人教版九年级数学上册同步练习 第06课 一元二次方程的应用（平均变化率、握手、面积问题）（原卷版+解析）

第06课一元二次方程的应用(平均变化率、握手、面积问题)目标导航目标导航课程标准课标解读1.通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；2.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.通过分析实际问题，建立准确的数学模型，从而解决实际问题。知识精讲知识点01列一元二次方程解应用题的一般步骤知识精讲1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义)答(写出答案，切忌答非所问).要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.知识点02一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.2.常见模型问题常见的类型应用公式进行解答，就会解题就会方便很多，下表就是常见基本公式：(1)增长率问题： a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.“共”或“累计问题” (2)降低率问题： (3)传染问题 (4)握手问题 (5)送礼问题 (6)枝干问题 (1)平均增长率：设原价为a，连续增长两次，价格变为b，每次增长的百分率为x，那么：增长第一次价格为： ；增长第二次在上一次价格的基础上再乘 ，即 最终价格，得出等量关系；(如果增长三次，就将指数2变换为3即可)“累计问题”：设第一个月为a，连续增长两个月，累计总数为b，设平均增长率为x，则：第一个月为a，第二个月为 ，第三个月为 ，所以三个月累计 (2)平均降低率：设原价为a，连续降价两次，价格变为b，每次降价的百分率为x，那么：增长第一次价格为： ；增长第二次在上一次价格的基础上再乘 ，即 最终价格 ，得出等量关系；(3)传染问题：设开始挈带病毒的人数为a，一个病人一轮传染x个病人，两轮传染之后一共有b个人挈带病毒，则：传染轮数挈带病毒人数传染人数第一轮 第二轮 两轮结束后一共挈带病毒数 (4)握手问题：这个问题和求多边形对角线的个数类似，以6个人举例：首先A站起来，和其余5个人一次握手，共握手5次；然后B站起来，和其余5个人一次握手，共握手5次；以此类推，每个人都站起来和其余人握手，一共握手：次，但是握手完成后发现，任意两人之间握手2次，重复了一次，因此需要乘以去重复；也就是一共握手次。由此推广。当人数为x时，一共握手 次；送礼问题，与之有相似的推导过程：因为甲送给乙礼物和乙送给甲礼物，含义不同，故不需要去重复，因此送礼问题的公式为： =总次数；3.形积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.面积类问题内挖类型 外扩类型 开路类型 开门问题 要点诠释：列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题(列方程)，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.能力拓展能力拓展考法01数字问题【典例1】已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．【即学即练1】有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数.考法02平均变化率问题【典例2】随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．【即学即练2】某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同，求平均每次降价率.考法03形积问题【典例3】如图，有长为48米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度25米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD．(1)当AB的长是多少米时，围成长方形花圃ABCD的面积为180?(2)能围成总面积为240的长方形花圃吗?说明理由.【即学即练3】如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？【即学即练4】如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为14米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．(1)设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为米；(2)若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．【即学即练5】改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长()16，宽()9的矩形场地上修建三条同样宽的小路，其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112，则小路的宽应为多少？考法04动点问题【典例4】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以lcm/s的速度移动点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s速度移动，两点同时出发，连接PQ．(1)经过多长时间后，△PBQ的面积等于4cm2？(2)△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由．【即学即练6】如图，在中，，，，现有两点、的分别从点和点B同时出发，沿边，BC向终点C移动．已知点，的速度分别为，，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设，两点移动时间为．问是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．分层提分分层提分题组A基础过关练1．一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大，已知十位上的数字比个位上的数字大．则这个两位数是()A．64 B．75 C．53或75 D．64或752．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为()A．80(1+x)2=100 B．100(1﹣x)2=80 C．80(1+2x)=100 D．80(1+x2)=1003．国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意列方程得()A． B． C． D．4．某校九年级(1)班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任意两名同学都要握手一次．小张同学统计了一下，全班同学共握手了465次．你知道九年级(1)班有多少名同学吗？设九年级(1)班有x名同学，根据题意列出的方程是()A．=465 B．=465 C．x(x﹣1)=465 D．x(x+1)=4655．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程()A．1+x＝225 B．1+x2＝225C．(1+x)2＝225 D．1+(1+x2)＝2256．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是()A． B． C． D．7．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为()A．100×80﹣100x﹣80x=7644B．(100﹣x)(80﹣x)+x2=7644C．(100﹣x)(80﹣x)=7644D．100x+80x=3568．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人形通道，设人行道的宽度为xm，根据题意，下面所列方程正确的是()A． B．C． D．题组B能力提升练1．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程()A． B．C． D．2．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有()A．9人 B．10人 C．11人 D．12人3．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为米．4．如图，某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子．设园子中平行于墙面的篱笆长为ym(其中y≥4)，另两边的篱笆长分别为xm．(1)求y关于x的函数表达式，并求x的取值范围．(2)若仅用现有的11m长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案．5．如图，要建一个面积为150平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇3米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库与墙垂直的一边应长多少米？