历史相似性及其教学启示

历史相似性与其教学启示历史相似性与其教学启示历史相似性与其教学启示历史相似性与其教学启示历史相似性与其教学启示历史相似性与其教学启示历史相似性与其教1历史相似性与其教学启示历史相似性与其教学启示2历史相似性与其教学启示历史发生原理海克尔（E.Haeckel,1843-1919）生物发生学定律——“个体发育史重蹈种族发展史”在教育中的应用：“个体认知的发生遵循人类认知发展的过程。”就数学教育而言，个体数学理解的发展遵循数学思想的历史发展顺序。历史相似性与其教学启示历史发生原理3历史相似性与其教学启示HerbertSpenser(1894)

对孩子的教育在方式和顺序上都必须符合历史上人类的教育，换言之，个体知识的发生必须遵循人类知识的发生过程。

历史相似性与其教学启示HerbertSpenser(184历史相似性与其教学启示BencharaBranford(1908)

我的目的是展示人类几何知识演进的实际方式与学生最乐意与最有效吸收该经验的方式之间的相似性。需要特别指出的是，我并非在试图证明人类与个体几何知识发展的必然相似性……我所希望做的是要说明，为教育之目的，几何学的最有效的讲授方式乃是遵循科学历史演进的顺序。历史相似性与其教学启示BencharaBranford(5历史相似性与其教学启示F·克萊因（F.Klein,1849-1925）：生物发生学的一项基本定律指出，个体的成长要经历种族成长的所有阶段，顺序相同，只是所经历的时间缩短。……我想教授数学和其他任何事情一样，至少在原则上要遵照这项定律。……科学的教学方法只是诱导去作科学的思考，並不是一开头就教人去碰冷漠的、经过科学洗练的系统。推广这种自然的真正科学的教学的主要障碍是缺乏历史知识。历史相似性与其教学启示F·克萊因（F.Klein,1846历史相似性与其教学启示F·克萊因（F.Klein,1849-1925）历史相似性与其教学启示F·克萊因（F.Klein,1847历史相似性与其教学启示庞加莱（H.Poincaré,1854-1912）：

动物学家坚持认为，在一个短时期內，动物胚胎的发育重蹈所有地地质年代其祖先們的发展历史。人的思维发展似乎也是如此。教育工作者的任務就是让孩子的思维经历其祖先之所经历，迅速通过某些阶段而不跳过任何阶段。鉴于此，科学史应该是我們的指南。历史相似性与其教学启示庞加莱（H.Poincaré,188历史相似性与其教学启示庞加莱（H.Poincaré,1854-1912）历史相似性与其教学启示庞加莱（H.Poincaré,189历史相似性与其教学启示波利亚

只有理解人类如何获得某些事

实或概念的知识，我們才能对

人类的孩子应该如何获得这样

的知识作出更好的判断。G.Pólya（1887-1985）历史相似性与其教学启示波利亚G.Pólya（1887-110历史相似性与其教学启示弗赖登塔尔

年轻的学习者重蹈人类的

学习过程，尽管方式改变

了。H.Freudenthal（1905-1990）历史相似性与其教学启示弗赖登塔尔H.Freudenthal11历史相似性与其教学启示弗赖登塔尔（ICME-4,1980）：数学史乃是一个不断进步的系统化的学习过程。儿童无需重蹈人类的历史，但他们也不可能从前人止步的地方开始。从某种意义上说，儿童应该重蹈历史，尽管不是实际发生的历史，而是倘若我们的祖先已经知道我们今天有幸知道的东西，将会发生的历史。H.Freudenthal(1905-1990)历史相似性与其教学启示弗赖登塔尔（ICME-4,198012历史相似性与其教学启示M·克莱因：

我坚信历史顺序是教学的指

南。我们无需完完全全追随

历史，但如果大数学家在作

出某些创造时遇到困难，我

们的学生也必会遇到。M.Kline(1908-1992)历史相似性与其教学启示M·克莱因：M.Kline(19013历史相似性与其教学启示M·克莱因：

数学家花了几千年时间才理解无理数，而我们竟贸然给中学生讲戴德金分割。数学家花了三百年才理解复数，而我们竟马上就教给学生复数是一个有序实数对。数学家花了约一千年才理解负数，但现在我们却只能说负数是一个有序自然数对。从伽利略到狄利克雷，数学家一直绞尽脑汁历史相似性与其教学启示M·克莱因：14历史相似性与其教学启示

去理解函数的概念，但现在却由定义域、值域和有序对（第一个数相同时第二个数也必须相同）来玩弄把戏。从古代埃与人和巴比伦人开始直到韦达和笛卡儿，没有一个数学家意识到字母可用来代表一类数，但现在却通过简单的集合思想马上产生了集合这个概念。历史相似性与其教学启示去理解函数的概念，但现在却由定义15历史相似性与其教学启示皮亚杰、加西亚

