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文档简介
2023年新高考一轮复习讲义第35讲等差数列及其前n项和
学校:姓名:班级:考号:
【基础巩固】
1.(2022•浙江•杭师大附中模拟预测)等差数列{/}的前〃项和为S,,,%=7,a,T=29,S,,=198,则”=
()
A.10B.11C.12D.13
2.(2022•湖北武汉•模拟预测)设公差不为零的等差数列{4}的前〃项和为S“,。4=2%,则^
()
75
A.-B.-1C.1D.一
44
3.(2022•福建•莆田华侨中学模拟预测)2022年4月26日下午,神州十三号载人飞船返回舱在京完成开
舱.据科学计算,运载“神十三”的"长征二号”F遥十三运载火箭,在点火第一秒钟通过的路程为2千米,
以后每秒钟通过的路程都增加2千米,在达到离地面380千米的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程需
要的时间大约是()
A.10秒B.13秒C.15秒D.19秒
4.(2022•福建省德化第一中学模拟预测)设等差数列的前〃项和为S,,,若$7=28,则/+%+%的值
为()
A.8B.10C.12D.14
5.(2022•海南海口•二模)设公差不为0的等差数列{为}的前〃项和为S“,已知S9=3(《+G+4“),贝U
加=()
A.9B.8C.7D.6
6.(2022•全国•高考真题)图1是中国古代建筑中的举架结构,是桁,相邻桁的水平距离
称为步,垂直距离称为举,图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中。A,CG,8%的是举,
OD、,DC,,Cq,AA,是相等的步,相邻桁的举步之比分别为*=05*=K,瞿=网,普=%.己知
UL/[£/C|Co,D/y
占,&2,收成公差为0.1的等差数列,且直线04的斜率为0.725,则6=()
A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9
7.(2022•重庆•二模)等差数列{%}的公差为2,前几项和为S“,若%=5,则鼠的最大值为()
A.3B.6C.9D.12
8.(2022•重庆八中模拟预测)已知等差数列{〃〃}与等差数列{"}的前〃项和分别为S〃和T”,且
S„n4
^=—7,那么胃的值为()
T„〃+1瓦
13n14-15r16
A.—B.—C.—D.—
12131415
9.(2022•广东•华南师大附中三模)已知数列{4}满足4+2+(-1)"q=3,《=1,%=2,数列{q,}的前”
项和为S“,则53。=()
A.351B.353C.531D.533
10.(多选)(2022•河北沧州•二模)已知数列{可}满足4=l,q,+2=(-1严(4-〃)+〃,记和,}的前〃项和为
%则()
4
A.360=1。。B.«5()-«46=
C.=600D.$49=601
11.(多选)(2022•湖北•华中师大一附中模拟预测)记数列{4}是等差数列,下列结论中不恒成立的是
()
A.若。1+。2>°,贝1」。2+。3>。
B.若4+。3<。,则。2<0
C.若6</,贝!J。2>
D.若%<0,则(/一4)(出一々3)>。
12.(2022•北京・101中学三模)已知等差数歹lj{%}中。2=7,2%+4=5,则生叱一生3二.
13.(2022•山东青岛•二模)将等差数列中的项排成如下数阵,已知该数阵第〃行共有2〃T个数,若4=2,
且该数阵中第5行第6列的数为42,则4=.
ai
。2C13
C14。5。6。7
14.(2022•辽宁•抚顺一中模拟预测)已知等差数列{4}的前〃项和为S“,若兀=3知,则%=,
§9=--------------
15.(2022•江苏•南京市天印高级中学模拟预测)2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时,它将中国
人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为24个节气,如图所
示,相邻两个节气的日辱长变化量相同,冬至日号长最长,夏至日号长最短,周而复始.已知冬至日号长为
13.5尺,芒种日唇长为2.5尺,则一年中夏至到立冬的日辱长的和为尺
畀长逐渐变小
目长逐渐变大
16.(2022•重庆八中模拟预测)在等差数列{4}中,%+%+2%)=8,则数列{%}的前13项和为.
