随机事件及其概率第一章

随机事件及其概率第一章1.2.3.王为民，概率论与数理统计,4.5.郭跃华，概率论与数理统计，科学出版社6.李博纳，概率论与数理统计，高等教育出版社7.李子强，概率论与数理统计，科学出版社8.9.文平，概率论与数理统计，科学出版社10.万维明，概率论与数理统计，机械工业出版社11.胡端平，概率论与数理统计，高等教育出版社12.李书刚，概率论与数理统计，科学出版社13.李俊林，概率统计与建模，科学出版社参考书目自然界中的现象分为两大类：

将来可以预知，条件一定、结果一定；将来不可以预知，条件一定、结果不定。◆确定现象：◆不确定现象：概率统计研究什么？我们身边的不确定现象！1.航班延误我们身边的不确定现象！2.列车晚点3.徐州站明天的客流4.徐州明天的天气5.隔壁教室的人数问题：随机现象有没有规律可言?Answer:

若只进行一次观测，则无规律可言!!若进行大量的观测就会发现某种规律性,这种规律叫做统计规律.例如：（1）抛一枚硬币,只抛一次,无规律可言；

抛掷充分多的次数,会发现正面朝上约为50%;（2）咱们班至少有两名同学在同一天过生日的可能性。概率论起源于人类贪婪的产物——赌博。■16世纪，意大利学者吉罗拉莫·卡尔达诺开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。■概率统计方法，早期主要用于赌博、人口统计模型。■随着人类的社会实践，人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性，并用数学方法研究各种结果出现的可能性大小。概率论的起源18、19世纪：■概率统计方法应用于生物、物理、社会科学领域。■瑞士数学家j.伯努利建立了伯努利大数定律：事件的频率稳定于它的概率。■棣莫弗、拉普拉斯导出了中心极限定理的原始形式。■拉普拉斯的著作《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。概率论的起源■19世纪末，俄国数学家切比雪夫、马尔可夫、李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。■20世纪，初受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。这方面柯尔莫哥洛夫、维纳、马尔可夫、辛钦、莱维及费勒等人作了杰出的贡献。概率论的起源1933年柯尔莫哥洛夫在他的《概率论基础》一书中首次给出了概率的公理化定义和一套严密的公理体系。柯尔莫哥洛夫的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支。19世纪法国数学家拉普拉斯说:“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题”。柯尔莫哥洛夫第一章随机事件及其概率第二章随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布第四章随机变量的数字特征第五章大数定律与中心极限定理第六章样本与抽样分布第七章参数估计第八章假设检验课程基本内容第一章随机事件及其概率

§1.1

随机事件及其运算

§1.2

频率与概率

§1.5

事件的相互独立性

§1.4

条件概率

§1.3

等可能概型一、随机试验二、样本空间三、随机事件四、事件间的关系及其运算

§1.1

随机事件及其运算一、随机试验（Experimentation）随机试验应该广义理解，是对随机现象的一次观察、（简称试验记作E）。也可以是一次测量、一次统计等等几个具体的试验E1

:抛一枚硬币，观察出现正反面情况。E2

:将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面的情况。E5:记录交换台一分钟内接到的呼唤次数。E6:在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命。

E4:抛一枚骰子，观察出现的点数E3:抛一枚硬币三次，观察出现正面次数。上述随机试验的特点：（可重复性）(1)可以在相同情况下重复进行。(2)每次试验可能出现的试验结果具有多种可能性。(3)每次试验前不能确定会出现哪种结果，但能事先知道试验的所有可能结果。(结果具有随机性）具有上述三个特点的试验称为随机试验（简称试验）。(结果具有多样性）定义1将随机试验E

的所有可能结果组成的集合，称为E

的样本空间，记作Ω。

二、样本空间样本空间的元素，即E

的每个结果，称为样本点。认识一个随机现象，首先从认识它的所有可能发生的结果开始。E1

:抛一枚硬币，观察出现正反面情况。随机试验的样本空间H——HeadT——TailE2

:将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面的情况。E3:

抛一枚硬币三次，观察出现正面次数。E4:掷一枚硬币直到出现正面，记录抛掷次数。E5:记录交换台一分钟内接到的呼唤次数。E6:在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命。

