专题8.2 椭圆综合【九大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）2024年高考数学二轮复习

第第页专题8.2椭圆综合【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1椭圆的定义及其应用】 3【题型2椭圆的标准方程的求解】 5【题型3椭圆中的焦点三角形问题】 8【题型4椭圆的离心率或其取值范围问题】 10【题型5椭圆中的最值问题】 13【题型6椭圆的弦长问题】 15【题型7椭圆的“中点弦”问题】 20【题型8椭圆中的面积问题】 24【题型9椭圆中的定点、定值、定直线问题】 291、椭圆综合圆锥曲线是高考的热点内容，椭圆是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查椭圆的概念、性质以及直线与椭圆的位置关系等知识，选择、填空、解答题都会出现；与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，难度较大，需要学会灵活求解.【知识点1椭圆方程的求解方法】1．椭圆方程的求解(1)用定义法求椭圆的标准方程

根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.(2)用待定系数法求椭圆的标准方程

①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.【知识点2椭圆的焦点三角形】1．椭圆的焦点三角形(1)焦点三角形的概念

设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示.(2)焦点三角形的常用公式

①焦点三角形的周长L=2a+2c.

②在中，由余弦定理可得.

③设，，则.【知识点3椭圆离心率或其范围的解题策略】1.求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下:(1)直接求出a,c，利用离心率公式求解.(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解.(3)构造a,c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.【知识点4椭圆的弦长与“中点弦问题”】1．弦长问题(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.

(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1(a>b>0)于，两点，则或.2．“中点弦问题”(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法

①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.

②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.设，，代入椭圆方程+=1(a>b>0)，得，

①-②可得+=0，

设线段AB的中点为，当时，有+=0.

因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦中点轨迹问题的常用方法.(2)弦的中点与直线的斜率的关系

线段AB是椭圆+=1(a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标为，则弦AB所在直线的斜率为，即.

