专题19空间立体几何（向量证明）-天津市2023年高三各区数学模拟考试题型分类汇编

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题19空间立体几何（向量证明）——天津市2023年高三各区数学模拟考试题型分类汇编1．（2023·天津和平·耀华中学校考一模）如图，三棱柱中，，，.(1)证明；(2)若平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值.2．（2023·天津河西·统考一模）已知四棱锥中，平面，，，，线段的中点．(1)求证：直线平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面夹角的余弦值．3．（2023·天津·校联考一模）如图，梯形所在的平面与等腰梯形所在的平面互相垂直，，，，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值；(3)线段上是否存在点G，使得平面？请说明理由．4．（2023·天津·校联考一模）如图，在菱形中，，平面，平面，，.(1)若，求证：直线平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.5．（2023·天津河北·统考一模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，点在线段上，且.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面的夹角的余弦值.6．（2023·天津·校联考一模）已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由．7．（2023·天津南开·统考一模）如图，四棱锥中，平面平面是中点，是上一点.(1)当时，（i）证明：平面；（ii）求直线与平面所成角的正弦值；(2)平面与平面夹角的余弦值为，求的值.8．（2023·天津·大港一中校联考一模）如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离.9．（2023·天津红桥·统考一模）如图，在长方体中，、F分别是棱,上的点，,（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）证明平面（3）求二面角的正弦值．10．（2023·天津河东·一模）在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光，其中一角如图所示，为多面体，，，，底面，四边形是边长为2的正方形且平行于底面，，，的中点分别为，，，．(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)一束光从玻璃窗面上点射入恰经过点（假设此时光经过玻璃为直射），求这束光在玻璃窗上的入射角的正切值．11．（2023·天津·统考一模）如图，在四棱锥中，是的中点，平面，且，.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面夹角的大小.12．（2023·天津和平·统考一模）在如图所示的几何体中，平面平面；是的中点.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面的夹角的余弦值.13．（2023·天津·统考一模）如图，在多面体中，底面为菱形，平面，平面．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值：(3)求平面和平面的夹角的余弦值．14．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形，线段AD的中点为O且底面ABCD，，，E是PD的中点．(1)证明：平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求平面MAB与平面ABD夹角的余弦值；(3)在（2）的条件下，求点D到平面MAB的距离．15．（2023·天津河北·统考二模）如图，在直三棱柱中，是以BC为斜边的等腰直角三角形，，D，E分别为BC，上的点，且.(1)若，求证：平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值；(3)若平面与平面ACD的夹角为，求实数t的值.16．（2023·天津南开·统考二模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，，垂足为.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面的夹角.17．（2023·天津红桥·统考二模）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是PD的中点.(1)求证：平面平面PAD；(2)求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值；(3)求B点到平面EAC的距离.18．（2023·天津·二模）如图甲所示的平面五边形中，，，，，，现将图甲所示中的沿边折起，使平面平面得如图乙所示的四棱锥．在如图乙所示中，（1）求证：平面；（2）求二面角的大小；（3）在棱上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为？并说明理由．19．（2023·天津·统考二模）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由.20．（2023·天津·校联考二模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，平面ABCD，E为PD中点.(1)若.（i）求证：平面PCD；（ii）求直线BE与平面PCD所成角的正弦值；(2)若平面BCE与平面CED夹角的正弦值为，求PA.21．（2023·天津和平·统考二模）如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的余弦值；(3)求平面与平面的夹角的正弦值．22．