2023-2024学年四川省巴中市高三年级上册“零诊”考试数学试题（理科）（附答案）

o

20232024学年四川省巴中市高三上册“零诊”考试数学试题（理科）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置.

2.答选择题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用

0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效,

在试题卷上答题无效.

O

3.考试结束后，考生将答题卡交回.

而

抑

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一

项是符合题目要求的.

1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是（T/），则z5+z=（）

A.1+iB.1-i

C.-1+iD.-1-i

2.已知集合—{小+2叫］邛/<9},则/得（）

O

{r|0<x<3}{x|0<x<3}

/A.•D•

C{x|-2<x<3}D{x|-2<xW3}

S-9=2ji

教3.已知等差数列{°」的前〃项和为”7一2,则数列如〃）的公差为（）

A.1B.2C.3D.4

4.已知向量'=（l/），=（xT）,则“x=-l”是“（a+小人，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

OC.充要条件D.非充分非必要条件

X22一

~~y=1

5.双曲线4的两条渐近线与直线x=2围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组

是（）

x-2y>0x-2y>0

K

<x+2y<0<x+2y>0

0<x<2口0<x<2

A.JD.L

O

01/29

2x-y>02x-y<0

2x+y>02x+y>0

0<x<20<x<2

c.D.

6.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）

口（5+省〉

A.7兀B.8兀C.9兀

7.第31届世界大学生夏季运动会以“绿色、智慧、活力、共享”为理念，向全世界送出来自

中国的美好祝愿.某高校田径组拟从甲、乙两名女同学中选一人参加本届大运会，已知甲、

乙两名同学近五次800米训练成绩（单位：秒）如下面的茎叶图所示.根据两人训练成绩的

平均值及方差，现有下列4种推荐意见.

甲乙

8119

4712565

10130

①甲成绩的平均值低于乙成绩的平均值，推荐甲参加大运会.

②甲成绩的平均值高于乙成绩的平均值，推荐乙参加大运会.

③甲成绩的方差大于乙成绩的方差，推荐乙参加大运会.

④甲成绩的方差小于乙成绩的方差，推荐甲参加大运会.

其中合理推荐意见的编号是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

571

/(x)=2sin+(p\^y>0,|^|<—12

8.已知函数I2的部分图象如下图所示，则

02/29

A.&B."C.1D.-1

2

、2y3

9.已知双曲线c：/一记的左、右焦点分别为耳外，过耳斜率为a的直线与

c的右支交于点尸，若线段尸片恰被）轴平分，则C的离心率为（）

I2V3

A.2B.3C.2D.3

10.已知正数满足eo+a=b+lnb=2（e为自然对数的底数），则下列关系式中不正确的

是（）

A.b/=金B.a+b=2

C.e"+lna=2D.e"+Inb=2

12

-------------1-------------

11.己知x>V>°且4x+3y=l,则2x-y的最小值为（）

A.10B.9C.8D.7

12.已知/（x）=ei+ei+2x2-4x,则不等式/口+》/⑴的解集为（）

C[-0°'£|U（1'+GO）D（—C°'T）u[g'+00]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知（1+"）2（1+X），的展开式中，x的系数为6,则"=.

14.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称

轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线

03/29

V=4x的焦点为尸，一条平行于x轴的光线从点“（5,4）射出，经过抛物线上的点8反射后，

再经抛物线上的另一点C射出，则忸0卜.

15.己知数列伯”｝的前〃项和为"，S"=2a“-1,则。“=.

16.在三棱锥尸一N3C中，AB=PC=2V3,BC=PA=2,AP1PC,AB±BC,E,F,Gt

H，M,N分别为棱AB,PC,AC,PB,BC,P4的中点.现有以下4个结论：

①三棱锥PTBC的外接球表面积为167t；

（2）EFLMN.

③平面EMFN；

④当尸2=20时，平面平面P3C.