【知识点5椭圆中的最值问题的解题策略】1．椭圆中的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【题型1椭圆的定义及其应用】【例1】（2023·江西九江·三模）已知椭圆C:x28+y24=1的左右焦点分别为F1，F2，A，B为平面内异于F1，F2的两点.若AB的中点P在C上，且AC=2AF1，ADA．4 B．42 C．8 D．【解题思路】连接PF1，PF2，依题意可得PF1，PF2分别是【解答过程】如图所示，连接PF1，PF2，∵∴F1，F2分别为线段AC，∵P为AB的中点，∴PF1，PF2分别是∴BC=2PF∵P在C上，∴PF∴BC+故选：D.【变式1-1】（2023·内蒙古包头·一模）已知F1,F2是椭圆C:x216+y212=1的两个焦点，点A．9 B．20 C．25 D．30【解题思路】利用椭圆定义可得MF【解答过程】根据椭圆定义可得：MF因为MF2+即MF1+所以MF1⋅故选：C.【变式1-2】（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知椭圆C:x236+y220=1的左､右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上第一象限的点，直线PA．313 B．14 C．513【解题思路】先由点c,b2a在椭圆上可确定点P的位置，得出P【解答过程】由椭圆C:x236+y220=1，可得：因为OE=53所以PF所以PF因为PF所以PF所以PF故选：C.【变式1-3】（2023·江西上饶·模拟预测）点P为椭圆x28+y24=1上一点，曲线x2+y=1与坐标轴的交点为A，B，CA．223 B．89 C．2【解题思路】先求出A，B，C，D的坐标，得到A，B为椭圆x28+y24=1【解答过程】由曲线x2+y=1与坐标轴的交点为A，B，不妨设A−2，0，B2，则A，B为椭圆x28+y2所以PA+因为PA+PB+又PC+根据椭圆定义知点P的轨迹为以C、D为焦点的椭圆，所以轨迹方程为x2联立x28+y24=1故点P到x轴的距离为22故选：A.【题型2椭圆的标准方程的求解】【例2】（2023·广西柳州·二模）已知椭圆C的焦点为F1(0,−1),F2(0,1)，过F2的直线与C交于P，Q两点，若A．5x22C．x22+【解题思路】由已知可设F2Q=m,PF2=3m【解答过程】如图，由已知可设F2Q根据椭圆的定义QF2在△PF1F2∴故椭圆方程为：y故选：B.【变式2-1】（2023·河北唐山·模拟预测）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)A．x29+4y227=1 【解题思路】由题意有ab=183且b【解答过程】由题意知：ab=183且ba=32所以椭圆标准方程x2故选：B.【变式2-2】（2023·重庆万州·模拟预测）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为4，平行四边形ABCD内接于椭圆E，且直线A．x28+y24=1 B．【解题思路】由条件列关于a,b,c的方程，解方程可得a,b，由此可得椭圆方程.【解答过程】设Ax1,则x1所以两式相减可得y2因为直线AB与AD的斜率之积为−1所以y2−y1x设椭圆E的半焦距为c，因为椭圆E的焦距为4，所以2c=4，所以c=2，又a2=b所以椭圆E的标准方程为x2故选：A.【变式2-3】（2023·全国·模拟预测）已知F1,F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，M在E上，N在y轴上，A．x225+C．x220+【解题思路】设MxM,yM【解答过程】结合题意可得：F1−c,0,F2则由△MF1F2的面积为由2F2N连接NF1,∵以MN为直径的圆过F由②③得yM结合①得c=5∴MF1+MF2=2a=故选：B．【题型3椭圆中的焦点三角形问题】【例3】（2023·广东广州·模拟预测）已知椭圆E：x24+y23=1，点A，B在椭圆上且在x轴异侧，FA．8 B．4 C．3 D．4+2【解题思路】根据椭圆定义进行求解.【解答过程】由椭圆的定义，AF1+故选：A.【变式3-1】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆C：x24+y23=1的左､右焦点分别是F1，A．△MF1F2的周长为6 C．△MF1F2的内切圆的半径为159【解题思路】根据焦点三角形的性质即可求解AB，根据等面积法即可求解C，根据面积公式以及正弦定理及可求解D.【解答过程】由题意知，a=2，b=3，c=1由椭圆的定义知，MF1+∴△MF1F将M43,y0∴△MF1F设△MF1F2的内切圆的半径为即153=1不妨取M43,153∴△MF1F即153=1由正弦定理知，△MF1F故选:D.【变式3-2】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，过A．a212 B．a26 C．【解题思路】结合椭圆定义，有F1Q+F2Q=2a【解答过程】设F2Q=t(t>0)，则PQ因为F1Q+F2所以PF所以|PQ|2+PF所以S△Q故选：B.【变式3-3】（2023·北京·模拟预测）已知一个离心率为12，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为F1，F2，在椭圆上存在一个点P，使得∠F1PF2=60°A．36 B．23 C．22【解题思路】在△PF1F2中，利用余弦定理求得【解答过程】解：因为椭圆的离心率为12所以a=2,c=1，在△PF1F=P解得PF所以S△P12解得r=3故选：D.【题型4椭圆的离心率或其取值范围问题】【例4】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A，上、下顶点分别为B1，BA．33 B．32 C．23【解答过程】根据题意结合斜率关系可得a2=3b【解题思路】由题意可知：A(a,0)，B1(0,b)，B2(0,−b)，则因为kAB1又因为b2=a2−所以椭圆C的离心率为e=c故选：D．【变式4-1】（2024·四川绵阳·二模）设F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点，以F1为圆心且过F2的圆与x轴交于另一点P，与y轴交于点A．23 B．13−3 C．3−1【解题思路】由题意可逐步计算出点A坐标，由点A在椭圆上，将其代入椭圆方程得到等式后，借助等式即可计算离心率.【解答过程】由题意可得F1−c,0、F2则以F1为圆心且过F2的圆的方程为令x=0，则yP=±3c，由对称性，不妨取点Q在则lQF2有S△QF1又S△APF2=1代入lQF2:y=−3即A14c,化简得b2c2即有a2整理得c4−44a有e2=44−由22+613>1，故舍去，即则e=22−6故选：B.【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）已知点Ax1,y1x1y1≠0是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，过点A．13 B．33 C．53【解题思路】由题意，求得斜率建立方程，结合离心率的计算公式，可得答案.【解答过程】由l的方程为x1xa2+又因为直线OA的斜率为y1x1，所以−所以椭圆C的离心率e为1−b故选：B．【变式4-3】（23-24高二上·山东济宁·阶段练习）设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1A．22,5C．22,10【解题思路】设PF2=t，由椭圆定义和勾股定理得到e2=【解答过程】设F1−c,0，F2可设PF2=t，可得P由∠F1PF2由②÷①2，可得e2=即有λ2+1λ+1可得43≤m≤4，即则m=2时，取得最小值12；m=43即有12≤e故选：C.【题型5椭圆中的最值问题】【例5】（2023·甘肃定西·模拟预测）已知椭圆C：x29+y25=1的左、右焦点分别为F1，F2，AA．7 B．8 C．9 D．11【解题思路】根据椭圆的定义可得AB+AF1=【解答过程】

