变化率与导数

变化率与导数变化率与导数变化率与导数平均变化率令△x＝x2－x1,△y＝f(x2)－f(x1),则y＝f(x)从x1到x2的平均变化率.我们把式子称为函数通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。变化率与导数变化率与导数变化率与导数平均变化率令△x1平均变化率令△x＝

x2－x1,△y＝

f(x2)－f(x1),则y＝f(x)从x1到x2的平均变化率.我们把式子称为函数＝1212)()(xxxfxf--△y△x平均变化率令△x＝x2－x1,△y＝f21.式子中△x,△y的值可正,可负,

但△x值不能为0,△y

的值可以为0.2.若函数f(x)为常函数时,△y＝0.

3.变式:平均变化率＝1212)()(xxxfxf--△y△xxxfxxfxxxfxf

)()

()()(111212D-D+＝--1.式子中△x,△y的值可正,可负,2.若函数f3思考:观察函数y＝f(x)的图象,平均变化率表示什么?＝△y△xf(x2)－f(x1)x2－x1xyOf(x2)f(x1)x1x2x2－x1f(x2)－f(x1)y＝f(x)表示割线斜率思考:观察函数y＝f(x)的图象,平均变化率表示什么?＝4例1(2)求函数f(x)＝x2

＋1在区间

x=-3附近

的平均变化率.例题分析例1(2)求函数f(x)＝x2＋1在区间5

一般地,函数y＝f(x)在点x＝x0处的瞬时变化率是我们称它为函数y＝

f(x)在点x＝x0处的导数，记为f'(x0)或y'|,即导数的概念x＝x0一般地,函数y＝f(x)在点x＝x0处的6求导数的步骤求导数的步骤7变化率与导数8变化率与导数9例2

将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进冷却和加热.

如果第xh时,原油的温度(单位:oC)

为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8).

计算第2h与低6h时原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。例题分析例2将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各例题分析10解:△y△xf(2＋△x)－f(2)△x＝＝△x－3f'(2)=-3为原油温度在t＝2时的瞬时变化率,它说明了在第2h附近，原油温度达约以3oC/h的速度下降。解:△y△xf(2＋△x)－f(2)△x＝＝△x－3f'(11导数的几何意义导数的几何意义12求导数的步骤求导数的步骤13变化率与导数14xyOPxyOPxyOPxyOPP2P1P3P4y＝f(x)y＝f(x)y＝f(x)y＝f(x)xyOPxyOPxyOPxyOPP2P1P3P4y＝f(x)151.切线的定义：

当点Pn沿着曲线趋近于P点,即△x0时,割线PPn趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.xyOy=f(x)PPn△x△yT1.切线的定义：当点Pn沿着曲线趋近于P点,即△16lABOxy注:曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以有无穷多个.如图:lABOxy注:曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交17

当点Q无限趋近于点P时，割线的斜率无限趋近于切线的斜率.即当Δx→0时,割线PQ的斜率为曲线在点P处的切线的斜率.也就是说函数f(x)在x0处的导数就是切线PT的斜率k.这个概念:

①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

②切线斜率的本质——函数在x＝x0处的导数.PQOxy割线切线T割线的斜率与切线的斜率的关系y=f(x)即:k切线＝f'(x0)＝xyxDD®D0lim＝xxfxxfxD-D+®D)()(lim000当点Q无限趋近于点P时，割线的斜率无限趋近于切线的斜率.即18

函数y＝f(x)

在x＝x0

处的导数就是曲线在点(x0,f(x0))

处的切线的斜率k

，即：曲线在点(x0,f(x0))处的切线的方程为：2.导数的几何意义y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲19例2求曲线y＝f(x)＝x2＋1在点P(1,2)处的切线方程.因此,切线方程为y－2＝2(x－1),即y＝2x.解：yxO△x△yP1例2求曲线y＝f(x)＝x2＋1在点P(1,2)处的因此20【总结提升】求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出切点P的坐标；②求切线的斜率,即函数y＝f(x)在x＝x0处的导数;③利用点斜式求切线方程.【总结提升】211.如图所示,函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8,则f(5)＋f

'(5)＝___.变式训练1.如图所示,函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝224.导函数的定义：

4.导函数的定义：23弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数。（3）函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0时的函数值。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数24变式：已知抛物线y=2x2+1，求：(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为450?(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线

4x-y-2=0?变式：已知抛物线y=2x2+1，求：25D

D26题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析27题型分类·深度剖析D

题型分类·深度剖析D28变化率与导数291.曲线的切线定义:割线的极限位置课堂小结2.函数y＝f(x)

在x＝x0

处的导数就是曲线在点(x0,f(x0))

处的切线的斜率k

，即：1.曲线的切线定义:割线的极限位置课堂小结2.30(3)函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数在x＝x0处的函数值,即f'(x0)|.

这也是求函数在点x0处的导数的方法之一.(2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的,

就是函数f(x)的导函数

f'(x).(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一