傅里叶变换和系统的频谱分析第四章

傅里叶变换和系统的频谱分析第四章4.1 信号分解为正交函数4.2 傅里叶级数4.3 周期信号的频谱4.4 非周期信号的频谱(傅里叶变换)4.5 傅里叶变换的性质4.7 周期信号的傅里叶变换4.8 LTI系统的频域分析4.9 取样定理4/2/202424.1信号分解为正交函数矢量的分量和矢量的分解平面矢量分解图空间中的矢量分解图4/2/20243正交信号空间设n个函数构成一函数集，如在区间内满足下列特性：——常数则称此函数集为正交函数集，这n个构成一个n维正交信号空间。任意一个代表信号的函数f(t)，在区间内可以用组成信号空间的这n个正交函数的线性组合来近似。4.1信号分解为正交函数信号的分量和信号的分解4/2/20244在使近似式的均方误差最小条件下，可求得均方误差4.1信号分解为正交函数信号的分量和信号的分解若令趋于无限大，的极限等于零则此正交函数集称为完备正交函数集。（定义1）——代表函数和间的相似程度或相关程度4/2/20245满足等式i为任意整数则此函数集称为完备正交函数集。如果在正交函数集外,不存在函数，其中4.1信号分解为正交函数信号的分量和信号的分解完备正交函数集

（定义2）4/2/20246完备---有两层意思：1.如果在区间内与正交，则必属于这个正交集。2.若与正交，但中不包含，则此集不完备。4.1信号分解为正交函数信号的分量和信号的分解即：函数f(t)在区间(t1,t2)内可展开成完备正交函数空间中的无穷级数。4/2/20247如果在区间内，复变函数集满足则称为正交函数集。4.1信号分解为正交函数信号的分量和信号的分解复变函数的正交特性若复变函数集是完备的，则4/2/20248周期信号f(t)在区间(t0,t0+T)可以展开成在完备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别称为“三角型傅里叶级数”或“指数型傅里叶级数”，统称傅立叶级数。

1822年法国数学家傅里叶（1768－1830）在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了将周期函数展开为三角函数的无穷级数的原理。4.2傅里叶级数4/2/202494.2傅里叶级数Dirichlet条件：(1)在一个周期内绝对可积； (2)在一个周期内只有有限个有限值的不连续点；(3)在一个周期内只有有限个极大值和极小值。1829年，Dirichlet给出了补充，只有当周期信号f(t)满足Dirichlet条件时，才能展开为傅立叶级数。(电子技术中的周期信号大都满足条件。)4/2/202410三角函数集是完备正交函数集4.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数Sin0=0不包含在三角函数集中!4/2/2024114.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数傅里叶系数：4/2/2024124.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数4/2/2024134.2傅里叶级数周期信号展开为三角形傅里叶级数4/2/202414例：将下图所示方波信号f(t)展开为傅里叶级数解：4.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数4/2/2024154.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数4/2/202416所以，所示信号的傅里叶展开式为：思考：取多少次谐波才能有效表示这个信号？？？均方误差为考虑时，本例中：4.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数4/2/2024174.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数4/2/202418吉布斯（Gibbs）现象4.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点附近出现起伏，起伏频率随谐波分量增加而增加，起伏峰值不随谐波分量增加而减少，起伏峰值有9%的超量。4/2/202419吉伯斯现象产生原因

时间信号的跳变破坏了信号的收敛性，使得在间断点处傅里叶级数出现非一致收敛。

4.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数N=5N=15N=50N=5004/2/202420若给定的函数f(t)具有某些特点，那么，有些傅里叶系数将等于零，从而使傅里叶系数的计算简化。f(t)为偶函数4.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数4/2/202421偶函数信号的傅里叶级数展开式中只含有直流项与余弦项。4.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数4/2/202422f(t)为奇函数奇对称信号的傅里叶级数展开式中只含有正弦项。4.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数4/2/202423f(t)为奇谐函数(半波镜像信号)f(t)为偶谐函数(半波重叠信号)偶谐信号只含有正弦与余弦的偶次谐波分量和直流分量，而无奇次谐波分量。奇谐信号只含有正弦与余弦的奇次谐波分量，而无直流和偶次谐波分量。4.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数4/2/202424例：正弦交流信号经全波或半波整流后的波形分别如图所示，求其傅里叶级数展开形式。解(1)全波整流信号信号为偶函数，又是偶谐函数4.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数4/2/2024254.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数4/2/2024264.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数4/2/202427解(2)半波整流信号4.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数4/2/202428周期信号的对称性与傅里叶系数的关系4.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数4/2/202429复指数函数集是完备正交函数集4.2傅里叶级数周期信号展开为指数型傅里叶级数4/2/2024304.2傅里叶级数周期信号展开为指数型傅里叶级数傅里叶系数：4/2/2024314.2傅里叶级数从三角型傅里叶级数推导出指数形式4/2/2024324.2傅里叶级数从三角型傅里叶级数推导出指数形式若f(t)为实函数4/2/2024334.2傅里叶级数傅里叶级数的指数形式4/2/202434例试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的傅里叶级数展开式。解:因此，f