设椭圆的半焦距为c，则F22,0，如图，连接AF2，则而AB−AF2≤BF故AB+AF故选：A.【变式5-1】（2023·湖南长沙·三模）已知点M为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，椭圆的长轴长为82，离心率e=22，左、右焦点分别为F1A．62−2 B．62−3【解题思路】先求出椭圆的方程，借助于椭圆的定义得到|MF1|+|MB|=|=2a﹣（|MF2﹣MB|），结合三角形中的两边之差小于第三边得答案.【解答过程】由题意可得：2a=82e=2∴椭圆方程为：x2|MF1|+|MB|=|=2a﹣（|MF2﹣MB|）≥2a﹣|BF2|=82﹣5，当且仅当M，F2，B共线时取得最小值82故选D．【变式5-2】（2023·湖南·二模）已知F1,F2分别为椭圆C:x26A．64 B．16 C．8 D．4【解题思路】由PF12【解答过程】解：PF因为椭圆上的点P满足PF当点P为F1F2的延长线与C的交点时，P所以PF故选：B．【变式5-3】（2023·江苏南通·三模）已知F为椭圆C：x24+y2=1的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：A．5 B．6 C．4+23 D．【解题思路】利用椭圆的定义、点和圆的位置关系等知识确定正确答案.【解答过程】依题意a=2,b=1,c=3，设椭圆C的左焦点为F圆x2+y−32=1PQ+当P,F1,Q三点共线，且F而QF所以PQ+当P,F1M,Q四点共线，且F1在P,Q之间，Q是故选：D.

【题型6椭圆的弦长问题】【例6】（2023·广东·二模）已知A1−2,0是椭圆M:x2a(1)求M的方程；(2)若直线l:y=kx−1与M交于Ax1,y【解题思路】（1）根据条件列式计算得解；（2）联立方程组，由韦达定理将条件式1x1+【解答过程】（1）依题意可得a=27解得a=2,b所以M的方程为x2（2）联立x24+y2则x1+x因为y=kx−1经过定点1,0，且点1,0在M的内部，所以Δ由1x解得k2所以x1所以AB=【变式6-1】（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆C:x28+y24=1，点N0,1，斜率不为0的直线l与椭圆C(1)求圆N的半径r的取值范围；(2)求AB的取值范围.【解题思路】（1）设直线l方程，联立直线l方程与椭圆方程可得x1+x2，x1x2，进而可求得点M坐标，由圆N与直线l相切于点M可得kNM=−（2）由弦长公式可得|AB|=8(3−2k2【解答过程】（1）如图所示，

