2023年新高考一轮复习讲义第35讲 等差数列及其前n项和含解析

2023年新高考一轮复习讲义第35讲等差数列及其前n项和

学校:姓名：班级：考号：

【基础巩固】

1.（2022•浙江•杭师大附中模拟预测）等差数列｛/｝的前〃项和为S,,,%=7,a,T=29,S,,=198,则”=

（）

A.10B.11C.12D.13

2.（2022•湖北武汉•模拟预测）设公差不为零的等差数列｛4｝的前〃项和为S“，。4=2%,则^

（）

75

A.-B.-1C.1D.一

44

3.（2022•福建•莆田华侨中学模拟预测）2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开

舱.据科学计算，运载“神十三”的"长征二号”F遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，

以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需

要的时间大约是（）

A.10秒B.13秒C.15秒D.19秒

4.（2022•福建省德化第一中学模拟预测）设等差数列的前〃项和为S,,,若$7=28,则/+%+%的值

为（）

A.8B.10C.12D.14

5.（2022•海南海口•二模）设公差不为0的等差数列｛为｝的前〃项和为S“，已知S9=3（《+G+4“），贝U

加=（）

A.9B.8C.7D.6

6.（2022•全国•高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离

称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中。A，CG，8%的是举,

OD、,DC,,Cq,AA,是相等的步，相邻桁的举步之比分别为*=05*=K,瞿=网,普=%.己知

UL/[£/C|Co,D/y

占,&2,收成公差为0.1的等差数列，且直线04的斜率为0.725,则6=（)

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

7.（2022•重庆•二模）等差数列｛%｝的公差为2,前几项和为S“，若%=5,则鼠的最大值为（）

A.3B.6C.9D.12

8.（2022•重庆八中模拟预测）已知等差数列｛〃〃｝与等差数列｛"｝的前〃项和分别为S〃和T”，且

S„n4

^=—7,那么胃的值为（）

T„〃+1瓦

13n14-15r16

A.—B.—C.—D.—

12131415

9.（2022•广东•华南师大附中三模）已知数列｛4｝满足4+2+（-1）"q=3,《=1,%=2,数列｛q,｝的前”

项和为S“，则53。=（）

A.351B.353C.531D.533

10.（多选）（2022•河北沧州•二模）已知数列｛可｝满足4=l,q,+2=（-1严（4-〃）+〃，记和,｝的前〃项和为

%则（）

4

A.360=1。。B.«5（）-«46=

C.=600D.$49=601

11.（多选）（2022•湖北•华中师大一附中模拟预测）记数列｛4｝是等差数列，下列结论中不恒成立的是

()

A.若。1+。2>°，贝1」。2+。3>。

B.若4+。3<。，则。2<0

C.若6</，贝!J。2>

D.若％<0,则（/一4）（出一々3）>。

12.（2022•北京・101中学三模）已知等差数歹lj｛%｝中。2=7,2%+4=5,则生叱一生3二.

13.（2022•山东青岛•二模）将等差数列中的项排成如下数阵，已知该数阵第〃行共有2〃T个数，若4=2,

且该数阵中第5行第6列的数为42,则4=.

ai

。2C13

C14。5。6。7

14.（2022•辽宁•抚顺一中模拟预测）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若兀=3知，则％=,

§9=--------------

15.（2022•江苏•南京市天印高级中学模拟预测）2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国

人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为24个节气，如图所

示，相邻两个节气的日辱长变化量相同，冬至日号长最长，夏至日号长最短，周而复始.已知冬至日号长为

13.5尺，芒种日唇长为2.5尺，则一年中夏至到立冬的日辱长的和为尺

畀长逐渐变小

目长逐渐变大

16.（2022•重庆八中模拟预测）在等差数列｛4｝中，%+%+2%）=8,则数列｛%｝的前13项和为.

17.（2022•广东•模拟预测）已知｛%｝和也｝均为等差数列，若％=仇=6吗+4=9,则%+4的值是

18.（2022•江苏泰州•模拟预测）已知等差数列｛%｝的前"项和是5,,,儿>。，519<0,则数列｛|%|｝中值

最小的项为第一项.

