新教材高中数学人教B版选择性第一册训练2-2-4点到直线的距离

第二章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.4点到直线的距离课后篇巩固提升必备知识基础练1.原点到直线x+2y5=0的距离为()A.1 B.3 C.2 D.5答案D解析d=|0+22.直线l通过两直线7x+5y24=0和xy=0的交点,并且点(5,1)到l的距离为10,则l的方程是()A.3x+y+4=0 B.3xy+4=0C.3xy4=0 D.x+3y4=0答案C解析由7x+5y∴直线7x+5y24=0和xy=0的交点为(2,2).①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y2=k(x2),即kxy+22k=0.∴点(5,1)到l的距离d=|5解得k=3,∴直线l的方程为3xy4=0.②当直线l的斜率不存在时,l:x=2,不满足题意.综上所述,直线l的方程为3xy4=0.3.已知两平行直线x+2y+m=0与2xny4=0之间的距离是5,若m>0,则m+n=()A.0 B.1 C.1 D.2答案B解析∵两条直线平行,所以2n=12,解得∴直线2xny4=0⇒2x+4y4=0⇒x+2y2=0.又直线x+2y+m=0与直线x+2y2=0之间的距离是5,则|m+2|5=5,解得m=∴m+n=34=1.4.已知点A(1,3),B(3,1),C(1,0),则△ABC的面积等于()A.3 B.4 C.5 D.6答案C解析设AB边上的高为h,则S△ABC=12|AB|·h|AB|=(3-1)AB边上的高h就是点C到直线AB的距离,AB边所在的直线方程为y-即x+y4=0.点C到直线x+y4=0的距离为|-1+0-4|2=52,因此,S△ABC5.直线l过点A(3,4),且与点B(3,2)的距离最远,则直线l的方程为()A.3xy5=0 B.3xy+5=0C.3x+y+13=0 D.3x+y13=0答案D解析由题意知,当l与AB垂直时,符合要求,因为kAB=4-所以直线l的斜率k=3.所以直线l的方程为y4=3(x3),即3x+y13=0.6.已知0<k<4,直线l1:kx2y2k+8=0和直线l2:2x+k2y4k24=0与两坐标轴围成一个四边形,则使得这个四边形面积最小的k值为()A.12 B.14 C.18答案C解析l1:k(x2)2y+8=0过定点(2,4),l2:k2(y4)=42x也过定点(2,4),如图所示,点A(0,4k),B(2k2+2,0),S=12×2k2×4+(4k+4)×2×12=4k2k+8.当k=18时,7.直线4x3y+5=0与直线8x6y+5=0之间的距离为.

答案1解析直线8x6y+5=0化简为4x3y+52=0,则由两条平行直线之间的距离公式得58.经过点P(3,4),且与原点的距离等于3的直线l的方程为.

