江苏省徐州市2023年中考数学试卷（含答案）

江苏省徐州市2023年中考数学试卷

一、选择题（本大题共有8小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确

选项前的字母代号填涂答题卡相应位置）

1.下列事件中的必然事件是（

A.地球绕着太阳转B.射击运动员射击一次，命中靶心

C.天空出现三个太阳D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

2.下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（)

A.E1bz!C.Ud!□

3.如图，数轴上点4B,C,0分别对应实数a,b,c,d,下列各式的值最小的是（）

44Cp_

ah0cd

A.\a\B.\b\C.\c\D.|d|

4.下列运算正确的是()

A.a2-a3=a6B.a4a2=a2C.(a3)2=a5D.2a2+3a2=5a4

5.徐州云龙山共九节，蜿蜒起伏，形似游龙，每节山的海拔如图所示.

60.0---------------------------------------------------------------------------------------------

第一节山第二节山第三节山第四节山第五节山第六节山第七节山第八节山第九节山

其中，海拔为中位数的是（）

A.第五节山B.第六节山C.第八节山D.第九节山

6.何石的值介于（）

A.25与30之间B.30与35之间C.35与40之间D.40与45之间

7.在平面直角坐标系中，将二次函数y=Q+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单

位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）

A.y=（%+3）2+2B.y=（%—I）2+2C.y=（%—I）2+4D.y=（x+3）2+4

8.如图，在△ABC中，zB=90。，乙4=30。，BC=2,。为AB的中点.若点E在边AC上，且第=箓，

则AE的长为（）

1

A

二、填空题（本大题共有10小题，不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）

9.若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5,则第三边的长可以为（写出一个即可）.

10.“五一”假期我市共接待游客约4370000人次，将4370000用科学记数法表示为.

11.若代数式五二号有意义，则x的取值范围是.

12.正五边形的一个外角的大小为度.

13.关于x的方程%2一4%+巾=0有两个相等的实数根，则m的值是.

14.如图，在△ABC中，若CEIIBC,FG||AC,/.BDE=120°,Z.DFG=115°,则4C=

第14题图第15题图

15.如图，在。。中，直径AB与弦CO交于点E,AC=2BD.连接AD,过点B的切线与4。的延长线交

于点F.若UFB=68°,贝!UOEB=

16.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线1=6,扇形的圆心角。=120。，

则该圆锥的底面圆的半径r长为.

17.如图，点P在反比例函数y=］（k>0）的图象上，轴于点A,PBly轴于点B,PA=PB.一

次函数y=x+l与PB交于点D,若。为PB的中点，则k的值为.

18.如图，在RtzMBC中，zC=90°,C4=CB=3,点。在边BC上.将△AC。沿4。折叠，使点C落

在点C'处，连接BC',则BC'的最小值为

2

三、解答题(本大题共有10小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明'证明过

程或演算步骤)

m2—1

19.计算：(1)|一2023|+兀°一弓厂1+俄；⑵(1+A

%=4y+1f4%-5<3

(1)解方程组:(2)解不等式组x—l,2x+l

2x—5y=8

21.为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制

了如下两幅不完整的统计图.

视力情况条形统计图视力情况扇形统计图

B轻度视力不良

中度视力不良

CC

重度视力不良

26%D

ABCD视力情况

根据以上信息，解决下列问题：

(1)此次调查的样本容量为;

(2)扇形统计图中4对应圆心角度数为。；

(3)请补全条形统计图；

(4)若该地区九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数.

22.甲，乙、丙三人到淮海战役烈士纪念塔园林游览，若每人分别从纪念塔、纪念馆这两个景点中选择一

个参观，且选择每个景点口机会相等，则三人选择相同景点的概率为多少？

3

23.随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，如图某人乘车从

徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往.已知甲、乙两条路线的长度均为12km,甲路线的平均

速度为乙路线的|倍，甲路线的行驶时间比乙路线少106也，求甲路线的行驶时间.

/EE31二

”1和脚路小1和吟道歹;、

‘；乙仁、7n

24.如图，正方形纸片力BCO的边长为4,将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH.设力E的

长为久，四边形EFGH的面积为y.

(1)求y关于X的函数表达式；

AHD

]

BFC

(2)当4E取何值时，四边形EFGH的面积为10?