则其中正确结论的序号为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题,

每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.中央电视台“国家品牌计划”栏目组为了做好新能源汽车的品牌推介，利用网络平台对年

龄（单位：岁）在［2°，6。］内的人群进行了调查，并从参与调查者中随机选出600人，把这

600人分为对新能源汽车比较关注和不太关注两类，制成如下表格：

年龄[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]

人数4012016080

男性

比较关注人数87211248

人数107010020

女性

比较关注人数5498016

（1）完成下面的列联表，并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别

与对新能源汽车的关注有关；

比较关注不太关注总计

04/29

男性

女性

总计

(2)为了进一步了解不同性别的消费者对新能源汽车的关注情况，采用分层抽样的方法从这

600人中选出6人进行访谈，最后从这6人中随机选出3人参与电视直播节目，记其中男性

的人数为X,求X的分布列与期望.

K?_n(ad-be)2

附：(a+b)(c+d)(a+c)0+d),其中”=a+6+c+".

P(K2>Q0.100.050.0100.005

ko2.7063.8416.6357.879

18.在中，角4B，C的对边分别为a,Cc,已知4a=36,2=2/.

⑴求cosB；

⑵若。=9,求的面积.

19.如图，在四棱锥尸一/BCD中，底面N2CD,

AD//BC,AB1AD,PA=AD=4,AB=BC=2,E,F分别为CD,P/的中点

p

(1)证明：瓦■〃平面尸3C；

(2)求二面角尸一°-尸的余弦值.

0：=+4=1(。>6>0),4

20.已知椭圆a6的左、右顶点分别为点〔2J在椭圆C上，且

—►——>3

1幻4.

⑴求椭圆°的方程；

05/29

（2）设椭圆c的右焦点为尸，过点尸斜率不为o的直线/交椭圆c于尸，°两点，记直线"尸与

直线版的斜率分别为勺芯，当左+左2=o时，求AMPQ的面积.

/（x）=x--^--（l+tz）ln（x+l）

21.己知x+1

（1）讨论函数,（X）的单调性；

⑵设"x）一—+1,若函数g（x）有两个零点，求a的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题任选一题作答.如果多做，则按所做的第一

题计分.

【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）

22.在直角坐标系xQv中，圆°的圆心为点（22）,且半径长为2,直线/的参数方程为

fx=tcosa

〔y=/sina（'为参数，0<«<7i）,以坐标原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐

标系.

（1）求圆c的极坐标方程；

⑵已知直线/与圆C相交于M，N两点，且|O"『+|ON「=16,求a.

【选修4-5：不等式选讲】

23.已知/3=2卜+2|-|同.

⑴当a=2时，求不等式/（"）>2的解集；

⑵若对任意xe（T』），不等式，（x）>x+l恒成立，求。的取值范围.

06/29

1.A

【分析】根据复数的几何意义确定复数z,再根据共辗复数的概念以及复数的运算，即可得

答案.

【详解】由题意知复数z对应的点的坐标是(T/)，故z=-l+i,

所以总+z=(T+i)(-l-i)+(-l+i)=2+(-l+i)=l+i,

故选：A

2.C

【分析】解不等式化简集合4B,再利用交集的定义求解作答.

【详解】解不等式/<9,得-3<x<3,即8={x1-3<x<3},而集合/={x|x2-2},

所以"c8={x|-2Wx<3}.

故选：C

3.D

【分析】根据等差数列的前〃项和公式，结合已知条件，列式计算，即可得答案.

【详解】设等差数列{""}的公差为d,

3x2

S3—3%~\------d—34+3",S2=2%+d

则2,

邑_邑=2—=2

故由32~可得万一,即"=4,

故选：D

4.A

【分析】利用向量数量积的坐标表示，求出9+"),'对应的X的值，再根据充分必要条件

的定义判断即可.

【详解】当％=T时，"=(1/)，"=(T，T),则5+3=(。,。)，

所以("33(-1)+。*(-1)=。，故有(+

当@+)3时,因为i+B=(i+x,o),

所以G+3=(l+"+Ox(-1)=。，即8=。，解得x=0或—1,

故“X=-1"是"("+不.”的充分不必要条件.

01/29

故选：A

5.B

【分析】求出渐近线方程，再同一坐标系内画出三条直线，得到表示三角形区域的不等式组.

