预习07余弦定理（五大考点）

预习07余弦定理一、余弦定理1.余弦定理的语言（1）文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.（2）符号语言:在中,，2.余弦定理的推论在中,.3.解三角形一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.考点01已知两边及夹角解三角形【方法点拨】直接运用余弦定理求出另外一边,再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角.【例1】在中，已知.(1)求的长(2)求的值【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理即可得解；（2）利用余弦定理求得，再利用三角函数的基本关系式与倍角公式即可得解.【详解】（1）因为，由余弦定理可得，,所以.（2）因为，所以，又，所以，则.【例2】在钝角中，角所对的边分别为，若，则最大边的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，由余弦定理可得，再由三角形三边关系，即可得到结果.【详解】因为是钝角三角形，，且是最大边，由余弦定理可得，于是可得，且，解得，又，所以边的取值范围是.故选：D【变式11】在中，已知，，，求c和．【答案】c＝2，【分析】首先代入余弦定理求，再根据三边，求，即可求解.【详解】由余弦定理得＝4，所以．再由余弦定理可得．因为是三角形的内角，所以．【变式12】记的内角，，的对边分别为，，，若，，则.【答案】/【分析】利用余弦定理得到，再由余弦定理计算可得.【详解】因为，，由余弦定理，所以，所以，所以.故答案为：【变式13】在中，，，则AB＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】应用倍角余弦公式求得，再由余弦定理求对应边长.【详解】由题设，又，所以.故选：C考点02已知两边及一对角解三角形【方法点拨】可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解.【例3】（多选）在中，，这个三角形的周长可能等于（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】由余弦定理先求出，注意检验是否满足三角形三边关系，由此即可得解.【详解】由题意，由余弦定理有，即，化简得，解得或，经检验或均满足三角形三边关系，所以这个三角形的周长可能为或.故选：AB.【例4】的内角A，B，C的对边分别为，已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据余弦定理求得，进而求得.【详解】由余弦定理，，因为，所以，即，解得（舍），所以，.故选：D【变式21】在中，已知，，.求、及.【答案】，，或，，【分析】根据余弦定理求出，再由余弦定理求角即可得解.【详解】由余弦定理，得，即，所以或.①当时，，所以，从而；②当时，，所以，从而.【变式22】在中，已知，且，则的值为.【答案】4或8/8或4【分析】利用余弦定理可得答案.【详解】由，得，利用余弦定理可得，即，解得或；故答案为：4或8.【变式23】已知中，，，若为钝角三角形，则的取值范围是．【答案】【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，推得，再结合余弦定理，即可求解．【详解】在中，，，则，即，，，，则角为钝角或角为钝角，若角是钝角，则，即，故，若角是钝角，则，即，解得．综上所述，的取值范围是．故答案为：．考点03已知三边解三角形【方法点拨】先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.注意:若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边求解.【例5】在中，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据余弦定理求角，即可得答案.【详解】在中，，由余弦定理得,而A为三角形内角，故，故选：D【例6】的内角，，所对的边分别为，，.已知，则．【答案】//【分析】运用余弦定理解三角形即可.【详解】在中，由余弦定理知，又，所以，又，所以.故答案为：.【变式31】已知的内角的对边分别为，若，，，则边上的中线AD的长为.【答案】【分析】根据余弦定理得出.进而在中，利用余弦定理，即可得出答案.【详解】由余弦定理可得，.在中，有，，由余弦定理可得，所以，.故答案为：.【变式32】在平面四边形中，，证明：．【答案】证明见解析【分析】根据题意，在和中，分别应用余弦定理，准确化简，即可求解.【详解】在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以所以．【变式33】在中，角，，所对的边分别为，，，，．是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求；若不存在，说明理由．【答案】存在正整数，使得为钝角三角形【分析】由可知只需即可求得a的值，进而检验即可.【详解】由题意，知，要使为钝角三角形，需，得．因为为正整数，所以或．当时，，，此时不能构成三角形；当时，，，满足题意．综上，存在正整数，使得为钝角三角形．考点04判断三角形的形状【方法点拨】利用余弦定理判断三角形形状的两种途径（1）化边的关系:将条件中的角的关系,利用余弦定理化为边的关系,再变形进行判断.（2）化角的关系:将条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换得出关系进行判断.【例7】在中，，，分别为角，，的对边，则的值（

）A．等于0 B．大于0 C．小于0 D．与的形状有关【答案】A【分析】利用余弦定理化角为边，运算即得解【详解】由题意，根据余弦定理故选：A【例8】在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】根据三角恒等变换得，再由余弦定理解决即可.【详解】由题知，，所以，所以，得，所以，得，所以的形状为直角三角形，故选：A【变式41】在中，角的对边分别为，若，则的形状为（