17.(2022•广东•模拟预测)已知{%}和也}均为等差数列,若%=仇=6吗+4=9,则%+4的值是
18.(2022•江苏泰州•模拟预测)已知等差数列{%}的前"项和是5,,,儿>。,519<0,则数列{|%|}中值
最小的项为第一项.
19.(2022•湖北•大冶市第一中学模拟预测)已知数列{%}的前”项和为S”,«,=-U,4=-9,且
S,用+S,i=2S“+2(〃N2).
(1)求数列{为}的通项公式;
(2)已知b“=」一,求数列出}的前”项和7”.
anan+\
20.(2022•山东•济南市历城第二中学模拟预测)在“①->4,4%)=44,%+%=15;②—=5%,
%=3;③25“=〃(〃+3)”三个条件中任选一个,补充到下面的横线上,并解答.
己知等差数列{%}的前n项和为S,,且__________.
(1)求{q}的通项公式;
,1,、1
(2)若包=----,求也}的前〃项和为】,求证:Tn<-.
anan+\2
【素养提升】
1.(2022•浙江省江山中学模拟预测)已知sinx,siny,sinz依次组成严格递增的等差数列,则下列结论簿送
的是()
A.tanx,tany,tanz依次可组成等差数列B.cosx,cosy,cosz依次可组成等差数列
C.cosx,cosz,cosy依次可组成等差数列D.cosz,cosx,cosy依次可组成等差数列
2.(2022•辽宁•渤海大学附属高级中学模拟预测)已知等差数列的前w项和为S“,且满足
2sin(%+2)-3%-5=0,2sin+2)--7=0,则下列结论正确的是()
A.52022=2022,且“5>“2018B.52(122=-2022,且“5<”2018
=
C.^2022-4044,且为>“2018D.$2022=4044,且“5<“2018
3.(多选)(2022•江苏•南京市江宁高级中学模拟预测)已知两个等差数列{%}和但,},其公差分别为4和
4,其前〃项和分别为S“和T”,则下列说法正确的是()
A.若{疯}为等差数列,贝3=2“B.若母+1}为等差数列,则4+4=。
C.若{《也,}为等差数列,则4=%=°D.若b“wN*,则{4}也为等差数列,且公差为44
4.(多选)(2022•福建南平•三模)如图,在平面直角坐标系中的一系列格点AG/,),其中
i=l,2,3,……且x;,y”Z.记a”=x“+y”,如A(1,0)记为q=1,4(1,一1)记为々=0,A(0,T)记为
4=7,…,以此类推;设数列{4}的前八项和为S”.则()
5.(2022•湖北•荆门市中学一模)在数列{%}中,4=1,1+(-1)%,,=",〃eN*,贝
{4}的前2022项和为
6.(2022•湖南•长郡中学模拟预测)己知数列{为}的前〃项和$,,=/(a为常数),则%必-。谢=
;设函数g(x)=8x+sin(万x)-cos(万x)且g(aj+g(%)++g(%)=18,则%=.
第35讲等差数列及其前n项和
学校:姓名:班级:考号:
【基础巩固】
1.(2022•浙江•杭师大附中模拟预测)等差数列{/}的前〃项和为S,,,%=7,a,T=29,S,,=198,则”=
()
A.10B.11C.12D.13
【答案】B
【分析】根据等差数列的通项的性质和前"项和公式求解.
【详解】因为5“=〃(4+"")="(%+。一),
22
又“5=7,4,7=29,5“=198,
所以18〃=198,
所以〃=11,
故选:B.
2.(2022•湖北武汉•模拟预测)设公差不为零的等差数列{《,}的前〃项和为5“,%=2%,则3=
()
75
A.-B.-1C.1D.-
44
【答案】C
【分析】利用等差中项2%=%+〃6,2%=%+%及等差数列前〃项和的性质即可求解.
【详解】解:在等差数列{4}中,2%=4+。6,%=24,故〃6=。,
又2%=%+。,故的=-%,
则与=54+%+4+a7=54,故时"=1.
故选:C.