-2।

—y=]

【详解】4■的渐近线方程为x-2了=°和x+2y=°,

画出x=2,x_2y=0和x+2y=0,如下：

x-2y>0

<x+2y>0

故表示三角形区域的不等式组为10'X'2

故选：B

6.A

【分析】根据给定的三视图还原几何体，再按圆锥及圆柱表面积公式计算求解.

【详解】由给定的三视图知，这个几何体是底面直径为2,高为2的圆柱，上接一个底面直

径为2,

高为6的圆锥构成的组合体，如图,

则有圆锥的母线为‘『+。3-=2,圆锥的侧面积兀*1x2=2兀，圆柱的侧面积

S2=2兀x1x2=4兀

圆柱下底面圆面积$3=兀1=",

这个几何体的表面是圆锥的侧面、圆柱的侧面、圆柱的下底面组成，

02/29

所以这个几何体的表面积为S=E+5+邑=7上

故选：A

7.C

【分析】由茎叶图分别求出甲乙成绩的平均值和方差，比较后得到结论，求出答案.

118+124+127+130+131〜

---------------------------------=126

【详解】对于①②，甲的成绩平均值为5,

119+125+126+125+130

----------------------------------=125

乙的成绩平均值为5,

甲的成绩的平均值大于乙的成绩的平均值，推荐乙参加大运会，①错误，②正确；

对于③④，甲的成绩的方差为

(118-126)2+(124-126)2+(127-126)2+(130-126)2+(131-126)2

5",

(119-125)2+(125-125)2+(126-125)2+(125-125)2+(130-125)2

乙的成绩的方差为5",

因为12.4<22,所以甲成绩的方差大于乙成绩的方差，推荐乙参加大运会，③正确，④错误.

故选：C

8.B

【分析】根据函数/(X)的图象，由三角函数的性质求得/=2,。=2,在结合题意和

=2(p=-

，求得6,即可求解.

3T_117T71_3K

【详解】由函数/(X)的图象，可得/=2,又由4_126-4,可得？=无，所以

2兀_

①=——=2

T.

7TJT

sin(2x—+0)=sin(—+0)=1

所以/(x)=2sin(2x+0,因为，即63

故选：B

9.C

03/29

【分析】设必交y轴与/,可推出/°〃至，从而刊办人内，结合出的斜率，设

1%1=3/可推出见，之间的关系，即可求得答案.

【详解】如图，设尸片交y轴与4N为尸片的中点，

因为。为4用的中点，故/°为△尸£鸟的中位线，

则A。〃尸鸟，而月片，则尸耳，片片，

33

因为直线尸片的斜率为W,故Rt^PF?片中，tan/期/-a,

故设10“六方，则■尸片|=5f,

结合双曲线定义以及P在双曲线右支上，即有"二2%|尸片|-1尸月|=2。=2%,

2o〃=c,...e=—c=2

贝Ua,

故选：C

10.C

【分析】构造/（x）=x+lnx,由函数单调性得到e"=6,通过变换可得到ABD正确，C错

误.

【详解】由题意得e“+lne〃=8+lnZ）=2,

令"x）=x+lnx,》＞0,则‘a""了。恒成立，

所以/&）=》+为了在（0,+s）上单调递增，

故e"=b,

所以e"+a=6+a=2,g正确,

加'=口小=町』2,A正确，

e"+lnb=b+lnb=2,D正确,

04/29

/(s/2)=V2+lnV2=V2+-ln2<V2+-<2

C选项,22

9|=V3+lnV3=V3+1ln3>V3+1>2

又/(x)=x+Inx在(0,+e)上单调递增，［0)=2,

"<6<5所以"2,(2一百,2一行)

故e"+lna>e。+山&一百)二e®一InQ+VJ)

心二1H(x+5)(x-1)

设g()一n-4-2,xe(0,+oo).