6．如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB,BC边足够长,点P从点B开始沿BA边向点A以1厘米/秒的速度移动,同时,点Q也从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动,几秒后,△BPQ的面积为36平方厘米?7．“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，(1)问每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？题组C培优拔尖练1．一块长为，宽为的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形(其中三个矩形的一边长均为)区域将铺设塑胶地面作为运动场地．(1)设通道的宽度为，则______________________；(用含的代数式表示)；(2)若塑胶运动场地总的占地面积为，请问通道的宽度为多少？2．(2023内蒙古包头市)一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．3．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发，沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ＝xcm(x≠0)，则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm，(1)当x为何值时，点P，N重合；(2)当x为何值是，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．4．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒(0＜t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.(1)当t为何值时，DF=DA？(2)当t为何值时，△ADE为直角三角形？请说明理由．(3)是否存在某一时刻t，使点F在线段AC的中垂线上，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由.(4)请用含有t式子表示△DEF的面积，并判断是否存在某一时刻t，使△DEF的面积是△ABC面积的，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由.5．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．(1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形APQD为长方形？(2)P、Q两点从出发开始到几秒时？四边形PBCQ的面积为33cm2；(3)P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．第06课一元二次方程的应用(平均变化率、握手、面积问题)目标导航目标导航课程标准课标解读1.通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；2.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.通过分析实际问题，建立准确的数学模型，从而解决实际问题。知识精讲知识点01列一元二次方程解应用题的一般步骤知识精讲1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义)答(写出答案，切忌答非所问).要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.知识点02一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.2.常见模型问题常见的类型应用公式进行解答，就会解题就会方便很多，下表就是常见基本公式：(1)增长率问题：a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.“共”或“累计问题”第一个月：第二个月：第三个月：b为三个量的总数(累计)；(2)降低率问题：a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.(3)传染问题a为传染源的数量，x为一个病人传染x个健康人，b是两轮传染之后一共挈带病毒的人数。第三轮传染人数：指数n就是传染的“轮数”；(4)握手问题x为总人数，b为一共握手的总次数。常见场景为：握手，签合同，打比赛(单循环)；(5)送礼问题x为总人数，b为一共送礼的次数。常见场景：送礼，送贺卡，打比赛(双循环)等；(6)枝干问题x为一个树枝新长出枝干的数量，b为枝干总数；常见场景：长枝干，打电话，转微信等；(1)平均增长率：设原价为a，连续增长两次，价格变为b，每次增长的百分率为x，那么：增长第一次价格为：；增长第二次在上一次价格的基础上再乘(1+x)，即最终价格，得出等量关系；(如果增长三次，就将指数2变换为3即可)“累计问题”：设第一个月为a，连续增长两个月，累计总数为b，设平均增长率为x，则：第一个月为a，第二个月为，第三个月为，所以三个月累计(2)平均降低率：设原价为a，连续降价两次，价格变为b，每次降价的百分率为x，那么：增长第一次价格为：；增长第二次在上一次价格的基础上再乘，即最终价格，得出等量关系；(3)传染问题：设开始挈带病毒的人数为a，一个病人一轮传染x个病人，两轮传染之后一共有b个人挈带病毒，则：传染轮数挈带病毒人数传染人数第一轮第二轮两轮结束后一共挈带病毒数(4)握手问题：这个问题和求多边形对角线的个数类似，以6个人举例：首先A站起来，和其余5个人一次握手，共握手5次；然后B站起来，和其余5个人一次握手，共握手5次；以此类推，每个人都站起来和其余人握手，一共握手：次，但是握手完成后发现，任意两人之间握手2次，重复了一次，因此需要乘以去重复；也就是一共握手次。由此推广。当人数为x时，一共握手次；送礼问题，与之有相似的推导过程：因为甲送给乙礼物和乙送给甲礼物，含义不同，故不需要去重复，因此送礼问题的公式为：=总次数；3.形积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.⑯面积类问题内挖类型外扩类型开路类型(a开口数量·x)(b开口数量·x)=阴影面积开门问题开几个门就是篱笆总长加上门的宽度×个数，得到新的篱笆总长要点诠释：列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题(列方程)，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.能力拓展能力拓展考法01数字问题【典例1】已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．【解析】设其中一个数为x，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)＝32，整理得x2-12x+32＝0解得x1＝4，x2＝8，当x＝4时12-x＝8；当x＝8时12-x＝4．所以这两个数是4和8．【点睛】数的和、差、倍、分等关系，如果设一个数为x，那么另一个数便可以用x表示出来，然后根据题目条件建立方程求解．【即学即练1】有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数.【答案】设个位数字为，则十位数字为.由题意，得：整理，得：解方程，得：∴经检验，不合题意,舍去(注意根的实际意义的检验)∴当时,=2∴答：这个两位数为24.考法02平均变化率问题【典例2】随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．【分析】设该种药品平均每场降价的百分率是x，则两个次降价以后的价格是200(1﹣x)2，据此列出方程求解即可．【详解】解：设该种药品平均每场降价的百分率是x，由题意得：200(1﹣x)2=98解得：x1=1.7(不合题意舍去)，x2=0.3=30%．答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．【即学即练2】某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同，求平均每次降价率.【答案】设平均每次降价率为，则第一次降价为，降价后价格为：，第二次降价为：，降价后价格为：.根据题意列方程，得：∴，不合题意，舍去(注意根的实际意义的检验)∴答：平均每次下降率为.考法03形积问题【典例3】如图，有长为48米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度25米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD．(1)当AB的长是多少米时，围成长方形花圃ABCD的面积为180?(2)能围成总面积为240的长方形花圃吗?说明理由.【答案】(1)10米；(2)不能围成总面积为的长方形花圃，见解析.【分析】(1)设出AB的长是x米，则BC的长为(48-3x)米，由长方形的面积计算公式列方程解答即可；