E7:

将两根筷子随意扔向桌面后所形成的交角。Ω7={α|0≤α<180}E2

:将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面的情况。E3:抛一枚硬币三次，观察出现正面次数。==>样本空间中的元素是由试验目的决定的。回顾E2

和E3的样本空间定义2称试验E的样本空间Ω的子集为随机事件（简称事件），用A,B,C,D等表示。三、随机事件的定义注意：事件是由样本点构成的集合，而样本点在一次试验中是否出现带有不确定性，因此事件的发生带有随机性。◆事件的表示方法：语言定性描述、用集合、图形比如：掷骰子试验中，掷出点数是偶数可表示为：A

=｛2，4，6｝在试验中,若事件A中的一个样本点出现了,则称事件A发生。1.事件的发生例如：在掷骰子试验E4中，Ω＝｛1,2,3,4,5,6｝A＝｛1，2，3｝，B＝｛2，4，6｝C＝｛4，5，6｝如果掷出的数字是4，则B,C发生①基本事件:E中只含有一个样本点的事件，称为E的基本事件。2.三种具有特殊意义的事件为六个基本事件。例如：在掷骰子试验中②必然事件③不可能事件在每次试验中一定不发生的事件，称为不可能事件，记为Ø，即为空集Ø，Ø不包含任何样本点。在每次试验中总是发生的事件，称为必然事件。例如：掷一枚骰子1次，则{点数≥1}为必然事件

{点数>6}为不可能事件。由于样本空间Ω包含所有的样本点，每次试验中它总是发生的，因此样本空间Ω是必然事件。（1）事件的包含与相等记为若事件A发生必导致事件定义：B

发生，

则称

B包含A。（A的每一个样本点都是B的样本点）或即定义：若且则称A与B相等记为A=B

.1.事件的关系与运算四、事件间的关系及事件的运算（2）事件的和（和运算）定义事件例如称为A与B的和事件。当且仅当A、B中至少有一个发生时或}{=BAU——可列并——有限并简记为简记为n个事件的和事件，记为可列个事件的和事件，记为例如A1={开关K1

合上}A2={开关K2合上}A3={开关K3合上}B={灯亮}三个开关至少有一个合上。（3）事件的积（积运算）当且仅当事件A与事件B同时发生时或定义记为例电路图:B表示灯亮A1={开关K1合上}A2={开关K2合上}称为事件A与B的积。发生且}{=BAI——可列交。——有限交。

简记为

简记为n个事件的积事件，记为可列个事件的积事件，记为（4）事件的差（差事件）当且仅当“事件A发生且事件B不发生定义例如称为事件A与B的差事件。时，事件A－B发生”且事件{}A-B=（5）互不相容事件A与B互不相容<==>事件A与事件B不能同时发生。定义若，则称A与B相容，注：基本事件是两两互不相容的(互斥)。如：产品检验是一等品、二等品、次品是互不相容的。否则，称A与B互不相容，也称A与B互斥。（6）对立事件则称A与B为对立事件(互逆)且定义事件A、B

满足记为含义：每当进行随机试验E时，事件A与B

必有且仅有一个发生.2.事件的运算规律（1）交换律（2）结合律（3）分配律（4）德摩根律例1.设A,B,C

表示三个事件,试表示下列事件(1)A发生,B与C

不发生(2)A

与B

发生,C不发生(3)A,B

与C

都发生(4)A,B

与C

至少有一个发生(5)A,B

与C全不发生(6)A,B

与C

至少有两个发生例2以A表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则为(A)甲滞销乙畅销(B)甲乙两种产品均畅销(C)甲产品畅销(D)甲滞销或乙畅销解设B

=

“甲产品畅销”，C

=

“乙产品畅销”则故选D例3关系()成立，则事件A与B为对立事件。(a)(b)(c)(d)与为对立事件(c)显然成立，(d)也成立。Answer例4试证明下列等式。(1)(2)证：(1)(2)二、概率公理化定义一、频率及其性质§1.2