(t)的指数形式傅里叶级数展开式为4.2傅里叶级数傅里叶级数的指数形式4/2/202435例求Fn解:

根据指数形式傅里叶级数的定义可得4.2傅里叶级数傅里叶级数的指数形式4/2/2024364.2傅里叶级数傅里叶级数总结4/2/202437从功率的角度来考察周期信号时域和频域特性间的关系4.3周期信号的频谱周期信号的功率直流功率谐波功率

物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。4/2/202438例

求f

(t)的功率。解：1)2)4.3周期信号的频谱周期信号的功率4/2/202439频谱的概念或通过研究傅里叶系数An、Fn

和

来研究信号的特性，它们是频率的函数，反映了组成信号各频率分量的幅度、相位的分布情况，称为频谱函数。4.3周期信号的频谱周期信号的频谱4/2/202440单边幅度谱和双边幅度谱4.3周期信号的频谱周期信号的频谱4/2/2024414.3周期信号的频谱周期矩形脉冲的频谱周期性矩形脉冲的频谱是离散的，仅含有的分量，其相邻两谱线的间隔是，脉冲周期T越长，谱线间隔越小。周期矩形脉冲信号的频谱()4/2/202442周期矩形脉冲信号的频带宽度(带宽，)周期矩形信号的谱线幅度按的规律变化。在处，即处，包络为零，其相应的谱线亦等于零。周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，但其信号能量主要集中在第一个零点以内。在允许一定失真条件下，只需传送频率较低的那些分量就足够表达原信号。4.3周期信号的频谱周期矩形脉冲的频谱4/2/202443物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配”4.3周期信号的频谱周期矩形脉冲的频谱通常把称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度或有效带宽，简称带宽。4/2/202444周期矩形脉冲信号的脉冲宽度与带宽、幅度频谱的关系结论：脉冲宽度越窄，有效带宽越宽，高频分量越多。即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用的频带越宽。4.3周期信号的频谱周期矩形脉冲的频谱4/2/202445周期矩形脉冲信号频谱中周期与谱线密度的关系4.3周期信号的频谱周期矩形脉冲的频谱4/2/202446非周期信号结论：当不变，T增大，谱线间隔减小，谱线逐渐密集，幅度减小。

连续频率，幅度4.3周期信号的频谱周期矩形脉冲的频谱4/2/202447周期信号频谱的特点离散性——谱线是离散的而不是连续的，谱线之间的间隔为。这种频谱常称为离散频谱。收敛性——各频谱线的高度随着谐波次数增高而逐渐减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减小。谐波性——谱线在频谱轴上的位置是基频的整数倍。4.3周期信号的频谱周期矩形脉冲的频谱若信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少，幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱衰减越慢。4/2/202448例：计算图示信号频谱在第一个零点内各分量的功率占总功率的百分比解：傅里叶系数：第一个过零点在n=5第一个过零点内功率：有：4.3周期信号的频谱周期矩形脉冲的频谱4/2/202449求其傅里叶级数。例：单位冲激函数的间隔为T，用符号

T(t)表示周期单位冲激序列：解：

T(t)是周期函数，求其傅里叶级数：4.3周期信号的频谱周期单位冲激序列的频谱4/2/202450FS4.3周期信号的频谱周期单位冲激序列的频谱可见，周期单位冲激序列的傅里叶级数中只包含位于

=0,Ω,2Ω,,nΩ,的频率分量，且分量大小相等，均等于1/T。4/2/202451频谱密度函数4.4非周期信号的频谱傅里叶变换4/2/202452此时，为了表明幅度间的相对差别，有必要引入一个新的量——“频谱密度函数”设周期信号4.4非周期信号的频谱傅里叶变换则4/2/2024534.4非周期信号的频谱傅里叶变换4/2/202454频谱函数与频谱密度函数的区别（1）周期信号的频谱为离散的， 非周期信号的频谱密度为连续的。（2）周期信号的频谱为Fn的分布，表示每个谐波分量的复振幅；非周期信号的频谱为TFn的分布，表示每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅，即频谱密度函数。