3.(2022•福建•莆田华侨中学模拟预测)2022年4月26日下午,神州十三号载人飞船返回舱在京完成开
舱.据科学计算,运载“神十三'’的“长征二号”产遥十三运载火箭,在点火第一秒钟通过的路程为2千米,
以后每秒钟通过的路程都增加2千米,在达到离地面380千米的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程需
要的时间大约是()
A.10秒B.13秒C.15秒D.19秒
【答案】D
【分析】根据题意和等差数列的定义可知每秒钟通过的路程构成数列{%},结合等差数列的前〃项求和公
式计算即可.
【详解】设每秒钟通过的路程构成数列{《,},
则{〃“}是首项为2,公差为2的等差数列,
由求和公式有2〃+“(〃-1)=〃2+〃=380,
解得〃=19.
故选:D.
4.(2022•福建省德化第一中学模拟预测)设等差数列{七}的前”项和为S,,,若邑=28,则4+%+%的值
为()
A.8B.10C.12D.14
【答案】C
【分析】根据等差数列的求和公式,求得%=4,结合等差数列的性质,化简得到4+%+%=3%,即可
求解.
【详解】因为邑=28,由等差数列的性质和求和公式得邑=现詈=7%=28,即/=4,
贝lj4++%=3al+9d=3(q+3d)=3%=12.
故选:C.
5.(2022•海南海口•二模)设公差不为0的等差数列{4,,}的前〃项和为S,,,已知品=3(%+6+金),贝I」
()
A.9B.8C.7D.6
【答案】C
【分析】根据等差数列的前〃项和的性质及等差数列通项公式化简可得.
【详解】因为59=33+%+%),又$9=9%,
所以9%=3(4+%+q“),
所以4+%+4”=3%,即4+4=2%,
设等差数列{%}的公差为d,
则4+2d+q+(/«-l)rf=2(q+4d),
所以(m+l)d=8d,又dwO,
所以1+m=8,
所以团=7.
故选:C.
6.(2022•全国•高考真题)图1是中国古代建筑中的举架结构,是桁,相邻桁的水平距离
称为步,垂直距离称为举,图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中。。(。「8用,44,是举,
ODVDCVCBVBA,是相等的步,相邻桁的举步之比分别为景=0.5,—^=配崇=&黄=%.己知
CzzJ|£/C|C£J|£)/11
K,网,&成公差为0」的等差数列,且直线04的斜率为0.725,则勺=()
华
y
A
cZ小\
1/a一
0D\X
图1图2
A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9
【答案】D
【分析】设OR=r)G=。g=3=1,则可得关于右的方程,求出其解后可得正确的选项.
【详解】设ODT=DCI=CB、=BA=1,则CC\=k、,BB}=k2,AA)=k3,
DD.+CC、+BB、+AA八
依题意,有k「02=p「0.l=k2,且OR+£+C"=。侬,
0.5+3右一0.3…u山nn
所以-----r----=0.725,故心=0.9,
故选:D
7.(2022•重庆•二模)等差数列{4}的公差为2,前〃项和为5“,若4=5,则鼠的最大值为()
A.3B.6C.9D.12
【答案】C
【分析】先利用等差数列的通项公式得到首项,再利用等差数列的前"项和公式和一元二次函数求其最值.
【详解】设等差数列{%}的首项为卬,
因为a,n=5,且4=2,
所以4+2(机-1)=5,
解得4=7-2m,
m(a+a)_z??(12-2m)
贝US.尸}m
22
=-(W-3)2+9<9,
即,w=3时S,“取最大值为9.
故选:C.
8.(2022•重庆八中模拟预测)已知等差数列{q}与等差数列加,)的前〃项和分别为S.和且
2=那么F的值为(
)
T1t〃+1'
1314r16
A.—B.—D.—
121315
【答案】C
【分析】设等差数列{%}、{2}的公差分别为4、人,由题意利用等差数列的性质求出它们的首项、公差之
间的关系,可得结论.
【详解】设等差数列{4},{0}的公差分别为4和4.
SnnS,a.11
片瓦r•.7二r5和《=卧
S,2〃i+42.
