专题10 圆锥曲线1（选填）-2024届高考数学二轮专题复习考点分层与专项检测（新高考专用）解析版

2/2专题10圆锥曲线1（选填）（新高考）目录目录【备考指南】 2 【真题在线】 3【基础考点】 21【基础考点一】圆锥曲线的定义 21【基础考点二】圆锥曲线的标准方程 28【基础考点三】椭圆与双曲线的离心率（求值） 32【基础考点四】椭圆与双曲线的焦点及焦距 35【基础考点五】椭圆与双曲线范围及对称性 38【基础考点六】椭圆与双曲线的顶点与轴 43【综合考点】 47【综合考点一】抛物线的几何性质 47【综合考点二】双曲线渐近线 52【培优考点】 56【培优考点一】椭圆与双曲线的焦点三角形 56【培优考点二】圆锥曲线的离心率（求范围） 63【总结提升】 70【专项检测】 71备考指南备考指南考点考情分析考频椭圆2023年新高考Ⅱ卷T52023年全国甲卷T72022年新高考Ⅰ卷T162022年新高考Ⅱ卷T162022年全国甲卷T102021年新高考Ⅰ卷T52021年全国甲卷T152021年全国乙卷T113年8考双曲线2023年新高考Ⅰ卷T162023年新高考Ⅱ卷T212023年全国乙卷T112022年全国甲卷T142022年全国乙卷T112021年新高考Ⅱ卷T132021年全国甲卷T52021年全国乙卷T133年8考抛物线2023年新高考Ⅱ卷T102023年全国甲卷T202022年新高考Ⅰ卷T112022年新高考Ⅱ卷T102022年全国乙卷T52021年新高考Ⅰ卷T142021年新高考Ⅱ卷T33年7考直线与圆锥曲线位置关系2023年新高考Ⅰ卷T222023年新高考Ⅱ卷T212022年新高考Ⅰ卷T212022年新高考Ⅱ卷T212022年全国甲卷T202022年全国乙卷T202021年新高考Ⅰ卷T212021年新高考Ⅱ卷T202021年全国甲卷T202021年全国乙卷T213年10考预测：圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题，难度较小.近几年全国卷是必考考点.建议在二轮复习时巩固好基础知识，强化基础知识训练的同时也行加强对思维能力的训练.平时训练的题型建议中档偏上.真题在线真题在线一、单选题1．（2023·全国·统考高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．【详解】方法一：因为，所以，从而，所以．故选：B.方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故选：B.2．（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值；方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出．【详解】方法一：设，所以，由，解得：，由椭圆方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故选：B．方法二：因为①，，即②，联立①②，解得：，而，所以，即．故选：B．方法三：因为①，，即②，联立①②，解得：，由中线定理可知，，易知，解得：．故选：B．【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．3．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由，则，解得，所以双曲线的一条渐近线不妨取，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.故选：D4．（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：D.5．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由，得，因此，而，所以.故选：A6．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可.【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，因为直线与椭圆相交于点，则，解得，设到的距离到距离，易知，则，，，解得或（舍去），故选：C.7．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率，解得，，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.故选：B.8．（2022·全国·统考高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】[方法一]：设而不求设，则则由得：，由，得，所以，即，所以椭圆的离心率，故选A.[方法二]：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：故，由椭圆第三定义得：，故所以椭圆的离心率，故选A.9．（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，，所以.故选：B10．（2021·全国·统考高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设，由，因为，，所以，因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．故选：C．【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．二、多选题11．（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（

）．A． B．C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形【答案】AC【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误.C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.

