椭圆的定义及其标准方程 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.1.1椭圆的定义与标准方程“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空生活剪影

小组探究

(1)取一条细绳，(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形♦如何定义椭圆?圆的定义:

平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.椭圆的定义:平面上到两个定点F1,F2的距离之和为固定值(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.(2a>2c)1.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？

回忆圆标准方程推导步骤怎么推导椭圆的标准方程呢？♦求动点轨迹方程的一般步骤：1、建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标;2、写出适合条件P（M）;3、用坐标表示条件P（M），列出方程;

4、化方程为最简形式。坐标法♦探讨建立平面直角坐标系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；

(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)(对称、“简洁”)xF1F2Ｐ(x,y)0y设P(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0)，则F1、F2的坐标分别是(

c,0)、(c,0).

P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a>2c)

（问题：下面怎样化简？）由椭圆的定义得，限制条件：由于得方程两边除以得由椭圆定义可知整理得两边再平方，得移项，再平方椭圆的标准方程那么焦点在y轴上椭圆的标准方程呢？OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0,c)♦椭圆的标准方程的特点：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹标准方程不同点相同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系焦点位置的判断♦再认识！xyF1F2POxyF1F2PO例1、(1)已知椭圆的方程为：，则a=__，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________例题543(3,0)、(-3,0)6２0F1F2CD|CF1|+|CF2|=2a答：在X轴（-3，0）和（3，0）答：在y轴（0，-5）和（0，5）答：在y轴。（0，-1）和（0，1）快问快答：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标？例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点,求它的标准方程.解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为①②联立①②,因此,所求椭圆的标准方程为求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；（3）用待定系数法确定a、b的值，

写出椭圆的标准方程.练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)焦点为F1(0,－3),F2(0,3),且a=5.答案：(1)a=,b=1,焦点在x轴上;(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；

(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).小结：求椭圆标准方程的步骤：①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定量：求a,b的值.小结：求椭圆标准方程的方法一种方法：二类方程:三个意识：求美意识，求简意识，前瞻意识已知△ABC的一边BC固定，长为8，周长为18，求顶点A的轨迹方程。.Ｐ40习题１第1，2，3题课后作业：想一想人生几何，椭圆最妙教法学法分析学情分析教学过程设计教材分析

本节课是人教A版选修2-1中的第二章第二节第一课时的内容，主要研究椭圆的定义及其标准方程，研究椭圆的方法和思想对双曲线，抛物线方程具有直接类比作用，为学习以后内容提供了基本模式和理论基础，因此本节课具有承上启下的作用，是本章的重点内容22教材分析

1、教材的地位与作用教材分析

2、教学重、难点重

点难点椭圆的定义和椭圆的标准方程椭圆标准方程的建立和推导23掌握椭圆的定义，理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆标准方程的两种形式，会用待定系数法求椭圆的标准方程学生通过亲自动手探究观察，归纳，类比，概括出椭圆的定义。通过椭圆标准方程的推导，进一步求曲线方程的方法—坐标法，并渗透数形结合，等价转化的数学思想方法。教材分析3、教学目标知识与技能目标过程与方法目标情感态度与价值观知识与技能目标

通过课堂活动参与，激发学生学习数学的热情，提高学生审美情趣，培养学生求美，求简，前瞻的三个意识,培养学生良好思维习惯；让学生经历从感性

情感态度与价值观25学情分析1.能力分析①学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程②对含有两个根式的方程的化简能力薄弱2.认知分析①学生已初步熟悉曲线方程的基本步骤②学生已经掌握直线和圆的方程及圆锥曲线的概念，对曲线的方程的概念有一定的了解③学生已经初步掌握研究直线和圆的基本方法3.情感分析学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究教学方法情境教学法互动式教学法讲练教学法问题驱动引导探究启发讲授教法、学法分析

教师如何“教”转变成引领学生如何“学”“学”中做，做中“学”分组讨论自主探究合作交流掌声不吝惜困难不退缩提问不惧怕学法指导教法、学法分析创设情境引入新课（6分钟）（20分钟）例题讲解巩固新知（7分钟）课堂练习深化新知（5分钟）1234归纳总结布置作业（2分钟）528探索新知讲授新课教学过程设计励志口号鼓掌——“爱的鼓励”课前热身创设情境引入课题1.创设情境引入课题设计意图：激发学生的学习热情，将注意力集中起来。1.创设情境引入课题设计意图：调动学生的积极性，进一步理解函数的增减性。生活剪影322.探索新知，讲授新课

小组探究

(1)取一条细绳，(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2，(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形。332.探索新知，讲授新课圆的定义:

平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.椭圆的定义:平面上到两个定点F1,F2的距离之和为固定值(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.(2a>2c)设计意图：旨在让学生通过对圆和椭圆定义的对比理解达到深刻理解并掌握椭圆定义的目的。1.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？

设计意图：旨在通过鼓励学生动手参与达到激发学生学习兴趣和求知欲的目的。回忆圆标准方程推导步骤怎么推导椭圆的标准方程呢？♦求动点轨迹方程的一般步骤：1、建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标;2、写出适合条件P（M）;3、用坐标表示条件P（M），列出方程;

4、化方程为最简形式。坐标法分母哪个大，焦点就在哪个轴上标准方程不同点相同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系焦点位置的判断xyF1F2POxyF1F2PO平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹

已知椭圆的方程为：（1）则a，b，c，焦点坐标，焦距分别是什么?(2)若CD为过左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为多少？例1F1F2CDOxy设计意图：例1旨在让学生学会通过椭圆方程来确定椭圆的几何性质，并加深对椭圆定义的理解。快问快答：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指明a2、b2，

写出焦点坐标？设计意图：快问快答旨在让学生通过简单练习达到熟练掌握椭圆方程和其几何意义的目的。已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点,求它的标准方程.例2求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；（3）用待定系数法确定a、b的值，写出椭圆的标准方程.设计意图：例2旨在让学生学会通过椭圆几何特征来确定椭圆的方程。4.课堂练习，升华新知课堂练习设计意图检测学生对椭圆标准方程的掌握。同时也可发现学生存在的共性问题。

39练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；

(1)a=,b=1,焦点在x轴上;(2)焦点为F1(0,－3),F2(0,3),且a=5.(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).5.归纳总结，布置作业1学会了……的知识回顾探究过程形成自主反思2掌握了……的方法3体会了……的思想40（1）椭圆的定义和标准方程及运用；（2）掌握了坐标法、数形结合法；（3）探究过程中体会了分了讨论、整合化归的思想。5.归纳总结，布置作业布置作业作业：课本第4