15D.20

4.（2022•北京•二模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）

与时间/（单位：h）间的关系为P=E,e",其中乙，氏是正的常数.如果在前10h污染物减少19%,那么

再过5h后污染物还剩余（）

A.40.5%B.54%C.65.6%D.72.9%

5.（2022•山东•肥城市教学研究中心模拟预测）垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、

分类投放和分类搬运，从而变成公共资源的一系列活动的总称.分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济

价值，力争物尽其用.进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源

的消耗，具有社会、经济、生态等几方面的效益.已知某种垃圾的分解率v与时间「（月）满足函数关系式

丫=〃方（其中。力为非零常数）.若经过6个月，这种垃圾的分解率为5%,经过12个月，这种垃圾的分解

率为10%,那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（）（参考数据lg2B0.3）

A.40个月B.32个月

C.28个月D.20个月

6.（2022•全国•高三专题练习）有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一

块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图所示），若围墙厚度不计，则围成的矩形

最大面积为（）

A.2500m2B.2750m2

C.3000m2D.3500m2

7.（2022•全国•高三专题练习）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消

毒.出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方

可进入商场.已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度）'（毫克/立方米）与时间，（分钟）之间的函数

0.k,0<^<10

关系为y=出，，>|。,函数的图象如图所示.如果商场规定9:30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药

物的时间最迟是（）

A.9:00B.8:40C.8:30D.8:00

8.（2022•山东师范大学附中模拟预测）已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态

下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式8：电量呈指

数衰减，即：从当前时刻算起，f小时后的电量为当前电量的/倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时

开启A模式，并在x小时后，切换为8模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则x的取值范围

是（）

A.l<x<2B.1cx<2C.8cx<9D.8<x<9

9.（多选）（2022•全国•高三专题练习）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地

震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级例之间的关系为lgE=4.8+1.5M,

则下列说法正确的是（）

A.地震释放的能量为1063焦耳时，地震里氏震级约为七级

B.八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍

C.八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍

D.记地震里氏震级为〃5=1,2,…，9,10）,地震释放的能量为s,则数列｛。〃｝是等比数列

10.（多选）（2022•山东日照•三模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限厂（厂>0）,劳累

程度7（0<丁<1）,劳动动机相关，并建立了数学模型E=10-10，，」"，已知甲、乙为该公司

的员工，则下列结论正确的是（）

A.甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高

B.甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低

C.甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短.则甲比乙劳累程度弱

D.甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强

11.（2022•河北•模拟预测）劳动实践是大学生学习知识、锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会、回报

社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x件

时，售价为s元/件，且满足s=82O-2x,每天的成本合计为600+20X元，请你帮他计算日产量为

件时，获得的日利润最大，最大利润为万元.

12.（2022•全国•模拟预测）一种药在病人血液中的量保持lOOOmg以上才有疗效，而低于500mg病人就有

危险.现给某病人静脉注射了这种药2000mg,如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥

药物的利用价值，那么从现在起经过小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.（附：

lg2»0.3010,1g3«0.4771,精确到O.lh）

13.（2022•北京东城•三模）某超市在“五一”活动期间，推出如下线上购物优惠方案：一次性购物在99元

（含99元）以内，不享受优惠；一次性购物在99元（不含99元）以上，299元（含299元）以内，一律

享受九折优惠；一次性购物在299元（不含299元）以上，一律享受八折优惠；小敏和小昭在该超市购

物，分别挑选了原价为70元和280元的商品，如果两人把商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比

他们分别支付节省的钱，按照两人购买商品原价的比例分配，则小敏需要给小昭元.

14.（2022•重庆•模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于

20mg/100ml,己知一驾驶员某次饮酒后体内每100ml血液中的酒精含量V（单位：mg）与时间x（单

位：h）的关系是：当0<x<?时，y=-第/+曙x；当x2与时:j=—,那么该驾驶员在饮酒后

至少要经过h才可驾车.

15.（2022•全国•高三专题练习）迷你K7V是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话

亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎.如图是某间迷你K7V的横截面示意图，

其中A8=AE=],ZA=ZB=ZE=90°,曲线段CO是圆心角为90。的圆弧，设该迷你K7V横截面的面积

为S,周长为L,则，的最大值为.（本题中取万=3进行计算）

16.（2022•全国•高三专题练习）某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定

成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数

,、400x--x\（0<x<400）_

R（x）=2l）,其中x是“玉兔”的月产量.