(2)利用(1)的方法列出方程，利用判别式进行解答．【详解】解：(1)设AB的长是x米，则BC的长为(48-3x)米，根据题意列方程得，

x(48-3x)=180，

解得x1=6，x2=10，

当x=6时，48-3x=30＞25，不符合题意，舍去；

当x=10时，48-3x=18＜25，符合题意；

答：当AB的长是10米时，围成长方形花圃ABCD的面积为180m2．

(2)不能，理由如下：

同(1)可得x(48-3x)=240，

整理得x2-16x+80=0，

△=(-16)2-4×80=-64＜0，

所以此方程无解，

即不能围成总面积为240m2的长方形花圃．【点睛】此题主要考查运用长方形面积计算方法列一元二次方程解决实际问题与根的判别式的应用．【即学即练3】如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.【详解】试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为(100﹣4x)米；然后根据矩形的面积公式列出方程．试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为(100﹣4x)米．根据题意得(100﹣4x)x=400，解得x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20考点：一元二次方程的应用．【即学即练4】如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为14米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．(1)设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为米；(2)若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．【答案】(1)24﹣3x；(2)花圃的长为9米，宽为5米．【解析】(1)用绳子的总长减去三个AB的长，然后加上两个门的长即可表示出AD的长；(2)由在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，故长边为22﹣3x+2，令面积为45，解得x．解：(1)设宽AB为x，则长AD=BC=22﹣3x+2=(24﹣3x)米；(2)由题意可得：(22﹣3x+2)x=45，解得：x1=3；x2=5，∴当AB=3时，BC=15＞14，不符合题意舍去，当AB=5时，BC=9，满足题意．答：花圃的长为9米，宽为5米．【即学即练5】改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长()16，宽()9的矩形场地上修建三条同样宽的小路，其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112，则小路的宽应为多少？【答案】小路的宽应为1．【解析】【分析】设小路的宽应为x米，那么草坪的总长度和总宽度应该为(16-2x)，(9-x)；那么根据题意得出方程，解方程即可．【详解】解：设小路的宽应为x米，根据题意得：，解得：，．∵，∴不符合题意，舍去，∴．答：小路的宽应为1米．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．考法04动点问题【典例4】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以lcm/s的速度移动点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s速度移动，两点同时出发，连接PQ．(1)经过多长时间后，△PBQ的面积等于4cm2？(2)△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由．【答案】(1)1秒后，△PBQ的面积等于4cm2；(1)△PBQ的面积不能等于7cm2．【解析】试题分析：(1)点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BQ和BP的长度，利用三角形的面积公式可列方程求解．