(3)四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在,请说明理由.

4

25.徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点C处，用测角仪

测得塔顶4的仰角乙4FE=36。,他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点。处，测得塔顶A的仰角乙4GE=

30°.若测角仪距地面的高度FC=GD=1.6m,CD=70m,求电视塔的高度力B（精确到0.1m）.（参考数

据：sin36°«0.59,cos36°«0.81,tan36°«0.73,sin30°=0.50>cos30°«0.87,tan30°«0.58)

26.两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通

常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅•释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环.”如图1,“肉”

指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比

（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）.

①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若

—•“?

②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔.

22

27.【阅读理解】如图1,在矩形/BC。中，若4B=a,BC=b,由勾股定理，得4^=a+匕?，同理=a+

b2,故4C2+BZ)2=2(a2+b2).

（1）【探究发现】如图2,四边形4BCD为平行四边形，若AB=a,BC=b,则上述结论是否依然成立?

请加以判断，并说明理由.

5

A.D

图2

222

(2)【拓展提升】如图3,已知B0为△4BC的一条中线,AB=a,BC=b,AC=c.求证:BO?a+bc

2一一T-

(3)【尝试应用】如图4,在矩形ABCO中，若AB=8,BC=12,点P在边AD上，则PF+pc?的最小

值为.

28.如图，在平而直角坐标系中，二次函数、=一班/+28久的图象与％轴分别交于点0,A,顶点为B.连

接OB,AB,将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60。得到线段AC,连接BC.点、D,E分别在线段OB,BC

上，连接AD,DE,EA,CE与4B交于点F,Z.DEA=60°.

(1)求点A,B的坐标;

(2)随着点E线段BC上运动.①ZEZM的大小是否发生变化？请说明理由;

②线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由;

(3)当线段DE的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，△BDE的面积为

6

答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：A、地球绕着太阳转，属于必然事件，故符合题意；

B、射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，故不符合题意；

C、天空出现三个太阳，属于不可能事件，故不符合题意；

D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，故不符合题意.

故答案为：A.

【分析】必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对条件S的必然事件，简称必然事件；

不可能事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件S的不可能事件，简称不可能事件；

随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事

件叫做随机事件.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：A、属于中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意；

B、属于轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；

D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意.

故答案为：A.

【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.

中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那

么这个图形叫做中心对称图形.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：由数轴可得点C距离原点最近，故|c|最小.

故答案为：C.

【分析】由数轴可得点C距离原点最近，据此判断.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：A、a2a3=a5,故错误；

B、a4^-a2=a2,故正确;

C、(a3)2=a6,故错误；

D、2a2+3a2=5a2»故错误.

故答案为：B.

【分析】同底数累相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；同底数基相除，底数不变，指数相减，据此

判断B；幕的乘方：底数不变，指数相乘，据此判断C；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结

7

果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断D.

5.【答案】C

【解析】【解答】解:将各节山的高度按照由低到高的顺序排列为:90.7、99.2、104.1、119.2、131.8、133.5、

136.6、139.6、141.6,故中位数为131.8,即为第八节山.

故答案为：C.

【分析】将各节山的高度按照由低到高的顺序进行排列，找出最中间的数据所对应的山即可.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：V25M25,302=900,352=1225,402=1600,452=2025,

/-40<V2023<45.

故答案为：D.

【分析】分别计算出25、30、35、40、45的平方，然后进行判断.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：将二次函数y=(x+l)2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所

得抛物线对应的函数表达式为y=(x+1-2尸+3-1,即y=(x-l)2+2.

故答案为：B.

【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规则进行解答.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：；NB=90。，ZA=30°,BC=2,

；.AC=2BC=4,AB=28，ZC=60°.

为AB的中点，

.*.AD=V3.

..AD_DE

，AB=BC，

ADE=1.

当NADE=90。时，

VZADE=ZABC,第啜,

A△ADE-△ABC,

8

.AE_AD_1

''AC=BC=2'

/.AE=2.

当NADEr90。时，取AC的中点H,连接DH,

为AB的中点，H为AC的中点，

；.DH〃BC,DH=1BC=1,

AZAHD=ZC=60°,DH=DE=1,

二ZDEH=60°,

二ZADE=ZA=30°,

.*.AE=DE=1.