19.（2022•湖北•大冶市第一中学模拟预测）已知数列｛%｝的前”项和为S”，«,=-U,4=-9,且

S,用+S,i=2S“+2（〃N2）.

（1）求数列｛为｝的通项公式；

（2）已知b“=」一，求数列出｝的前”项和7”.

anan+\

20.（2022•山东•济南市历城第二中学模拟预测）在“①->4，4%）=44,%+%=15；②—=5%,

%=3；③25“=〃（〃+3）”三个条件中任选一个，补充到下面的横线上，并解答.

己知等差数列｛%｝的前n项和为S,，且__________.

（1）求｛q｝的通项公式；

,1,、1

（2）若包=----,求也｝的前〃项和为】，求证：Tn<-.

anan+\2

【素养提升】

1.（2022•浙江省江山中学模拟预测）已知sinx,siny,sinz依次组成严格递增的等差数列，则下列结论簿送

的是（）

A.tanx,tany,tanz依次可组成等差数列B.cosx,cosy,cosz依次可组成等差数列

C.cosx,cosz,cosy依次可组成等差数列D.cosz,cosx,cosy依次可组成等差数列

2.（2022•辽宁•渤海大学附属高级中学模拟预测）已知等差数列的前w项和为S“，且满足

2sin（%+2）-3%-5=0,2sin+2）--7=0,则下列结论正确的是（）

A.52022=2022,且“5>“2018B.52（122=-2022,且“5<”2018

=

C.^2022-4044,且为>“2018D.$2022=4044,且“5<“2018

3.（多选）（2022•江苏•南京市江宁高级中学模拟预测）已知两个等差数列｛%｝和但,｝,其公差分别为4和

4，其前〃项和分别为S“和T”，则下列说法正确的是（）

A.若｛疯｝为等差数列，贝3=2“B.若母+1｝为等差数列，则4+4=。

C.若｛《也,｝为等差数列，则4=%=°D.若b“wN*,则｛4｝也为等差数列，且公差为44

4.（多选）（2022•福建南平•三模）如图，在平面直角坐标系中的一系列格点AG/,）,其中

i=l,2,3,……且x；,y”Z.记a”=x“+y”,如A(1,0)记为q=1,4(1,一1)记为々=0,A(0,T)记为

4=7,…，以此类推；设数列｛4｝的前八项和为S”.则（）

5.（2022•湖北•荆门市中学一模）在数列｛%｝中，4=1,1+（-1）%,,=",〃eN*,贝

｛4｝的前2022项和为

6.（2022•湖南•长郡中学模拟预测）己知数列｛为｝的前〃项和$,,=/（a为常数），则%必-。谢=

；设函数g(x)=8x+sin(万x)-cos(万x)且g(aj+g(%)++g(%)=18,则%=.

第35讲等差数列及其前n项和

学校:姓名：班级：考号：

【基础巩固】

1.（2022•浙江•杭师大附中模拟预测）等差数列｛/｝的前〃项和为S,,,%=7,a,T=29,S,,=198,则”=

（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】B

【分析】根据等差数列的通项的性质和前"项和公式求解.

【详解】因为5“=〃（4+""）="（%+。一）,

22

又“5=7,4,7=29,5“=198,

所以18〃=198,

所以〃=11,

故选:B.

2.（2022•湖北武汉•模拟预测）设公差不为零的等差数列｛《,｝的前〃项和为5“，%=2%,则3=

（）

75

A.-B.-1C.1D.-

44

【答案】C

【分析】利用等差中项2%=%+〃6，2%=%+%及等差数列前〃项和的性质即可求解.

【详解】解：在等差数列｛4｝中，2%=4+。6，%=24，故〃6=。，

又2%=%+。，故的=-%，

则与=54+%+4+a7=54，故时"=1.

故选：C.

