高中数学必修2课时素养评价13-2-2-2异面直线

课时素养评价二十七异面直线(20分钟35分)1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,与直线AA1A.2条 B.4条 C.6条 D.8条【解析】选D.在正方体ABCDA1B1C1D1中与AA1垂直的棱为A1B1,B1C1,C1D1,D1A12.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,与AD1异面且与AD1A.2条 B.1条 C.3条 D.4条【解析】选B.与AD1异面的面对角线分别为:A1C1,B1C,BD,BA1,C1D,其中只有B1C3.空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是 ()A.梯形 B.矩形C.平行四边形 D.正方形【解析】选D.连接AC,BD.因为E,F,G,H分别为各边中点,如图.所以FGEHQUOTEBD,HGEFQUOTEAC,所以四边形EFGH是平行四边形,又因为BD⊥AC且BD=AC,所以FG⊥HG且FG=HG,所以四边形EFGH为正方形.4.点E,F分别是三棱锥PABC的棱AP,BC的中点,AB=6,PC=8,EF=5,则异面直线AB与PC所成的角为________.

【解析】如图,取PB的中点G,连接EG,FG,则EGQUOTEAB,GFQUOTEPC,则∠EGF(或其补角)即为AB与PC所成的角,在△EFG中,EG=QUOTEAB=3,FG=QUOTEPC=4,EF=5,所以∠EGF=90°.答案:90°5.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论正确的为________.(填序号)

【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.答案:①③6.如图所示,在正方体ABCDEFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:(1)BE与CG所成的角;(2)FO与BD所成的角.【解析】(1)因为CG∥BF,所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,又在△BEF中,∠EBF=45°,所以BE与CG所成的角为45°.(2)如图,连接FH,因为HD∥EA,EA∥FB,所以HD∥FB,又HD=FB,所以四边形HFBD为平行四边形.所以HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.连接HA,AF,易得FH=HA=AF,所以△AFH为等边三角形,又知O为AH的中点.所以∠HFO=30°,即FO与BD所成的角为30°.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,CD的中点为M,AA1的中点为N,则异面直线C1A.30° B.60° C.90° D.120°【解析】选C.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,CD的中点为M,AA1的中点为N,取AB的中点P,连接B1P,则B1P∥C1M,易得B1P⊥BN,所以异面直线C1M2.如图,点P,Q分别是正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线AD1,BD的中点,则异面直线PQ和BC1A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】选C.连接AC,D1C由P,Q分别为AD1,BD的中点,知Q为AC中点,得PQ∥CD1.又BC1∥AD1,所以∠AD1C为异面直线PQ和BC1所成的角.因为△ACD1为等边三角形,所以∠AD1C=60即异面直线PQ和BC1所成的角为60°.3.如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F分别是CC1,AD的中点.那么异面直线OE和FD1A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.取BC的中点G,连接GC1,则GC1∥FD1,再取GC的中点H,连接HE,OH,因为E是CC1的中点,所以GC1∥HE,所以∠OEH为异面直线OE和FD1所成的角.在△OEH中,OE=QUOTE,HE=QUOTE,OH=QUOTE,由余弦定理可得cos∠OEH=QUOTE=QUOTE.4.在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形,且AB=BC=2QUOTE,∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角是90°,则AA1的长度是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.2QUOTE D.2QUOTE【解析】选B.连接CD1,AC,由题意得,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,A1D1=BC,A1D1∥所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥CD1,所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°,所以∠AD1C=90°因为在四棱柱ABCDA1B1C1D1AB=BC=2QUOTE,∠ABC=120°,所以AC=2QUOTEsin60°×2=6,所以AD1=QUOTEAC=3QUOTE,所以AA1=QUOTE=QUOTE=QUOTE.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.如图,三棱柱ABCA1B1C1中,底面三角形A1B1CA.直线CC1与直线B1E相交B.CC1与AE共面C.AE与B1C1D.AE与B1C1【解析】选ACD.因为CE∥B1C1且CE=QUOTEB1C1,所以四边形CEB1C1为梯形,CC1与B1E必相交,A正确.由几何图形可知B错误,C正确.AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,又E为BC的中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,即AE与B1C1所成的角为90°,选项D正确.6.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AD,C1D1A.直线EF,OD1是异面直线,且EF=OD1B.直线OD1,B1B是异面直线且OD1≠B1BC.直线EF,OD1是相交直线,且EF=OD1D.直线OD1,B1B是相交直线且OD1=B1B【解析】选ABD.因为正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别是AD,C1D1的中点,O为正方形ABCD的中心,如图,四边形D1EOF是矩形,直线EF,OD1是相交直线,A错误,直线OD1,B1B是相交直线,B错误;EF=OD1,OD1≠B1三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,在三棱锥ABCD中,E,F,G分别是AB,BC,AD的中点,∠GEF=120°,则BD和AC所成角的度数为________.