由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程为y=kx+m（k≠0），A(x1,y1)，y=kx+mxΔ=16x1+x所以y1又因为M为AB的中点，所以M(−2km又因为圆N与直线l相切于点M，所以NM⊥l，且r=|MN|，所以kNM所以kNM=m所以M(2k,−1)，Δ=8(8k2所以r=|MN|=(2k−0)2+所以1<k2+1<所以圆N的半径r的取值范围为(2,10（2）由（1）知，2k所以|AB|=1+k2×(令t=2k2+1，则k所以|AB|=8(4−t)×显然y=−t+4t+3所以0<−t+4t+3<6，所以0<2故|AB|的取值范围为(0,26【变式6-2】（2023·北京顺义·一模）已知椭圆C:x2a2+y2(1)求椭圆C的方程；(2)过点D0,1斜率为k的直线l交椭圆C于M,N，直线MA,NB分别交直线y=t−2<t<2于点P,Q．若DP=【解题思路】（1）由题意可得a,b的值，即可得椭圆方程；（2）设直线l的方程为y=kx+1，设Mx1,y1，Nx2,y【解答过程】（1）由题意可知：b=2,a=2所以椭圆C的方程为x2（2）直线l的方程为y=kx+1，设Mx1,直线l与椭圆方程x28+y24=1则Δ>0,直线MA的方程为：y=y1−2x1直线NB的方程为：y=y2+2x2∵DP=法一：易知xP与x∴x∴∴∴∴∴∴∴(∴(∵∴t=1法二：∴∴t−2∵k∴∴∴t=1∵−2<t<2∴t=1.【变式6-3】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆C:x24+y2=1的左焦点为F，直线l与圆M:x2+y2=1(1)求AB的最小值；(2)设O为坐标原点，若∠ABF=2∠AOP，求l的方程．【解题思路】（1）根据题意设Ax1,y1，Bx2,y2，直线l：（2）结合（1），不妨令x1<x2，且求出x1，x2，根据题意得到cos∠ABF=cos2∠AOP，再根据余弦的定义得到cos∠AOP，再利用焦半径公式得到AF，【解答过程】（1）设Ax1,又A在第一象限，B在第四象限，则可设直线l：x=my+n，且1≤n<2，又直线l与圆M相切，则有−n1+m2=1，得联立x=my+nx24+y则y1+y所以x1+x所以AB2===48n2又由对勾函数的性质可得fx=x+9x在又f1=10，f4=254，所以当n2故当n=1，即直线l的方程为x=1时，AB取得最小值，且最小值为3．（2）结合（1），不妨令x1则由x1+x解得x1=4n−2由∠ABF=2∠AOP，则cos∠ABF=cos2∠AOP又OA=x1又由焦半径公式有AF=a+ex1=2+又由（1）有AB2=48则由余弦定理得cos∠ABF=联立①②③④⑤⑥⑦求得n=3，m=±所以直线l的方程为x+2y−3【题型7椭圆的“中点弦”问题】【例7】（2023·河南·模拟预测）已知直线l:3x+4y−11=0与椭圆C:x24+y2m2=1交于A,BA．33 B．22 C．32【解题思路】根据给定条件，利用中点弦问题求出m2【解答过程】依题意，直线l的斜率为−34，设A(x1,由x124+y解得m2=6，此时椭圆C:x24所以椭圆C的离心率e=m故选：A.【变式7-1】（2023·江西·模拟预测）已知直线l1:y=2x+2过椭圆C；x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点，与C交于A，B两点，与l1平行的直线l2与C交于M，N两点，若ABA．x24+C．x29+【解题思路】运用点差法，结合直线斜率公式进行求解即可.【解答过程】设Ax则x12a2所以y若O为坐标原点，则kOP=−b22a2，同理k即kOP=kPQ=−b22解得a2=9b2故选：C.