80000,（x>400）

（1）将利润./U）表示为月产量x的函数；

（2）当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？（总收益=总成本+利润）

17.（2022•上海•华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）如图，某街道拟设立一占地面积为。平方米的

常态化核酸采样点，场地形状为矩形.根据防疫要求，采样点周围通道设计规格要求为：长边外通道宽5

米，短边外通道宽8米，采样点长边不小于20米，至多长28米.

（1）设采样点长边为x米，采样点及周围通道的总占地面积为S平方米，试建立S关于x的函数关系式，并指

明定义域；

⑵当3004aV700时，试求S的最小值，并指出取到最小值时x的取值.

18.（2022•全国•高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生

态水果特色小镇经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料尤（单位：千克）满足

5（X2+3）,0<X<2

如下关系：卬。）=50x，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工

——,2<x<5

1+九

费）20x元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为f（x）（单

位：元）

⑴写单株利润加）（元）关于施用肥料x（千克）的关系式；

（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？

【素养提升】

1.（2022•全国•高三专题练习）如图，在正方形A3CD中，|AB|=2,点M从点A出发，沿A-»8TC->£>TA

方向，以每秒2个单位的速度在正方形4BC。的边上运动：点N从点B出发，沿BTC—O—A方向，以每

秒1个单位的速度在正方形ABCO的边上运动.点M与点N同时出发，运动时间为，（单位：秒），&AMN

的面积为了（，）（规定A,M,N共线时其面积为零，则点M第一次到达点A时，）可（。的图象为

（）

2.（2022•全国•高三专题练习）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统移雕精致细腻、气

韵生动、极富书卷气.如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形。钻所得部分.已知扇环周

长=300cm,大扇形半径”>=100cm,设小扇形半径04=Acm,=e弧度，则

①。关于x的函数关系式6（x）=

②若雕刻费用关于x的解析式为Mx）=lOx+1700,则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为

DA

第15讲函数模型及其应用

学校:姓名：班级：考号：

【基础巩固】

1.（2022•辽宁葫芦岛•二模）某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y与温度x（单位：℃）的关系.现

收集了7组观测数据（%其）（，=1,2,乙,7）得到下面的散点图：

35o

3OO

4-25o

、

s叙20o

t15o

10o

5O

°2022263236

24283OC34

S/0

由此散点图，在20c至36℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方

程类型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+—C.y=a+bexD.y=a+b\nx

x

【答案】C

【解析】由散点图可以看出红铃虫产卵数），随着温度x的增长速度越来越快，

所以），=“+加'最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方程类型.

故选：C

2.（2022•重庆巴蜀中学高三阶段练习）2021年10月16H,搭载神舟十三号载人飞船的长征二号尸遥十

三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太

M

空，发射取得圆满成功.已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式口=%小一计算火

m

箭的最大速度Wm/s）,其中%（m/s）是喷流相对速度，皿kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推

M

进剂与火箭质量的总和，一称为“总质比若某型火箭的喷流相对速度为1000m/s,当总质比为625时，

m

该型火箭的最大速度约为（)(附：Ige«0.434,1g2«0.301)

A.5790m/sB.6219m/sC.6442m/sD.6689m/s

【答案】C

【解析】V=vnIn—=1000XIn625=1000=1000X^^^»6442m/s

mIgeIge

故选：c.

3.（2022•海南海口•二模）在核酸检测时，为了让标本中0M4的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常

采用PCR技术对LWA进行快速复制扩增数量.在此过程中，的数量X,,（单位：〃g/〃L）与PCR扩

增次数n满足X,,=X。X16,其中X。为DNA的初始数量.已知某待测标本中DNA的初始数量为

0.1〃g/〃L,核酸探针能检测到的LWA数量最低值为10〃g/z/L,则应对该标本进行PCR扩增的次数至少

为（）（参考数据：lgl.6»0.20,In1.6®0.47）

A.5B.10C.15D.20

【答案】B

【解析】由题意知由=0」,X“=10,令10=0.1x1.6"，得1.6"=100,取以10为底的对数得〃lgL6=2,

2

所以“二

1g1.6

故选：B.