:〒=而1方=4,即6=3&-24①
1)"lU-yJ
S33a,4-3d,3,……
,〒不拓="即々=44-34②
由①②解得4=4,&=4♦
1」一
..=4+74211J5
b-j瓦+6d24+6414
故选:C
9.(2022•广东•华南师大附中三模)已知数列{%}满足4-2+(T)"%=3,4=1,%=2,数列{%}的前"
项和为5“,则$3。=()
A.351B.353C.531D.533
【答案】B
【分析】根据题意讨论〃的奇偶,当“为奇数时,可得”,+2-。“=3,按等差数列理解处理,当〃为偶数
时,可得4+2+%=3,按并项求和理解出来,则次按奇偶分组求和分别理解处理.
【详解】依题意,«„+2+(-1)"«„=3,
显然,当〃为奇数时有勺+2-%=3,
即有4-4=3,%一4=3,....=3,
令d=*,故%-包=3,
所以数列{〃}是首项为1,公差为3的等差数列,
故包=3«-2;
当”为偶数时有4+2+4=3,
口[]。4+。2=3,a6+=3,a2n+2+a2n=3,
于是,S30=(4+Cly++。29)+(W+“4++^30)
=(4+勿++生)+[/+,4+。6)++(。28+4。)]
=■15+^4x315+2+7x3=330+23=353,
2
故选:B.
10.(多选)(2022,河北沧州•二模)已知数列{%}满足4=1"岫2=(-1)向(%-九)+明记{4}的前〃项和为
S“,则()
A.«48+«50=100B.%)-«46=4
C.S48=600D.5,9=601
【答案】BCD
【分析】由条件可得当“为奇数时,。“+2=q=4=1;当〃为偶数时,%+。什2=2〃,然后可逐一判断.
【详解】因为4=1,%+2=(-1严(4—〃)+〃,
所以当”为奇数时,a”+2=%=%=1;当”为偶数时,%+*=2".
所以a4s+%>=96,选项A错误;又因为=92,所以%>-%6=4,选项B正确;
548=4+/+/++&7+[(”2+44)+(4+g)++(々46+包8)]
=24x14-2x(2+6++46)=24+2x^——会——=600
故C正确
549=S4g+“49=600+1=601,选项D正确.
故选:BCD
11.(多选)(2022•湖北•华中师大一附中模拟预测)记数列伍“}是等差数列,下列结论中不恒成立的是
()
A.若”|+%>0,则4+“3>0
B.若4+4<0,则出<0
C.若4<%,则>小6。3
D.若4<0,则(%—4)(生一6)>0
【答案】ACD
【分析】根据等差数列通项公式及等差中项,结合基本不等式即可求解.
【详解】设等差数列伍“}的首项为4,公差为d,则
对于A,由数列{““}是等差数列及4+々>0,所以可取4=1,«2=0,4=T,所以4+%>。不成立,故
A正确;
对于B,由数列{4}是等差数列,所以2a②=q+6<(),所以生<0恒成立,故B不正确:
对于C,由数列伍/是等差数列,可取4=-3,w=-2,a3=-l,所以4>用^不成立,故C正
确;
对于D,由数列{%}是等差数列,得(七—《)(42-生)=一屋40,无论为为何值,均有(%—4)3—0,)40
所以若q<0,贝1](%-4)(弓一四)>0恒不成立,故D正确.
故选:ACD.
12.(2022•北京・101中学三模)已知等差数歹U{%}中心=一1,2%+4=5,则a2022f20=.
【答案】4
【分析】设出公差,利用等差数列通项公式基本量计算得到方程组,求出公差,求出答案.
a,+d=-1
【详解】设公差为小则K「八’,,0,
解得:匕'nJ所以.2022-a2。2。=2"=4
[4=2
故答案为:4
13.(2022•山东青岛•二模)将等差数列中的项排成如下数阵,已知该数阵第〃行共有2"T个数,若q=2,
且该数阵中第5行第6列的数为42,则%=.
02a.i
(1445C16a?
【答案】2n
【分析】利用等比数列前〃项和公式确定42为数列中的第几项,可以求出公差,从而确定等差数列的通项
公式.