(2、+4)(4X+2)—4(x+5)(l)-4.-3/+3x-1)_—4(1)3

(4x+2)2X(4X+2)2x(4x+2)2

则

当0<x<1时，g〈x)>0,当x>l时，g'(x)<0,

故g(x)在(0,1)上单调递增，在0,+8)上单调递减,

x*,当且仅当Z时,等号成立,

又g(l)=o,故g(x)4。，即

in2<(2+5)x(2-l)=2

故4x2+210,

V2>1.414>2x—>21n2

21n2

则10，所以e^>e=4,

又2+6<4<e2,故e"+lna>e—n(2+6)>4-2=2,©错误.

故选：C

l/Jl

常见的不等式放缩有ex,e=x+1,lnxWx-l(x>0),n~~~

11(x+5)(x-l)

lnx<--------------

1+XXX4%+2等，常用来比较大小.

11.B

［分析］令Q=2x_y,6=x+2y,结合4x+3y=l可得4+26=1,由此即得

1212

-----1------=(—+—)(Q+26)

2x-yx+2yab,展开后利用基本不等式即可求得答案.

【详解】由题意%>歹>°得，2x-y>0,x+2y〉0,

^a=2x-y,b=x+2y贝।a+2b=4x+3歹

05/29

由4x+3y=1得Q+2b=1,

12A2、/A,、_2b2a

-------------1-------------=(—+—)(a+2b)=5H-----H-----

故2x—yx+2yabab'

———ci—b——

当且仅当。b,结合a+26=l,即3时取等号,

c1cl11

2x-y=—,x+2y=—x=—,y=—

也即33,即515时，等号成立，

12

-------------1-------------

故2x-yx+2y的最小值为9,

故选：B

12.D

r•八*gg(x)=/(2x+l)=e"+e-2*+8尤2-2,,--/(2x+l)>f

【分析】记5''J'',从而s''J」'/化为

利用导数研究函数g(x)单调性，再结合偶函数性质解不等式即可.

【详解】因为/(x)=e*i+ej+2x2-4x,所以“2x+l)=e?*+e"+8--2,

g(x)=/(2x+1)=e2x+e~2x+8x2-2

i匚,

,2%2%

g(x)=2e-2e-+16x)

因为>=262，/=_2片2，〃=16工在区上为增函数，

则g'(x)=2e2v-+16x在R上为增函数，

x=0时，g'(x)=°,x<0时，g'(x)<0,此时gG)单调递减；

x>0时，g'(x)>0,此时且U)单调递增；

又因为g(-x)=e-2'+e2T+8X2-2=g(x)且定义域为R,所以函数g(x)为偶函数,

则不等式/(2x+l)>“x)等价于g(x)>g[2)等价于gM>g]21

IIX—12(X—1)1

\x\>-----X>-----x>一

所以2,所以I2J,化简得犷+2、—1〉0,解得x<-l或3,

06/29

即不等式/(2"+1)>/。)的解集为(叫1)七，+4.

故选：D

关键点睛：涉及解不等式问题，往往将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数

单调性，利用函数性质解不等式是解决问题的关键.

13.1

【分析】根据二项展开式的通项公式可确定(1+办)2(1+幻4的展开式中x的系数，可得方程，

即可求得答案.

［详解］由题意得(1+0无)2(1+X)，=(1+2G+a2x2)(1+X)\

而(l+x)4的通项公式为C*,(r=0,l,2,3,4),

故0+ax)?。+的展开式中,x的系数为C；+2axC：=6,

解得。=1,

故1

25

14.4

【分析】由题意求出8点坐标，继而求出直线的方程，联立抛物线方程，求得点C坐标,

即可求得答案.

【详解】如图，由题意可知/8〃x轴，'6,4),

将歹=4代入/=4x中得片4,即2(4,4),

\//

4-044

又尸(1,0),则L一口一故3c的方程为‘一§°T),联立V=4x,

1

x=一

可得4%92—17%+4=0,解得4,或x=4(此时。与5关于％轴对称，不合题意)，

07/29

C(1-1)\BC\=J(4-l)2+(4+l)2=当

则4,故V44,

25

故答案为.彳

15.2"一

【详解】分析：由5“=2%-1,当〃=1时6=1,当"1时，邑+1=2。”+「1相减可得

详解：当〃=1时％=1,

当〃>1时由=2an-1可得S+i=2an+1-1

二式相减可得：%+i=2。用-2见

又,「％=1

二.%=2〃T

点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式即数列递推式，在解答此类问题时看到S",则用

S“一S,T即可算出。“，需要注意讨论”=1的情况.