【变式7-2】（23-24高二上·江西·期中）设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的上顶点为B(1)求E的标准方程；(2)若直线l与E交于P，Q两点，且点A−1,1为PQ中点，求直线l【解题思路】（1）由题意，可直接求出点B，F，从而确定基本量的值，进而求出椭圆的方程；（2）分直线斜率存在和不存在两种情况分析，当斜率不存在时，直曲联立，解方程即可进行取舍；当斜率存在时，直曲联立，结合韦达定理和中点坐标公式列方程即可求.【解答过程】（1）由题意，直线x−y+2=0与x轴的交点为F−2,0，与y轴的交点为B所以b=2，c=2，a2因此E的标准方程为x2（2）当直线l的斜率不存在时，l：x=联立，解得x=−1y=72故P−1,72，Q−1,−72，不满足当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+1+1，Px联立x28+即2k所以x1由于A−1,1为PQ的中点，所以x1+x2综上，直线l的方程为y=12x+1【变式7-3】（2023·河北承德·模拟预测）已知斜率为k的直线l与椭圆C:x26+y23=1交于(1)若n=1，m=−1，求k的值；(2)若线段AB的垂直平分线交y轴于点P0,−13，且AB【解题思路】（1）根据中点坐标，利用点差法求中点弦的斜率；（2）令直线l为y=k(x−n)+m，讨论k=0、k≠0，应用点差法得k=−n2m，写出中垂线PM方程，根据M(n,m)在PM上求得m=13，进而得到【解答过程】（1）由题设xA26又xA+x所以kl（2）由题意，直线l斜率一定存在，令直线l为y=k(x−n)+m，若k=0时l:y=m且M(0,m)，−3<m<3，此时中垂线PM与题设中，垂直平分线与y轴交于P0,−若k≠0，由（1）知：n(xA−则中垂线PM为y+13=2mn所以3mn−n=0，得n=0或m=13，当n=0时k=0不满足要求，故故k=−3n2，即l:y=1整理得9(2+9n所以xA+xB=2n，xAx由AB=4PM，则(4+9n所以l:y=1±x.综上，直线l的方程为y=±x+1.【题型8椭圆中的面积问题】【例8】（2023·广西·模拟预测）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），直线l(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A−2,0，B2,0，M，N是椭圆C上不同于A，B的两点（其中M在x轴上方），若直线BN的斜率等于直线AM的斜率的2倍，求四边形【解题思路】（1）根据题设得c=2且a=（2）设直线AM的方程为y=kx+2，k>0，Mx1,y1，联立椭圆，应用韦达定理用k表示出M坐标，进而得到直线BN的方程为y=2kx−2，设Nx2【解答过程】（1）设椭圆的焦距为2c，直线l恒过点2,0，所以c=椭圆的下顶点0,−b到直线l的距离d=b+由题意得a=b+22椭圆C的标准方程为x2（2）由题意，设直线AM的斜率为k（k>0），即直线AM的方程为y=kx+2联立直线AM与椭圆方程y=kx+2x24+设Mx1,y1，由韦达定理得−2直线BN的斜率等于直线AM的斜率的2倍，直线BN的方程为y=2kx−2设Nx2,y2则四边形AMBN的面积S=12=24×4k+令t=4k+1k，则4k+1则S=24t+2t≤【变式8-1】（2023·全国·模拟预测）已知F1，F2分别为椭圆Γ：x24+y2b2=1的左、右焦点，过点F2的直线l(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)若过点F2的直线l2与椭圆Γ交于C，D两点，且l1【解题思路】（1）根据题意，由△AF1F2的周长即可得到（2）根据题意，分直线斜率存在与不存在讨论，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，弦长公式，代入计算，即可得到结果.【解答过程】（1）设F1−c,0，F2c,0c>0解得c=3，所以b所以椭圆Γ的标准方程为x2（2）