【详解】解:设公差为d,
因为该数阵第〃行共有2,T个数,
则前4行共有巴1二2。=15个数,
1-2
所以第5行第6列数为%=42,
则"学导2,
所以a“=2+(〃-l)x2=2〃..
故答案为:2〃.
14.(2022•辽宁•抚顺一中模拟预测)已知等差数列{%}的前〃项和为S“,若兀=3卬,则%=
$9=-------
【答案】00
【分析】根据等差数列的求和公式,化简可得d=2q,代入%=3a”即可求出4=-4d,根据等差数列的
通项公式和求和公式,即可求出答案.
【详解】等差数列{4}中,几=12q+66d=3%=3q+30d,
所以12q+66d=3q+30d,
即q=-4d,
所以%=4+4d=0,S9=9a5=0
故答案为:①o;②o.
15.(2022•江苏•南京市天印高级中学模拟预测)2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时,它将中国
人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为24个节气,如图所
示,相邻两个节气的日暑长变化量相同,冬至日暑长最长,夏至日劈长最短,周而复始.己知冬至日辱长为
13.5尺,芒种日唇长为2.5尺,则一年中夏至到立冬的日导长的和为尺
畀长逐渐变小
目长逐渐变大
【答案】60
【分析】因为相邻两个节气的日辱长变化量相同,所以每个节气的日唇长构成等差数列,所以夏至到立冬
的日愚长的和可以用等差数列求和公式得到.
【详解】因为相邻两个节气的日唇长变化量相同,所以每个节气的日辱长构成等差数列,
设冬至日愚长13.5尺为4,则芒种日号长2.5尺为出,所以d=4F?=-l,
所以夏至日号长为1.5尺,
记夏至日署长1.5尺为白,小暑为打,大暑为4............立冬为狐
则a+a++Z>I()=10-1.5+。(,二01=60.
故答案为:60.
16.(2022•重庆八中模拟预测)在等差数列{4}中,4+4+2%。=8,则数列{4}的前13项和为.
【答案】26
【分析】由等差数列的通项公式得4+64=2,再代入求和公式&3=13(4+6d)可求得答案.
【详解】解:设等差数列{叫的公差为d,因为4+%+2阳=8,
」.(q+d)+(4+5d)+2(4+9d)=8,
q+6d=2,
则S|3=]3q+13X(;3二1)d=13(4+6d)=26,
故答案为:26.
17.(2022•广东•模拟预测)已知{《,}和也}均为等差数列,若巧=4=6,%+么=9,则为+仄的值是
【答案】6
【分析】利用等差数列的性质计算即可得解.
【详解】解:因为{4,,}和也}均为等差数列,
所以q+%=24也+4=2々,
所以4+/+b2+4=2(%+么),
即《+&+12=2x9,
所以为+4=6.
故答案为:6.
18.(2022•江苏泰州•模拟预测)己知等差数列{%}的前〃项和是旧,儿>0,S19<0,则数列{|/|}中值
最小的项为第一项.
【答案】10
【分析】根据题意判断等差数列{4}的%>。,«10<0,由此可判断数列{|4|}的项的增减
情况,进而确定答案.
【详解】由题意得:几=也竽@=19%,<0,
Sl8=9(a10+ez9)>0,:.%>0,a9>-ain>0,
故等差数列{%}为递减数列,即公差为负数,
因此{1qI)的前9项依次递减,从第10项开始依次递增,
由于闷>%|,,{1。“1}最小的项是第1。项,
故答案为:10
19.(2022•湖北•大冶市第一中学模拟预测)己知数列{%}的前八项和为S,,a,=-11,«,=-9,且
S,,M+S,I=2S,,+25W2).
⑴求数列{q}的通项公式;
(2)已知b„=----,求数列也}的前〃项和T”.
anan+\
【解】(1)由题意得:
由题意知⑸+-6-5-)=2,则—2(“22)
又%-%=2,所以{可}是公差为2的等差数列,贝iJq=q+(,Ll)d=2〃-13;
(2)由题知bn=(2〃_13)(2〃-11)=5(2〃-13-2〃-1J
n
一⑵-22〃
20.(2022•山东•济南市历城第二中学模拟预测)在“①“44。=44,4+%=15;②S‘=5%,
4=3;③25“=”5+3)”三个条件中任选一个,补充到下面的横线上,并解答.