答案x=3或7x+24y75=0解析(1)当直线l的斜率不存在时,原点到直线l:x=3的距离等于3,满足题意.(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y4=k(x+3),即kxy+3k+4=0.原点到直线l的距离d=|3k解得k=724.直线l的方程为7x+24y75=0综上可知,直线l的方程为x=3或7x+24y75=0.9.平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2),B(3,4),C(0,6).(1)求BC边上的高所在的直线方程;(2)求△ABC的面积.解(1)直线BC的斜率kBC=6-则BC边上高所在直线斜率k=32则BC边上的高所在的直线方程为y2=32(x+1),即3x+2y1=0(2)BC的方程为y=23x+6,即2x3y+18=0点A到直线BC的距离d=|=101313,|BC|=则△ABC的面积S=12|BC|d=12×10.已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点P(4,3)到直线l的距离为32,求直线l的方程.解由题意知,若截距为0,可设直线l的方程为y=kx,由题意知|4k-3解得k=-12±3142,直线l的方程为y=-12+3142若截距不为0,设所求直线l的方程为x+ya=0,由题意知|4+3-a|2=32,解得a=1或a=13,直线l的方程为x+y1=0或综上所述,所求直线l的方程为y=-12+314y=-12-3142x,x+y1=0或关键能力提升练11.已知直线过两直线xy+1=0和x+y1=0的交点,且原点到该直线的距离等于1,这样的直线共有()A.0条 B.1条 C.2条 D.3条答案B解析联立x∴两直线交点坐标为(0,1),由交点到原点的距离为1可知,只有1条直线符合条件.12.点P(sinθ,3cosθ)到直线x+y+8=0的距离的最小值为()A.4 B.23 C.32 D.52答案C解析点P(sinθ,3cosθ)到直线x+y+8=0的距离为d=|sinθ+3cosθ+8|1+1=2sinθ+π3+82≥-2+82=32.所以当sinθ+π313.设直线l1:x+3y7=0与直线l2:xy+1=0的交点为P,则P到直线l:x+ay+2a=0的距离最大值为()A.10 B.4 C.32 D.11答案A解析联立x解得x=1,y=2.可得P(1,2).直线l:x+ay+2a=0化为x+2+a(y1)=0,因此直线经过定点Q(2,1).P到直线l:x+ay+2a=0的距离最大值为|PQ|=(1+2故选A.14.已知直线l1:mx+2y4m=0(m>0)在两坐标轴上的截距相等,则直线l1与直线l2:3x+3y1=0间的距离为()A.423 BC.22或2 D.答案A解析∵直线l1:mx+2y4m=0(m>0)在两坐标轴上的截距相等,∴m+4m=m+42,m=2.∴直线l即3x+3y9=0.故直线l1与直线l2:3x+3y1=0间的距离为|-1-(-9)|15.若直线l1:ax+y1=0与直线l2:x+ay+1=0平行,则两条平行直线之间的距离为()A.1 B.2 C.2 D.22答案B解析直线l1:ax+y1=0与直线l2:x+ay+1=0平行,则a21=0,解得a=±1.当a=1时,直线l1:xy+1=0与直线l2:xy+1=0重合,故舍去.当a=1时,直线l1:x+y1=0与直线l2:x+y+1=0平行.故两条平行直线之间的距离d=|-1故选B.16.已知两条平行直线l1,l2分别过点P(1,1),Q(0,1),当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程为.

答案x+2y3=0解析由题意可得,l1,l2间的距离最大时,PQ和这两条直线都垂直.由于PQ的斜率为1+11-0=2,故直线l1的斜率为12,故它的方程是y1=12(x1),化简为x+217.已知直线过两直线x3y+1=0和3x+y3=0的交点,且原点到该直线的距离为12,则该直线的方程为.答案x=12或x3y+1=解析联立x-3y+1=0,3①当经过点A的直线的斜率不存在时,其方程为x=12,原点(0,0)到直线x=12的距离为12②当直线斜率存在时,设经过点A的直线的方程为y32=kx-12,即kxy12k+32=0,由于原点(0,0)到方程为kxy12k+解得k=33,故所求直线的方程为x3y+1=018.已知三角形的三个顶点分别是A(4,1),B(7,5),C(4,7),求角A的平分线的方程.解设P(x,y)为角A的平分线上任一点,则点P到直线AB与到直线AC的距离相等,由两点式得直线AB的方程为y-即4x3y13=0,直线AC的方程为y-即3x+4y16=0.所以由点到直线的距离公式,得|4即|4x3y13|=|3x+4y16|,即4x3y13=±(3x+4y16),整理得x7y+3=0或7x+y29=0.易知x7y+3=0是角A的外角平分线的方程,7x+y29=0是角A的平分线的方程.19.如图,△ABC中,顶点A(1,2),BC边所在直线的方程为x+3y+1=0,AB边的中点D(0,1).(1)求AB边所在直线的方程;(2)若|AC|=|BC|,求AC边所在直线的方程.解(1)∵AB边的中点为D(0,1),∴AB边所在直线的方程为x-即xy+1=0.(2)∵|AC|=|BC|,∴点C在线段AB的垂直平分线x+y1=0上,由x即点C的坐标为(2,1),又点A(1,2),∴AC边所在直线的方程为x-即3x+y5=0.学科素养拔高练20.(多选)S=直线lsinθmx+cosθny=1,m,n为正常数,θ∈[0,2π),下列结论中错误的是(A.当θ=π4时,S中直线的斜率为B.S中所有直线均经过同一个定点C.当m≥n时,S中的两条平行直线之间的距离的最小值为2nD.S中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面答案ABD解析当θ=π4时,sinθ=cosθ,S中直线的斜率为nm,故A根据sinθmx+cosθny=1,可知S当m≥n时,S中的两条平行直线间的距离为d=2sin2θm2+cos2(0,0)不满足方程,∴S中的所有直线不可覆盖整个平面,D不正确.21.已知P为等腰△ABC的底边BC上一点(不含端点),PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N,证明:|PM|+|PN|为定值.证明以BC