两者关系：4.4非周期信号的频谱傅里叶变换时域非周期<->频域连续时域周期<->频域离散4/2/2024554.4非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶反变换4/2/2024564.4非周期信号的频谱傅里叶变换模相位实部虚部非周期信号可以分解为无数个虚指数信号的线性组合，这些信号的频率是连续的，幅度为无穷小。4/2/202457例试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱密度函数。解：非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为由傅里叶正变换定义式，可得

4.4非周期信号的频谱傅里叶变换非常重要的公式！信号在时域有限，则在频域将无限延续4/2/2024581t0f(t)4.4非周期信号的频谱常用信号的傅里叶变换单边指数信号4/2/2024594.4非周期信号的频谱常用信号的傅里叶变换001t0f(t)4/2/202460f(t)0t4.4非周期信号的频谱常用信号的傅里叶变换0双边指数信号4/2/202461物理意义：在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。因此，这种频谱常称为“均匀谱”或“白色谱”

4.4非周期信号的频谱奇异函数的傅里叶变换单位冲激函数时域内的无限窄<->频域内的无限宽4/2/2024624.4非周期信号的频谱奇异函数的傅里叶变换时域内的无限宽<->频域内的无限窄4/2/2024634.4非周期信号的频谱奇异函数的傅里叶变换单位冲激函数导数的频谱4/2/2024644.4非周期信号的频谱奇异函数的傅里叶变换符号函数的频谱sgn函数不满足绝对可积条件，但它可以看作是奇双边指数函数f2(t)当α→0时的极限。4/2/2024654.4非周期信号的频谱奇异函数的傅里叶变换4/2/2024664.4非周期信号的频谱奇异函数的傅里叶变换单位阶跃信号4/2/202467傅里叶变换的性质线性奇偶性对称性尺度变换时移特性卷积定理时域微分和积分频域微分和积分4.5傅里叶变换的性质4/2/202468说明：和信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。4.5傅里叶变换的性质 线性线性例：4/2/202469奇偶性4.5傅里叶变换的性质 奇偶性4/2/202470时域实偶<->频域实偶时域实奇<->频域虚奇4.5傅里叶变换的性质 奇偶性4/2/202471例：求取样函数Sa(t)的频谱函数.解：已知根据傅里叶变换的线性性质即4.5傅里叶变换的性质 对称性对称性4/2/202472根据傅里叶变换的对称性质，则有即4.5傅里叶变换的性质 对称性4/2/202473例：求函数t-1

的频谱函数.解：已知可得则4.5傅里叶变换的性质 对称性4/2/2024744.5傅里叶变换的性质 对称性4/2/202475尺度变换4.5傅里叶变换的性质 尺度变换4/2/2024764.5傅里叶变换的性质 尺度变换4/2/202477时移特性4.5傅里叶变换的性质 时移特性4/2/2024784.5傅里叶变换的性质 时移加尺度变换4/2/202479例：求下列所示三脉冲信号的频谱。解：令f0(t)表示矩形单脉冲信号4.5傅里叶变换的性质 时移特性4/2/202480其频谱如下：4.5傅里叶变换的性质 时移特性4/2/202481频移特性4.5傅里叶变换的性质 频移特性4/2/2024824.5傅里叶变换的性质 频移特性4/2/202483卷积定理4.5傅里叶变换的性质 卷积定理

卷积特性是傅里叶变换性质之一，在通信系统和信号处理中占有重要地位，应用最广。4/2/202484例:已知余弦脉冲信号解：利用卷积定理求其频谱。把余弦脉冲信号看成是矩形脉冲信号Ｇ(t)与周期余弦信号相乘。4.5傅里叶变换的性质 卷积定理4/2/202485时域频域4.5傅里叶变换的性质 卷积定理4/2/202486微分特性4.5傅里叶变换的性质 微分特性4/2/202487积分特性4.5傅里叶变换的性质 积分特性4/2/202488例：求下列截平斜变信号的频谱解：利用积分特性求y(t)的频谱Y(jω)已知：y(t)的导数是矩形脉冲信号f(t)求导数4.5傅里叶变换的性质 积分特性4/2/202489根据积分特性求出y(t)的频谱Y