）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形【答案】A【分析】先化简，再结合余弦定理可得，所以得，令，代入前面的式子可求出，然后根据三边的关系可判断三角形的形状.【详解】由，得，化简得，所以由余弦定理得，因为，所以，所以，令，则，得，得，所以，所以为直角三角形，故选：A【变式42】的内角的对边分别为.已知，则的形状是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形【答案】A【分析】首先利用降幂公式化简,再利用余弦定理化简即可.【详解】由再由余弦定理得：故三角形为直角三角形故选：A【变式43】已知中，，试判断此三角形的形状．【答案】等腰三角形【分析】由余弦定理角化边整理可得.【详解】整理得：，即所以为等腰三角形.考点05边角互化的其他应用【例9】若钝角的内角，，满足，且最大边长与最小边长的比值为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用三角形内角和结合条件求得，然后利用余弦定理及钝角三角形得，即可求解.【详解】设三角形的三边从小到大依次为，，，因为，则，故可得，根据余弦定理得：，于是，因为为钝角三角形，故，于是，即，则，即.故选：B.【例10】在锐角三角形分别为内角所对的边长，，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】对已知等式利用余弦定理统一成边的形式，化简可得，然后同角三角函数的关系和正余弦定理化简可得结果.【详解】因为，所以由余弦定理可得，即，所以故选：B【变式51】在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B的最大值为.【答案】【分析】利用余弦定理和基本不等式求解.【详解】由余弦定理，代入，得，整理得：，则，当仅当时取“”，由因为，所以，所以角B的最大值为.故答案为：.【变式52】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)若，求A；(2)若，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）利用余弦定理将已知等式统一成边的形式，再结合余弦定理和，可求出角；（2）由结合余弦的二倍角公式可求出，再利用余弦定理得，由结合余弦定理得，两式结合化简可证得结论.【详解】（1）解：因为，所以由余弦定理得，所以，得，因为，所以，得，所以由余弦定理得，因为，所以；（2）证明：因为，所以，化简整理得，，解得或（舍去），所以由余弦定理得，所以，因为，所以由余弦定理得，整理得，所以，所以，得，所以.【变式53】在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.(1)求的值；(2)若，，是的中点，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据余弦定理化简，求解即可；（2）根据中点有，再平方后利用向量的数量积公式求解即可.【详解】（1）根据余弦定理可得，，即，，所以；（2）由（1）可知，，所以，因为是边的中点,所以,所以.一、单选题1．在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理解三角形.【详解】由余弦定理，将，，，代入得，则有，且，解得.故选：B.2．在中，若，则角的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，利用余弦定理求得，即可求解.【详解】因为，由余弦定理可得，因为，所以.故选：C.3．已知钝角的角，，所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件利用余弦定理建立不等关系即可计算作答.【详解】因是钝角三角形，，，且是最大边，则由余弦定理得：，于是得，，解得，又有，即，所以最大边的取值范围是：.故选：C4．已知一个三角形的三边分别是a、b、，则此三角形中的最大角为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意得，为最大边，利用余弦定理求得最大角的余弦值，从而求得最大角．【详解】一个三角形的三边分别是、、，为最大边．设最大角为，由余弦定理可得，，因为，故此三角形中的最大角为，故选：B．5．在中，角所对的边分别为．若，则为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】利用余弦定理角化边，然后因式分解可得.【详解】由余弦定理可得：，即，整理得：，得或，所以为等腰或直角三角形.故选：D6．在中，内角所对的边分别为，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形的内角和结合诱导公式、两角和的余弦公式、商数关系式可得，再根据余弦定理与角度转化可得，由基本不等式即可得最大值.【详解】在中，因为，所以，则，所以，且均为锐角，故，由余弦定理得，所以，又，当且仅当时等号成立，所以的最大值是.故选：B.二、多选题7．已知中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（

）A． B． C．3 D．【答案】AB【分析】由余弦定理解三角形.【详解】，，，由余弦定理，有，得，即，解得或.故选：AB8．由下列条件解，其中只有一解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】AB【分析】根据三角形全等结合余弦定理运算求解.【详解】对于选项A：因为，，则，且，根据三角形全等（角角边）可知存在且唯一的，故A正确；对于选项B：因为，，，根据三角形全等（边角边）可知存在且唯一的，故B正确；对于选项C：由余弦定理可得：，即，整理得，解得或，所以满足条件的三角形有两个，故C错误；对于选项D：由余弦定理可得：，即，整理得，且，无解，所以此时三角形不存在，故D错误；故选：AB.9．在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（

）A．若，则一定是锐角三角形B．若，则为等腰或直角三角形C．若，则是锐角三角形D．若为锐角三角形，则【答案】BD【分析】根据二倍角公式，化简整理可得出，即可判断A项；根据余弦定理角化边，整理即可判断B项；根据数量积的定义，可推得为锐角，结合锐角三角形的概念，即可判断C项；根据已知可推得.然后结合正弦函数的单调性，即可判断D项.【详解】对于项，因为，知，由可得，，化简得，故一定为直角三角形，故错误；对于B项，因为，根据余弦定理可得，整理可得，所以，或，故为等腰三角形或直角三角形，故正确；对于项，因为，所以，所以为锐角，但无法确定是否为锐角，故错误；对于项，因为为锐角三角形，所以，则.又因为在上单调递增，所以，即：，故D项正确.故选：BD.三、填空题10．已知4根细钢丝的长度分别为2，3，4，6，用其中的3根细钢丝围成一个三角形，则该三角形最小内角的余弦值可以是.【答案】或【分析】根据三角形的性质，结合余弦定理进行求解即可.【详解】根据三角形的性质，只能用长度分别为2，3，4或3，4，6的3根细钢丝围成三角形，则该三角形最小内角的余弦值为或.故答案为：或11．如图所示，点A是等边外一点，且，，，则的周长为．【答案】/【分析】在中，由余弦定理求得，然后结合等腰三角形、直角三角形求得结论．【详解】在中，由余弦定理可知，整理可得，解得，所以，又是等边三角形，所以，，由勾股定理可得，，所以的周长为．故答案为：.12．已知中，角的对边分别为，，则角．【答案】【分析】根据题意结合余弦定理运算求解.【详解】因为，则，即，可得，且，所以.故答案为：.四、解答题13．的三边之比为．求这个三角形的最大角．【答案】【分析】设出三边，由余弦定理求出最大