16.①③④.

【分析】利用直角三角形的性质，结合球的性质、线面垂直和面面垂直的判定定理逐一判断

即可.

【详解】①：因为/3/3C,

所以/C=ylBC2+AB2=V4+12=4,

又因为G是/C中点,

GA=GC=GB=-AC=2

所以2

GA=GC=GP=-AC=2

同理由/「'PC和G是/C中点，可得2

因此G是三棱锥尸一43C的外接球的球心，半径为2,

08/29

所以三棱锥尸一/8C的外接球表面积为4兀22=16兀,因此本结论正确;

z可,”NF//AC,NF=-AC

@：因为N，尸分别是PD4PC的中点，所以2

一/°…巾EM//AC,EM=-AC

又因为瓦河分别是848C的中点，所以2,

因此可得湎〃EM，N尸=9

所以四边形NFEM是平行四边形，

若EFLMN,此时平行四边形防加以是菱形，则NE=NF,

NE=—PB

因为N，E分别是尸4/8的中点，所以2,

因此尸B=/C,题中没有给出P8的长度，因此々,MN不一定成立，本结论不正确;

③：由①可知G8=GP,H是必的中点，所以G〃_LPB,

又因为因为乙新分别是尸C，8c的中点，所以FM//PB,

因此有G77LFN,

因为48=PC,PA^BCBP=BP,

所以APB4%BPC,而”是尸5中点，

由全等三角形的性质可知/〃=叱，

而G是/C中点，因此而及S///C,

所以有G8工EM,EMP|MF=M,EM,MFu平面EMFN,

所以平面EMFN,因此本结论正确；

④：当尸3=20时，有PB?+CB2=PC2nPBLCB,

而4B上BC,PB^^4B=B,PB,4Bu平面p4B,

因此3C1平面P4B,而BCu平面尸BC

所以平面尸平面尸3C,因此本结论正确，

故①③④

09/29

p

H

关键点睛：本题的关键在于多次使用三角形中位线定理、球的性质、全等三角形的性质.

17.(1)表格见解析，能；

(2)分布列见解析，2.

【分析】(1)根据给定的数表，完善列联表，再求出K?的观测值，并与临界值表比对作答.

(2)求出抽取的6人中男女性人数，求出X的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期

望作答.

【详解】(1)由给定的数表知，男性总人数为400,其中比较关注的有240人，女性中比较

关注的有150人，列联表如下：

比较关注不太关注总计

男性240160400

女性15050200

总计390210600

^^600(240x50-160x150)：^1200>12>6635

则390x210x400x20091

所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与对新能源汽车的关注有关.

,2

6x—=4

(2)已知600人中男性与女性的比为2」，则所抽男性人数为3人,所抽女性人数为

6x-=2

3人，

尸(X=D=U^(I2,3)

依题意，X的可能值为1,2,3,,

1c2cxa03roi

因止尸"塞3PgA避——"A方^

10/29

所以X的分布列为:

1

18.（1）9

【分析】（1）由正弦定理和二倍角公式得到4siM=6siiL4cos/,故3,求出cosB；

（2）法一：由。=9求出6=12,结合（1）中“SB9,由余弦定理得到c=7,结合（1）

..45

SIIL4-----

中所求得到3,利用三角形面积公式求出答案；

法二：由。=9求出6=12,结合（1）中所求得到siiL4,sinB,利用

,「_7右

sinC=sin（/+8）=siMcos8+co%sin^求出㈤联一三，利用三角形面积公式求出答案;

,cosA=—

法三：由。=9求出6=12,结合（1）中3,由余弦定理得到。=7或9,排除。=9,

S1IL4=——

结合3,求出三角形面积.

【详解】（1）由4。=36及正弦定理得：4sinA=3sinBf

由5=2/得：sin8=sin2/=2siib4cos4.

/.4siib4=6siiL4cos/,

由0<4<兀矢口sinA>0,

,2

/.cosA=—

3,

21

/.cosB=cos2Z=2cosA-l=——

9.