【解题指南】求异面直线所成的角要找到它们的平行线,已知条件中的角会给解题提供方向.【解析】依题意知,EG∥BD,EF∥AC,所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角,又∠GEF=120°,所以异面直线BD与AC所成的角为60°.答案:60°8.如图,长方体ABCDA1B1C1D1(侧棱垂直于底面内的所有直线),其中ABCD是正方形且边长为2,高为4,则异面直线BD1与AA1所成角的正弦值为________,异面直线BD1与AD所成角的正弦值是________【解析】因为AA1∥DD1,所以∠DD1B即为异面直线BD1与AA1所成的角,连接BD,在Rt△D1DB中,sin∠DD1B=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因为AD∥BC,所以∠D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角(或其补角),连接D1C,在△D1因为长方体ABCDA1B1C1D1高为4,所以D1B=2QUOTE,BC=2,D1C=2QUOTE,D1B2=BC2+D1C2,所以∠D1CB=90°所以sin∠D1BC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,故异面直线BD1与AD所成角的正弦值是QUOTE.答案:QUOTEQUOTE四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点.若EF=QUOTE.求证:AD⊥BC.【证明】取BD的中点H,连接EH,FH,因为E是AB的中点,且AD=2,所以EH∥AD,EH=1.同理FH∥BC,FH=1,所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD,BC所成的角,又因为EF=QUOTE,所以EH2+FH2=EF2,所以△EFH是等腰直角三角形,EF是斜边,所以∠EHF=90°,即AD,BC所成的角是90°.故AD⊥BC.10.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点.求异面直线A1【解析】如图,过点M作ME∥DN交CC1于点E,连接A1E,则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角).设正方体的棱长为a,则A1M=QUOTEa,ME=QUOTEa,A1E=QUOTEa,所以A1M2+ME2=A1E2,所以∠A1ME=90°,即异面直线A1M与DN所成的角为90°.1.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,E是B1C1的中点,则直线AE与BC所成的角为________,直线A1B与AC1所成角的余弦值为【解析】如图所示,连接AB1,由三棱柱的性质可得AC1=AB1,又因为E是B1C1的中点,所以AE⊥B1C1,又BC∥B1如图所示,把三棱柱补为四棱柱ABDCA1B1D1C1,连接BD1,A1D1,AD,由四棱柱的性质知BD1∥AC1,则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角(或其补角).设AB=a,因为AA1与AC,AB所成的角均为60°且AB=AC=AA1,所以A1B=a,BD1=AC1=2AA1·cos30°=QUOTEa.又∠BAC=90°,所以在矩形ABDC中,AD=QUOTEa,所以A1D1=QUOTEa,所以A1QUOTE+A1B2=BQUOTE,所以∠BA1D1=90°,所以在Rt△BA1D1中cos∠A1BD1=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:90°QUOTE2.如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,BC=QUOTE,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点,求异面直线BE与CD所成角的余弦值.【解析】取AC的中点F,连接EF,BF.在△ACD中,E,F分别是AD,AC的中点,所以EF∥CD,所以∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角).在Rt△ABC中,BC=QUOTE,AB=A