12．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（

）A．直线的斜率为 B．C． D．【答案】ACD【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确.故选：ACD.13．（2022·全国·统考高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一

M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，所以，因为，所以在双曲线的左支，，，，设，由即，则，选A情况二若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，所以，，，设，由，即，则，所以，即，所以双曲线的离心率选C[方法二]：答案回代法特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点都在左支,，，则，特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点在左右两支，在右支，，，则，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，若分别在左右支，因为，且，所以在双曲线的右支，又，，，设，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以双曲线的离心率若均在左支上，同理有，其中为钝角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故选：AC.14．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（

）A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．【答案】BCD【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；，所以直线的方程为，联立，可得，解得，故B正确；设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，所以，直线的斜率存在，设其方程为，，联立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正确；因为，，所以，而，故D正确.故选：BCD三、填空题15．（2023·全国·统考高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为.【答案】【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可.【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，准线方程为，点到的准线的距离为.故答案为：.16．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为．【答案】/【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；【详解】方法一：依题意，设，则，在中，，则，故或（舍去），所以，，则，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依题意，得，令，因为，所以，则，又，所以，则，又点在上，则，整理得，则，所以，即，整理得，则，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案为：.【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.17．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为．【答案】【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；解：令的中点为，因为，所以，设，，则，，所以，即所以，即，设直线，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即；故答案为：[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，设，，设直线，，，则，，，因为，所以联立直线AB与椭圆方程得消掉y得其中，∴AB中点E的横坐标,又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直线，即18．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值．【答案】2（满足皆可）【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.【详解】解：，所以C的渐近线方程为,结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点”所以，又因为，所以，故答案为：2（满足皆可）19．（2022·全国·统考高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则．【答案】【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线的渐近线为，即，不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，依题意圆心到渐近线的距离，解得或（舍去）．故答案为：．20．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是．【答案】13【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为，直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，∴，∴，得，∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.故答案为：13.基础基础考点【考点一】圆锥曲线的定义【典例精讲】（多选）（2023·黑龙江大庆·统考二模）如图，曲线C：的焦点为F，直线l与曲线C相切于点P（异于点O），且与x轴y轴分别相交于点E，T，过点P且与l垂直的直线交y轴于点G，过点P作准线及y轴的垂线，垂足分别是M，N，则下列说法正确的是（

）

A．当P的坐标为时，切线l的方程为B．无论点P（异于点O）在什么位置，FM都平分∠PFTC．无论点P（异于点O）在什么位置，都满足D．无论点P（异于点O）在什么位置，都有成立【答案】BCD【分析】将曲线C变形为，求导可得，利用导数的几何意义求出当P的坐标为时的切线方程即可判断A；根据题意和平面几何知识可知四边形PFTM为菱形，由此可判断B；将和分别表示出来即可判断C；计算，结合基本不等式和等号成立的条件可判断D．【详解】因为曲线C：，即，所以，设点，则，，所以切线l的方程为，当时，切线方程为，故A错误；由题意，，，连接，

所以，因为，所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为菱形，可得FM平分角∠PFT，故B正确；因为，，所以，，所以，故C正确；直线GP方程：，可得，所以，又，所以且，所以四边形为平行四边形，故．，因为与不垂直，所以，所以，即成立，故D正确；故选：BCD．【点睛】方法点睛：此抛物线方程可以改写为二次函数，利用导数求切线方程；点在抛物线上，用好抛物线的定义，利用设点的方法求距离证明图中的平行四边形，可得相关的结论.【变式训练】一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，短半轴长为，离心率为，直线交该椭圆于两点，且的周长是的周长的3倍，则的周长为（

）A．6 B．5 C．7 D．9【答案】B【分析】根据椭圆的短半轴长得，根据离心率得，根据已知及椭圆的定义得解.【详解】由题意可得，由离心率为，得，得，易知的周长，的周长，由椭圆的定义得，，则，即，所以，故选：B．2．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知双曲线的上、下焦点分别为，若存在点，使得，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据双曲线方程可得实轴长和渐近线方程，结合双曲线定义和点所在直线可确定双曲线与有交点，由此可得渐近线与直线斜率之间的关系，进而解不等式求得结果.【详解】由双曲线方程知：实轴长，渐近线方程为；由双曲线定义知：在双曲线上半支任取一点，则；在直线上，若存在点，使得，则双曲线与有交点，，解得：（舍）或，实数的取值范围为.故选：C.二、多选题3．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】如下图所示，设切点为，，，由椭圆的定义结合内心的性质可判断A；由等面积法求出代入椭圆的方程可判断B；求出可判断C；由两点的斜率公式可判断D.【详解】如下图所示，设切点为，，，对于A，由椭圆的方程知：，由椭圆的定义可得：，易知，所以，所以，故A正确；对于BCD，，又因为，解得：，又因为为上一点且在第一象限，所以，解得：，故B正确；从而，所以，所以，而，所以，故C错误；从而，故D正确.故选:ABD．