3.（2022•福建•莆田华侨中学模拟预测）2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开

舱.据科学计算，运载“神十三'’的“长征二号”产遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，

以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需

要的时间大约是（）

A.10秒B.13秒C.15秒D.19秒

【答案】D

【分析】根据题意和等差数列的定义可知每秒钟通过的路程构成数列｛%｝,结合等差数列的前〃项求和公

式计算即可.

【详解】设每秒钟通过的路程构成数列｛《,｝,

则｛〃“｝是首项为2,公差为2的等差数列，

由求和公式有2〃+“（〃-1）=〃2+〃=380,

解得〃=19.

故选：D.

4.（2022•福建省德化第一中学模拟预测）设等差数列｛七｝的前”项和为S,,,若邑=28,则4+%+%的值

为（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【分析】根据等差数列的求和公式，求得%=4,结合等差数列的性质，化简得到4+%+%=3%,即可

求解.

【详解】因为邑=28,由等差数列的性质和求和公式得邑=现詈=7%=28,即/=4,

贝lj4++%=3al+9d=3（q+3d）=3%=12.

故选：C.

5.（2022•海南海口•二模）设公差不为0的等差数列｛4,,｝的前〃项和为S,,,已知品=3（%+6+金），贝I」

（）

A.9B.8C.7D.6

【答案】C

【分析】根据等差数列的前〃项和的性质及等差数列通项公式化简可得.

【详解】因为59=33+%+%）,又$9=9%,

所以9%=3（4+%+q“）,

所以4+%+4”=3%,即4+4=2%，

设等差数列｛%｝的公差为d,

则4+2d+q+（/«-l）rf=2（q+4d）,

所以（m+l）d=8d,又dwO,

所以1+m=8,

所以团=7.

故选：C.

6.（2022•全国•高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离

称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中。。（。「8用,44,是举，

ODVDCVCBVBA,是相等的步，相邻桁的举步之比分别为景=0.5,—^=配崇=&黄=%.己知

CzzJ|£/C|C£J|£）/11

K，网，&成公差为0」的等差数列，且直线04的斜率为0.725,则勺=（）

华

y

A

cZ小\

1/a一

0D\X

图1图2

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】D

【分析】设OR=r)G=。g=3=1,则可得关于右的方程，求出其解后可得正确的选项.

【详解】设ODT=DCI=CB、=BA=1,则CC\=k、,BB}=k2,AA)=k3,

DD.+CC、+BB、+AA八

依题意,有k「02=p「0.l=k2,且OR+£+C"=。侬，

0.5+3右一0.3…u山nn

所以-----r----=0.725,故心=0.9,

故选：D

7.（2022•重庆•二模）等差数列｛4｝的公差为2,前〃项和为5“，若4=5,则鼠的最大值为（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【分析】先利用等差数列的通项公式得到首项，再利用等差数列的前"项和公式和一元二次函数求其最值.

【详解】设等差数列｛%｝的首项为卬，

因为a,n=5,且4=2,

所以4+2（机-1）=5,

解得4=7-2m,

m(a+a)_z??(12-2m)

贝US.尸}m

22

=-(W-3)2+9<9,

即，w=3时S,“取最大值为9.

故选：C.

8.（2022•重庆八中模拟预测）已知等差数列｛q｝与等差数列加,）的前〃项和分别为S.和且

2=­那么F的值为（

)

T1t〃+1'

1314r16

A.—B.—D.—

121315

【答案】C

【分析】设等差数列｛%｝、｛2｝的公差分别为4、人,由题意利用等差数列的性质求出它们的首项、公差之

间的关系，可得结论.

【详解】设等差数列｛4｝,｛0｝的公差分别为4和4.

SnnS,a.11

片瓦r•.7二r5和《=卧

S,2〃i+42.

:〒=而1方=4,即6=3&-24①

1)"lU-yJ

S33a,4-3d,3,……

,〒不拓="即々=44-34②

由①②解得4=4,&=4♦

1」一

..=4+74211J5

b-j瓦+6d24+6414

故选：C

9.（2022•广东•华南师大附中三模）已知数列｛%｝满足4-2+（T）"%=3，4=1，%=2,数列｛%｝的前"

项和为5“，则$3。=（）

A.351B.353C.531D.533

【答案】B

【分析】根据题意讨论〃的奇偶，当“为奇数时，可得”,+2-。“=3,按等差数列理解处理，当〃为偶数

时，可得4+2+%=3,按并项求和理解出来，则次按奇偶分组求和分别理解处理.