(jω)时移时移4.5傅里叶变换的性质 积分特性4/2/202490解(a)：(b)：例：求图所示信号的傅里叶变换4.5傅里叶变换的性质 积分特性4/2/2024914.5傅里叶变换的性质 综合运用4/2/2024924.5傅里叶变换的性质 综合运用4/2/202493小结：非周期信号和周期信号一样，可以分解成许多不同频率的虚指数分量。由于非周期信号的周期趋于无限大，基波频率趋于无限小，于是它包含了从零到无限高的所有频率分量。由于非周期信号的周期趋于无限大，因此它所包含的各频率分量的幅度趋于零。非周期信号的频谱用频谱密度来表示。周期信号其频谱为离散谱（傅里叶系数）,非周期信号其频谱为连续谱（傅里叶变换）周期信号与非周期信号，傅里叶系数与傅里叶变换，离散谱与连续谱，在一定条件下可以互相转化并统一起来。4.5傅里叶变换的性质4/2/202494一般非周期信号（能量信号）的Parseval定理4.7周期信号的傅里叶变换时域和频域的能量关系4/2/202495Parseval定理：非周期信号在时域中求得的信号能量等于在频域中求得的信号能量。4.7周期信号的傅里叶变换时域和频域的能量关系4/2/202496周期信号非周期信号周期无穷大求和变求积分周期信号不满足绝对可积条件，但在允许冲激函数存在并认为它有意义的前提下，绝对可积条件就成为不必要的限制，也就有周期信号的傅里叶变换。目的：把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来，使傅里叶变换得到广泛应用。4.7周期信号的傅里叶变换周期信号的频谱傅里叶级数傅里叶变换FSFTFTFS4/2/2024974.7周期信号的傅里叶变换常见周期信号的傅里叶变换虚指数信号

同理:

虚指数信号的频谱密度4/2/202498余弦信号及其频谱密度4.7周期信号的傅里叶变换常见周期信号的傅里叶变换4/2/202499正弦信号及其频谱密度4.7周期信号的傅里叶变换常见周期信号的傅里叶变换4/2/2024100令周期信号f(t)的周期为T，角频率为Ω=2

f4.7周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换表示在无穷小的频带范围内（即谐频点）取得了无限大的频谱密度值。4/2/20241014.7周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换例：求周期为T，宽度为τ的矩形脉冲信号PT(t)的频谱密度函数解：PT(t)的的傅里叶系数：4/2/2024102代入到上式中，得周期矩形脉冲的傅里叶变换由位于的冲激函数所组成。周期矩形脉冲的傅里叶变换是频谱密度，其在的幅度是：4.7周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换4/2/2024103求傅里叶变换。例：单位冲激函数的间隔为T，用符号

T(t)表示周期单位冲激序列：4.7周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换解：可见，周期单位冲激序列的傅里叶级数中只包含位于

=0,Ω,2Ω,,nΩ,的频率分量，且分量大小相等，均等于1/T

T(t)是周期函数，其傅里叶级数：4/2/2024104求

T(t)的傅里叶变换。可见，在周期单位冲激序列的傅里叶变换中只包含位于

=0,Ω,2Ω,，nΩ,频率处的冲激函数，其强度大小相等，均等于Ω

。4.7周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换4/2/2024105FTFS0t

-2T–T0T2Tt

0t4.7周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换FT4/2/20241064.7周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换4/2/2024107例4.7周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换4/2/20241084.8LTI系统的频域分析基本概念LTI系统的全响应＝零输入响应＋零状态响应本节只研究零状态响应时域分析法即将分解为无限个之叠加。即零状态响应分解为所有被激励加权的之叠加。时域方法缺点：计算复杂。4/2/2024109虚指数信号ejwt(-

<t<

)通过连续LTI系统的零状态响应其中4.8LTI系统的频域分析基本概念4/2/2024110任意非周期信号通过连续LTI系统的零状态响应若信号f(t)的傅里叶变换存在，则可由虚指数信号ejwt(-

<t<

)的线性组合表示，即由系统的线性时不变特性，可推出信号f(t)作用于系统的零状态响应yzs

(t)。4.8LTI系统的频域分析基本概念4/2/2024111任意非周期信号通过连续系统的零状态响应由积分特性由均匀性即Yzs

(jw)4.8LTI系统的频域分析基本概念4/2/2024112幅度响应相位响应LTI系统把频谱为F(jw)