（2023·天津河西·统考二模）如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，．(1)求证：平面AMC；(2)求异面直线AM与所成角的余弦值；(3)求平面AMC与平面的夹角的余弦值．23．（2023·天津河东·统考二模）如图，且，，且，且．平面ABCD，．(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE；(2)求平面EBC与平面BCF的夹角的正弦值；(3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为，求线段DP的长．24．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）如图，AE⊥平面ABCD，，(1)求证：BF∥平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值：(3)求平面BDE与平面BDF夹角的余弦值.25．（2023·天津河西·统考三模）已知直三棱柱中，，，，D,E分别为的中点，F为CD的中点.(1)求证：//平面ABC；(2)求平面CED与平面夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离．26．（2023·天津滨海新·统考三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点.(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的大小；(3)线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面所成角为，若存在，求线段PM的长；若不存在，说明理由.27．（2023·天津北辰·统考三模）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．(1)求证：平面；(2)求点到直线的距离；(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由．28．（2023·天津和平·统考三模）如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离；(3)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.29．（2023·天津·统考高考真题）三棱台中，若面，分别是中点.(1)求证：//平面；(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．【详解】（1）在三棱柱中，取中点，连接，因为，则，而，即为正三角形，则有，又平面，于是平面，而平面，所以.（2）由（1）知，，又平面平面，且交线为，则平面内直线平面，则两两垂直，以为坐标原点，射线的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，令，则,，则，设为平面的一个法向量，则，令，得，直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）由（2）知，平面的法向量，，令为平面的一个法向量，则，令，得，所以平面与平面夹角的余弦值为.2．【详解】（1）以点A为坐标原点，以AB，AD所在直线分别为x，z轴，以与AB垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如下图所示，则，，，，，．所以，.因为平面，,所以平面PAB的法向量为，所以，所以，由因为平面PAB，所以直线平面PAB．（2）由题意知，，，设为平面PCD的法向量,则，即，令，则，所以，因为，设直线BE与平面PCD所成角为，则，所以直线BE与平面PCD所成角的正弦值为．（3）由题意知，，设平面PAD的法向量为，则，即，令，则，所以，又因为平面PCD的法向量，设平面PCD与平面PAD的夹角为，则．所以平面PCD与平面PAB夹角的余弦值为．3．【详解】（1）∵，且，∴四边形为平行四边形，∴．∵平面，平面，∴平面．（2）在平面内，过作．∵平面平面，平面平面，又平面，，∴平面，∴，，．如图建立空间直角坐标系：由题意得，∴设平面的法向量为，则令，则，，∴．平面的一个法向量为，则．∴平面与平面的夹角的余弦值．（3）线段上不存在点，使得平面，理由如下：设平面的法向量为，则令，则，，∴．∵，∴平面与平面不可能垂直，从而线段上不存在点，使得平面．4．【详解】（1），平面，在直角三角形中，用勾股定理得到因为平面，可得到三角形为直角三角形，用勾股定理得到，在直角梯形中，，，，如上图：作交于点，则三角形为直角三角形，在三角形中，满足同理可证，故得到直线平面（2），取和的交点为为，连接，因为故得到面，面，故得到面垂直于面，两个面的交线为，做于点点，连接，为点到平面的距离，根据，根据条件得到三角形三角形可分别求得面积为：在长方形中，，三角形可求得，解得：，直线与平面所成角的正弦值为.5．【详解】（1）证明：平面，平面，，，．，，，，所以，又，所以，，，，，平面，平面.（2）平面，平面，平面，，，为矩形，，，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，则，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.6．【详解】（1）证明：法一：分别取、的中点、，连接、、，由题意可知点、分别为线段、的中点．所以，，因为，所以，所以点、、、四点共面，因为、分别为、的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为，平面，平面，所以平面，又因为，、平面，所以平面平面，因为平面，所以平面；法二：因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直，以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，所以，易知平面的一个法向量，所以，所以，又因为平面，所以平面．