综上可得：AE的长为1或2.

故答案为：D.

【分析】易得AC=2BC=4,AB=2V3,ZC=60°,根据中点的概念可得AD的值，结合已知条件可得DE的

值，当NADE=90。时，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ADEs/\ABC,由相似三角

形的性质可得AE的值；当NADEW90。时，取AC的中点H,连接DH,则DH为4ABC的中位线，DH〃BC,

DH§BC=1,由平行线的性质可得/AHD=NC=60。，DH=DE=1,则NADE=NA=30。，据此解答.

9.【答案】4

【解析】【解答】解：•••三角形的两边长分别为3和5,

.♦.2〈第三边<8.

•.•三角形的边长均为整数，

.••第三边的长可以为4.

故答案为：4（答案不唯一）.

【分析】根据三角形的三边关系求出第三边的范围，然后结合三角形的边长均为整数进行解答..

10.【答案】4.37x106

【解析】【解答】解：4370000=4.37x106.

故答案为：4.37X106.

【分析】科学记数法的表示形式为axlO”的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变

9

成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；

当原数的绝对值小于1时，n是负数.

11.【答案】%>3

【解析】【解答】解：•••代数式斤忑有意义，

x-3>0>

.".x>3.

故答案为：x>3.

【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则x-3K),求解即可.

12.【答案】72

【解析】【解答】解：正五边形的外角和为360。

一个外角的度数为360。+5=72。

【分析】根据题意，结合多边形的外交和为60。，由正五边形的边数即可得到一个外角的度数。

13.【答案】4

【解析】【解答】解：关于x的方程工2一轨+m=0有两个相等的实数根，

则A=42-4m=0,解得m=4,

故答案为：4

【分析】由于关于x的方程/—4x+m=0有两个相等的实数根，可得△=(),据此解答即可.

14.【答案】55

【解析】【解答】解：:DE〃BC,ZEDF=120°,

AZEDF+ZB=180°,

.,.ZB=180°-120°=60°.

VZGFD=115°,

ZGFB=180O-ZGFD=65°.

VFG/7AC,

ZC=ZFGC=180°-ZB-ZGFB=180o-60°-65o=55°.

故答案为：55.

【分析】由平行线的性质可得NEDF+/B=180。，ZC=ZFGC,结合/EDF的度数可得NB的度数，根据

邻补角的性质可得/GFB的度数，然后在4BFG中，利用内角和定理进行计算.

15.【答案】66

【解析】【解答】解：连接OC、OD,

10

A

BF

\・BF是切线，AB是直径，

・•・ZABF=90°.

JZAFB=68°,

・・・ZBAF=90°-ZAFB=22°,

・•・NBOD=2NBAF=44。.

AC=2BD^

：.ZCOA=2ZBOD=88°,

JZCDA-1ZCOA=44°,

JZDEB=ZBAF+ZCDA=66°.

故答案为：66.

【分析】连接OC、OD,由切线的性质可得NABF=90。，贝I」NBAF=9()O-NAFB=22。，由圆周角定理可得

ZBOD=2ZBAF=44°,结合元=2m可得NCOA=2NBOD=88。，由圆周角定理可得/CDA-1/COA=44。,

根据外角的性质可得NDEB=NBAF+NCDA,据此计算.

16.【答案】2

【解析】【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r,则27n=1^3,

loU

解得r=2.

故答案为：2.

【分析】设圆锥底面圆的半径为r,根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长就可求出r的值.

17.【答案】4

【解析】【解答】解：设一次函数图象与x轴的交点为M,与y轴的交点为N,则M(-l,0),N(0,1),

/.OM=ON=1.

11

♦.•PAJ_x轴，PBJ_y轴，PA=PB,

四边形AOBP为正方形，

；.PB〃x轴，PB=OB,

/.△DBN^AMON,

.BD_OM.

•,顿=^T，

BD=BN.

：D为PB的中点，

.••N为OB的中点，

/.OB=2ON=2,

.*.PB=OB=2,

：.P(2,2).

•••点P在反比例函数y=[图象上，

，k=2x2=4.

故答案为：4.