【详解】依题意，«„+2+（-1）"«„=3,

显然，当〃为奇数时有勺+2-%=3,

即有4-4=3,%一4=3,....=3,

令d=*，故%-包=3,

所以数列｛〃｝是首项为1,公差为3的等差数列，

故包=3«-2;

当”为偶数时有4+2+4=3,

口［］。4+。2=3,a6+=3,a2n+2+a2n=3,

于是，S30=（4+Cly++。29）+（W+“4++^30）

=（4+勿++生）+［/+,4+。6）++（。28+4。）］

=■15+^4x315+2+7x3=330+23=353,

2

故选：B.

10.（多选）（2022,河北沧州•二模）已知数列｛%｝满足4=1"岫2=（-1）向（%-九）+明记｛4｝的前〃项和为

S“，则（)

A.«48+«50=100B.%）-«46=4

C.S48=600D.5,9=601

【答案】BCD

【分析】由条件可得当“为奇数时，。“+2=q=4=1；当〃为偶数时，%+。什2=2〃，然后可逐一判断.

【详解】因为4=1,%+2=（-1严（4—〃）+〃，

所以当”为奇数时，a”+2=%=%=1；当”为偶数时，%+*=2".

所以a4s+%>=96,选项A错误；又因为=92,所以%>-％6=4,选项B正确；

548=4+/+/++&7+［（”2+44）+（4+g）++（々46+包8）］

=24x14-2x（2+6++46）=24+2x^——会——=600

故C正确

549=S4g+“49=600+1=601,选项D正确.

故选：BCD

11.（多选）（2022•湖北•华中师大一附中模拟预测）记数列伍“｝是等差数列，下列结论中不恒成立的是

（）

A.若”|+%>0，则4+“3>0

B.若4+4<0，则出<0

C.若4<%，则>小6。3

D.若4<0,则（%—4）（生一6）>0

【答案】ACD

【分析】根据等差数列通项公式及等差中项，结合基本不等式即可求解.

【详解】设等差数列伍“｝的首项为4,公差为d,则

对于A,由数列｛““｝是等差数列及4+々>0,所以可取4=1,«2=0,4=T，所以4+%>。不成立，故

A正确；

对于B,由数列｛4｝是等差数列，所以2a②=q+6<（）,所以生<0恒成立，故B不正确:

对于C,由数列伍/是等差数列，可取4=-3,w=-2,a3=-l,所以4＞用^不成立，故C正

确；

对于D,由数列｛%｝是等差数列，得（七—《）（42-生）=一屋40,无论为为何值，均有（％—4）3—0,）40

所以若q＜0,贝1]（%-4）（弓一四）＞0恒不成立，故D正确.

故选：ACD.

12.（2022•北京・101中学三模）已知等差数歹U｛%｝中心=一1,2%+4=5,则a2022f20=.

【答案】4

【分析】设出公差，利用等差数列通项公式基本量计算得到方程组，求出公差，求出答案.

a,+d=-1

【详解】设公差为小则K「八’,,0，

解得：匕'nJ所以.2022-a2。2。=2"=4

[4=2

故答案为：4

13.（2022•山东青岛•二模）将等差数列中的项排成如下数阵，已知该数阵第〃行共有2"T个数，若q=2,

且该数阵中第5行第6列的数为42,则%=.

02a.i

(1445C16a?

【答案】2n

【分析】利用等比数列前〃项和公式确定42为数列中的第几项，可以求出公差，从而确定等差数列的通项

公式.

【详解】解：设公差为d,

因为该数阵第〃行共有2,T个数，

则前4行共有巴1二2。=15个数，

1-2

所以第5行第6列数为%=42,

则"学导2,

所以a“=2+(〃-l)x2=2〃..