已知等差数列{叫的前八项和为5“,且.
(1)求{4}的通项公式;
(2)若a=」一,求也}的前〃项和为求证:T.<:.
anan+\2
【解】(1)若选择①,因为44。=44,%+%=15,a)+al0=a4+ag,
解得出=4,a,0=11,
设公差为d,则有的=4+24=4,《0=4+94=11,
解得q=2,d=l,
所以勺=〃+1.
若选择②,设公差为d,$=7%=5a6,
即7(4+3d)=5(4+5d),
结合4=4+4=3,解得q=2,d=l,
所以%="+1.
若选择③,当〃=1时,q=S|=2;
n(n+3)(〃-1)(〃+2)
当〃22时,a“=S“-S“_\=n+\,
22
当〃=1时亦满足上式,
所以%=〃+1.
(2)证明:由(1)得4=--------=7—7^—T-=———)
anan+](〃+1)(〃+2)〃+1,14-2
所以(=-1---1-1---1-------1---F4------1--------------1----=-1-----------1-----,
“2334〃+1〃+22〃+2
因为*(〃eN*),所以;-为
所以
【素养提升】
I.(2022•浙江省江山中学模拟预测)已知sinx,siny,sinz依次组成严格递增的等差数列,则下列结论《肯考
的是()
A.tanx,tany,tanz依次可组成等差数列B.cosx,cosy,cosz依次可组成等差数列
C.cosx,cosz,cosy依次可组成等差数列D.cosz,cosx,cosy依次可组成等差数列
【答案】B
TTTT
【分析】取X=-g,y=0,z=m,即可判断A;利用反证法,假设cosx,cosy,cosz依次可组成等差数列,
66
则有2cosy=cosx+cosz,2siny=sinx+sinz,两式相加,整理即可判断B;取
sinx=-2&,si”=0,sinz=?&,从而可判断CD.
33
【详解】解:对于A,当工=一丁TT,),=0"=丁TT时,
66
此时sinx=-l,siny=O,sinz=l依次组成严格递增的等差数列,
则tanx=-3,tany=0,tanz=3依次组成等差数列,故A正确;
对于B,假设cosx,cosy,cosz依次可组成等差数列,
则有2cosy=cosx+cosz,
又因2siny=sinx+sinz,
两式平方相力口得4=2+2(8Sxcosz+sinxsinz),
则cos(x-z)=l,
故x-z=2k兀,所以x=2Z乃+z,k£Z,
所以sinx=sin(2公r+z)=sinz,与题意矛盾,
所以cosxcosxcosz依次不可能组成等差数列,故B错误;
对于C,当sinx=—2&,siny=0,sinz=?立时,
33
若cosx=一±cosz=Lcosy=l,贝伊或其以^乞工成丁为等差数列,故c正确;
33
对于D,当sinx=—,siny=0,sinz=时,
若cosz=—g,cosx=;,cos),=l,则cosz,cosx,cosy为等差数列,故D正确.
故选:B.
2.(2022•辽宁•渤海大学附属高级中学模拟预测)己知等差数列{4}的前〃项和为S“,且满足
2sin(%+2)-3%-5=0,2sin(^018+2)-3^018-7=0,则下列结论正确的是()
A.S2022=2022,且>出。%B.,^2022=—2022,且为<“2(“8
C.$2022=—4044,且“5>“2018D.52022=4044,且“5<“20IB
【答案】C
【分析】根据题意构造函数/(x)=2sinx-3x,确定函数的奇偶性及单调性,进而根据
fM+2),/(a20l8+2)的关系即可确定答案.