（2）法一：当。=9时，代入4a=3b得：6=12,

cosB=

由（1）知9,

由余弦定理〃=a2+c2-2accosB得：144=81+c2+2c,

11/29

整理得：c?+2c-63=0,解得：c=7,

siih4=Jl-cos2Z=

由(1)知：93

SAABC=gbcsitU=；x7xl2xt=1475

法二：当。=9时，代入4。=36得：6=12,

siib4=J1一COS2A=二二"

由⑴得：93

sinS=sin2/=2x@x2=WI

339

由Z+8+C=7i得。=兀一("+8),

/.sinC=sin(4+5)=siib4cos5+cos^sin5=

S,=-absinC=-x9xl2x—=1475

△AARBC2227

法三：当。=9时，代入4a=3b得：'=12,

cos//

由(1)得：3,

由余弦定理/=b2+c2一ZbccoM得：81=144+c2-16c,

整理得：C2-16C+63=0,解得：c=9或c=7,

若c=9,则O8C为等腰三角形，此时/=C,

71.2

A——cosZ=—

由2=2/及内角和定理得：4,与3矛盾，不合题意,

c=7,

■.S..=-bcsinA=-x7xl2x—=1445

△4RBC223

19.(1)证明见解析

272

⑵3

【分析】方法一方法二，先构造并证明面面平行，继而利用面面平行的性质定理证明结论;

方法三，连结/£延长交8c的延长线于N,连结尸N,证明友7〃小，根据线面平行的判

12/29

定即可证明结论；

方法四，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明结论.

（2）方法一，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面CDP和平面的法向量,

利用空间角的向量求法即可求得答案；

方法二，作出二面角尸一°一尸的平面角，解三角形即可求得答案.

【详解】（1）证明：

方法一：综合法——平行平面的性质

取的中点"，连结”瓦儿不（如下图）

P

由瓦尸分别为的中点及中位线定理得九加〃苑，“/PB,

BC,PBuPBC.FM,EM2平面尸8C,

：.ME〃平面〃平面P3C,

又平面瓦7M,

故平面〃及加平面尸BC,

,/EFcz平面EFM,

.•.跖〃平面依。；

方法二：综合法——平行平面的性质

取尸。的中点°,连结。旦。尸（如下图）

13/29

由E，尸分别为CD,"的中点及中位线定理得SQEPC

PCU平面PBC,QE(Z平面PBC,

・•・QE〃平面PBC,

VAD//RC,QFAD,QF//BC

■：5。匚平面尸8。,。尸0：平面尸8(7,

，。F〃平面PBC,

又0En。尸=Q,QE,QFu平面EFQ,

平面跖。〃平面尸8C,

•.•£尸u平面EF。，

:.EF〃平面尸BC.

方法三：综合法——直线与平面平行的判定

连结NE延长交8c的延长线于N,连结PN,

AD||BC；即AD〃CN,又CE=ED,

AE=EN,

又AF=FP,：.EF〃PN,

■：PNu平面PBC,EF<Z平面尸BC,

.•.E尸〃平面P2C.

方法四：空间向量方法

PA1底面ABCD,AB,ADu平面ABCD,

:.PA1AB,PA±AD,

又ABL4D,

故居,4),4尸两两垂直，

14/29

以N为原点，刀，血，刀分别为x/，z轴的正方向建立空间直角坐标系/一孙Z,如下图:

由尸Z==4,N8=BC=2知：

（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,2,0）,D（0,4,0）,P（0,0,4）；石（1,3,0）,尸（0,0,2）,

BC=（0,2,0）,5?=（-2,0,4）,EF=（-1,3,2）

设平面PBC的一个法向量为“=（再，必，zJ

v-BC=QJ2%=0

由［•丽=0得］-2占+43=0,取11得E=（2,0,1）,

v-EF=-lx2+3x0+2xl=0,EF（Z平面PBC,

，斯〃平面尸8C.