的输入改变成频谱为H(jw)F(jw)的响应，改变的规律完全由H(jw)决定。Yzs

(jw)=H(jw)F(jw)4.8LTI系统的频域分析基本概念H(jw)反映了系统对输入信号不同频率分量的传输特性

H(jw)称为该系统的频率响应，定义为4/2/2024113结论：(1)在线性时不变系统的分析中，无论时域、频域的方法都可按信号分解、求响应再叠加的原则来处理，实质相同。(2)频域分析法与时域分析法不同处在于信号分解的单元函数不同。Fourier变换的时域卷积定理是联系两者的桥梁。物理意义：4.8LTI系统的频域分析基本概念4/2/2024114解：利用Fourier变换的微分特性，微分方程的频域表示式为由定义可求得例已知描述某LTI系统的微分方程为y"(t)+3y'(t)+2y(t)=f(t)，求系统的频率响应H(jw)4.8LTI系统的频域分析频率响应

4/2/2024115例已知某LTI系统的冲激响应为h(t)=(e-t-e-2t)ε(t)，求系统的频率响应H(jw)。解：利用H(jw)与h(t)的关系4.8LTI系统的频域分析频率响应

4/2/2024116频域电路模型时域电路模型（RC低通网络）频域阻抗4.8LTI系统的频域分析频率响应

4/2/2024117例图示RC电路系统，激励电压源为f(t)，输出电压y(t)为电容两端的电压，电路的起始状态为零。求系统的频率响应H(jw)和冲激响应h(t)。解：RC电路的频域模型如图，由Fourier反变换，得系统的冲激响应h(t)为由电路的基本原理有4.8LTI系统的频域分析频率响应

4/2/2024118RC电路系统的幅度响应随着频率的增加，系统的幅度响应|H(jw)|不断减小，说明信号的频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大。由于|H(j(1/RC))|=0.707，所以把wc=1/RC称为该系统的3db截频。低通滤波器4.8LTI系统的频域分析频率响应

4/2/2024119利用傅里叶分析方法求解线性系统的零状态响应4.8LTI系统的频域分析频率响应

4/2/2024120例

已知描述某LTI系统的微分方程为y"(t)+3y'(t)+2y(t)=3f

'(t)+4

f(t)，系统的输入激励f(t)=e-3tε(t)，求系统的零状态响应yzs

(t)。解：由于输入激励f(t)的频谱函数为系统的频率响应由微分方程可得故系统的零状态响应yzs

(t)的频谱函数Yzs(jw)为4.8LTI系统的频域分析频率响应

4/2/2024121例：如图所示系统，已知条件如下，求输出响应。解:(1)先求x(t)的傅里叶变换，已知4.8LTI系统的频域分析频率响应

4/2/20241224.8LTI系统的频域分析频率响应

4/2/2024123连续周期信号通过LTI系统的响应的频域分析将周期为T的周期信号f(t)用Fourier级数展开为利用虚指数信号ejnΩt作用在系统上响应为4.8LTI系统的频域分析频率响应

根据系统的线性特性，可得系统的零状态响应为4/2/2024124例：某LTI系统频率响应如图，求f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)时的系统响应。解法（1）：设输出y(t)→Yn4.8LTI系统的频域分析频率响应

