专题2.1 函数的解析式与定义域、值域【八大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）2024年高考数学二轮复习

第第页专题2.1函数的解析式与定义域、值域【七大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1具体函数的定义域的求解】 2【题型2抽象函数的定义域的求解】 3【题型3已知函数定义域求参数】 4【题型4已知函数类型求解析式】 6【题型5已知f(g(x))求解析式】 8【题型6函数值域的求解】 10【题型7根据函数的值域或最值求参数】 121、函数的解析式与定义域、值域函数的解析式与定义域、值域问题是高考数学的必考内容。函数问题定义域优先，在解答函数问题时首先要考虑定义域；函数的解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题、实际应用问题；基本不等式问题；数列的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；解析几何的函数性研究问题等；常常需要转化为求最值问题。在二轮复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，也要多训练综合性较强的题目.【知识点1函数的定义域的求法】1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.【知识点2函数解析式的四种求法】1.函数解析式的四种求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).【知识点3求函数值域的一般方法】1．求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法.【题型1具体函数的定义域的求解】【例1】（2023上·江苏南京·高一校考阶段练习）函数fx=3−xx−1的定义域为（

）A．−∞,3 B．1,+∞ C．1,3【解题思路】由函数形式得到不等式组，解出即可.【解答过程】由题意得3−xx−1≥0x−1≠0，解得1<x≤3故选：C.【变式1-1】（2023·海南·模拟预测）函数f(x)=A．−∞,1 B．1,2 C．−∞,2 D．−∞,1【解题思路】根据表达式有意义列出不等式组求解即可【解答过程】由题知2−x⩾0x−1≠0即函数f(x故选：D.【变式1-2】（2023上·江西景德镇·高一统考期中）函数f(x)=x−30+A．−∞,1∪C．−∞,1∪【解题思路】根据题意可得，x−3≠03−x≥0【解答过程】根据题意可得，x−3≠03−x≥0x−1≠0，解得x<3且所以函数f(x)=x−30+故选：C.【变式1-3】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知函数y=fx的定义域为0,4，则函数y=f(x+1)x−1A．1,5 B．1,2∪2,5 C．1,2∪【解题思路】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答.【解答过程】因为函数y=fx的定义域为0,4，又函数y=则有0≤x+1≤4x−1>0x−2≠0，解得1<x<2或所以函数y=f(x+1)x−1+故选：C.【题型2抽象函数的定义域的求解】【例2】（2023·江苏镇江·扬中市校考模拟预测）若函数y=f2x的定义域为−2,4，则y=fx−fA．−2,2 B．−2,4C．−4,4 D．−8,8【解题思路】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数fx的定义域，对于函数y=fx−f−x，可列出关于【解答过程】因为函数y=f2x的定义域为−2,4，则−2≤x≤4，可得−4≤2x≤8所以，函数y=fx的定义域为−4,8对于函数y=fx−f−x，则有−4≤x≤8因此，函数y=fx−f−x故选：C.【变式2-1】（2023下·辽宁·高二校联考阶段练习）若函数f2x−1的定义域为−3,1，则y=f3−4xA．1 B．1,32 C．