频率与概率三、概率的性质

研究随机现象，人们不仅关心试验中会出现哪些事件，更想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.概率是随机事件发生可能性大小的度量事件发生的可能性越大，概率就越大！

例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额.了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.1.频率的定义频率的基本性质(3)若A1,A2,...,Ak互不相容，则(非负性)(规范性)(有限可加性)试验者抛币次数n“正面向上”次数

频率德.摩根208410610.518蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998抛掷钱币试验记录问题：频率有什么规律？2.概率的公理化定义设随机试验E的样本空间为Ω，对于E中的每一个事件A赋予一个实数P(A)，称为事件A的概率,如果集合函数P(.)满足以下三个公理:（1）非负性（2）规范性（3）可列可加性若可列个事件两两互不相容，则3.概率的性质性质1性质2（有限可加性）若

两两互不相容，则性质3如果，则3.概率的性质性质4性质5性质6

推广：3.概率的性质例1已知证

例2解

例3某人外出旅游两天，据天气预报知：第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1,试求下列事件的概率：(2)第一天不下雨，第二天下雨；(4)两天都不下雨；(1)第一天下雨，第二天不下雨；(3)至少有一天下雨；解设A

=“第一天下雨”，B=“第二天下雨”则(5)至少有一天不下雨。(1)第一天下雨第二天不下雨的概率为0.5例3某人外出旅游两天，据天气预报知：第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1,试求下列事件的概率：(2)第一天不下雨，第二天下雨；(4)两天都不下雨；(1)第一天下雨，第二天不下雨；(3)至少有一天下雨；解(5)至少有一天不下雨。(2)第一天不下雨第二天下雨的概率为0.50.2例3某人外出旅游两天，据天气预报知：第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1,试求下列事件的概率：(2)第一天不下雨，第二天下雨；(4)两天都不下雨；(1)第一天下雨，第二天不下雨；(3)至少有一天下雨；解(5)至少有一天不下雨。0.50.2(3)至少有一天下雨的概率为0.8例3某人外出旅游两天，据天气预报知：第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1,试求下列事件的概率：(2)第一天不下雨，第二天下雨；(4)两天都不下雨；(1)第一天下雨，第二天不下雨；(3)至少有一天下雨；解(5)至少有一天不下雨。0.50.20.8(4)两天都不下雨的概率为0.2例3某人外出旅游两天，据天气预报知：第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1,试求下列事件的概率：(2)第一天不下雨，第二天下雨；(4)两天都不下雨；(1)第一天下雨，第二天不下雨；(3)至少有一天下雨；解(5)至少有一天不下雨。0.50.20.80.2(5)至少有一天不下雨的概率为0.9例4(订报问题)

某城市共发行三种报纸A、B、C，订购A、B、C的用户占用分别为45%,35%,30%,同时订购A、B的占10%，同时订购A、C的占8%，同时订购B、C的占5%，同时订购A、B、C的占3%,试求下列事件的概率：(1)只订购A的(2)只订购A，B的(3)只订购一种报纸的(4)只订购两种报纸的(5)至少订购一种报纸的(6)不订购任何报纸的0.30.070.730.140.90.1例5

已知求A,B,C中至少有一个发解生的概率。练习1证明练习2，求Answe:0.3§1.3

等可能概型一、等可能概型的定义二、概率计算公式三、几何型概率定义设Ω是随机试验E的样本空间，如果Ω满足以下两个条件：（1）有限性：试验的样本空间中的元素只有有限个；（2）等可能性：每个基本事件的发生的可能性相同；则称随机试验E为等可能概型或古典概型。——具有这两特点的随机试验是概率论早期的主要研究对象，故称为古典概率模型。一、等可能概型的定义二、计算公式二、计算公式■若事件A包含k个基本事件，即其中(

表示中的k个不同的数)例1

投两枚骰子，求点数之和为奇数的概率。解设A表示“点数之和为奇数”法一，

n=36nA=18法二，所有可能结果(奇,奇)，(奇,偶)，(偶,奇)，(偶,偶)A={(奇,偶)，(偶,奇)}本例说明：样本空间可以不同，但必须保证等可能。例2

有6只不同球(4白2红)，从袋中依次取两球，观察其颜色。

分别做a.有放回抽样b.不放回抽样，(1)“取到的两只球都是白球”(2)“取到的两只球颜色相同”(3)“取到的两只球中至少有一个是白球”解a.(1)(2)

(乘法原理)Ω：n=6×6=36求下列事件的概率：例2

有6只不同球(4白2红)，从袋中依次取两球，观察其颜色。

分别做a.有放回抽样b.不放回抽样，(1)“取到的两只球都是白球”(2)“取到的两只球颜色相同”(3)“取到的两只球中至少有一个是白球”解a.

