广东省实验中学高三上学期第一次阶段考试数学试卷

广东省实验中学2021届高三年级第一次阶段考试数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。第一部分选择题（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知,，则=()A． B． C． D．2．“”是“”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：，由最小二乘法求得回归直线方程为若已知=250，则=()A．75 B．155.4 C．375 D．4424．命题：变量满足约束条件，则的最小值为，命题：直线的倾斜角为，下列命题正确的是()A． B． C． D．5．已知两个单位向量，若，则的夹角为()A． B． C． D．6．已知，，，，则=()A． B． C． D．7．已知长方形的四个顶点：．一质点从点出发，沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到和上的点（入射角等于反射角）．设的坐标为，若，则的范围是()A． B． C． D．8．设，函数，函数．若函数与函数的图象分别位于直线=1的两侧，则的取值集合为()A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有多项符合题目要求．全选对的得5分，有选错得得0分，部分选对得得3分．9．己知函数，则()A． B．在区间上只有1个零点C．的最小正周期为 D．为图象的一条对称轴10．已知空间中不同直线和不同平面，下列命题中是真命题的是()A．若互为异面直线，，则B．若，则C．若，则D．若，则11．设公差不为0的等差数列的前项和为，若，则下列各式的值为0的是()A． B． C． D．12．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星椭圆的长轴长、焦距分别为，下列结论正确的是()A．卫星向径的取值范围是B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小第二部分非选择题(90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为____．14．大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的8个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有____种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．15．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，且，则异面直线与所成的角的余弦值为，点到平面的距离等于．16．点在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为，直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的离心率为____．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题10分）设是公差大于零的等差数列，己知(1)求的通项公式；(2)设是以函数的最小正周期为首项，以2为公比的等比数列，求数列的前项和.18．（本小题12分）在①；②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并进行作答．在中，内角的对边分别为，.(1)求角的大小；(2)求的周长和面积．19．（本小题12分）在多面体中，四边形为菱形，，平面平面(1)若是线段的中点，证明：平面平面(2)求二面角的正弦值．20．（本小题12分）为了了解居民的家庭收入情况，某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了100户家庭进行问卷调查，经调查发现，这些家庭的月收入在3000元到10000元之间，根据统计数据作出：(1)经统计发现，该社区居民的家庭月收入（单位：百元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数．若落在区间的左侧，则可认为该家庭属“收入较低家庭”，社区将联系该家庭，咨询收入过低的原因，并采取相应措施为该家庭提供创收途径．若该社区家庭月收入为4100元，试判断家庭是否属于“收入较低家庭”，并说明原因；(2)将样本的频率视为总体的概率；①从该社区所有家庭中随机抽取户家庭，若这户家庭月收入均低于8000元的概率不小于50%，求的最大值；②在①的条件下，某生活超市赞助了该社区的这次调查活动，并为这次参与调查的家庭制定了赠送购物卡的活动，赠送方式为：家庭月收入低于的获赠两次随机购物卡，家庭月收入不低于的获赠一次随机购物卡；每次赠送的购物卡金额及对应的概率分别为：赠送购物卡金额（单位：元）100200300概率则家庭预期获得的购物卡金额为多少元？（结果保留整数）21．（本小题12分）已知曲线上的动点到轴的距离比到点(1，0)的距离小1，(1)求曲线的方程；(2)过作弦，设的中点分别为，若，求最小时，弦所在直线的方程；(3)在(2)条件下，是否存在一定点，使得？若存在，求出的坐标，若不存在，试说明理由．22．（本小题12分）已知函数.