4.（2022•北京•二模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量尸（单位：mg/L）

与时间t（单位：h）间的关系为P=4e*,其中庶，上是正的常数.如果在前10h污染物减少19%,那么

再过5h后污染物还剩余（）

A.40.5%B.54%C.65.6%D.72.9%

【答案】D

【解析】由题设，（1-19%）/>=/>e-10*,可得析*=0.9,

再过5个小时,P=（1-19%）/e』=（0.81x0.9）4=0.7296，

所以最后还剩余72.9%.

故选：D

5.（2022•山东•肥城市教学研究中心模拟预测）垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、

分类投放和分类搬运，从而变成公共资源的一系列活动的总称.分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济

价值，力争物尽其用.进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源

的消耗，具有社会、经济、生态等几方面的效益.已知某种垃圾的分解率V与时间/（月）满足函数关系式

v=a-h'（其中。力为非零常数）.若经过6个月，这种垃圾的分解率为5%,经过12个月，这种垃圾的分解

率为10%,那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（）（参考数据lg2B0.3）

A.40个月B.32个月

C.28个月D.20个月

【答案】B

【解析】依题意v（6）=有ah6=/0.解05,得—।，

61=0.025,故Mf)=0.025x2%.令贝，)=1,得

1Vlg40_l+21g26x(l+0.6)

故，Tog「°==32

2%=40,/g。3

7

故选B.

6.（2022•全国•高三专题练习）有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一

块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图所示），若围墙厚度不计，则围成的矩形

B.2750m2

C.3000m2D.3500m2

【答案】A

【解析】设矩形的宽为加>,则该矩形的长为（200-4x）m,

所以，矩形的面积为S=x（200-4x）=-4（x2—50x）=-4（x-25）2+2500,其中0<x<50,

故当x=25时，S取得最大值25001/.

故选：A.

7.（2022•全国•高三专题练习）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消

毒.出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方

可进入商场.已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度）’（毫克/立方米）与时间「（分钟）之间的函数

0.k,0<^<10

关系为y"门体-”函数的图象如图所示.如果商场规定9:30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药

h）

物的时间最迟是（）

A.9:00B.8:40C.8:30D.8:00

【答案】A

【解析】根据函数的图象，可得函数的图象过点（KM）,

0.K0<Z<10

代入函数的解析式，可得=1，解得。=1，所以J。，

、J

令”0.25,可得0.1Y0.25或（丁40.25，

解得0<Y2.5或d30,

所以如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9:00.

故选：A.

8.（2022•山东师范大学附中模拟预测）已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态

下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式8：电量呈指

数衰减，即：从当前时刻算起，「小时后的电量为当前电量的g倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时

开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则x的取值范围

是（）

A.l<x<2B.\<x<2C.8<x<9D.8<x<9

【答案】C

【解析】由题意得，x小时后的电量为（3（XX）-300x）毫安，此时转为B模式，

可得10小时后的电量为（3000-300x）•击，则由题意可得

（3000-300x）->3000x0.05,

化简得（10-X），，；7>0.5,

即10-X>29T

令m=10-x,则%

由题意得0cx<10,则0cm<10,

令加分别为1,2时，这个不等式左右两边大小相等,

由函数y=x和y=2*T的图象可知，

该不等式的解集为l<m<2,

所以l<10—x<2,得8Vx<9,

故选：C

9.（多选）（2022•全国•高三专题练习）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地

震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级例之间的关系为lgE=4.8+1.5M,

则下列说法正确的是（）

A.地震释放的能量为1063焦耳时，地震里氏震级约为七级

B.八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍

C.八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍

D.记地震里氏震级为〃（〃=1,2,…，9,10）,地震释放的能量为则数列｛〃〃｝是等比数列

【答案】ACD

【解析】对于A：当E=10'53时，由题意得1g103=4.8+1.5M,

解得M=7,即地震里氏震级约为七级，故A正确;

对于B：八级地震即M=8时，lg&=4.8+1.5*8=16.8,解得片=10a,

r1小6.8

所以幺=—^=1（）15>10力6.3,

EIO153

所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的10,5倍，故B错误；

对于C：六级地震即M=6时，1g£2=4.8+1.5x6=13.8,解得4=10”3,

E10,61,18

所以『铲=1()3=1000

即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C正确;