(乘法原理)Ω：n=6×6=36求下列事件的概率：(3)表示“两只都是红球”，若直接考虑：例2

有6只不同球(4白2红)，从袋中依次取两球，观察其颜色。

分别做a.有放回抽样b.不放回抽样，(1)“取到的两只球都是白球”(2)“取到的两只球颜色相同”(3)“取到的两只球中至少有一个是白球”解b.(考虑先后顺序)Ω：n=6×5=30求下列事件的概率：(1)(2)(3)思考：如果不考虑顺序呢？例3

袋中有a

只白球，b

只红球，从袋中按不放回与放回两种方式取m个球（),求其中恰有k

个（）白球的概率解（1）不放回情形E1:不考虑顺序，一次取m

个球,记下颜色

1:记事件A

为m个球中有k个白球，则超几何分布（2）放回情形E2:球编号,任取一球,记下颜色,放回去,重复

m

次

2:记B

为取出的m个球中有k个白球,则二项分布（1）某指定的k

个盒子中各有一球；（4）恰有k

个盒子中各有一球；（3）某指定的一个盒子没有球；（2）某指定的一个盒子恰有m

个球()（5）至少有两个球在同一盒子中；

设有k

个不同的球,每个球等可能地落入N

个盒子中（）,设每个盒子容球数无限,求下列事件的概率:例4

（分房模型）例4

的“分房模型”可应用于很多类似场合“球”可视为人“盒子”相应视为房子信封信钥匙门锁女舞伴生日人男舞伴例5(生日问题)设每个人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即均为,那么随机选取n(≤365)人。(1)他们的生日各不相同的概率为多少？(2)至少有两个人生日相同的概率为多少？解(1)设A=“n个人生日各不相同”(2)设B=“n个人中至少有两个人生日相同”n102030405060P(A)0.116950.411440.706320.891230.970370.99412若将等可能概型中的样本点总数由有限个推广到无穷多个（不可数），就可以得到几何概型的概念。先看一个例子:引例某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率。9点10点10分钟三、几何型概率几何概型（等可能概型的推广）设样本空间为有限区域

,若样本点落入内任何区域G

中的概率与区域G

的测度成正比,则样本点落入G内的概率为例6

两船欲停同一码头,两船在一昼夜内独立随机地到达码头.若两船到达后需在码头停留的时间分别是1小时与2小时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.解设船1到达码头的瞬时为x,0

x<24

船2到达码头的瞬时为y,0

y<24设A

表示任一船到达码头时需要等待空出码头xy2424y=xy=x+1y=x-2第四节条件概率一、条件概率二、乘法公式三、全概率公式

四、贝叶斯公式

在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.一、条件概率1.条件概率的概念例如：在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).通常情况下

P(A|B)≠P(A)

引例

取一副牌,随机的抽取一张,问:(1)抽中的是k的概率;(2)若已知抽中的是红桃,问抽中的是k的概率。解A——抽中的是红桃,B——抽中的是k(1)(2)上述式子具有普遍性吗?在古典概型中,2.定义设A，B为两事件，且则称为事件A发生条件下事件B发生的条件概率。若事件A已发生,则为使B也发生，试验结果必须是既在B中又在A中的样本点，即此点必属于AB。由于我们已经知道A已发生,故A变成了新的样本空间。(3)设是两两互不相容的事件则条件概率满足概率公理化定义中的三个公理:(2)性质：条件概率满足概率的6条基本性质。非负性规范性可列可加性2)从加入条件后改变的情况考虑

3.条件概率的计算1)用定义计算:P(B)>0

掷骰子例：A={掷出2点}，

B={掷出偶数点}P(A|B）=B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数例1掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法1解法2解设A={掷出点数之和不小于10}，