科学在历史跨越过程中所做出的各种进步，不是以随意的形式呈现的，而是按一定顺序排列的。与心理发生一样，是以一系列连续的“阶段”呈现。促成历史时期跨越的转化机制与那些促成心理阶段跨越的转化机制是相似的。历史相似性与其教学启示皮亚杰、加西亚16历史相似性与其教学启示Furinghetti:将数学史用于数学教学的过程历史相似性与其教学启示Furinghetti:将数学史用于17案例1三角形内角和定理案例1三角形内角和定理18案例2相似三角形的应用时间作者或著作工作相似三角形性质前2000年？巴比伦祭司分割直角三角形面积之比等于对于边平方比前6世纪泰勒斯测量金字高度与轮船与海岸距离对应边成比例前6世纪欧帕里诺斯开掘直线穿山隧道对应角相等前2世纪周髀算经测量太阳直径对应边成比例1世纪九章算术远距离测量对应边成比例案例2相似三角形的应用时间作者或著作工作相19案例2相似三角形的应用案例2相似三角形的应用20案例2相似三角形的应用案例2相似三角形的应用21案例2相似三角形的应用案例2相似三角形的应用22案例2相似三角形的应用案例2相似三角形的应用23案例2相似三角形的应用隧道全长1036米，宽1.8米，高1.8米案例2相似三角形的应用隧道全长1036米，24案例2相似三角形的应用萨莫斯岛上的穿山隧道(前530年)案例2相似三角形的应用萨莫斯岛上的穿山隧道(前5325案例2相似三角形的应用泰勒斯是如何测量金字塔高度的？Thales(about624BC-about547BC)案例2相似三角形的应用泰勒斯是如何测量金字塔高度的26案例2相似三角形的应用泰勒斯是如何测量轮船离海岸距离的？案例2相似三角形的应用泰勒斯是如何测量轮船离海岸距27案例3一元二次方程的概念案例3一元二次方程的概念28案例3一元二次方程的概念例1矩形面积为12，宽为长的3/4。问该矩形的长、宽各为多少？（埃与纸草书）例2已知矩形面积为60，长比宽多7。问该矩形的长为多少？列出矩形的长所满足的方程。例3已知矩形面积为60，长比宽多7。长宽之和为17，问该矩形的长为多少？列出矩形的长所满足的方程。（巴比伦泥版）案例3一元二次方程的概念例1矩形面积为12，宽为29案例3一元二次方程的概念例4长为30英尺的梯子竖直靠在墙上，当梯子的顶端沿墙向下滑动6英尺时，底端离墙滑动多远？例5在例3中，如果梯子的顶端沿墙再一次向下滑动6英尺，那么底端将再一次滑动多远？试列出底端再一次滑动的距离所满足的方程。案例3一元二次方程的概念例4长为30英尺的梯子30案例3一元二次方程的概念例6

如图，有一所正方形的学校，南门和北门各开在南、北面围墙的正中间。在北门的正北方20米处有一颗大榕树。一个学生从南门出来，朝正南方走14米，然后转向西走1775米，恰好见到学校北面的大榕树。问这所学校每一面围墙的长度是多少？试列出方程。案例3一元二次方程的概念例6如图，有一所正方形31案例3一元二次方程的概念案例3一元二次方程的概念32案例4解一元二次方程的因式分解法哈里奧特（T.Harriot,1560-1621）：案例4解一元二次方程的因式分解法哈里奧特（T.Har33案例4解一元二次方程的因式分解法笛卡儿（R.Descartes,1596-1690）《几何学》（1637）：

將一元一次方程

x-2=0和

x-3=0相乘，得一元二次方程

，它的两个根为

2和

3。借鉴历史，教師可以先給出下面的例子。例1

解下列方程：（1）(x-4)(x+4)=0；（2）(x-3)(x-4)=0；（3）(2x+3)(x-1)=0。案例4解一元二次方程的因式分解法笛卡儿（R.Desc34案例4解一元二次方程的因式分解法

在得到诸方程的根之后，教师进一步问：上面三个方程是否一元二次方程？让学生將方程左边展开，得到一般形式的一元二次方程之后，让学生思考：对于一般的一元二次方程，我们能否反过来把左边分解成两个一次因式的乘积，从而得出两个根呢？例2