4/2/2024125解法（2）：用傅里叶变换法4.8LTI系统的频域分析频率响应

4/2/2024126直流基波二次谐波直流基波二次谐波4.8LTI系统的频域分析频率响应

4/2/20241274.8LTI系统的频域分析

优点：求解系统的零状态响应时，可以直观地体现信号通过系统后信号频谱的改变，解释激励与响应时域波形的差异，物理概念清楚。

不足： （1）只能求解系统的零状态响应，系统的零输入响应仍需按时域方法求解。（2）若激励信号不存在傅里叶变换，则无法利用频域分析法。（3）频域分析法中，傅立叶反变换常较复杂。解决方法：采用拉普拉斯变换系统响应频域分析小结4/2/2024128无失真：系统的响应与激励相比，波形无任何变化，即：仅在幅度因子或出现时间上有变化，称信号在传输过程中无失真。失真：系统的响应波形与激励波形不相同，称信号在传输过程中产生了失真。4.8LTI系统的频域分析无失真传输4/2/2024129信号失真原因4.8LTI系统的频域分析无失真传输4/2/2024130线性系统的幅度失真与相位失真都不产生新的频率分量。非线性系统：由于非线性特性对所传输信号产生非线性失真。非线性失真可能产生新的频率分量。4.8LTI系统的频域分析无失真传输4/2/2024131信号的失真有正反两方面：如果有意识地利用系统进行波形变换，则要求信号经系统必然产生失真。如果要进行原信号的传输，则要求传输过程中信号失真最小，即要研究无失真传输的条件。4.8LTI系统的频域分析无失真传输4/2/2024132线性系统无失真条件波形无改变则称为无失真实现无失真传输，应满足的条件4.8LTI系统的频域分析无失真传输4/2/2024133信号通过系统时，谐波的相移与其频率成正比。4.8LTI系统的频域分析无失真传输带宽无限大4/2/2024134例：基波二次谐波为了使基波与二次谐波得到相同的延迟时间，以保证不产生相位失真，应有4.8LTI系统的频域分析无失真传输4/2/2024135群时延概念4.8LTI系统的频域分析无失真传输4/2/2024136特定波形的形成实际应用中，有意识地利用系统引起失真来形成某种特定波形。这时，系统传输函数则应根据所需要求进行设计。例：利用冲激信号作用于系统产生某种特定的波形的方法。4.8LTI系统的频域分析无失真传输4/2/2024137理想滤波器的频率响应滤波器是指能使信号的一部分频率通过(无失真传输)，而使另一部分频率通过很少的系统。

理想低通

理想高通

理想带通

理想带阻4.8LTI系统的频域分析理想低通滤波器4/2/2024138理想低通滤波器的频域特性为截止频率(Cutofffrequency)4.8LTI系统的频域分析理想低通滤波器4/2/2024139理想低通滤波器的冲激响应4.8LTI系统的频域分析理想低通滤波器4/2/2024140理想低通滤波器的冲激响应

分析：1)h(t)的波形是一个取样函数，不同于输入信号d(t)的波形，有失真。

原因：理想低通滤波器是一个带限系统，而冲激信号d(t)的频带宽度为无穷大。

减小失真方法：增加理想低通截频wc。

h(t)的主瓣宽度为2p/wc，wc越小，失真越大。当wc

时，理想低通变为无失真传输系统，

h(t)也变为冲激函数。4.8LTI系统的频域分析理想低通滤波器4/2/2024141理想低通滤波器的冲激响应

分析：2)h(t)主峰出现时刻t=td

比输入信号d(t)作用时刻t=0延迟了一段时间td

。td是理想低通滤波器相位响应的斜率。3)h(t)在t<0的区间也存在输出，可见理想低通滤波器是一个非因果系统，因而它是一个物理不可实现的系统。4.8LTI系统的频域分析理想低通滤波器4/2/2024142取样、取样信号的概念取样

利用取样脉冲序列s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列的离散样值fs(t)=f(t)•s(t)的过程。经抽取后的一系列的离散信号fs(t)

。取样信号fs(t)与取样函数Sa(t)=sint/t是完全不同的两个含义。取样也称为“采样”或“抽样”。取样信号

4.9取样定理基本概念4/2/2024143实现取样的原理及框图取样原理：连续信号经取样成取样信号，再经量化、编码变成数字信号。将这种数字信号经传输，进行上述逆过程，就可恢复出原连续信号。取样量化编码连续信号f(t)取样信号数字信号fs(t)取样脉冲s(t)4.9取样定理基本概念4/2/2024144思考：1.取样信号fs(t)的傅里叶变换什么样？它和未经取样的原连续信号f(t)的傅里叶变换有什么联系？2.连续信号被取样后，它是否保留了原信号f(t)的全部信息？3.在什么条件下，可从取样信号fs(t)中无失真地恢复出原连续信号f(t)？4.9取样定理基本概念4/2/20241454.9取样定理基本概念……冲激取样(理想取样）取样脉冲s(t)是冲激序列……矩形脉冲取样(自然取样）取样脉冲s(t)是矩形4/2/2024146设连续信号取样脉冲信号取样后信号采用均匀取样，取样周期为Ts，取样频率为：取样过程：取样脉冲序列s(t)与连续信号f(t)相乘。即：4.9取样定理取样信号的傅里叶变换取样信号的傅里叶变换4/2/2024147s(t)是周期信号，其傅里叶变换其中是s(t)的傅里叶系数根据频域卷积定理：化简4.9取样定理取样信号的傅里叶变换4/2/2024148冲激取样(理想取样）若取样脉冲s(t)是冲激序列频谱频谱…………4.9取样定理取样信号的傅里叶变换4/2/2024149得到冲激取样信号的频谱：频谱……4.9取样定理取样信号的傅里叶变换4/2/2024150结论：信号在时域