故答案为：2〃.

14.（2022•辽宁•抚顺一中模拟预测）已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若兀=3卬，则％=

$9=-------

【答案】00

【分析】根据等差数列的求和公式，化简可得d=2q,代入％=3a”即可求出4=-4d,根据等差数列的

通项公式和求和公式，即可求出答案.

【详解】等差数列｛4｝中，几=12q+66d=3%=3q+30d,

所以12q+66d=3q+30d,

即q=-4d,

所以%=4+4d=0,S9=9a5=0

故答案为：①o；②o.

15.（2022•江苏•南京市天印高级中学模拟预测）2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国

人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为24个节气，如图所

示，相邻两个节气的日暑长变化量相同，冬至日暑长最长，夏至日劈长最短，周而复始.己知冬至日辱长为

13.5尺，芒种日唇长为2.5尺，则一年中夏至到立冬的日导长的和为尺

畀长逐渐变小

目长逐渐变大

【答案】60

【分析】因为相邻两个节气的日辱长变化量相同，所以每个节气的日唇长构成等差数列，所以夏至到立冬

的日愚长的和可以用等差数列求和公式得到.

【详解】因为相邻两个节气的日唇长变化量相同，所以每个节气的日辱长构成等差数列，

设冬至日愚长13.5尺为4,则芒种日号长2.5尺为出，所以d=4F?=-l，

所以夏至日号长为1.5尺，

记夏至日署长1.5尺为白，小暑为打，大暑为4............立冬为狐

则a+a++Z>I（）=10-1.5+。（，二01=60.

故答案为：60.

16.（2022•重庆八中模拟预测）在等差数列｛4｝中，4+4+2%。=8,则数列｛4｝的前13项和为.

【答案】26

【分析】由等差数列的通项公式得4+64=2,再代入求和公式&3=13（4+6d）可求得答案.

【详解】解:设等差数列｛叫的公差为d,因为4+%+2阳=8,

」.（q+d）+（4+5d）+2（4+9d）=8,

q+6d=2,

则S|3=]3q+13X（；3二1）d=13（4+6d）=26,

故答案为：26.

17.（2022•广东•模拟预测）已知｛《,｝和也｝均为等差数列，若巧=4=6,%+么=9,则为+仄的值是

【答案】6

【分析】利用等差数列的性质计算即可得解.

【详解】解：因为｛4,,｝和也｝均为等差数列，

所以q+%=24也+4=2々，

所以4+/+b2+4=2（%+么），

即《+&+12=2x9,

所以为+4=6.

故答案为：6.

18.（2022•江苏泰州•模拟预测）己知等差数列｛%｝的前〃项和是旧,儿>0,S19<0,则数列｛|/|｝中值

最小的项为第一项.

【答案】10

【分析】根据题意判断等差数列｛4｝的%>。，«10<0,由此可判断数列｛|4|｝的项的增减

情况，进而确定答案.

【详解】由题意得：几=也竽@=19%,<0,

Sl8=9（a10+ez9）>0,：.%>0,a9>-ain>0,

故等差数列｛%｝为递减数列，即公差为负数，

因此｛1qI）的前9项依次递减，从第10项开始依次递增，

由于闷>%|，，｛1。“1｝最小的项是第1。项，

故答案为：10

19.（2022•湖北•大冶市第一中学模拟预测）己知数列｛%｝的前八项和为S,,a,=-11,«,=-9,且

S,,M+S,I=2S,,+25W2）.

⑴求数列｛q｝的通项公式；

（2）已知b„=----,求数列也｝的前〃项和T”.

anan+\

【解】(1)由题意得：

由题意知⑸+-6-5-)=2,则—2(“22)

又％-％=2,所以｛可｝是公差为2的等差数列，贝iJq=q+(，Ll)d=2〃-13；

(2)由题知bn=(2〃_13)(2〃-11)=5(2〃-13-2〃-1J

n

一⑵-22〃

20.(2022•山东•济南市历城第二中学模拟预测)在“①“44。=44,4+%=15；②S‘=5%,

4=3；③25“=”5+3)”三个条件中任选一个，补充到下面的横线上，并解答.

