大学微积分课件第六章

定积分的计算定积分的概念和性质换元积分法分部积分法基本公式微积分定积分的应用求平面图形的面积主要内容求旋转体的体积广义积分无穷区间上的广义积分无界函数的广义积分1整理课件定积分的计算定积分的概念和性质换元积分法定积分的应用求平面图一、定积分概念和性质任取在区间上的定积分,（简称积分）即此时称f(x)在[a,b]上可积.记作2整理课件一、定积分概念和性质任取在区间上的定积分,（简称积分）即此时积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和3整理课件积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和3整理课件说明：1.2.

有界是可积的必要条件,无界函数一定不可积；

3.可积的充分条件：

4整理课件说明：1.2.有界是可积的必要条件,无界函数一定不可积；对定积分的补充规定:说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且如非特殊说明，不考虑积分上下限的大小．定积分的性质：5整理课件对定积分的补充规定:说明在下面的性（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1性质2说明：不论的相对位置如何,上式总成立.（定积分对于积分区间具有可加性）性质36整理课件（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1性质2说明：性质4性质5推论：（1）（2）7整理课件性质4性质5推论：（1）（2）7整理课件性质6（估值定理）性质7（定积分中值定理）8整理课件性质6（估值定理）性质7（定积分中值定理）8整理课件称

为变上限积分

1、变上限积分函数及其导数

二、定积分的计算

函数或积分上限函数变上限积分函数的性质：9整理课件称1、变上限积分函数及其导数二、定积分的计算注1.此定理表明连续函数取变上限定积分再对上限自变量x求导，其结果就等于被积函数在上限自变量x处的函数值。2.3.4.5.10整理课件注1.此定理表明连续函数取变上限定积分再对2.3.4.5.12、定理（微积分基本公式）注意11整理课件2、定理（微积分基本公式）注意11整理课件定理6.5

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，作代换满足下列条件：上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式.(2)当t在α与β之间变化时，单调变化，且则：3、定积分的换元法12整理课件定理6.5设函数f(x)在区间[a,b]上连续，作说明：(1)定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相应的变换，即“换元必换限”.(2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不必再还原为原变量.(3)新变元的积分限可能α>β，也可能α<β，但一定要求满足（4）换元积分法常用来证明定积分的等式13整理课件说明：(1)定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相应的4、定积分的分部积分法已积出的部分要求值14整理课件4、定积分的分部积分法已积出的部分要求值1.求平面图形的面积三.定积分的应用（1）.以x轴为底边的曲边梯形的面积15整理课件1.求平面图形的面积三.定积分的应用（1）.以x轴为底边的曲16整理课件16整理课件若f(x)有正有负,则曲边梯形面积为xyoab17整理课件若f(x)有正有负,则曲边梯形面积为xyoab17整理课件（2）.以y轴为底边的曲边梯形的面积18整理课件（2）.以y轴为底边的曲边梯形的面积18整理课件特别，时,xyoab19整理课件特别，时,xyoab1围成的平面图形的面积，dcxyo20整理课件围成的平面图形的面积，dcxyo20整理课件abox

y旋转体的体积为（1）以x轴为底边的曲边梯形绕x轴旋转2、旋转体的体积21整理课件aboxy旋转体的体积为（1）以x轴为底边的曲边梯形绕x轴（2）以y轴为底边的曲边梯形绕y轴旋转（3）以x轴为底边的曲边梯形绕y轴旋转22整理课件（2）以y轴为底边的曲边梯形绕y轴旋转（3）以x轴为底边的曲1、无穷区间上的广义积分

四、广义积分23整理课件1、无穷区间上的广义积分四、广义积分23整理课件24整理课件24整理课件2、无界函数的广义积分25整理课件2、无界函数的广义积分25整理课件例题例：设f(x)是连续函数，，求f(x).P57.二.5解：两边取定积分得：26整理课件例题例：设f(x)是连续函数，，求f(x).P57.二.5例题例：求P57.二.6解：27整理课件例题例：求P57.二.6解：27整理课件例题例：P56.一.14解：28整理课件例题例：P56.一.14解：28整理课件例题例：P56.一.16解：29整理课件例题例：P56.一.16解：29整理课件例题例：P56.一.17解：30整理课件例题例：P56.一.17解：30整理课件例解例题31整理课件例解例题31整理课件例解例题32