【分析】设一次函数图象与x轴的交点为M,与y轴的交点为N,则M(-l,0),N(0,1),OM=ON=1,

易得四边形AOBP为正方形，则PB〃x轴，PB=OB,根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三

角形与原三角形相似可得△DBNs^MON,由相似三角形的性质可得BD=BN,则N为OB的中点，

OB=2ON=2,表示出点P的坐标，然后代入废中就可求出k的值.

18.【答案】3V2-3

【解析】【解答】解：,••/C=90。，CA=CB=3,

•AB=,yCA2+CB2=3y/2-

由折叠可得AC=AC=3.

•.,BC2AB-AC,

...当A、B、C共线时，BC取得最小值，最小值为BC=AB-AC=3&-3.

故答案为：3v^-3.

【分析】由勾股定理可得AB的值，根据折叠可得AC=AC=3,由三角形的三边关系可得BC2AB-AC,

据此求解.

19.【答案】(1)解：原式=2023+1-6+4

=2022；

⑵解：原式=曙、布命E

]

-m—1*

12

【解析】【分析】(1)根据绝对值的性质、0次基以及负整数指数幕的运算性质、算术平方根的概念可得原

式=2023+1-6+4,然后根据有理数的加减法法则进行计算；

(2)对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子利用平方差公式进行分解，然后将除法化为乘法，

再约分即可.

20.【答案】(1)解：P=^+1®

(2x—5y=8⑵

把①代入②得，2(4y+l)-5y=8,

解得y=2,

把y=2代入①得，x=4x2+l=9,

.fx=9

,,(y=2:

f4x-5<3©

(2)解：x-i2x+l分

解不等式①得，x<2,

解不等式②得，%>-8,

二不等式组的解集是一8<x<2.

【解析】【分析】(1)将第一个方程代入第二个方程中可求出y的值，将y的值代入第一个方程中求出x的

值，据此可得方程组的解；

(2)分别求出两个不等式的解集，然后取其公共部分即为不等式组的解集.

21.【答案】(1)450

答：九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数共有2500人.

【解析】【解答］解：(1)117-26%=450.

13

故答案为：450.

(2)45+450X360°=36°.

故答案为：36.

【分析】（1）利用C的人数除以所占的比例可得总人数；

（2）根据A的人数除以总人数，然后乘以360。即可得到A所占扇形圆心角的度数;

（3）根据总人数求出B的人数，据此可补全条形统计图；

（4）利用A的人数除以总人数，然后乘以25000即可.

22.【答案】解：由题意可得如下树状图：

开始

甲花金塔

纪会塔M含馆妃金塔纪会/m、

妃金A塔纪念馆妃念塔

内妃念塔女!少抗纪念塔纪念培

，甲、乙、丙三人分别从纪念塔、纪念馆这两个景点中选择一个参观，则共有8种情况，其中三人选择相

同景点参观共有2种，所以三人选择相同景点的概率为P=

【解析】【分析】画出树状图，找出总情况数以及三人选择相同景点的情况数，然后利用概率公式进行计算.

23.【答案】解：甲路线的行驶时间为;nnE,则乙路线的行驶时间为（X+10）min,由题意可得，

12_312_

~2x+10,

解得％=20,

经检验％=20是原方程的解，

二甲路线的行驶时间为20mm,

答：甲路线的行驶时间为20mE.

【解析】【分析】甲路线的行驶时间为xmin,则乙路线的行驶时间为（x+10）min,甲路线的平均速度为磐,

乙路线的平均速度为其，然后根据甲路线的平均速度为乙路线的奈倍建立方程，求解即可.

%+102

24.【答案】（1）解：・・,在正方形纸片4BCD上剪去4个全等的直角三角形，

工乙AHE=CDGH,乙DGH+乙DHG=9。。，HG=HE,

•・・(EHG=180°-Z-AHE-乙DHG,

^EHG=90°,四边形EFGH为正方形，

14

在△/EH中，AE=x,AH=BE=AB-AE=4-x,Z.A=90°,

HE2=AE2+AH2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16,

•••正方形EFGH的面积y=HE?=2x2-8x+16；

vAE,AH不能为负,

•,­0<%<4,

故y关于x的函数表达式为y=2x2-8x+16(0<%<4)

(2)解：令y=10,得2炉一8%+16=10,

整理，得/—4x+3=0,

解得=1,%2=3，

故当AE取1或3时，四边形EFG”的面积为10；

(3)解：存在.

