第07讲 向量法求距离、探索性及折叠问题 高频考点-精练（解析版）备战2024年高考数学一轮复习精讲精练（艺考生基础版）

第第页第07讲向量法求距离、探索性及折叠问题(精练）A夯实基础一、单选题1．已知平面的一个法向量为，且，则点A到平面的距离为（

）A． B． C． D．1【答案】B【详解】∵，∴，又平面的一个法向量为，∴点A到平面的距离为故选：B2．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，已知点，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，平面的一个法向量为，，所以所以点到平面的距离．故选：D．3．已知动直线l过点A(1，－1,2)，和l垂直的一个向量为，则P(3,5,0)到l的距离为（

）A．5 B．14 C． D．【答案】C【详解】∵＝(－2，－6,2)，·n＝(－2，－6,2)·(－3,0,4)＝14，|n|＝5，∴点P到直线l的距离为d＝＝.4．四棱锥P-ABCD中，，，则这个四棱锥的高h为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】在四棱锥中，，，，，1，，，1，，设平面的法向量为：，，．则，可得：，不妨令，则，，可得，12，．，1，在平面上的射影就是这个四棱锥的高，，．故选：．5．如图，已知梯形，．，沿着对角线折叠使得点B，点C的距离为，此时二面角的平面角为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】分别过作，垂直，交于，如图所示：因为，，所以梯形为等腰梯形，则，.在中，，，则.所以，则，即.沿着对角线折叠使得点B，点C的距离为，如图所示：在中，，，则，即.所以平面.又因为平面，所以平面平面，即二面角的平面角为.故选：D6．如图，在梯形中，，四边形为矩形，点为的中点，沿，折叠，使得点与重合于点，如图2，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知是边长为1的正三角形，，平面，，，将该几何体补形为直三棱柱，如图所示，取的中点，连接，，则由三角形中位线定理，，所以为异面直线与所成的角或其补角．在中，，在中，，所以．取的中点，连接，，则，，，所以，在中，，，，由余弦定理得：所以，故异面直线与所成角的余弦值为．故选：B7．如图，正方形沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为A．2 B． C． D．【答案】C【详解】设正方形边长为，和的交点为，过作的平行线交于,则二面角的平面角就是，因，，且平面平面，，所以，所以，即，所以，故选：C二、多选题8．已知平面的法向量为，点为内一点，若点到平面的距离为4，则的值为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】AD【详解】解：由向量法可知，点到平面的距离公式为，又，，由点到平面的距离为4，有解得或故选：AD9．[多选题]下列命题中正确的是（

）．A．可以用求空间两点A，B的距离B．设是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，点A在平面内，则点B到的距离为C．若直线l与平面平行，直线l上任意一点与平面内任意一点的距离就是直线l与平面的距离D．若平面与平面平行，则平面内任意一点到平面的距离就是平面与平面之间的距离【答案】ABD【详解】根据向量数量积的定义可知A显然正确，由点到平面的距离，面面距的定义以及向量公式易知B，D正确．C中，直线l上任意一点到平面的垂线段的长度为直线l与平面的距离，故C错误．故选：ABD．三、填空题10．如图，在长方体中，，，､､分别是､､的中点，则直线到平面的距离为___________.【答案】【详解】以D为原点，DC，DA，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，由题，则，，因为､､分别是､､的中点，所以，，，则，所以，所以平面，所以点E到平面的距离即为直线到平面的距离，设平面的法向量为，则，因为，所以，取，则，，所以是平面的一个法向量，又向量，所以点E到平面的距离为，即直线到平面的距离为.故答案为：11．如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，，且，为的中点，则点到平面的距离为___________.【答案】【详解】因为，，由勾股定理可知，，，所以直线两两垂直.以为原点，所在的直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.设平面的法向量为，则，令，得，所以点到平面的距离.故答案为：.四、解答题12．如图，已知长方体＝＝1，直线BD与平面所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为的中点．(1)求异面直线AE与BF所成的角的余弦；(2)求点A到平面BDF的距离．【答案】(1)(2)（1）在长方体中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图．由已知AB＝＝1，可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、F（1，0，1）．又AD⊥平面从而BD与平面所成的角即为∠DBA＝30°，又AB＝2，AE⊥BD，AE＝1，AD＝从而易得∵＝＝（－1，0，1）．设异面直线AE与BF所成的角为，则．即异面直线AE、BF所成的角的余弦为（2）设＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量．＝，＝（－1，0，1），＝（2，0，0）．由∴，即取＝所以点A到平面BDF的距离13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，，M是PD上一点，且.(1)求异面直线PB与CM所成角余弦的大小；(2)求点M到平面PAC的距离.【答案】(1)(2)(1)解法一：连BD交AC于O，连MO，如图（一）所示，平面ABCD，所以，.在中，，，，又因为底面ABCD是矩形，所以O为BD中点，，，所以，因为M是PD上一点，且，所以M为PD中点，，，所以（或补角）就为PB与CM所成的角，因为，，，所以平面PAD，.，，，，所以异面直线PB与CM所成角余弦值为；解法二：分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图（二）所示的空间直角坐标系，（1）则，，，设，则，所以，由，知，所以，M为PD中点，所以，，.所以异面直线PB与CM所成角的余弦值为.(2)解法一：过D做于N，如图（一）所示，平面ABCD，所以，，所以平面PAC，DN为点D到平面PAC的距离，在中，，又M是PD中点，所以点M到平面PAC的距离为.解法二：由问题（一）中解法二，可知，，设平面PAC的法向量为，由，得，所以，取，得，所以是平面PAC的一个法向量.所以点M到平面PAC的距离为.B能力提升14．如图，已知三棱锥的侧棱，，两两垂直，且，，是的中点.(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求点到面的距离.【答案】(1)(2)(1)因为三棱锥的侧棱，，两两垂直，所以以为坐标原，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，因为是的中点，所以，所以,所以，所以异面直线与所成角的余弦值为(2)，设平面的一个法向量为，则，令，则，因为，所以点到面的距离为，15．如图所示，在边长为12的正方形中，点B，在线段上，且，，作，分别交、于点、，作，分别交、于点、，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱．(1)试判断直线AQ是否与平面平行，并说明理由；(2)求平面APQ与平面ABC所成二面角的余弦值．【答案】(1)直线AQ是否与平面不平行，理由见解析(2)（1）直线AQ是否与平面不平行，理由如下：如图，以B为原点，BA为