【详解】设函数/(x)=2sinx-3x,则/(x)为奇函数,且尸(x)=2cosx-3<0,所以/⑶在R上递减,由已
知可得2sin(%+2)-3(%+2)=-l,Zsin^^+2)-3(a2Olg+2)=1,有/(为+2)=-1,/(/谊+2)=1,所
以/(。5+2)</(。2018+2),且./(%+2)=—/(。2018+2),所以“5+2>%018+2n“5>。2018,且
2022(fl2022)
%+2=-(%38+2),所以见+/。18=-4,^022=y=l0lK«5+a20l8)=-4044.
故选:C.
3.(多选)(2022•江苏•南京市江宁高级中学模拟预测)己知两个等差数列{4}和也,},其公差分别为4和
‘2,其前〃项和分别为S”和7”,则下列说法正确的是()
A.若{向}为等差数列,贝IJ4=2《B.若{,+7;,}为等差数列,贝U4+4=0
C.若{%"}为等差数列,则4=W=0D.若b“eN”,则{%}也为等差数列,且公差为4a
【答案】ABD
【分析】对于A,利用2疯=£+何化简可得答案;
对于B,利用2&2+()=E+彳+$3+4化简可得答案;
对于C,利用2a2瓦=+%&化简可得答案;
对于D,根据。%一%,=44可得答案.
【详解】对于A,因为{底}为等差数列,所以2病=£+底,
即入/q+%=如+[%+%+/,所以R24+4=如+,3q+34,
化简得(4-24『=0,所以4=2%,故A正确;
对于B,因为⑸+<}为等差数列,所以2(S2+5)=E+7;+S3+7;,
所以2(2q+4+2Z?|+%)=4+4+3〃[+34+3b、+3d、,
所以4+4=。,故B正确;
对于C,因为{“也}为等差数列,所以2a2打=。占+44,
所以2(q+4)(4+&)=3+(4+2d1)(々+24),
化简得44=0,所以4=0或4=0,故c不正确:
对于D,因为=6+("-1)4,且b,WN*,所以%,=。|+("-1)4=q+[4+(〃-1)4-1]4,
所以%=0+(a-1)4-1)44,
所以%“—%=4+(々一1)4+"44—4-(4―1)4一(〃一1)44=44,
所以{%}也为等差数列,且公差为44,故D正确.
故选:ABD
4.(多选)(2022•福建南平•三模)如图,在平面直角坐标系中的一系列格点4(4乃),其中
,=1,2,3,・、”,一-且知外€2.记4=%+%,如4(1,0)记为q=1,4。,一1)记为出=°,A(0,T)记为
%=-『••,以此类推;设数列{%}的前〃项和为S”.则()
也0?…4…-热
…二42
-小---4-4•-3---■
3"("+1)
A.a2n22=42B.$2022=—87C.%,=2〃
【答案】ABD
【分析】由图观察可知第〃圈的8”个点对应的这8〃项的和为0,则邑r+4“=°,同时第〃圈的最后一个点对
应坐标为(〃,〃),设出022在第%圈,则k圈共有4%(%+1)个数,可判断前22圈共有2024个数,%侬所在点
的坐标为(22,22),向前推导,则可判断A,B选项;当〃=2时,/所在点的坐标为(一2,-2),即可判断
C选项;借助54/用=0与图可知5435“=%+5.-54“.4“='“3,―++,1、即凡项之和,对应点
的坐标为(〃+L〃),即可求解判断D选项.
【详解】由题,第一圈从点0,0)到点。,1)共8个点,由对称性可知$8=4+%++6=0;第二圈从点
(2,1)到点(2,2)共16个点,由对称性可知%-既="9+4。++%=0,即邑4=。,以此类推,可得第〃
圈的8〃个点对应的这8〃项的和为0,即$8,(^=S4“x“=°,
2
设。2。22在第k圈,则8+16++弘=(8+鲁”=4电+1),由此可知前22圈共有2024个数,故邑。24=。,
则$022=§2024-(%)24+。2023),“2024所在点的坐标为(22,22),则%)24=22+22=44,。2023所在点的坐标为
(21,22),则%>23=21+22=43,%侬所在点的坐标为(20,22),则外值=20+22=42,故A正确;
52022=^2024一(%)24+4023)=。一(*+43)=-87,故B正确;
4所在点的坐标为(U),则4=1+1=2,”所在点的坐标为(一2,-2),则%=-2-2=-4,故C错误;
S4“2+5“=S4『+5“-Sg「a.",+q』++”』,,对应点的坐标为(〃+1,〃),(”+1,〃一1),…,
(n+1,1),所以=(〃+1+〃)+(胃+1+〃一1)++(〃+1+1)=(2〃+1)+2〃++(九+2)
(2n+\+n+2)n3n(n+l]山〜丁小
----------!-=—^——故D正确.