正方形EFGH的面积y=2/-8%+16=2(%—2)2+8(0<%<4)；

.♦.当x=2时，y有最小值8,即四边形EFGH的面积最小为8.

【解析】【分析】(1)根据正方形的性质以及全等三角形的性质可得NAHE=NDGH,HG=HE,

ZDGH+ZDHG=90°,根据平角的概念可得/EHG=18(r-/AHE-/DHG=90。，易得AH=BE=AB-AE=4-x,

由勾股定理可得HE2,据此解答；

(2)令(1)关系式中的尸10,求出x的值即可；

(3)根据(1)中的关系式结合二次函数的性质可得最小值.

25.【答案】解：'：EG1AB,AB1BD,FC1BD,DG1BD,

：.四边形BCFE是矩形，4AEF=乙BCF=乙BDG=90°,

：.BE=CF=DG=1.6m,EF=BC,FC||DG,

四边形FCDG口平行四边形，

:.FG=CD=70m,

在Rt/MEF中，Z.AEF=90°,普=tanZAFE=tan36。，

在RtAAEG中，/.AEG=90°,而=tanzAGE=tan30°,

._AE

=tan30°'

/.FG=EG-EF=tan30°-tan36°=70,

ii

."Ex(说-值)=70,

解得AE=197.6m,

15

电视塔的高度AB=AE+BE=197.6+1.6=199.2m.

【解析】【分析】由题意可得：四边形BCFE是矩形，NAEF=NBCF=NBDG=90。，BE=CF=DG=1.6,EF=C,

FC〃DG,推出四边形FCDG是平行四边形，得到FG=CD=70,利用三角函数的概念表示出EF、EG,由

FG=EG-EF=70就可求出AE的值，然后根据AB=AE+BE进行计算.

26.【答案】（1）解:由图1可知：璧的“肉”的面积为兀X（32-12）=8兀；环的“肉，，的面积为兀xe2一1.52）=

6.75兀，

.,•它们的面积之比为8兀：6.75兀=32：27；

故答案为32：27；

（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C,则

分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段4C的垂直平分线,

线段AB,AC的垂直平分线的交点即为圆心0,过圆心0画一条直径，以0为圆心，内圆半径为半径画弧,

看是否满足“肉好若一”的比例关系即可

主视图

由作图可知满足比例关系为1：2：1的关系；

②按照①中作出圆的圆心0,过圆心画一条直径AB,过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半

径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E,连接BE,然后分别过点C、D作BE的平行线，交AB于

点F、G,进而以FG为直径画圆，则问题得解；如图所示：

【解析】【分析】（1）由图1可知:璧的“肉”的面积为兀x©2/2）,环的“肉，，的面积为物（32-1.52）,求出相应的

值，然后求比值即可；

（2）①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C,则分别

以A、B为圆心，大于^AB长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC的垂直平分线，

16

线段AB、AC的垂直平分线的交点即为圆心0,过圆心O画一条直径，以0为圆心，内圆半径为半径画弧,

看是否满足“肉好若一''的比例关系即可；

②按照①中作出圆的圆心0,过圆心画一条直径AB,过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半

径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E,连接BE,然后分别过点C、D作DE的平行线，交AB于

点F、G,进而以FG为直径画圆，则问题得解.