(2)参照(1)的解法列出方程，根据根的判别式来判断该方程的根的情况．试题解析：(1)设x秒后，∆PBQ的面积等于4cm2，此时，AQ=xcm,QB=(5-x)cm.BP=2xcm,由QB·BP=4得(5-x)·2x=4，整理，得x2-5x+4=0，解得x1=l，x2=4(不合题意，舍去)所以1秒后，△PBQ的面积等于4cm2.(2)根据题意，得(5-x)·2x=7,整理，得x2-5x+7=0,因为b2-4ac=25-28<0，所以此方程无解，即△PBQ的面积不能等于7cm2.【即学即练6】如图，在中，，，，现有两点、的分别从点和点B同时出发，沿边，BC向终点C移动．已知点，的速度分别为，，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设，两点移动时间为．问是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．【答案】假设不成立，四边形面积的面积不能等于，理由见解析【分析】根据题意，列出BQ、PB的表达式，再列出方程，判断根的情况.【详解】解：∵，，，∴．∴，；假设存在的值，使得四边形的面积等于，则，整理得：，∵，∴假设不成立，四边形面积的面积不能等于．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.分层提分分层提分题组A基础过关练1．一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大，已知十位上的数字比个位上的数字大．则这个两位数是()A．64 B．75 C．53或75 D．64或75【答案】D【解析】【分析】令个位上的数字为x，然后用x表示出十位上的数字，再根据题意列出方程求解出x的具体数值，最后写出这个两位数.【详解】令个位上的数字为x，则依据题意可知十位上的数字为(x+2)，该两位数可表示为：10(x+2)+x依据题意列出方程：10(x+2)+x=x(x+2)+40整理得到：x2-9x+20=0(x-4)(x-5)=0解得：x1=4，x2=5则该两位数为64或75,故选择D.【点睛】本题三个关键，第一是要会用字母表示出这个两位数，第二是要能够根据题意列出方程，第三是要能够合理选择方法解方程.2．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为()A．80(1+x)2=100 B．100(1﹣x)2=80 C．80(1+2x)=100 D．80(1+x2)=100【答案】A【分析】利用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．【详解】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80(1+x)吨，2018年蔬菜产量为80(1+x)(1+x)吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，即：80(1+x)2=100，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用(增长率问题)．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．3．国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意列方程得()A． B． C． D．【答案】B【分析】等量关系为：2016年贫困人口年贫困人口，把相关数值代入计算即可．【详解】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为，根据题意得：，故选B．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．4．某校九年级(1)班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任意两名同学都要握手一次．小张同学统计了一下，全班同学共握手了465次．你知道九年级(1)班有多少名同学吗？设九年级(1)班有x名同学，根据题意列出的方程是()A．=465 B．=465 C．x(x﹣1)=465 D．x(x+1)=465【答案】A【分析】因为每位同学都要与除自己之外的(x﹣1)名同学握手一次，所以共握手x(x﹣1)次，由于每次握手都是两人，应该算一次，所以共握手x(x﹣1)÷2次，解此方程即可.【详解】解：设九年级(1)班有x名同学，根据题意列出的方程是=465，故选A．【点睛】本题主要考查一元二次方程在实际生活中的应用，明白两人握手应该只算一次并据此列出方程是解题的关键.5．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程()A．1+x＝225 B．1+x2＝225C．(1+x)2＝225 D．1+(1+x2)＝225【答案】C【分析】此题可设1人平均感染人，则第一轮共感染人，第二轮共感染人，根据题意列方程即可．【详解】解：设1人平均感染人，依题意可列方程：．故选：．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的解，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．6．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是()A． B． C． D．【答案】C【分析】设这种植物每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【详解】设这种植物每个支干长出个小分支，依题意，得：，解得：(舍去)，．故选C．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程7．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为()A．100×80﹣100x﹣80x=7644B．(100﹣x)(80﹣x)+x2=7644C．(100﹣x)(80﹣x)=7644D．100x+80x=356【答案】C【解析】试题分析：设道路的宽应为x米，由题意有(100-x)(80-x)=7644，故选C．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．8．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人形通道，设人行道的宽度为xm，根据题意，下面所列方程正确的是()A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意和图形可以得到相应的方程，从而可以解答本题.【详解】由题意可得，，故选：.【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程.题组B能力提升练1．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程()A． B．C． D．【答案】D【详解】第一个月是560，第二个月是560(1+x)，第三月是560(1+x)2，所以第一季度总计560+560(1+x)+560(1+x)2=1850，选D.2．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有()A．9人 B．10人 C．11人 D．12人【答案】B【详解】试题解析：设这个QQ群共有x人，