三、填空题4．（2023·四川绵阳·统考二模）已知双曲线C的方程为：，离心率为，过C的右支上一点，作两条渐近线的平行线，分别交x轴于M，N两点，且．过点P作的角平分线，在角平分线上的投影为点H，则的最大值为．【答案】/【分析】根据离心率及可求出双曲线方程，再由双曲线的定义及中线的向量表示运算即可得解.【详解】，，即，两渐近线方程为，设为右支上一点，则，设，，分别令，可得，，又，，即，，所以双曲线方程为，故，延长交于，如图，

因为平分且，所以，又，，为中点，，，，，即的最大值为.故答案为：5．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线，点，点分别是抛物线、直线上的动点，若点在某个位置时，仅存在唯一的点使得，则满足条件的所有的值为．【答案】或【分析】设，，根据，利用抛物线定义结合两点间距离公式，可得，根据方程有唯一解列方程求解即可．【详解】设，，抛物线的焦点为，由抛物线定义，，，，，，，又，即，代入上式可得，，，①当时，可得，解得，由，得，此时方程只有一个解，满足题意，，②当时，由，解得，代入，可得，求得，可得，综上所述，的值为或．故答案为：或．【考点二】圆锥曲线的标准方程【典例精讲】（多选）（2023·江西·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，定点和动点，都在抛物线上，且（其中为坐标原点）的面积为3，则下列说法正确的是（

）A．抛物线的标准方程为B．设点是线段的中点，则点的轨迹方程为C．若（点在第一象限），则直线的倾斜角为D．若弦的中点的横坐标2，则弦长的最大值为7【答案】BCD【分析】根据三角形的面积求得，从而求得抛物线的标准方程，利用相关点代入法、焦半径、弦长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A．，抛物线的标准方程为，故A错误；B．抛物线的焦点为，，，则，，代入，得，整理得，所以点的轨迹方程为，B正确；C．由于，所以三点共线，设直线的倾斜角为，，，解得，同理可得，依题意，即，，所以为锐角，所以，C正确；D．设直线的方程为，由消去并化简得，设，则，，则，，所以当时，，，满足.所以D正确．

故选：BCD【变式训练】一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的中心为坐标原点，离心率为，过椭圆的上焦点的直线交椭圆于两点，若线段的中点坐标为，则椭圆的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】易知椭圆焦点在轴上，设出直线方程并与椭圆联立，再由韦达定理以及中点坐标即可求得，可得椭圆方程为.【详解】由题意可设椭圆的标准方程为，则，所以，所以椭圆的标准方程为．因为直线经过椭圆的上焦点，且直线的斜率存在，所以设直线的方程为，代入椭圆的方程，消去并整理得，设，则，又，所以可得，所以椭圆的标准方程为．故选：B．2．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，由，利用点差法求解.【详解】解：设，则，两式相减得，即，化简得，又，解得，所以双曲线的方程为：.故选：D.二、多选题3．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点．下列椭圆的方程中，能使得为正三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根据题意可知，要使为正三角形，则，可得通径，再结合椭圆的定义既可求得，对各选项逐一检验即可得出答案.【详解】设椭圆．由题意知，易得，又，故，显然B、D选项正确．故选：BD.

三、填空题4．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，存在过点的直线与双曲线的右支交于两点，且为正三角形．试写出一个满足上述条件的双曲线的方程：．【答案】（答案不唯一，符合题意即可）【分析】取，且x轴，根据通径和双曲线的定义分析判断.【详解】如图，取，且x轴，可得，，即，为正三角形，符合题意，此时双曲线的方程为.故答案为：.