解下列方程：（1）；（2）。案例4解一元二次方程的因式分解法在得到诸方程的根35案例5二元一次方程组的概念例1、列一元一次方程，解下列各文字题：（1）已知长方形的长和宽的1/4倍之和等于7，长、宽之和等于10。求长和宽。（古巴比伦泥版）（2）已知两块地共1亩，第一块地亩产4担粮食，第二块地亩产3担粮食。第一块地的产量比第二块的产量多担。问：两块地的面积各为多少？（古巴比伦泥版）案例5二元一次方程组的概念例1、列一元一次方程，解下列36案例5二元一次方程组的概念（3）已知每立方寸玉重7两；每立方寸石重6两。现有一块边长为3寸的立方石块，其中含有玉，总重11斤。问：这块立方石块所含玉、石的重量各为多少？（中国《九章算术》）（4）已知两数之和为100，差为40，求这两个数。（丢番图《算术》）案例5二元一次方程组的概念（3）已知每立方寸玉重7两；37案例5二元一次方程组的概念（5）某人工作1月（30天），得7比赞（古罗马货币）；怠工一月，付给工头4比赞。月末，他从工头处得到1比赞。问：此人工作几天？怠工几天？（斐波纳契《计算之书》）（6）为了鼓励儿子学好算术，儿子每做对一道题，父亲给他8分钱；做错一道题，罚5分钱。做完26道题后，谁也不用给谁钱。问：儿子做对了几道题？（克拉维斯《代数》）案例5二元一次方程组的概念（5）某人工作1月（30天）38案例5二元一次方程组的概念教师先让学生解上述诸题，然后让学生回答：所选择的未知量是什么？另一个量是什么？如何表示？根据题意得到怎样的一元一次方程？最后，教师作出总结，如下表所示。案例5二元一次方程组的概念教师先让学生解上述诸题，然后39案例5二元一次方程组的概念题次未知量另一个量一元一次方程（1）长方形的长（x）（2）第一块地的面积（x）（3）玉的体积（x）（4）较小的数（x）（5）工作天数（x）（6）做对题数（x）案例5二元一次方程组的概念题次未知量另一个量一元一次方40案例5二元一次方程组的概念接着，教师让学生思考：上面六个问题各涉与两个量，我们在求解的时候，只设其中一个为x，而另一个量则根据题设的其中一个数量关系，用x来表示，最后利用另一个数量关系，得到关于x的一元一次方程。如果我们把另一个量也看作未知量，并设为y，情形又如何呢？在学生讨论之后，让他们回答：两个未知量分别是什么？根据题意可得怎样的等式？有几个等式？案例5二元一次方程组的概念接着，教师让学生思考：上面六41案例5二元一次方程组的概念题次未知量之一未知量之二方程一方程二（1）

长方形长（x）长方形的宽（y）（2）第一块地面积（x）第二块地面积（y）（3）玉的体积（x）石的体积（y）（4）较小的数（x）较大的数（y）（5）工作天数（x）怠工天数（y）（6）做对题数（x）做错题数（y）案例5二元一次方程组的概念题次未知量之一未知量之二方程42案例5二元一次方程组的概念例2、阅读下列问题，设未知数，分别列出一元一次方程和二元一次方程组：（1）有一位行人傍晚经过一个树林，忽听得林间有人在说话，细听方知是一群窃贼在讨论分赃之事。只听得窃贼说：“每人6匹，则多出5匹；每人7匹，则又少了8匹。”问：共有几个窃贼，几匹赃物？（高彦休《唐阙史》）（2）若干人共同出钱购物，若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则又少了4元。问：共有几个人？物价是多少？（《九章算术》）案例5二元一次方程组的概念例2、阅读下列问题，设未知数43案例7

等比数列求和莱因得纸草书（约公元前1650年）案例7等比数列求和莱因得纸草书（约公元前1650年）44案例6

等比数列求和莱因得纸草上的等比数列问题

案例6等比数列求和莱因得纸草上的等比数列问题45案例6

等比数列求和

案例6等比数列求和46案例6

等比数列求和欧几里得《几何原本》（公元前3世纪）第9卷命题35

案例6等比数列求和欧几里得《几何原本》（公元前3世纪）47案例6

等比数列求和

案例6等比数列求和48案例7复数之引入

课本的引入

x2+1=0

（）

(在初中，老师告诉我们，负数沒有平方根；現在，老师又说了，到底怎么回事？难道方程非要有根不可吗？郁闷啊！)案例7复数之引入课本的引入49案例7复数之引入

x3＋px＝q

邦贝利（4，）

、案例7复数之引入x3＋px＝q50案例7复数之引入萊布尼茨：x2+y2=2,xy=2

莱布尼茨惊叹：“在一切分析中，我從來沒有见过比这更奇异、更矛盾的事实了。我觉得自己是第一个不通过开方而將虛数形式的