（2）方法一

由⑴方法四可得：/（0,0,0），°（2,2,0）,°（0,4,0）,尸（0,0,4）,尸（0,0,2）

CD=（-2,2,0）,DP=（0,-4,4）,而=（0,-4,2）

设平面8尸的一个法向量为加=（a/'C）,

m-CD=0j-2,a+2b=0

由［加丽=0,得j-46+4c=0,取0=1,得获=（1，11），

设平面C。尸的一个法向量为5=GJ/）,

u-CD=0J—2x+2y=0

由①DF=0,得［-4y+2z=0,取》=］,得力=（1,1,2）,

/一八m-ulxl+lxl+lx22V2

/.cos（m.u）=-=；-----=------尸—产-------=--------

''|^||w|V3xV63

15/29

由几何体的空间结构知，二面角尸-8-尸为锐角,

2A/2

故二面角P-CD-F的余弦值为了.

方法二

连结/C,由/8_1/。,/。〃8。得：AB1BC,

AC=y]AB2+BC2=2A/2,NCAB=CAD=45°

在A/CZ)中，AD=4,由余弦定理得：CD=J/C'+AD?-2ADx/Cxcos45°=2后,

贝=16=/。2,.../c_La),

PA±底面4BCD,。u平面p/C,

PALCD,

...P/c/C=4尸4/Cu平面尸/c,

\CD人平面P/C.

又CF,CPu平面尸/C,:.CD1CF,CD1CP；

.•.乙FCP为二面角尸-CD_尸的平面角，

在直角三角形尸NC中，PC=\lAC2+AP2=V8+16=2瓜,

在直角三角形F/C中，FC=^AC2+AF-=26,

FC°+PC?-FP。12+24-4272

cosZFCP=

2x2百x2几-

在三角形尸CP中,由余弦定理得:2xFCxPC"I

2拒

，二面角P-CD-F的余弦值为了

*+「一1

20.(1)43

16/29

975

⑵8

【分析】（1）利用点在椭圆上及数量积的坐标运算列方程求解即可；

（2）设直线联立方程，韦达定理，方法一：求出弦长及三角形的高即可求出面积，方法二:

利用面积分割法求解面积即可.

【详解】⑴由题意知4（一处°），却3°）,

3

Q_1）（Q_］）+

4,解得。=2（负值舍去）,

3197

M\\,

由I在椭圆c上及口=2得彳+皿？一,解得/=3,

22

上+匕=1

，椭圆C的方程为43

右焦点为尸（1，°）,

（2）由（1）知,

据题意设直线/的方程为“叩+1猴*°册（孙+5）9（研+5）,

33

片」「2_21-36力一22%-3

2

则1myx2myxmy22my2,

2%—3।2%-3=0

于是由4+左2=0得2叼12町2,化简得4yly2=3（M+%）（*）

Ix=my+1,

由自2+4/_12=0消去工整理得（3病+4»2+6吵-9=0,

A=（6w）2+36（3机2+4）=144（m2+1）＞0

6m9

由根与系数的关系得：y'+）23m2+4，JlJ23/+4,

18m36

代入（*）式得：3加2+43疗+4,解得必=2,

，直线/的方程为x-2y-l=0

29

,,A=144（2+1）=720,^+j；2

方法一：416

17/29

V5V72015

I闻=所百|必为

由求根公式与弦长公式得:16

1-2x「l

36

d=

J+(-2)25

设点”到直线’的距离为“，则

..S4MPQ沙。叫号哈竽

MPF+S2=；M1蚓+卜21)=+,21)

工-2〉-1=0代入3%2+4/-12=0消去歹得4/+2%-11=0,

A—2?—4x4x(-11)=180>0,Xp+XQ=—,XpXQ-.........<0

24.

方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（斗%）（乙，%）;

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X（或V）的一元二次方程，必要时计算△；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为王+工2、再.（或%+%、y,y2）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

21.（1）答案见解析

⑵（ef+oo）

【分析】（1）求导函数，分类讨论研究函数的单调性；

（2）方法一：求导函数，分类讨论研究单调性，利用函数8々）有两个零点得函数最小值为

负数，解对数不等式即可；方法二：把零点问题转化为即x+lnO+GMa+lXx'T）有两