5．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点恰好是抛物线的焦点，则.【答案】【分析】确定双曲线右焦点，得到，解得答案.【详解】双曲线的右焦点为，则，.故答案为：.【考点三】椭圆与双曲线的离心率（求值）【典例精讲】（多选）（2023·广东汕头·统考二模）已知曲线，，则下列结论正确的是（

）A．曲线C可能是圆，也可能是直线B．曲线C可能是焦点在轴上的椭圆C．当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为【答案】ABD【分析】设，由的符号和取值结合对应方程的特点，结合条件逐项判断可得答案.【详解】设，故曲线C的方程可表示为，对A，当时，曲线C的方程为，可得，此时曲线C为两条直线；当时，曲线C的方程为，此时曲线C是一个圆；故A正确；对B，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在y轴上的椭圆，故B正确；对C，当曲线C表示椭圆时，离心率为，则越大，椭圆越扁，故C错误；对D，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线，此时离心率为，由，可得，即它的离心率有最小值，且最小值为，故D正确.故选：ABD.【变式训练】一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知点是椭圆上一点，过点作椭圆的切线，则的方程为．若与（为坐标原点）的斜率之积为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，求得斜率建立方程，结合离心率的计算公式，可得答案.【详解】由的方程为，得的斜率为．又因为直线的斜率为，所以，即，所以椭圆的离心率为．故选：B．2．（2023·河南·校联考二模）已知双曲线：的左､右焦点分别是，，是双曲线上的一点，且，，，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据且，，，利用余弦定理求得c，再利用双曲线的定义求得a即可.【详解】解：设双曲线的半焦距为.由题意，点在双曲线的右支上，，，由余弦定理得，解得，即，，根据双曲线定义得，解得，故双曲线的离心率.故选：D二、多选题3．（2021上·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考期中）已知点､是双曲线的左､右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（

）A．与双曲线的实轴长相等 B．的面积为C．双曲线的离心率为 D．直线是双曲线的一条渐近线【答案】BCD【分析】结合双曲线的定义和条件可得，然后，然后逐一判断即可.【详解】由双曲线的定义可得，因为，所以，故A错误；因为以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，所以，所以的面积为，故B正确；由勾股定理得，即，所以，故C正确因为，所以，即所以双曲线的渐近线方程为：，即，即，故D正确故选：BCD三、填空题4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是椭圆：的右焦点，过作直线的垂线，垂足为，，则该椭圆的离心率为.【答案】【分析】通过焦点到直线的距离建立a,b,c关系，解方程即可求解.【详解】由题知，，且，即，∴，∴，∴，∴.故答案为：

5．（2023·湖北武汉·武汉市第四十九中学校考模拟预测）点P是双曲线：（，）和圆：的一个交点，且，其中，是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为．【答案】/【分析】利用圆与双曲线的定义与性质计算即可.【详解】

由题中条件知，圆的直径是双曲线的焦距，则，∴，，，．故答案为：【考点四】椭圆与双曲线的焦点及焦距【典例精讲】（多选）（2023上·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）下列关于双曲线说法正确的是（

）A．实轴长为6 B．与双曲线有相同的渐近线C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆有同样的焦点【答案】ABD【分析】先求出双曲线的基本量，然后逐一分析每个选项是否正确.【详解】由题意，双曲线满足，即，于是，故A选项正确；双曲线的焦点在轴上，故渐近线方程为：，而双曲线焦点也在轴，故渐近线为，即它们渐近线方程相同，B选项正确；焦点为，不妨取其中一个焦点和一条渐近线，根据点到直线的距离公式，焦点到渐近线距离为：，C选项错误；椭圆的焦点为，根据C选项可知，椭圆和双曲线焦点一样，D选项正确.故选：ABD【变式训练】一、单选题1．（2023上·安徽·高二合肥市第六中学校联考期中）若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则的值为（

）A．2 B．3 C．6 D．7【答案】B【分析】先求出椭圆的焦点，再由两曲线的焦点重合，列方程可求出的值.【详解】因为椭圆的焦点为，所以双曲线的焦点为，故，解得.故选：B.2．（2023·河南安阳·统考三模）以双曲线的右焦点为圆心作圆，与的一条渐近线相切于点，则的焦距为（

）A．4 B． C．6 D．8【答案】C【分析】由渐近线方程得出，，以及，联立即可求得答案.【详解】由题意，，不妨设双曲线的渐近线方程为，则.又，且，联立解得，，即.故选：C二、多选题3．（2023·湖南长沙·统考一模）已知双曲线的方程为，则（