（2）解：设平面的法向量，，，则，取，可得，所以平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角余弦值为；（3）解：假设存在点，使得，其中，则，由（2）得平面的一个法向量为，由题意可得，整理可得．即，因为，解得或，所以，或．7.【详解】（1）解：如图建立空间直角坐标系，以为坐标原点，为轴，为轴，过点作面的垂线为轴，则由题意可得，由，及即，可得.（i）设平面的一个法向量为，则解得令，得是平面的一个法向量.因为，所以.又平面，所以平面.（ii）由（i）可得，所以直线与平面所成角的正弦值为.（2）设，则，设是平面的一个法向量，则，取，则是平面的一个法向量，则，解得或（舍去）.所以.8．【详解】（1）证明：以为原点，､､所在直线分别为､､轴建立空间直角坐标系，如图则，，，，，∵，，，∴，，即，，∵，∴平面；（2）由（1）可知为平面的一个法向量，设平面的法向量为，而，，则，令，可得，设二面角的平面角为，经观察为锐角，∴，即二面角的余弦值为；（3），平面的法向量为，设点到平面的距离为，∴，即点到平面的距离为.9．【详解】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设,依题意得,,,（1）解：易得,于是所以异面直线与所成角的余弦值为（2）证明：已知,,于是·=0，·=0.因此，,,又所以平面(3)解：设平面的法向量，则,即不妨令X=1,可得．由（2）可知，为平面的一个法向量．于是，从而所以二面角的正弦值为方法二：（1）解：设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=链接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C，由,可知EF∥BC1.故是异面直线EF与A1D所成的角，易知BM=CM=,所以,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为（2）证明：连接AC，设AC与DE交点N因为，所以，从而，又由于,所以，故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.连接BF，同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因为，所以AF⊥平面A1ED(3)解：连接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF,A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故为二面角A1-ED-F的平面角易知，所以，又所以，在连接A1C1,A1F在．所以所以二面角A1-DE-F正弦值为10．【详解】（1）过点作的平行线，由题意可知以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，．设平面的法向量为，，，，，令，则，∵，∴，平面.（2）根据图形易知平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，则.所以平面与平面夹角的余弦值.（3），入射角为，，因为，所以，.故这束光在玻璃窗上的入射角的正切值为.11.【详解】（1）证明：由题意平面，以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，则，所以，所以（2），设平面的法向量，则，即，令，则，,设直线与平面所成的角为，，则,所以与平面所成角的正弦值为.（3）,设平面的法向量，则，即，令，则，则.又平面的法向量，设平面与平面夹角为，则为锐角，，所以平面与平面夹角为.12．【详解】（1）因为，以为原点，分别以，所在直线为，轴，过点且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，，所以，所以，即；（2）因为，设平面的法向量为，则，令，可得，又，设与平面所成角为，则，直线与平面所成的角的正弦值为；（3）由题，，设平面的法向量，由，令，则，又平面的法向量，所以，所以平面与平面的夹角的余弦值为．13．【详解】（1）取的中点M，连接．因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，所以．因为，所以．因为平面，所以两两垂直．如图，以D为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．因为，所以，显然平面的法向量为，因为，所以，又平面；所以平面．（2）设平面的法向量为，由得可取．所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．（3）设平面的法向量为，由得可取．由（2）知平面的法向量．设平面和平面的夹角为，则．14．【详解】（1）连接OC，因为，所以四边形OABC为平行四边形，所以，所以，以OC，OD，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，．，，，设平面的一个法向量为，则，则，令，，平面PAB的一个法向量，，则，又平面PAB，所以平面PAB．（2），设，则，因为点M在棱PC上，所以，，即，所以，所以，平面ABCD的法向量为，因为直线BM与底面ABCD所成角为，所以，，解得，所以，设平面MAB的法向量为，则，即，令，则，所以，所以平面MAB与平面ABD夹角的余弦值．（3），点D到平面MAB的距离．15．【详解】（1）当时，，即点D，E分别为的中点，在直三棱柱中，，所以四边形为平行四边形，连接，则，所以，所以四边形是平行四边形，所以．又因为平面平面，所以平面．（2）平面，又，以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则点，当时，，即点D，E分别为的中点，则，所以，设平面的一个法向量，则，即，令，则，所以平面的一个法向量，则，令直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）由（2）可得，所以，所以．设平面的一个法向量为，则即，取，又平面的一个法向量为，因为平面与平面ACD的夹角为，所以，即，得，又因为，所以．16．