(1)当时，求函数在上的最小值；(2)若函数在上的最小值为1，求实数的取值范围；(3)若，讨论函数在上的零点个数．数学参考答案1．解：，，．故选：B．2．解：或，即由不一定得到，反之，由一定得到.是的必要不充分条件．故选：B．3．解：由，得又，，故选：D.4．解：由约束条件作出可行域如图，联立解得，故的最小值为，命题为真命题；直线的倾斜角为正确，故命题为真命题．则为真命题；为假命题；为假命题；为假命题.故选：A．5．解：由题意得，两个单位向量，因为，所以，所以所以，又因为，所以，故选：B．6．解：，，又，，，又，故选：C．7．解：设，则，均为，，又，．而，又，依题设，即，，即有，则，故选：B．8．解：，易得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，函数取得最大值，，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，由与函数的图象分别位于直线的两侧，可知且，解可得，，故满足条件的集合故选：A．9．解：已知函数则正确；B、当，即在区间上只有2个零点，则在区间上只有1个零点错误；C、的最小正周期为，正确；D、当时，函数，所以为图象的一条对称轴，正确．故选：ACD．10．解：由是不同的直线，是不同的平面，知：在①中，若互为异面直线，，则，①是真命题；，则与平行或异面，故错误；在②中，，则，或与相交或平行，故②错误；在③中，则，故③是真命题；在④中，，则，也可能，故④错误．故选：AC．11．解：设的首项为，公差为，由，即，得，，，所以，．故选：BD.12．解：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确；根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确；卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则越大，椭圆越扁，故C不正确.因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D正确；故选：ABD.13．解：根据题意，如图等腰中，设该三角形底边上的高为，其内切圆半径为，，，则，而则，则其内切圆面积；故答案为：14．解：使用间接法：从8个专业中任选3个专业填报，共有=336种，其中甲，乙同时兼报的有：，故符合题意的填报志愿的方法种数为：33636=300种．故答案为：300.15．解：①锐角即为异面直线与所成的角，其余弦值②平面平面平面，点到交线的距离即为点到平面的距离，为故答案为：16．解：由线段的垂直平分线恰好过点，可得，由直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，可得，设的中点为，由中位线定理可得，在直角三角形中，可得，即有，由双曲线的定义可得，即，即，即有，即，可得，即，故答案为：.17．解：(1)设数列的公差为，则，解得或（舍），…（2分）(2)，其最小正周期为，故数列的首项为1，公比，…（6分），令，…①，两边都乘以2得，…②②①得，…（9分）故，…（10分）18．解：(1)若选择①：因为，，所以…（2分）所以，因为，所以，…（4分）又因为，，所以，…（6分）若选择②：（法一）由题意知，，所以…（2分）因为当且仅当时，上式的等号成立，且…（3分）所以…（5分）所以…（6分）（法二）设为方程，的两根，解得…（3分）且，所以…（5分）所以…（6分）(2)由正弦定理知：…（7分）因为，，，所以…（9分）所以的周长为…（10分）所以的面积…（12分）19．解：(1)证明：连结四边形为菱形，是等边三角形，是线段的中点，，…（2分）平面平面，平面平面平面，平面平面平面…（4分）(2)解：连结，平面，…（5分）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则…（6分），，，设平面的法向量，则，取，得，…（8分）平面的法向量，…（9分）设二面角的平面角为，则，…（11分）二面角的正弦值为…（12分）20．解：(1)由频率分布直方图计算平均值为：（百元），…（2分）又知道，所以…（3分）家庭的月收入为4100元=41百元，所以A家庭不属于“收入较低家庭”；…（4分）(2)①将样本的频率视为概率，抽取一户家庭某月收入低于8000元的概率为(0.002+0.015+0.015+0.02+0.028)×10=0.8,随机抽取户家庭月收入均低于8000元的概率为；…（6分）②由(1)知百元=6710元，故家庭月收入低于，可获赠两次购物卡，设所获得的金额为随机变量，则的取值分别为200，300，400，500，600，…（7分），，，，；…（10分）则家庭预期获得的购物卡金额为元．…（12分）21．解：(1)由条件，到的距离等于到直线的距离，所以，曲线是以为焦点、直线为准线的抛物线，其方程为…（2分）(2)设，代入得：由韦达定理…（3分），…（5分）只要将点坐标中的换成，得…（6分）（当且仅当时取“=”）…（7分）所以，最小时，弦所在直线的方程为，即或.(3)，即三点共线是否存在一定点，使得，即探求直线是否过定点…（9分）由（II）知，直线的方程为即，…（10分）直线过定点(3，0)故存在一定点(3，0)，使得…（12分）22．解：(1)当时，，…（1分）因为，所以，所以为单调递增函数，所以．…（3分）(2)，，当时，，所以为单调递增函数，，符合题意；…（4分）当时，在上