1.1.2-1.1.3四种命题、四种命题间的相互关系

1.1.2四种命题

1.1.3四种命题间的相互关系第一章常用逻辑用语学习导航新知初探思维启动1．四种命题的概念定义表示形式互逆命题对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______和_____,那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的________原命题为“若p,则q”;逆命题为“_______”结论条件逆命题若q,则p定义表示形式互否命题对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的____________和_____________,这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的________原命题为“若p,则q”;否命题为“______________”条件的否定结论的否定否命题若﹁p,则﹁q定义表示形式互为逆否命题对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的_____________和____________,这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的__________原命题为“若p,则q”;逆否命题为“______________”结论的否定条件的否定逆否命题若﹁q,则﹁p想一想在四种命题中,原命题是固定的吗？提示:不是．原命题是人为指定的,是相对于其他三种命题而言的,可以把任何一个命题看作原命题,进而研究它的其他形式．2．四种命题的相互关系做一做1.命题:“当a>1时,函数y＝ax在R上是增函数”的逆否命题是___________________________________．若函数y＝ax在R上不是增函数,则a≤13．四种命题的真假性(1)四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况(2)四种命题的真假性之间的关系①两个命题互为逆否命题,它们有______的真假性;②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性___________．原命题逆命题否命题逆否命题真真________真假________假真________假假________真真假真真假假假相同没有关系做一做2.判断“若x2＋y2＝0,则x＝y＝0”的真假？解:利用逆否命题判断．若x,y不全为0,则x2＋y2≠0是真命题,∴x2＋y2＝0,则x＝y＝0是真命题．典题例证技法归纳例1题型探究题型一四种命题的概念【解】

(1)原命题:若x＝2,则x2－3x＋2＝0.逆命题:若x2－3x＋2＝0,则x＝2.否命题:若x≠2,则x2－3x＋2≠0.逆否命题:若x2－3x＋2≠0,则x≠2.(2)原命题:若两个角是内错角,则它们相等．逆命题:若两个角相等,则它们是内错角．否命题:若两个角不是内错角,则它们不相等．逆否命题:若两个角不相等,则它们不是内错角．【名师点评】

写出原命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是要分清条件p和结论q,对于语言形式的命题一定先写成“若p,则q”的形式,叙述时要注意语句的通顺性与逻辑性,并力求简洁.跟踪训练1.把命题“正数的平方根不等于0”写成“若p,则q”的形式,并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.解:原命题:若a是正数,则a的平方根不等于0.逆命题:若a的平方根不等于0,则a是正数.否命题:若a不是正数,则a的平方根等于0.逆否命题:若a的平方根等于0,则a不是正数.例2写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.(1)在△ABC中,若a>b,则A>B;(2)相等的两个角的余弦值相等;(3)若x2－2x－3＝0,则x＝3;(4)若x∈A,则x∈(A∩B).题型二四种命题真假的判断【解】

(1)逆命题:在△ABC中,若A>B,则a>b.真命题;否命题:在△ABC中,若a≤b,则A≤B.真命题;逆否命题:在△ABC中,若A≤B,则a≤b.真命题.(2)逆命题:若两个角的余弦值相等,则这两个角相等.假命题;否命题:若两个角不相等,则这两个角的余弦值也不相等.假命题;逆否命题:若两个角的余弦值不相等,则这两个角不相等.真命题.(3)逆命题:若x＝3,则x2－2x－3＝0.真命题;否命题:若x2－2x－3≠0,则x≠3.真命题;逆否命题:若x≠3,则x2－2x－3≠0.假命题.(4)逆命题:若x∈(A∩B),则x∈A.真命题;否命题:若x∉A,则x∉(A∩B).真命题;逆否命题:若x∉(A∩B),则x∉A.假命题.【名师点评】