当直线l1，l2中的一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为0时，四边形ACBD的面积当直线l1，l设l1的方程为y=kx−3，A联立得y=kx−3x则Δ=192则x1+xAB=因为l1⊥l2，故直线同理可得CD=41+k2k2则四边形ACBD的面积S=1令t=k+1k2，则易知函数y=2−184t+9在4,+∞所以S∈32综上所述，四边形ACBD面积的取值范围为3225【变式8-2】（2023·福建龙岩·二模）已知椭圆K:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1−2,0，F22,0，过右焦点F2(1)求椭圆K的方程；(2)过点M作ME⊥x轴于点E，过点N作NQ⊥x轴于点Q，QM与NE交于点P，是否存在直线l使得△PMN的面积等于62？若存在，求出直线l【解题思路】（1）根据已知条件结合椭圆的定义求出2a，由焦点坐标可知c的值，利用a，b，c的关系可求出b2（2）依题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程为x=my+2(m≠0)，与椭圆的方程联立，结合韦达定理表示出P点的坐标，将三角形的面积表示为关于m的函数，解方程求出m的值即可．【解答过程】（1）

设MF2=2r，D依题意，得：OD=22−r所以，2a=MF1又c=2，所以b2所以椭圆C的方程为x2（2）

依题意，当直线l斜率为0时，不符合题意；当直线l斜率不为0时，设直线l方程为x=my+2(m≠0)，联立x=my+2x28易知Δ=16设M(x1,则y1+y因为ME⊥x轴，NQ⊥x轴，所以E(x1,0)所以直线QM:y=y直线NE:y=y联立①②解得xp因为ME∥NQ，ME与直线x=4平行，所以S△PMN因为my所以S△PMN由22m2故存在直线l的方程为x−2y−2=0或x+2y−2=0，使得【变式8-3】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆C：x2a2+y2b(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线PQ交椭圆C于P，Q两点，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，已知k1=3k2，设△APQ和△BPQ的面积分别为【解题思路】（1）依题意列式即可求解；（2）先讨论直线PQ的斜率为0的情况，斜率不为0时，联立直线方程和椭圆方程，用韦达定理结合已知条件证明直线PQ恒过x轴上一定点，再表示出S1【解答过程】（1）由题意知c解得a2=4,b2=1,（2）依题意，A−2,0，B2,0，设Px若直线PQ的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有kAP=−k所以直线PQ的斜率必不为0，设其方程为x=ty+nn≠±2与椭圆C的方程联立x得t2所以Δ=16t因为Px1,所以kAP⋅k则kAP=−1因为12=12y==12n+2t所以n=−1，此时Δ=16故直线PQ恒过x轴上一定点D−1,0因此y1+y所以S1−===4=4−则1t2+4∈0,14，当1【题型9椭圆中的定点、定值、定直线问题】【例9】（2023·河南·模拟预测）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1(1)求椭圆E的方程;(2)点M，N分别为椭圆E的上、下顶点，过直线y=2上任意一点P作直线PM和PN，分别交椭圆于S，T两点.证明：直线ST过定点.【解题思路】（1）由椭圆定义并结合△GHF2的周长为（2）利用数型结合，设出直线PM，PN分别与椭圆联立，然后利用根与系数关系从而求解.【解答过程】（1）由题意知，△GHF2的周长为4a，则4a=8，所以又