已知等差数列｛叫的前八项和为5“，且.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)若a=」一，求也｝的前〃项和为求证：T.＜：.

anan+\2

【解】(1)若选择①，因为44。=44,%+%=15,a)+al0=a4+ag,

解得出=4,a,0=11,

设公差为d，则有的=4+24=4,《0=4+94=11,

解得q=2,d=l,

所以勺=〃+1.

若选择②，设公差为d,$=7%=5a6，

即7（4+3d）=5（4+5d）,

结合4=4+4=3,解得q=2,d=l,

所以%="+1.

若选择③，当〃=1时，q=S|=2；

n(n+3)(〃-1)(〃+2)

当〃22时,a“=S“-S“_\=n+\,

22

当〃=1时亦满足上式,

所以%=〃+1.

(2)证明：由(1)得4=--------=7—7^—T-=———)

anan+](〃+1)(〃+2)〃+1,14-2

所以(=-1---1-1---1-------1---F4------1--------------1----=-1-----------1-----,

“2334〃+1〃+22〃+2

因为*（〃eN*）,所以;-为

所以

【素养提升】

I.（2022•浙江省江山中学模拟预测）已知sinx,siny,sinz依次组成严格递增的等差数列，则下列结论《肯考

的是（）

A.tanx,tany,tanz依次可组成等差数列B.cosx,cosy,cosz依次可组成等差数列

C.cosx,cosz,cosy依次可组成等差数列D.cosz,cosx,cosy依次可组成等差数列

【答案】B

TTTT

【分析】取X=-g,y=0,z=m，即可判断A；利用反证法，假设cosx,cosy,cosz依次可组成等差数列，

66

则有2cosy=cosx+cosz,2siny=sinx+sinz,两式相加，整理即可判断B；取

sinx=-2&,si”=0,sinz=?&,从而可判断CD.

33

【详解】解：对于A,当工=一丁TT,），=0"=丁TT时，

66

此时sinx=-l,siny=O,sinz=l依次组成严格递增的等差数列，

则tanx=-3,tany=0,tanz=3依次组成等差数列,故A正确；

对于B,假设cosx,cosy,cosz依次可组成等差数列，

则有2cosy=cosx+cosz,

又因2siny=sinx+sinz,

两式平方相力口得4=2+2(8Sxcosz+sinxsinz),

则cos(x-z)=l,

故x-z=2k兀,所以x=2Z乃+z,k£Z,

所以sinx=sin(2公r+z)=sinz,与题意矛盾，

所以cosxcosxcosz依次不可能组成等差数列，故B错误；

对于C,当sinx=—2&,siny=0,sinz=?立时,

33

若cosx=一±cosz=Lcosy=l,贝伊或其以^乞工成丁为等差数列，故c正确；

33

对于D,当sinx=—,siny=0,sinz=时,

若cosz=—g,cosx=；,cos)，=l,则cosz,cosx,cosy为等差数列，故D正确.

故选：B.

2.(2022•辽宁•渤海大学附属高级中学模拟预测)己知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且满足

2sin(%+2)-3%-5=0,2sin(^018+2)-3^018-7=0,则下列结论正确的是()

A.S2022=2022,且>出。%B.,^2022=—2022,且为<“2(“8

C.$2022=—4044,且“5>“2018D.52022=4044,且“5<“20IB

【答案】C

【分析】根据题意构造函数/(x)=2sinx-3x,确定函数的奇偶性及单调性，进而根据

fM+2),/(a20l8+2)的关系即可确定答案.

【详解】设函数/(x)=2sinx-3x,则/(x)为奇函数，且尸(x)=2cosx-3<0,所以/⑶在R上递减，由已

知可得2sin(%+2)-3(%+2)=-l,Zsin^^+2)-3(a2Olg+2)=1,有/(为+2)=-1,/(/谊+2)=1,所

以/(。5+2)</(。2018+2),且./(%+2)=—/(。2018+2),所以“5+2>%018+2n“5>。2018，且

2022(fl2022)

%+2=-(%38+2),所以见+/。18=-4，^022=y=l0lK«5+a20l8)=-4044.