32【解题思路】根据题意先求得函数fx的定义域为−7,1，然后结合抽象函数定义域与x−1【解答过程】由题意可知−3≤x≤1，所以−7≤2x−1≤1，要使函数y=f3−4xx−1有意义，则−7≤3−4x≤1,故选：D.【变式2-2】（2022上·湖南衡阳·高一校考期中）已知函数fx+1的定义域为[1,7]，则函数ℎx=f(2x)+A．[4,16] B．(−∞,1]∪[3,+∞) C．【解题思路】根据给定条件，结合抽象函数定义域的意义，列出不等式求解作答.【解答过程】函数fx+1的定义域为[1,7]，则2≤x+1≤8，因此在f(2x)中，2≤2x≤8函数ℎx=f(2x)+9−x2所以函数ℎ(x)的定义域为[1,3].故选：C.【变式2-3】（2021·高一单元测试）已知函数f(x)的定义域为(0,1)，若c∈(0,12)，则函数g(x)=f(x+c)+f(x−c)A．(−c,1−c) B．(c,1−c) C．(1−c,c) D．(c,1+c)【解题思路】由已知函数的定义域有{0<x+c<1【解答过程】由题意得：{0<x+c<10<x−c<1，即{−c<x<1−c∴c<x<1−c．故选：B.【题型3已知函数定义域求参数】【例3】（2023上·陕西西安·高一统考期中）已知函数fx=mA．[1,9] B．(1,9)C．(−∞,1]∪[9,+∞【解题思路】利用题给条件列出关于m的不等式，解之即可求得实数m的取值范围.【解答过程】由题意得mx2+(m−3)x+1≥0当m=0时，不等式可化为−3x+1≥0，其解集不是R，不符合题意；当m≠0时，由该不等式恒成立可得m>0m−32−4m≤0综上，实数m的取值范围是1≤m≤9故选：A.【变式3-1】（2023上·高一课时练习）若函数y=ax+1在区间−2,−1A．1 B．2C．3 D．4【解题思路】分a<0，a=0，a>0，求出不等式ax【解答过程】当a<0时，由ax+1≥0可得，x≥−a或x<0，在区间当a=0时，函数y=1x≠0，显然在区间−2,−1当a>0时，由ax+1≥0可得，x≤−a或要使函数在区间−2,−1上有意义，则应有−a≥−1，所以，a≤1，所以0<a≤1.综上所述，a≤1.故选：A.【变式3-2】（2023上·辽宁鞍山·高一期中）已知函数f(x)=a2−1x2+(a+1)x+1的定义域为A．−1,53 C．53,+∞【解题思路】分a=1、a=−1、a≠±1三种情况，结合二次函数的性质即可求解.【解答过程】当a=1时，f(x)=2x+1，则2x+1≥0，得x≥−12当a=−1时，f(x)=1，定义域为R，符合题意；当a≠±1时，由题意得关于x的不等式a2故a2−1>0Δ=(a+1)综上，实数a的取值范围是(−∞故选：D.【变式3-3】（2022上·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知函数f(x)=(1)若f(2)=2，求实数m及ff(2)若m=10，求fx(3)若fx的定义域为1,+∞，求实数【解题思路】（1）根据f(2)=2求出m的值，然后即可求出ff（2）根据m=10可得出fx的解析式，让解析式有意义即可求出f（3）根据fx的定义域可得出y=x2−3x−m的最小值【解答过程】（1）f(2)=−2−m=2，解得m=−6，所以f(x)=x所以ff（2）当m=10时，f(x)=x2−3x−10x−1，要使解得x≥5，所以fx的定义域为5,+（3）因为fx的定义域为1,+所以y=x2−3x−m=所以y=x2−3x−m的最小值y所以m的取值范围为−∞,【题型4已知函数类型求解析式】【例4】（2023上·高一课时练习）图象是以1,3为顶点且过原点的二次函数fx的解析式为（A．fx=−3xC．fx=3x【解题思路】由待定系数法求函数解析式问题，根据题意可以设二次函数的顶点式，然后根据函数过原点，将0,0代入即可.【解答过程】设图象是以1,3为顶点的二次函数fx=ax−1因为图象过原点，所以0=a+3，a=−3，所以fx故选：A.【变式4-1】（2023上·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）已知函数f(x)是一次函数，且f[f(x)−2x]=3，则f(5)=（