B={第一颗掷出6点}应用定义在B发生后的缩减样本空间中计算例2

设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为P(B|A).例3某人有一笔资金，他购买基金、股票的概率分别为0.50、0.40，两项投资都买的概率为0.30。(1)已知他已购买基金，求他再购买股票的概率；(2)已知他已购买股票，求他再购买基金的概率。解设A=“购买基金”，B

=“购买股票”已知由条件概率的定义：即若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而P(AB)=P(BA)二、乘法公式若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).将A、B的位置对调，有故P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率设一个班30名学生采用抓阄的办法分一张音乐会入场券,问各人获得此票入场券的机会是否均等？解

设“第名学生抓到入场券”i=1,2,…,30例4同理，第i个人要抓到此入场券，必须是他前面的i-1个人都没抓到此入场券。抽签不必争先恐后.例5

设袋中有5个红球，3个黑球，2个白球，随机摸球三次，每次摸得一球不放回，求第三次才摸到白球的概率。解设A={第一次没有摸到白球}，B={第二次没有摸到白球}，C={第三次摸到白球}，则所求事件可表示为ABC。一个罐子中包含b个白球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.

例6（波里亚罐子）b个白球,r个红球于是W1W2R3R4

表示事件“连续取四个球，第一、二个球是白球，第三、四个球是红球.”

b个白球,r个红球随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.

解设Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是红球}，j=1,2,3,4应用乘法公式，可得注：当c>0时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率.这是一个传染病模型.每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)例7某公司对零部件的验收是这样规定的：在批量为100件的零部件中不放回地抽取4次，每次取1件进行检验，一旦发现次品则拒收不再检验.

只有4件均为正品时才接受.

设一批零部件共100件，其中有5件次品，求这批零部件被接受的概率.解设Ai表示“第i次抽到正品”（i=1,2,3,4），B表示“这批零部件被接受”，则一批零件共100件,其中有10件次品,每次从其中任取一个零件，取后不放回。2)如果取到一个合格品就不再取下去，求在3次内取到合格品的概率。

1)若依次抽取3次,求第3次才抽到合格品的概率；“第次抽到合格品”解设例81)一批零件共100件,其中有10件次品,每次从其中任取一个零件，取后不放回。2)如果取到一个合格品就不再取下去，求在3次内取到合格品的概率。

1)若依次抽取3次,求第3次才抽到合格品的概率；例82)设“三次内取到合格品”且互不相容假设范进每次乡试考中的概率为0.3，以Ai表示“范进第次乡试未考中”，i=1,2,3,…..则范进连考10次都是不中的概率为例9《儒林外史》中讲过一个范进中举的故事.我们来计算一下，范进晚年中举的概率究竟有多大？结论：范进晚年中举的概率高达97.18%.启示：做任何事情最重要的是持之以恒！

有三个箱子，分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球。某人从三箱中任取一箱,再从其中任意摸出一球，求取得红球的概率。解记

Ai=“球取自i号箱”,i=1,2,3;B=“取得红球”B发生总是伴随着A1，A2，A3

之一同时发生，123其中A1、A2、A3两两互不相容。看一个例子:三、全概率公式◆将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式。对求和中的每一项运用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入数据计算得：P(B)=8/15.运用加法公式得到即且

A1B、A2B、A3B两两互不相容。定义设Ω是随机试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn是

E的一组事件，如果：则称为样本空间Ω的一个划分。

，

某一事件A的发生有各种可能的原因

，如果A是由原因Bi(i=1,2,…,n)所引起，则A发生的概率是每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)我们还可以从另一个角度去理解全概率公式.由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.诸Bi是原因A是结果B1B2B3B4B5B6B7B8A例1017红3黄25蓝5白38蓝2白现有三个盒子,先在第一个盒子中任取一球,若取到红球,

则在第二个盒子中任取两球;若在第一个盒子中取到黄球，则在第三个盒子中任取两球，求第二次取到的两球都是蓝球的概率。解设=“从第一盒子取红球”=“从第一盒子取黄球”，=“第二次取两只蓝球”则该球取自哪号箱的可能性最大?