故选：C.

3.(多选)(2022•江苏•南京市江宁高级中学模拟预测)己知两个等差数列｛4｝和也,｝,其公差分别为4和

‘2,其前〃项和分别为S”和7”，则下列说法正确的是()

A.若｛向｝为等差数列，贝IJ4=2《B.若｛，+7;,｝为等差数列，贝U4+4=0

C.若｛%"｝为等差数列，则4=W=0D.若b“eN”,则｛%｝也为等差数列，且公差为4a

【答案】ABD

【分析】对于A,利用2疯=£+何化简可得答案；

对于B,利用2&2+()=E+彳+$3+4化简可得答案；

对于C,利用2a2瓦=+%&化简可得答案；

对于D,根据。%一%,=44可得答案.

【详解】对于A,因为｛底｝为等差数列，所以2病=£+底，

即入/q+%=如+[%+%+/，所以R24+4=如+,3q+34,

化简得(4-24『=0,所以4=2%,故A正确；

对于B,因为⑸+<｝为等差数列，所以2(S2+5)=E+7；+S3+7；,

所以2(2q+4+2Z?|+%)=4+4+3〃[+34+3b、+3d、,

所以4+4=。，故B正确；

对于C,因为｛“也｝为等差数列，所以2a2打=。占+44，

所以2(q+4)(4+&)=3+(4+2d1)(々+24),

化简得44=0,所以4=0或4=0,故c不正确：

对于D,因为=6+("-1)4,且b,WN*,所以%,=。|+("-1)4=q+[4+(〃-1)4-1]4，

所以%=0+(a-1)4-1)44，

所以%“—%=4+(々一1)4+"44—4-(4―1)4一(〃一1)44=44，

所以｛%｝也为等差数列，且公差为44,故D正确.

故选：ABD

4.(多选)(2022•福建南平•三模)如图，在平面直角坐标系中的一系列格点4(4乃)，其中

，=1,2,3,・、”,一-且知外€2.记4=%+%，如4(1,0)记为q=1,4。,一1)记为出=°，A(0,T)记为

%=-『••，以此类推；设数列｛%｝的前〃项和为S”.则（)

也0?…4…-热

…二42

-小---4-4•-3---■

3"("+1)

A.a2n22=42B.$2022=—87C.%,=2〃

【答案】ABD

【分析】由图观察可知第〃圈的8”个点对应的这8〃项的和为0,则邑r+4“=°，同时第〃圈的最后一个点对

应坐标为（〃,〃）,设出022在第％圈,则k圈共有4%（%+1）个数，可判断前22圈共有2024个数,%侬所在点

的坐标为（22,22）,向前推导，则可判断A,B选项；当〃=2时，/所在点的坐标为（一2，-2）,即可判断

C选项；借助54/用=0与图可知5435“=%+5.-54“.4“='“3，―++，1、即凡项之和，对应点

的坐标为（〃+L〃）,即可求解判断D选项.

【详解】由题，第一圈从点0,0）到点。,1）共8个点，由对称性可知$8=4+%++6=0;第二圈从点

（2,1）到点（2,2）共16个点，由对称性可知%-既="9+4。++%=0,即邑4=。，以此类推，可得第〃

圈的8〃个点对应的这8〃项的和为0,即$8,（^=S4“x“=°,

2

设。2。22在第k圈，则8+16++弘=（8+鲁”=4电+1）,由此可知前22圈共有2024个数，故邑。24=。，

则$022=§2024-（%）24+。2023），“2024所在点的坐标为（22,22）,则%）24=22+22=44，。2023所在点的坐标为

（21,22）,则%>23=21+22=43,%侬所在点的坐标为（20,22）,则外值=20+22=42,故A正确；

52022=^2024一（%）24+4023）=。一（*+43）=-87,故B正确；

4所在点的坐标为（U），则4=1+1=2,”所在点的坐标为（一2，-2）,则%=-2-2=-4,故C错误；

S4“2+5“=S4『+5“-Sg「a.",+q』++”』,，对应点的坐标为(〃+1，〃)，(”+1,〃一1),…，

(n+1,1),所以=(〃+1+〃)+(胃+1+〃一1)++(〃+1+1)=(2〃+1)+2〃++(九+2)

(2n+\+n+2)n3n(n+l]山〜丁小

----------!-=—^——故D正确.