c=3，则b²=a²−c²=4−3=1所以椭圆E的方程为x2（2）由题意可作出图形，如图，由题意知，M0,1，N0,−1，直线PS，PT，设Pm,2，m∈R,m≠0，则直线PS：y=由y=xm因为Δ=64m2>0即xS=−8mm直线PN：y=3xm−1，由y=因为Δ=24所以xT=24mm所以kST所以直线ST方程为：y=12−所以直线ST过定点0【变式9-1】（2023·广西·模拟预测）在椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的蒙日圆上一点M，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N，若kOM，kON存在．证明：【解题思路】（1）根据椭圆所过的点，列方程求解a2（2）由题意可得椭圆的蒙日圆方程，由此讨论直线MN斜率不存在和存在两种情况，存在时，设直线MN的方程y=kx+t，联立直线和椭圆方程，求得参数间的关系，联立直线和蒙日圆方程可得根与系数关系，化简kOM【解答过程】（1）将A22,32可得12a2所以椭圆C的方程为：x2（2）由题意可知，蒙日圆方程为：x2（i）若直线MN斜率不存在，则直线MN的方程为：x=2或x=−不妨取x=2，代入x2+不妨取M2,1，N2,−1，∴kOM（ii）若直线MN斜率存在，设直线MN的方程为：y=kx+t，联立y=kx+tx22据题意有Δ=16k2设Mx1,y1（x联立y=kx+tx2+Δ1x1+x则k=k∵t2=2k综上可知，kOM⋅k【变式9-2】（2023·广东梅州·一模）已知动圆M经过定点F1−3,0，且与圆F(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设PB交直线x=4于点T，连接AT交轨迹C于点Q，直线AP，AQ的斜率分别为kAP，k①求证：kAP②证明：直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标.【解题思路】（1）设出动圆M的半径r，然后由几何关系可得MF（2）①分别求出A,B的坐标，设P(x1,y1②中设出直线方程x=ty+n，然后与椭圆方程C联立，再利用根与系数的关系及①中结论，即可求解.【解答过程】（1）设动圆的半径为r，由题意得圆F2的圆心为F23所以|MF1|=r，|M所以动圆圆心M的轨迹C是以F1，F2为焦点，长轴长为4因此动圆圆心M的轨迹C的方程为x2（2）①设P(x1,y1由（1）可知A(−2,0)，B(2,0)，如图所示，所以kAp=y又因为kBP=kBT，即所以kAP又x124因此kAP②设直线PQ的方程为x=ty+n，由①中知P(x1,由x=ty+n，x24+由根与系数的关系得y1+y即y1x1+2×y2所以直线PQ的方程为x=ty+1，所以直线PQ经过x轴上的定点，定点坐标为1,0.【变式9-3】（2023·四川成都·二模）已知A1−3,0和A23,0是椭圆η:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点，直线l与椭圆η相交于(1)求椭圆η的标准方程；(2)若直线OM与椭圆η的另外一个交点为S，直线A1S与直线A2N相交于点P，直线PO与直线l相交于点【解题思路】（1）设Mx1,y1，Nx2（2）设直线l的方程为：x=my+n(m≠0,n≠0)，联立直线l和椭圆方程，结合韦达定理可得y1y2，y1+y2，结合三点共线可得y0x0+3【解答过程】（1）设Mx1,所以kA1M由题意知a=3，所以x1所以b2则椭圆η的标准方程为x2（2）证明：设直线l的方程为：x=my+n(m≠0,n≠0)，联立椭圆η的方程，得x=my+nx所以5m则Δ=180由根与系数的关系，得y1y2设Px由P，S，A1三点共线，得y由P，N，A2三点共线，得y则2=2m+n−3所以直线OP的斜率为kOP则直线OP的方程为y=n+3联立直线OP与直线l的方程，可得y=n+33mx所以点Q在一条定直线上，该定直线的方程为x=−3．1．（2023·全国·高考真题）设F1,F2为椭圆C:x25+y2=1A．1 B．2 C．4 D．5【解题思路】方法一：根据焦点三角形面积公式求出△PF方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．【解答过程】方法一：因为PF1⋅从而S△FP1故选：B.方法二：因为PF1⋅PF所以PF12PF12故选：B.2．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，F1,F2为椭圆C:x29+y26A．135 B．302 C．145【解题思路】方法一：根据焦点三角形面积公式求出△PF1F2的面积，即可得到点方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出PF方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出PF【解答过程】方法一：设∠F1P由cos∠F1由椭圆方程可知，a2所以，S△PF1即xp2=9×故选：B．方法二：因为PF1+即PF解得：PF而PO=12即PO=故选：B．方法三：因为PF1+即PF12由中线定理可知，2OP2+F1故选：B．3．（2023·全国·高考真题）设椭圆C1:x2a2+y2A．233 B．2 C．3 【解题思路】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.【解答过程】由e2=3e1，得e22故选：A.4．（2023·全国·高考真题）已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于A，BA．23 B．23 C．−2【解题思路】首先联立直线方程与椭圆方程，利用Δ>0，求出m范围，再根据三角形面积比得到关于m【解答过程】将直线y=x+m与椭圆联立y=x+mx23+y因为直线与椭圆相交于A,B点，则Δ=36m2设F1到AB的距离d1,F2到AB则d1=|−S△F1ABS故选：C.5．（2022·全国·高考真题）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13，A1,A．x218+y216=1 B．【解题思路】根据离心率及BA1⋅【解答过程】解：因为离心率e=ca=1−bA1,A2分别为B为上顶点，所以B(0,b).所以BA1所以−a2+b2故椭圆的方程为x2故选：B.6．（2022·全国·高考真题）椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于A．32 B．22 C．12【解题思路】设Px1,y1，则Q−x1,【解答过程】[方法一]：设而不求设Px1则由kAP⋅k由x12a所以b2a2所以椭圆C的离心率e=c[方法二]：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：k故kAP由椭圆第三定义得：kPA故b所以椭圆C的离心率e=c故选A.7．（2023·北京·高考真题）已知椭圆E:x2a2+y