27.【答案】探究发现：结论依然成立，理由如下：作AEJ.BC于点E,作DF1.BC交BC的延长线于点F,

则4AEB=乙CFD=90°,:四边形/BCD为平行四边形，若AB=a,BC=

,d

F

图2

b,：.AB=DC=a,AD\\BC,AD=BC=b,'：AE1BC,DFLBC,：.AE=DF,:.RtAABEwRt△

DCF(HL),，BE=CF,：.AC2+BD2=AE2+CE2+BF2+DF2=(AB2-BE2)+(BC-BE)2+(BC+

CF)2+DF2=AB2-BE2+BC2-2BC-BE+BE2+BC2+2BC-BE+BE2+AE2=AB2+BC2+BC2+

BE2+AE2=AB2+BC2+BC2+AB2=2(/lF2+FC2)=2(a2+h2)；拓展提升:延长B。到点C,使。。=

a='」

为△ABC的一条中线，：.0A=CO,四边形ABC。是平行四

图3

边形，：48=(1,8。=山4。=。.，由【探究发现】可知，4。2+8。2=2(482+8。2),.，"2+(280)2=

2222222

2(a+b),：.c+4BO=2(：a+b),：.B0尝试应用：二•四边形4BCD是矩形，AB=

8,BC=12,：.AB=CD=8,BC=AD=12,NA=ND=90°,设4P=x，则PD=ZD-4P=12—x,

:.PB2+PC2=AP2+AB2+PD2+CD2=x2+82+(12-x)2+82=2x2-24x+272=2(x-6)2+200,

•.,2>0,.,.抛物线开口向上,.•.当x=6时，PF+PC2的最小值是200.故答案为：200.

(1)解：结论依然成立，理由如下：

作AEJ.BC于点E,作DFJLBC交BC的延长线于点F,则乙4EB=NCFD=90。，

17

AD

BEF

图2

..•四边形力BC。为平行四边形，若AB=a,BC=b,

，AB=DC=a,AD||BC,AD=BC=b,,：AE1BC,DFLBC,

：.AE=DF,

:.Rt△ABE=Rt△DCF(HL),

：.BE=CF

：.AC2+BD2=AE2+CE2+BF2+DF2=(AB2-BE2)+(BC-BE)2+(BC+CF)2+DF2=AB2-

BE2+BC2-2BC-BE+BE2+BC2+2BC-BE+BE2+AE2=AB2+BC2+BC24-BE2+AE2=AB2+

BC2+BC2+AB2=2(/B2+BC2}=2(a2+b2)；

(2)证明：延长80到点C,使0D=B。,

图3

BO为△ABC的一条中线,

OA=CO,

四边形4BCD是平行四边形,

AB=a,BC=b,AC=c.

由【探究发现】可知，AC2+BD2=2(AB2+BC2),

c2+(2FO)2=2(a2+b2),

,2+4BO2=2(a2+b2),

a2+b2c2

BO2=2——T；

(3)200

【解析】【解答】解：【尝试应用】•••四边形ABCO是矩形，AB=8,BC=12,

：.AB=CD=8,BC=AD=12,〃=W=90°,

设4P=x,贝I」PO=AC—AP=12-x,

18

：.PB24-PC2=AP2+AB2+PD2+CD2=x2+82+(12-%)2+82=2x2-24%+272=2(%-6)2+200,

V2>0,

，抛物线开口向上，当久=6时，P/+PC2的最小值是200.

故答案为：200.

【分析】【探究发现】作AELBC于点E,作DFLBC交BC的延长线于点F,由平行四边形的性质可得

AB=DC=a,AD〃BC,AD=BC=b,利用HL证明RtaABE之Rtz^DCF,得至UBE=CF,然后根据勾股定理进

行证明；

【拓展提升】延长BO到点C,使OD=BO,由中线的概念可得OA=CO,则四边形ABCD是平行四边形,

由【探究发现】可知AC2+BD2=2(AB2+BC2),IIPc2+(2BO)2=2(a2+b2),化简即可；

【尝试应用】根据矩形的性质可得AB=CD=8,BC=AD=12,NA=ND=90。，设AP=x,贝UPD=12-x,

PB2+PC2=AP2+AB2+PD2+CD2=2(X-6)2+200,据此求解.

28.【答案】(1)解：=-百万2+2百%=一百(%—1)2+百，

二顶点为B(l,V3),

令y=0,-V3x24-2A/3X=0,

解得％=0或x=2,

：-A(2,0)；

(2)解：①NED4的大小不变，理由如下：

在AB上取点M,使得=连接EM,

'-'y=—V3(x—l)2+V3>

...抛物线对称轴为x=1,即ON=1,

..•将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60。得到线段AC,

：.^BAC=60°,AB=AC,

.•.△BAC是等边三角形，

：.AB=AC=BC,4c=60°,

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•・Z(2,0),8(1,V3),0(0,0),ON=1,

OB=J12+(V3)2=

AOA=2,A