2------2

故选：ABD

5.(2022•湖北•荆门中学一模)在数列｛4｝中，4=1,。向+(-1)"&=〃，"wN*,则％=

｛4｝的前2022项和为.

【答案】31023133

【分析】求出数列前若干项，根据其特性，分别求和后再可解即可.

【详解】由〃”+]+(-1)"勺=〃，得4用=〃一(一1)〃%，又6=1，

所以%=1—(―1)4=2,%=2—(―1)~电二°，。4=3—(―1)3%=3,%=4-(一1)4〃4=1，

a6=5-(-1),心=6,

6?

cij=6—(―l)6r6=0,%=7—(—I)，%=7,%=8—(―I)'%=],a10=9—(-1)6^=10,

1(，

%、=10—(—1)alQ=0,k=]]-(-1)"%=H»

，B

%3=12-(-1)~«12=1,a]4=13-(-1)a｝3=14,…；

因为2022=505x4+2,

所以，明显可见，规律如下：

%,%，%，小，，%,成各项为1的常数数列，其和为1x506=506,

a2,4Z6,«10,6Z14,,%022,成首项为2,公差为4的等差数列，其和为

506x2+^^x4=5062x2=512072,

2

”成各项为0的成常数数列，其和为0x505=0,

505x504

，%侬，成首项为3,公差为4的等差数列，其和为505x3+*2*4=510555,

故与<>22=506+512072+0+510555=1023133.

故答案为:①3；②1023133.

6.（2022•湖南•长郡中学模拟预测）已知数列｛%｝的前〃项和5,,=〃2+。"（°为常数），则%磔-出⑼=

；设函数g(x)=8x+sin(乃x)-cos(;rx)且g(q)+g(4)++g(a9)=18,则氏=.

【答案】2；!

4

【分析】根据数列前〃项和与第〃项的关系、等差数列的定义、等差数列的性质，结合辅助角公式、构造

函数法，利用导数的性质进行求解即可.

22

【详解】当"22,〃eN*时，a„=Sn-S„_l=M+aH-(n-l)-a(n-l)=2n+a-l,

当〃=1时，显然成立，

因为当〃之2,”eN-时，an-an_t=2,

数列｛〃“｝为等差数列，且公差"=2,所以生022-4⑼=2.

又因为g(x)=8x+sin7tx-cosTLX=8x+x/2sin兀(x-；)=8(x-；)+四sinit(x-；)+2.

令hQ)=8t+&sinnt,因为fi(-t)=-8f+41sin(-Kf)=—(8?+&sinnt)=-h(t),

所以/?⑺为奇函数，

因为〃'(f)=8+夜兀cosTtf>0,所以〃⑺在R上单调递增.

由题意得[g(4)—2]+[g(%)-2]++[g(%)—2]=0,

因为数列｛q｝是公差不为0的等差数列，其中＜%,

则q

"'4>-

因为(4

，所以

h+/?

假设［q1，同理可得1

4444

1111

综上，4=0=>4+%=

4

故答案为：2；1

第36讲等比数列及其前n项和

学校:姓名:班级：考号：

【基础巩固】

1.（2022•山东•济南市历城第二中学模拟预测）在等比数列｛%｝中，已知4=2,4-〃3+%=26,则％=

（）

A.20B.12C.8D,4

「、1111

2.（2022•山东•模拟预测）已知等比数列｛4｝满足：a2+a4+a6+a^=20,a2-a^=2f则一+—+—+—

〃2“4”6”8

的值为（）

A.20B.10C.5