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文档简介
2.3.2平面与平面垂直的判定二面角知识回顾1.在平面几何中"角"是怎样定义的?从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或:一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的?
直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a'//a,b'//b,我们把相交直线a'和b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角。
3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的?平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。
思考:异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有什么共同的特征?
它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。拦洪坝水平面
一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分,其中的每一部分都叫做半平面。
一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分,其中的每一部分都叫做射线。
定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。
平面角由射线--点--射线构成。二面角由半平面--线--半平面构成。
oABlαβ
lABPQ二面角的表示
l二面角
-l-
二面角C-AB-DABCD二面角的画法CEFDAB角BAO边边顶点从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。定义构成边—点—边(顶点)表示法∠AOB二面角AB面面棱a
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。面—直线—面(棱)二面角—l—
或二面角—AB—
图形
以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的度量
l二面角的平面角的三个特征:1.点在棱上2.线在面内3.与棱垂直二面角的大小的范围:平面角是直角的二面角叫做直二面角.A’AB’C’CD’DB例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中求:二面角D’-AB-D的大小求:二面角A’-AB-D的大小
AOD例2:已知锐二面角
-l-
,A为面
内一点,A到
的距离为
2,到
l的距离为
4,求二面角
-l-
的大小。l
AOD解:过A作AO⊥
于O,过O作OD⊥l于D,连AD得
AD⊥l∴AO=2,AD=4∵AO为
A到
的距离,AD为
A到l的距离∴∠ADO就是二面角
-l-
的平面角∵sin∠ADO=∴∠ADO=60°∴二面角
-l-
的大小为60°在Rt△ADO中,AOADlAO⊥
AO⊥l,OD⊥ll⊥平面AOD小结:二面角一、二面角的定义:二、二面角的表示方法:三、二面角的平面角:四、二面角的平面角的作法:五、二面角的计算:二面角
-AB-
二面角C-AB-D二面角
-l-
1、根据定义作出来2、利用直线和平面垂直作出来1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算所求的角一“作”二“证”三“计算”从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。1、二面角的平面角必须满足三个条件2、二面角的平面角的大小与其顶点在棱上的位置无关3、二面角的大小用它的平面角的大小来度量练习
如图,已知A、B是120
的二面角
—l—
棱l上的两点,线段AC,BD分别在面
,
内,且AC⊥l,BD⊥l,AC=2,BD=1,AB=3,求线段CD的长。ADBC
l练习如图,已知A、B是120
的二面角
—l—
棱l上的两点,线段AC,BD分别在面
,
内,且AC⊥l,BD⊥l,AC=2,BD=1,AB=3,求线段CD的长。ADBC
lO分析:∠OAC
=120AO=BD=1,AC=2四边形ABDO为矩形,DO=AB=3在Rt△COD中,练习如图,已知A、B是120
的二面角
—l—
棱l上的两点,线段AC,BD分别在面
,
内,且AC⊥l,BD⊥l,AC=2,BD=1,AB=3,求线段CD的长。ADBC
l
∵BD⊥l∴AO∥BD,∴四边形ABDO为矩形,∴DO∥l
,
AO=BD∵
AC⊥l,AO⊥l,∴l⊥平面CAO
∴AO⊥l∴CO⊥DO
O在Rt△COD中,DO=AB=3E解:在平面
内,过A作AO⊥l,使AO=BD,
连结CO、DO,则∠OAC就是二面角
—l—
的平面角,即∠OAC
=120,∵BD=1∴AO=1,在△OAC中,AC=2,∴面面垂直的判定一、二面角的定义:二、二面角的表示方法:三、二面角的平面角:四、二面角的平面角的作法:五、二面角的计算:二面角
-AB-
二面角C-AB-D二面角
-l-
1、根据定义作出来——定义法2、利用直线和平面垂直作出来
——垂线垂面法1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算所求的角一“作”二“证”三“算”从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。221、二面角的平面角必须满足三个条件2、二面角的平面角的大小与其顶点在棱上的位置无关3、二面角的大小用它的平面角的大小来度量复习回顾:观察下面两个图形,它们之间有什么关系?
如果两个平面相交所成的二面角是直二面角,那么我们称这两个平面相互垂直.画法:记作:一、两个平面垂直的定义二、两个平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
已知:AB⊥β,AB⊂α.求证:α⊥β。[证明]:设α∩β=CD,
∵AB⊥β,CD⊂β,∴AB⊥CD.在平面β内过点B作直线BE⊥CD,则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角,而AB⊥BE,故α-CD-β是直二面角.
∴α⊥β。两个平面垂直的判定定理:线线垂直线面垂直面面垂直
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.ACDA1C1D1BB1
例1:在正方体ABCD—A1B1C1D1中,求证:平面AA1C1C⊥平面BB1D1D例题讲解:例2.如右图:A是ΔBCD所在平面外一点,AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,E是BD的中点,求证:平面AEC⊥平面ABDDACBE证明:∵∠ABC=∠ADC=90°AB=AD,AC=AC.∴△ABC≌△ADC.∴CB=CD又∵AB=AD,E是BD的中点,∴AE⊥BD,CE⊥BD,AE∩EC=E,∴BD⊥平面AEC.又BD在平面BCD内,∴平面AEC⊥平面ABD若将此条件改为∠BAC=∠DAC=90°,则结论成立吗?例3.在空间四边形ABCD中,若AB=BC,AD=CD,E为对角线AC的中点.求证:平面ABC⊥平面BDECADBE
2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线,则α⊥β.()课堂练习1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线,则α⊥β.()3.如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β.()一、判断:××4.若m⊥α,m//β,则α⊥β.()√√1.过平面α的一条垂线可作_____个平面与平面α垂直.2.过一点可作_____个平面与已知平面垂直.二、填空题:3.过平面α的一条斜线,可作____个平面与平面α垂直.4.过平面α的一条平行线可作____个平面与α垂直.一无数无数一在空间四边形ABCD,AB=BC,AD=CD,E、F、G分别是AD、CD、AC的中点.
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