“若p,则q”型命题真假的判断方法:(1)若由“p”经过逻辑推理得出“q”,则可确定“若p,则q”为真;而确定“若p,则q”为假时,则只需举一个反例说明即可.(2)从集合的观点看,我们建立集合A、B与命题中的p、q之间的一种特殊联系:设集合A＝{x|p(x)成立},B＝{x|q(x)成立},就是说,A是全体能使条件p成立的对象x所构成的集合,B是全体能使条件q成立的对象x所构成的集合,此时,“若p,则q”为真意思就是“使p成立的对象也使q成立”.跟踪训练2.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断命题的真假.(1)若m·n<0,则方程mx2－x＋n＝0有实数根.(2)当c>0时,若a>b,则ac>bc.解:(1)逆命题:若方程mx2－x＋n＝0有实数根,则m·n<0,假命题;否命题:若m·n≥0,则方程mx2－x＋n＝0没有实数根,假命题;逆否命题:若方程mx2－x＋n＝0没有实数根,则m·n≥0,真命题.(2)逆命题:当c>0时,若ac>bc,则a>b,真命题;否命题:当c>0时,若a≤b,则ac≤bc,真命题;逆否命题:当c>0时,若ac≤bc,则a≤b,真命题.例3题型三等价命题的应用【证明】原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞,＋∞)上的增函数,a,b∈R,若a＋b<0,则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”.若a＋b<0,则a<－b,b<－a.又f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,∴f(a)<f(－b),f(b)<f(－a).∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b),即逆否命题为真命题.∴原命题为真命题.【名师点评】

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,即互为逆否命题的命题具有等价性,所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题.互动探究3.在本例中,写出命题的否命题,并判断其真假.解:否命题:已知函数f(x)是(－∞,＋∞)上的增函数,a、b∈R,若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b),则a＋b<0.若a＋b≥0,∴a≥－b,b≥－a,∵f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数.∴f(a)≥f(－b),f(b)≥f(－a),∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b),即否命题的逆否命题为真命题,∴否命题为真命题.1.写出四种命题的方法(1)交换原命题的条件和结论,得到原命题的逆命题;(2)同时否定原命题的条件和结论,得到原命题的否命题;(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,得到原命题的逆否命题.2.四种命题的真假关系若原命题为真,则它的逆命题、否命题不一定为真,但它的逆否命题一定为真;互为逆否命题的两个命题的真假性相同.方法感悟3.在证明原命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.精彩推荐典例展示因对命题的条件、结论否定不当致误命题:“a、b都是奇数,则a＋b是偶数”的逆否命题是(

)A.a、b都不是奇数,则a＋b是偶数B.a＋b是奇数,则a、b都是偶数C.a＋b不是偶数,则a、b都不是奇数D.a＋b不是偶数,则a、b不都是奇数易错警示例4【常见错误】该题易错选为B,因原命题中对条件、结论否定不当,错将逆否命题写为:“a＋b是奇数,则a、b都是偶数”.【解析】∵a、b都是奇数的否定为:a、b不都是奇数,a＋b是偶数的否定为:a＋b不是偶数.∴逆否命题为:若a＋b不是偶数,则a、b不都是奇数.【答案】

D【失误防范】实际上在解答本类题时,关于条件或结论的正确否定是关键,要熟练掌握下列常见语句的否定方法:原词语等于(＝)大于(>)小于(<)是都是至多有一个否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是至少有两个原词语至少有一个任意的能至多有n个否定词语一个也没有某一个(确定的)不能至少有(n＋1)个跟踪训练4.判断下列命题的真假,并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题,同时判断这些命题的真假.(1)圆的内接四边形对角互补;(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac<0时,它的图象与x轴有公共点.解:(1)该命题为真命题.原命题:若四边形是圆的内接四边形,则四边形的对角互补,为真命题.逆命题:若四边形的对角互补,则该四边形是圆的内接四边形,为真命题.否命题:若四边形不是圆的内接四边形,则四边形的对角不互补,为真命题.逆否命题:若四边形的对角不互补,则该四边形不是圆的内接四边形,为真命题.(2)该命题为假命题.∵当b2－4ac<0时,二次方程ax2＋