对于D：由题意得lga“=4.8+1.5〃("=1,2,9,10),

所以％=104-8+L5n,所以%=1048+L"”M>=[06.3+1.5”

1063+15M

所以3=群访=1°"，即数列｛m｝是等比数列，故D正确；

故选：ACD

10.（多选）（2022•山东日照•三模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（r>0）,劳累

程度T（O<T<1）,劳动动机/1<人<5）相关，并建立了数学模型E=10-10广，"'，已知甲、乙为该公司

的员工，则下列结论正确的是（）

A.甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高

B.甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低

C.甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短.则甲比乙劳累程度弱

D.甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强

【答案】AC

【解析】设甲与乙的工人工作效率月，与，工作年限小4,劳累程度ZZ，劳动动机目也,

4,|4

对于A,b,=b2,rt>r2yTt<T2,i<b<5,0<b^'<]：,b^>^\7；>7；>0,

0

则£,-£2=10-107；•灯°”“一(10-10n•)=io(7；-T,•圻叫)>0,

E,>E2,即甲比乙工作效率高，故A正确；

044r

对于B,1=(，4>占仄>b2,Al>b；'>*”>b^>b^''

4r4rA4r

则£,-£2=10-107；-b^''-(10-107；-b^'-)=107；(b^-b^')>0,

/.Et>E2,即甲比乙工作效率高，故B错误:

对于C,b'=4，&>£，4<G，

・・.&-石2=10伍•小I,攵-4力”4"）>0,岂％0」如>工.婕叫

T人-0.14”

Z叶4I"

所以石>7；,即甲比乙劳累程度弱，故C正确；

对于D,r,=r2,Et>E2,b,<b2,0<^-<\,

b2

T14/j

4r2Mr

E,-E2=10（7；-b^'-T}-b^'）>0,心.靖>7；力严4“.•.上>餐建.=伯）4%-->],

Z比'

所以《>7；,即甲比乙劳累程度弱，故D错误.

故选：AC

11.（2022•河北•模拟预测）劳动实践是大学生学习知识、锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会、回报

社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x件

时，售价为s元/件，且满足s=820-2x,每天的成本合计为600+20X元，请你帮他计算日产量为

件时，获得的日利润最大，最大利润为万元.

【答案】2007.94

【解析】由题意易得日利润y=sxx-（600+20x）=x（820-2x）-（600+20x）=-2（x-200）2+79400,

故当日产量为200件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94万元，

故答案为：200,7.94.

12.（2022•全国•模拟预测）一种药在病人血液中的量保持lOOOmg以上才有疗效，而低于500mg病人就有

危险.现给某病人静脉注射了这种药2000mg,如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥

药物的利用价值，那么从现在起经过小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.（附：

1g2®0.3010,lg3»0.4771,精确到O.lh）

【答案】6.6

【解析】设xh后血液中的药物量为mg,

则有y=20000-10%）',

令y21000得：x<lg2«­0-3010«6.6

yl-21g31-2x0.4771

故从现在起经过6.6h内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.

故答案为：6.6

13.（2022•北京东城•三模）某超市在“五一”活动期间，推出如下线上购物优惠方案：一次性购物在99元

（含99元）以内，不享受优惠；一次性购物在99元（不含99元）以上，299元（含299元）以内，一律

享受九折优惠；一次性购物在299元（不含299元）以上，一律享受八折优惠；小敏和小昭在该超市购

物，分别挑选了原价为70元和280元的商品，如果两人把商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比

他们分别支付节省的钱，按照两人购买商品原价的比例分配，则小敏需要给小昭元.

【答案】61.6

【解析】由题可得两人把商品合并由小昭一次性付款实际付款为（70+280）x0.8=280元，

他们分别支付应付款为70+280x0.9=322元，故节省322-280=42元，

70

故小敏需要给小昭70-42x70+280=61.6元.

故答案为：61.6.

14.（2022•重庆•模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于

20mg/100ml,已知一驾驶员某次饮酒后体内每100ml血液中的酒精含量丁（单位：mg）与时间x（单

位：h）的关系是：当0<x<1时，>=_当/+等x；当时，y=—,那么该驾驶员在饮酒后

3II113x

至少要经过h才可驾车.