【详解】（1）如图，以A为坐标原点，直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则解得，令，得.因为，所以.又平面，所以平面.（2）设，则.因为，所以.即，解得，所以.所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）设平面的一个法向量为，则解得令，得.因为，所以.所以平面与平面夹角为.17．【详解】（1）由题可知，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示则所以所以即,所以即,又,平面PAD,所以平面PAD,又平面，所以平面平面PAD.（2）设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，由题意知，平面，平面ACD的法向量为,设平面EAC与平面ACD夹角的，则，所以平面EAC与平面ACD夹角的余弦值为.（3）由（2）知，平面的法向量为，设B点到平面EAC的距离为，则，所以B点到平面EAC的距离为.18．【详解】（1）∵，，，∴，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面，又∵平面，∴，又∵，，∴平面．（2）取的中点，连结，，由平面平面知平面，由知，以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图所示，则易得，，，，，设平面的法向量为，由，得，令得，，∴，设二面角大小为，则，∵，∴二面角的大小．（3）假设点存在，其坐标为，与平面所成的角为，则存在，有，即，，则，因为化简得，解得∵，∴∴在棱上满足题意的点存在．19．【详解】（1）依题意，以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得,,,,,.依题意，,,从而,所以，即（2）依题意，,,设为平面ACF的法向量，则，不妨设可得，因为,设直线EC与平面ACF所成角为，则，所以直线EC与平面ACF所成角的正弦值为.（3）假设线段DE上存在一点，使得直线BG与AD所成角的余弦值为，则.依题意则，，解得.所有存在点满足条件，所以可得,由（2）可知平面ACF的一个法向量为，所以点G到平面ACF的距离为20．【详解】（1）（i）方法一∵平面ABCD，平面ABCD，∴，∵四边形ABCD为矩形，∴，又，PA，平面PAD，∴面PAD，∵面PAD，∴，在中，，E为PD中点，∴∵，面PCD，面PCD，∴平面PCD.方法二：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，∴.在中，，E为PD中点，∴.∵，面PCD，面PCD.∴平面PCD；方法三：设平面PCD的一个法向量为，，，，则，∴.令，则，∴，∵，∴，∴平面PCD.（ii）由（i）得：平面PCD,平面PCD,，在中，，E为PD中点，∴，∵，面PCD，面PCD.∴平面PCD，∴为平面PCD的一个法向量，.记直线BE与平面PCD所成角为，∴，∴直线BE与平面PCD所成角的正弦值为；（2）设，∴，，设平面BCE的一个法向量为，则，∴，令，解得，∴，设平面CPD的法向量，又，，则，∴，令，解得，∴，设平面BCE与平面CED的夹角大小为，则.因为，所以，即，解得，即.21．【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，所以，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以；（2）解：取的中点，连接，因为为的中点，所以，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，由，令，则，设直线与平面所成角为，，则直线与平面所成角的余弦值为；（3）解：设平面的法向量为，由，令，则，设平面与平面的夹角为，，所以平面与平面的夹角的正弦值为．22.【详解】（1）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，则，，，则，；，.，平面，故平面.（2），，则.故异面直线AM与所成角的余弦值为.（3）设平面的法向量为，则，取得到；设平面的法向量为，则，取得到；平面AMC与平面的夹角的余弦值为.23．【详解】（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以，因为，所以两两垂直，所以以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），则D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．所以=（0，2，0），=（2，0，2）．设为平面CDE的法向量，则，令，则．因为=（1，，1），所以，因为直线MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．（2）解：依题意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．设为平面BCE的法向量，则，令，则，设为平面BCF的法向量，则，令，则，所以，所以平面EBC与平面BCF的夹角的正弦值为（3）解：设线段DP的长为h（），则点P的坐标为（0，0，h），可得．因为，，所以平面所以=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，所以，由题意，可得，解得．所以线段的长为.24．【详解】（1）∵，平面ADE，平面ADE∴平面ADE同理：平面ADE，则平面∥平面ADE平面，则BF∥平面ADE（2）如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系设平面BDE的一个法向量为，则有令，则，即∴则直线CE与平面BDE所成角的正弦值为；（3）可设平面BDF的一个法向量为，则有令，则，即∴则平面BDE与平面BDF夹角的余弦值为．25．【详解】（1）

在直三棱柱中，平面，且，以点B为坐标原点，BC，BA，所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系.则，，，，.易知平面ABC的一个法向量为，则，故