依题意有x(x-1)=90，

解得：x=-9(舍去)或x=10，

∴这个QQ群共有10人．故选B.3．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为米．【答案】1．【解析】试题分析：设小道进出口的宽度为x米，依题意得(30-2x)(20-x)=532，整理，得x2-35x+34=0．解得，x1=1，x2=34．∵34＞30(不合题意，舍去)，∴x=1．答：小道进出口的宽度应为1米．考点：一元二次方程的应用．4．如图，某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子．设园子中平行于墙面的篱笆长为ym(其中y≥4)，另两边的篱笆长分别为xm．(1)求y关于x的函数表达式，并求x的取值范围．(2)若仅用现有的11m长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案．【答案】(1)y＝；1.5≤x≤3；(2)长为8m，宽为1.5m．【分析】(1)由矩形的面积公式可得出y关于x的函数表达式，结合4≤y≤8可求出x的取值范围；(2)由篱笆的长可得出y＝(11﹣2x)m，利用矩形的面积公式结合矩形园子的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】(1)∵矩形的面积为12m2，∴y＝．∵4≤y≤8，∴1.5≤x≤3．(2)∵篱笆长11m，∴y＝(11﹣2x)m．依题意，得：xy＝12，即x(11﹣2x)＝12，解得：x1＝1.5，x2＝4(舍去)，∴y＝11﹣2x＝8．答：矩形园子的长为8m，宽为1.5m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：(1)利用矩形的面积公式，找出y关于x的函数表达式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．5．如图，要建一个面积为150平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇3米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库与墙垂直的一边应长多少米？【答案】10米【分析】设垂直于墙的一边长为米，结合题意可得到平行于墙的一边长为米，再通过面积150平方米列出等式，从而计算得到答案．【详解】设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米，由题意得∴∴，当时，当时，(不符合题意，舍去)∴这个仓库与墙垂直的一边应长10米．【点睛】本题考察了二元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握二元一次方程并运用到实际问题的求解过程中，即可得到答案．6．如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB,BC边足够长,点P从点B开始沿BA边向点A以1厘米/秒的速度移动,同时,点Q也从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动,几秒后,△BPQ的面积为36平方厘米?【答案】6秒【分析】设x秒钟后，△PBQ的面积等于36cm2，根据直角三角形的面积公式和路程=速度×时间进行求解即可．【详解】解:设x秒后,△BPQ的面积是36平方厘米,根据题意得PB=x厘米,QB=2x厘米,因此x×2x=36,所以x2=36,解得x=6(x=-6舍去),所以6秒后,△BPQ的面积是36平方厘米.【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于36cm2”，找到等量关系是解决问题的关键．7．“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，(1)问每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了10个人;(2)过三轮后将有1331人受到感染．【分析】(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有121人受到感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(2)将x=10代入(x+1)3中即可求出结论．【详解】(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：(x+1)2=121解得：x1=10，x2=﹣12(不合题意，应舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．(2)当x=10时，(x+1)3=(10+1)3=1331．答：经过三轮后将有1331人受到感染．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．题组C培优拔尖练1．一块长为，宽为的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形(其中三个矩形的一边长均为)区域将铺设塑胶地面作为运动场地．(1)设通道的宽度为，则______________________；(用含的代数式表示)；(2)若塑胶运动场地总的占地面积为，请问通道的宽度为多少？【答案】(1)，(2)2米.【分析】(1)根据通道宽度为米，表示出即可；(2)根据矩形面积减去通道面积为塑胶运动场地面积，列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：(1)设通道的宽度为米，则；故答案为.(2)根据题意得，，解得，(不合题意，舍去)．答：中间通道的宽度为2米．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，正确表示各部分面积是解本题的关键．2．(2023内蒙古包头市)一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．【答案】(1)；(2)横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．【分析】(1)由横、竖彩条的宽度比为3：2知横彩条的宽度为xcm，根据“三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积”，列出函数关系式化简即可；(2)根据“三条彩条所占面积是图案面积的”，可列出关于x的一元二次方程，整理后求解即可．【详解】(1)根据题意可知，横彩条的宽度为xcm，∴y=20×x+2×12•x﹣2×x•x=﹣3x2+54x，即y与x之间的函数关系式为y=﹣3x2+54x；(2)根据题意，得：﹣3x2+54x=×20×12，整理，得：x2﹣18x+32=0，解得：x1=2，x2=16(舍)，∴x=3，答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．考点：根据实际问题列二次函数关系式；一元二次方程的应用．3．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发，沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ＝xcm(x≠0)，则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm，(1)当x为何值时，点P，N重合；(2)当x为何值是，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．【答案】(1)当时，P，N重合;(2)当x＝2或x＝4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形.【解析】试题分析：(1)当P、N重合时有：AP+DN=20,解方程可得.(2)MQ=PN,时PQMN是平行四边形,其中不确定P，N的位置关系，所以需要分类讨论.试题解析：(1)当P、N重合时有：AP+DN=AD=20,即：x2+2x-20=0，解得：(舍去),所以当时，P