【答案】5.5

，初上.、“11a27021080x=270,…1080

［解析】当0cx<§时，>>=--—x+—^-__—（x-2）-+-p）-,

当x=2时，函数有最大值等>20,所以当0<x<?时，饮酒后体内每100ml血液中的酒精含量小于

20mg/100ml,

当当xN1时，函数y="单调递减，令y=L3=20=x=5.5,因此饮酒后5.5小时体内每100ml血液中

的酒精含量等于20mg/100ml,

故答案为：5.5

15.（2022•全国•高三专题练习）迷你K7V是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话

亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎.如图是某间迷你K7V的横截面示意图，

3

其中AB=AE=],ZA=ZB=Z£=90°,曲线段CO是圆心角为90。的圆弧，设该迷你K7V横截面的面积

为S,周长为心则，的最大值为.(本题中取万=3进行计算)

【答案】6-3月

33

【解析】设圆弧的半径为x(0<x<5),根据题意可得：BC=DE=AB-x=--x

S=—阻+=|x(|—x)+g-x卜=；-犬+等

2万Y7TX

L=2AB+BC+DE+——=6-2x+—

42

Q-Y21

乃=3「.5=二^,L=6--x

42

•S-9~x2

'L-12-2x

根据基本不等式，行=36，当却仅当；=§,即r=6石时取

673G[9,12),.」=6G时，1=6-

LJmax

故答案为：6-3百.

16.(2022•全国•高三专题练习)某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定

成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数

,、400%——X2,(0<X<400)

R(x)=2'',其中x是“玉兔”的月产量.

[80000,(x>400)

(1)将利润火x)表示为月产量x的函数；

(2)当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？(总收益=总成本+利润)

【解】⑴由题意，当嘱上400时.，/(x)=400x-0.5x2-20000-100.r=300A--0.5x2-20000;

当X〉400时，/(x)=80000-100x-20000=60000-100x；

---x2+300x-20000,(0M400)

故f(x)T2；

-100x+60000,(%>400)

(2)当面*400时，f(x)=300x-0.5x2-20000；

当x=300时，/(x),用=『(300)=25000(元)

当X>400时，f(X)M</(400)=20000(元)

25000>20000,

二当x=300时，该厂所获利润最大，最大利润为25000元.

17.(2022•上海•华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习)如图，某街道拟设立一占地面积为。平方米的

常态化核酸采样点，场地形状为矩形.根据防疫要求，采样点周围通道设计规格要求为：长边外通道宽5

米，短边外通道宽8米，采样点长边不小于20米，至多长28米.

(1)设采样点长边为x米，采样点及周围通道的总占地面积为S平方米，试建立S关于x的函数关系式，并指

明定义域；

(2)当3004aW700时，试求S的最小值，并指出取到最小值时x的取值.

【解】(1)由题意采样点及周围通道构成的矩形的长是(x+16)m,宽是(4+10)m,

X

故S=(x+16)(g+10)=比+10x+a+160,xe[20,28]；

XX

(2)由(1)知，5=—+10x+a+160,xe[20,28],

X

当300Va4490时，S=—+10x+a+160>2./--10x+a+l60=8Vi0a+a+160,

当且仅当幽=10x即x=

时取等号，此时e[20,28],且满足

X

故此时S的最小值为8y诚+“+160,此时

当490<aS700时，令穴0=幽+10田+。+160,*可20,28],

X

则f'M=-摩+10=亚丁。,[20,28],

JTXxe

>28,故小)=*普<。”[2。,28],

由于广。）=0时，x=

即/(x)=3^+10x+a+160,xe[20,28]单调递减,

X

故/(x)mM=/(28)=¥+440,止匕时x=28,满足尤>色

7x

故S的最小值为华+440,此时x=28.

18.（2022•全国•高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生

态水果特色小镇经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料尤（单位：千克）满足

5（X2+3）,0<X<2

如下关系:W(x)=«50%，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工

-------,2<xW5

1+x

费）20x元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为f（x）（单

位：元）

⑴写单株利润/（x）（元）关于施用肥料x（千克）的关系式;

（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？

5(X2+3),0<X<2

【解】⑴依题意/(x)=15W(x)-10x-20x,又W(x)=,

50/。=

-------,2<x«5

ll+x

75x2-30x+225,0giJr2

/(x)=〈750x

-30x,2<A;,5

U+x

（2）当噫!k2时，/（X）=75x2-30x+225,开口向上，对称轴为*=『

・••/（x）在［0,§上单调递减，在g,2］上单调递增,

•・J(x)在[0,2]上的最大值为f(2)=465.