2------2
故选:ABD
5.(2022•湖北•荆门中学一模)在数列{4}中,4=1,。向+(-1)"&=〃,"wN*,则%=
{4}的前2022项和为.
【答案】31023133
【分析】求出数列前若干项,根据其特性,分别求和后再可解即可.
【详解】由〃”+]+(-1)"勺=〃,得4用=〃一(一1)〃%,又6=1,
所以%=1—(―1)4=2,%=2—(―1)~电二°,。4=3—(―1)3%=3,%=4-(一1)4〃4=1,
a6=5-(-1),心=6,
6?
cij=6—(―l)6r6=0,%=7—(—I),%=7,%=8—(―I)'%=],a10=9—(-1)6^=10,
1(,
%、=10—(—1)alQ=0,k=]]-(-1)"%=H»
,B
%3=12-(-1)~«12=1,a]4=13-(-1)a}3=14,…;
因为2022=505x4+2,
所以,明显可见,规律如下:
%,%,%,小,,%,成各项为1的常数数列,其和为1x506=506,
a2,4Z6,«10,6Z14,,%022,成首项为2,公差为4的等差数列,其和为
506x2+^^x4=5062x2=512072,
2
”成各项为0的成常数数列,其和为0x505=0,
505x504
,%侬,成首项为3,公差为4的等差数列,其和为505x3+*2*4=510555,
故与<>22=506+512072+0+510555=1023133.
故答案为:①3;②1023133.
6.(2022•湖南•长郡中学模拟预测)已知数列{%}的前〃项和5,,=〃2+。"(°为常数),则%磔-出⑼=
;设函数g(x)=8x+sin(乃x)-cos(;rx)且g(q)+g(4)++g(a9)=18,则氏=.
【答案】2;!
4
【分析】根据数列前〃项和与第〃项的关系、等差数列的定义、等差数列的性质,结合辅助角公式、构造
函数法,利用导数的性质进行求解即可.
22
【详解】当"22,〃eN*时,a„=Sn-S„_l=M+aH-(n-l)-a(n-l)=2n+a-l,
当〃=1时,显然成立,
因为当〃之2,”eN-时,an-an_t=2,
数列{〃“}为等差数列,且公差"=2,所以生022-4⑼=2.
又因为g(x)=8x+sin7tx-cosTLX=8x+x/2sin兀(x-;)=8(x-;)+四sinit(x-;)+2.
令hQ)=8t+&sinnt,因为fi(-t)=-8f+41sin(-Kf)=—(8?+&sinnt)=-h(t),
所以/?⑺为奇函数,
因为〃'(f)=8+夜兀cosTtf>0,所以〃⑺在R上单调递增.
由题意得[g(4)—2]+[g(%)-2]++[g(%)—2]=0,
因为数列{q}是公差不为0的等差数列,其中<%,
则q
"'4>-
因为(4
,所以
h+/?
假设[q1,同理可得1
4444
1111
综上,4=0=>4+%=
4
故答案为:2;1
第36讲等比数列及其前n项和
学校:姓名:班级:考号:
【基础巩固】
1.(2022•山东•济南市历城第二中学模拟预测)在等比数列{%}中,已知4=2,4-〃3+%=26,则%=
()
A.20B.12C.8D,4
「、1111
2.(2022•山东•模拟预测)已知等比数列{4}满足:a2+a4+a6+a^=20,a2-a^=2f则一+—+—+—
〃2“4”6”8
的值为()
A.20B.10C.5
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