这一类问题是“已知结果求原因”.在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是在已知某结果发生的条件下，探求各原因发生可能性大小。某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率。1231红4白或者问:四、贝叶斯公式先看一个例子:某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率。记Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;

B={取得红球}求P(A1|B)运用全概率公式计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式。1231红4白?设Ω为随机试验E的样本空间,A为E的任意一个事件,定理2（贝叶斯公式）为Ω的一个划分,且则例11

在电报通讯中发出0和1的概率为0.6和0.4由于存在干扰,当发出0时,

以概率0.7和0.1接收到0和1,

以0.2的概率收到模糊信号“x”,当发出1时,

以概率0.85和0.05收到1和0，以概率0.1收到模糊信号“x”,试求:1)收到模糊信号“x”的概率；

2)收到模糊信号“x”时,译成哪个信号最好？解设=“发出信号”=“收到信号”1)2)例12用血清甲胎蛋白法诊断肝癌.已知肝癌患者反应为阳性的概率为0.95，健康人反应为阴性的概率为0.90，人群中患肝癌的概率为0.0004.现在某人检验呈阳性，求此人患肝癌的概率.解设A表示“化验呈阳性”，B表示“患肝癌”，已知应用贝叶斯公式可得案例：《伊索寓言．孩子与狼》讲的是一个小孩每天在山上放羊，山上常有狼出没。第一天，他在山上喊“狼来了，狼来了”，山下的闻声便去打狼，可到了山上发现狼没有来；第二天，他又在山上喊“狼来了，狼来了”，山下的闻声又去打狼，可到了山上发现狼又没有来；第三天，狼真的来了，可是无论小孩怎么喊叫，也没有人来救他。因为人们不再相信他了。问题：请应用概率方法解释上述现象。下面，我们用贝叶斯公式来分析这个语言故事，村民对这个小孩的可信度是如何下降的。首先，用A表示“小孩说谎”，用B表示“小孩可信”。假设“可信的孩子说谎的概率为0.1，不可信的孩子说谎的概率为0.5”，即再假设“村民过去对这个小孩的印象是较为可信”，不妨设

第一次村民上山打狼，发现狼没有来，即“小孩说谎了”。村民根据这个信息，对这个小孩的可信度改变为这说明村民上了一次当后，对这个小孩的可信度由原来的0.8下降到0.444，即改变为P(B)=0.444。在此基础上，再一次应用贝叶斯公式来计算P(B|A)，即小孩第二次说谎后，村民对小孩的可信度改变为这说明村民上了两次当后，对这个小孩的可信度由原来的0.8下降到0.138。第五节事件的独立性1.两个事件的独立性2.多个事件的独立性3.独立性的概念在计算概率中的应用显然P(A|B)=P(A)这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立。一、两事件的独立性A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}，先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设

由乘法公式知，当事件A、B独立时，有

P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻画独立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.若两事件A、B满足

P(AB)=P(A)P(B)(1)则称A与B相互独立，简称A、B独立.两事件独立的定义：定理1事件A与B相互独立的充要条件为或证

（必要性）由事件A与B相互独立，得当时，当时，定理1事件A与B相互独立的充要条件为或证

（充分性）设由乘法公式得由定义可知，事件A与B相互独立。例1从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记A={抽到K

},

B={抽到的牌是黑色的}可见

P(AB)=P(A)P(B)由于P(A)=4/52=1/13,故事件A与B独立.问事件A、B是否独立？解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.由于“甲命中”并不影响“乙命中”发生的概率，故认为A、B独立.甲、乙两人向同一目标射击,记A={甲命中},B={乙命中}，A与B是否独立？例如（即A事件发生与否并不影响B事件发生的概率）又如：一批产品共n件，从中抽取2件，定义两个事件：Ai=

{第i件是合格品}，

i=1,2◆若抽取是有放回的,则A1与A2独立.因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.◆若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.A、B独立概率的性质仅证A与独立定理2若两事件A、B独立,则也相互独立.证明故A与独立注意:三个事件的独立性

对于三个事件A、B、C，若

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)四个等式同时成立,

则称事件