当2c%,5时，/(x)=780-30(F+1+x),,780-30x2J6•(1+x)=480,

当且仅当‘2土5=1+》时，即x=4时等号成立.

\+x

V465<480,.•.当x=4时，/(^)_=480.

/.当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元.

【素养提升】

1.（2022•全国•高三专题练习）如图，在正方形A8CD中，\AB\=2,点”从点A出发，沿A—BTC—DTA

方向，以每秒2个单位的速度在正方形A8CO的边上运动：点N从点B出发，沿BTCTOTA方向，以每

秒1个单位的速度在正方形ABCD的边上运动.点M与点N同时出发，运动时间为1（单位：秒），4AMN

的面积为/"）（规定4,M,N共线时其面积为零，则点M第一次到达点A时，何⑺的图象为

（）

【答案】A

【解析】①OStSl时,

f(r)=^\AM\-\BN\=^-2t-t=t2；

②1<&2时，

③2<Y3时，

/(r)-l|M2V|-|BC|=|M?V|=|2(r-2)-(r-2)|=r-2;

④3cd4时，

2

/(f)=1|AM|-|D7V|=l[2-2(r-3)].[2-(r-2)]=(Z-4);

一溺1

所以,其图象为选项A中的图象,

t-2,2<t„3

（f-4了,3<f”4

故选：A.

2.（2022•全国•高三专题练习）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气

韵生动、极富书卷气.如图是一扇环形砖雕，可视为扇形08截去同心扇形所得部分.已知扇环周

长=300cm,大扇形半径。力=100cm,设小扇形半径。4=Acm,NAO8=6弧度，则

①e关于x的函数关系式。（幻=

②若雕刻费用关于X的解析式为W"）=10X+1700,则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为

100+2x

【答案】xe（0,100）；3

100+无

【解析】由题意可知，ZAOB=0,OA=x,00=100,

所以4B="x，AD=BC=\00-x,。。=1006>,

扇环周长AB+AD+BC+DC=3》+200-2》+100。=300,

解得，=^^,xe(0,100),

砖雕面积即为图中环形面积，记为S,

则埸形.

S=s-SIIMAOB=^ODDC--OAAB

=1x100x1000」.Xe=50000-纥2=(5000-口股2

2222)100+x

即雕刻面积与雕刻费用之比为〃?，

_5_(10000-x2)(100+2x)_(100-x)(50+x)

以龙)2(100+X)(10A-+1700)10(X+170)

令f=x+170,则x=-170,

（270-Z）（r-120）-产+390,-120x270J^Z2+39

..772--=--

IOrlOr10t

1227

<-2J--X+39=-36+39=3,当且仅当，=180时（即x=10）取等号,

V10tO

所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为3.

故答案为：制,㈣；3

第16讲变化率与导数、导数的计算

学校:姓名：班级：考号：

【基础巩固】

1.（2022•全国•高三专题练习）若函数“xhem+lMx+l）,/'（0）=4,则“=（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2022•全国•高三专题练习）已知函数/（耳=①”上产，其导函数记为了'（X）,则

/（389）+/-（389）+/（-389）-f（-389）=（）

A.2B.-2C.3D.-3

3.（2022•全国•高三专题练习）下列函数求导运算正确的个数为（）

①（3。'=3"log,e;@（log,4=-^7:③1*）'=/；④=x;⑤1e、j=d+l.

A.1B.2C.3D.4

4.（2022•湖南•长沙县第一中学模拟预测）函数y=21n（x+l）+sinx的图象在x=0处的切线对应的倾斜角

为。，则sin2。=（）

3「3「3-3

A.—B.土—C.-D.±—

101055

14

5.（2022•湖北•黄冈中学模拟预测）已知〃，6为正实数，直线>=尤一。与曲线y=ln（x+A）相切，则一+工

ab

的最小值为（）

A.8B.9C.10D.13

6.（2022•湖北•襄阳五中模拟预