）A．11 B．9 C．7 D．5【解题思路】设fx=ax+ba≠0，根据f[f(x)−2x]=3恒成立可得a【解答过程】设fx则f[f(x)−2x]=fax+b−2x整理得a2所以a2−2a=0ab+b−3=0所以fx=2x+1，所以故选：A.【变式4-2】（2023上·河北石家庄·高一校考期中）已知f(x)是二次函数，若f(0)=0，且f(x+1)=f(x)+x+1．(1)求二次函数的解析式；(2)当−1≤x≤1时，求二次函数的最大值与最小值．【解题思路】（1）设fx=ax（2）根据二次函数的性质即可得解.【解答过程】（1）设fx由f(0)=c=0，得c=0，所以fx由f(x+1)=f(x)+x+1，得ax+1即ax2+所以2a+b=b+1a+b=1，解得a=b=所以fx（2）函数fx=1所以fx【变式4-3】（2023上·安徽·高一校联考期中）已知一次函数f(x)满足f(f(x))=x+3.(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)=xf(x)−1【解题思路】（1）直接由待定系数法列出方程组即可求解.（2）所求式子为对称结构，通过验证发现g(x)+g(1【解答过程】（1）设f(x)=ax+b(a≠0).则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a于是有a2=1ab+b=3，解得a=1b=3（2）由（1）知g(x)=xx+1，则g(1∴g(2)+g(12)=g(3)+g(∴g(1)+g(2)+⋯+g(2023)+g(1【题型5已知f(g(x))求解析式】【例5】（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数f1−x=1−x2A．1x−12−1x≠0 B．1x−12【解题思路】利用换元法令t=1−x，运算求解即可.【解答过程】令t=1−x，则x=1−t，且x≠0，则t≠1，可得ft所以fx故选：B.【变式5-1】（2023上·天津南开·高一南开中学校考期中）已知fx−1x=xA．fx+1=x+1C．fx+1=x【解题思路】利用配凑法先求出函数fx，再整体代入即可求出函数f【解答过程】因为f所以f所以fx+1=x+1故选：C.【变式5-2】（2023上·河南·高一校联考期中）已知函数fx满足f(1)求f2−x(2)求f1【解题思路】（1）代入求解即可；（2）利用fx【解答过程】（1）fx∴f2−x=1故f2−x（2）fx所以f1所以f1【变式5-3】（2023上·安徽蚌埠·高一校考期中）求下列函数的解析式：(1)已知fx+2=2x+3，求(2)已知fx+1=x+2(3)已知fx是一次函数，且ffx(4)定义在区间−1,1上的函数fx满足2fx−f【解题思路】（1）利用配凑法求解即可；（1）利用配凑法或换元法求解即可；（3）利用待定系数法求解即可；（4）利用方程组法求解即可.【解答过程】（1）因为fx+2所以fx（2）解法一（换元法）：令t=x+1，t≥1，则所以ft所以fx解法二（配凑法）：fx因为x+1≥1，所以f（3）设fx则ff所以k2=16kb+b=−25，解得k=4所以fx=4x−5或（4）对任意的x∈−1,1有−x∈由2fx得2f−x联立①②解得，fx【题型6函数值域的求解】【例6】（2023上·福建厦门·高一校考期中）已知函数f(x)=x2−2x−2,x∈[−2,2]，函数f(x)A．[−3,6] B．[−2,6] C．[2,10] D．[1,10]【解题思路】根据二次函数的性质即可得到值域.【解答过程】f(x)=x因为x∈[−2,2]，所以fx的值域为f1,f故选：A.【变式6-1】（2023上·江苏苏州·高一苏州中学校考期中）函数y=1−x+1−2x的值域为（

A．−∞,12 B．0，+∞ 【解题思路】令1−2x=t，t≥0，可得y=【解答过程】令1−2x=t，t≥0，则x=所以函数y=1+t2−1t=0时，y有最小值12所以函数y=1−x+1−2x的值域为1故选：C.【变式6-2】（2023上·河南郑州·高一统考期中）下列函数中与函数y=x2值域相同的是（

A．y=x B．y=1x C．y=−x2【解题思路】先得出函数y=x2【解答过程】函数y=x2=x对于A，函数y=x的值域为R，故A错误；对于B，函数y=1x的值域为y对于C，函数y=−x2≤0对于D，y=x2−2x+1=故选：D.【变式6-3】（2023上·安徽芜湖·高一校考阶段练习）在实数集R中定义一种运算“∗”，具有下列性质：①对任意a，b∈R，a∗b=b∗a；②对任意a∈R，a∗0=a；③对任意a，b∈R，a∗b∗c=c∗则函数fx=x∗xA．−∞,5 B．−98,5 【解题思路】注意新定义的运算方式即可.【解答过程】在③中，令c=0，则a∗b=ab+a+b，所以fx函数fx在x=−32时取最小值，最小值为−98；在x=2故选：B．【题型7根据函数的值域或最值求参数】【例7】（2023上·吉林长春·高一校考阶段练习）若函数fx=2a2A．a=−1或a=−32 C．a≠−1且a≠−32 【解题思路】根据题意f(x)表示一次函数，可得出系数的特征，即可求出结论.【解答过程】若2a2+5a+3≠0，f(x)所以f(x)为一次函数，2a2+5a+3=0故选:D.【变式7-1】（2023·全国·统考一模）函数f(x)=x2−4x−6的定义域为[0,m]，值域为[−10,−6]A．[0，4] B．[4，6] C．[2，6] D．[2，4]【解题思路】因为函数fx=x2−4x−6【解答过程】函数fx且以直线x=2为对称轴的抛物线，故f0∵函数fx=x2−4x−6所以2≤m≤4，即m的取值范围是2,4,故选D.【变式7-2】（2022上·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）已知f((1)若a=4时，求f(2)函数g(x)=x2+1f【解题思路】（1）根据函数解析式，采用分离常数项的方法，结合不等式性质，可得答案；（2）根据二次根式的定义，结合二次函数的性质，可得答案.【解答过程】（1）由a=4，则f由不等式性质，则x2≥0，1+x2≥1，0<故fx∈−2,4，即f（2）由题意，gx由函数ℎ(x)=g(x)当a=0当a≠0时，根据二次函数的性质，可得a其中a−42−2a≥0，a2−8a+16−2综上，故a∈【变式7-3】（2023上·广东广州·高一校考期中）已知函数fx满足f(1)求f1的值，并求出f(2)若函数g(x)=f(x)−(2t−1)x，且g(x)在[4,5]的最大值与最小值的差值恒小于4，求实数t的取值范围．【解题思路】（1）令x=0代入求f1；利用构造法求f（2）g(x)=x2−2tx+1，讨论对称轴与区间[4,5]【解答过程】（1）因为函数fx满足所以令x=0得：f1=0由fx+1fx（2）函数g(x)=f(x)−(2t−1)x=x2−2tx+1，对称轴为x当t≤4时，g(x)在[4,5]单调递增，所以g(x)max=g(5)，g(x)min=g(4)，所以有g(5)−g(4)<4，即当4<t≤4.5时，g(x)在[4,t]单调递减，在[t,5]单调递增，且5−t≥t−4，所以g(x)max=g(5)=26−10t，g(x)min=g(t)=−t当4.5<t≤5时，g(x)在[4,t]单调递减，在[t,5]单调递增，且5−t<t−4，所以g(x)max=g(4)=17−8t，g(x)min=g(t)=−t当t>5时，g(x)在[4,5]单调递减，所以g(x)max=g(4)，g(x)min=g(5)，所以有g(4)−g(5)<4，即综上所述：52即实数t的范围是521．（2015·山东·统考高考真题）函数y=x+1+1A．xx≥−1且x≠0 B．C．xx>−1且x≠0 D．【解题思路】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.【解答过程】由函数解析式有意义可得x+1≥0且x≠0所以函数的定义域是xx≥−1且x≠0故选：A.2．（2022·北京·统考高考真题）函数f(x)=1x+1−x的定义域是【解题思路】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【解答过程】解：因为fx=1x+1−x，所以故函数的定义域为−∞故答案为：−∞3．（2021·浙江·统考高考真题）已知a∈R，函数f(x)=x2−4,x>2x−3+a,x≤2,若f【解题思路】由题意结合函数的解析式得到关于a的方程，解方程可得