）A．渐近线方程为 B．焦距为C．离心率为 D．焦点到渐近线的距离为8【答案】BC【分析】A选项，先判断出双曲线焦点在轴上，利用公式求出渐近线方程；B选项，求出，得到焦距；C选项，根据离心率公式求出答案；D选项，利用点到直线距离公式进行求解.【详解】焦点在轴上，故渐近线方程为，A错误；，故，故焦距为，B正确；离心率为，C正确；焦点坐标为，故焦点到渐近线的距离为，D错误.故选：BC三、填空题4．（2023·湖南郴州·统考一模）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为.【答案】9【分析】求出椭圆的焦点坐标，进而求出，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】的焦点坐标为，故，故，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为9.故答案为：95．（2023·海南·校联考模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦距为.【答案】【分析】利用双曲线的性质计算即可.【详解】由题意可知的渐近线方程，故双曲线的焦距为.故答案为：【考点五】椭圆与双曲线范围及对称性【典例精讲】（多选）（2022·河北保定·统考一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且，则下列说法正确的是（

）A．存在点，使得 B．满足为等腰三角形的点有2个C．若，则 D．的取值范围为【答案】ACD【分析】首先求出椭圆方程，当点为该椭圆的上顶点时，求出，即可判断A；再根据的范围判断B，利用余弦定理及三角形面积公式判断C，根据椭圆的定义及的范围判断D；【详解】解：根据题意：可得，的最小值为1，所以，又，所以，，，所以椭圆方程为，当点为该椭圆的上顶点时，，所以，此时，所在存在点，使得，所以选项A正确；当点在椭圆的上、下顶点时，满足为等腰三角形，又因为，，∴满足的点有两个，同理满足的点有两个，所以选项B不正确；若，，，由余弦定理，即，又，所以，所以，所以选项C正确；对于选项D，，分析可得，，所以选项D正确，故选：ACD．【变式训练】一、单选题1．（2023·江西南昌·统考模拟预测）若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据化简可得该方程表示双曲线的右支，再结合双曲线的性质判断.【详解】由，左右两边同时平方得，即，该方程可表示双曲线的右支，如图所示，

故的最小值为，故选：A.2．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知、是椭圆的左右焦点，点为上一动点，且，若为的内心，则面积的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等面积法求出内切圆的半径的表达式，代入三角形的面积公式，可得所求的三角形的面积．【详解】由椭圆的方程可得，，，设内切圆的半径为，则，可得，而，所以，所以，所以，因为，所以，即．故选：C．二、多选题3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知双曲线的右顶点为A，右焦点为F，双曲线上一点P满足PA=2，则PF的长度可能为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】AB【分析】设，根据点P在双曲线上且PA=2，则可求得的值，从而可求得的值，进而可求得PF的长度．【详解】设，则，，，则，得或，当时，，此时，当时，，此时．故选：AB．三、填空题4．（2022·全国·高三专题练习）若点依次为双曲线的左、右焦点，且，，.若双曲线C上存在点P，使得，则实数b的取值范围为.【答案】【分析】已知双曲线C上存在点P，使得，设，则，将点P代入双曲线方程，综合可得，根据，，，即可求出实数b的取值范围.【详解】错解：设双曲线上的点满足，即，又，，即，，且，，实数b的取值范围是.错因：忽略了双曲线中.正解：设双曲线上的点满足，即，又，，即，，且，，又，实数b的取值范围是.故答案为：.5．（2020上·山西·高二校联考阶段练习）过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，过的直线与轴和轴分别交于，则面积的最小值为.【答案】【分析】设出点坐标，根据相切关系分析得到的直线方程，由此表示出的坐标并表示出的面积，再根据在椭圆上结合基本不等式求解出面积的最小值.【详解】设，点坐标为，点坐标为，因为，所以化简可得，所以是方程的两个解，所以直线的方程为，所以且，所以的面积，且，所以，所以，取等号时，即或，综上可知：面积的最小值为，故答案为：.【点睛】结论点睛：和圆的切线有关的结论如下：（1）过圆上一点作圆的切线，则切线方程为；（2）过圆外一点作圆的切线，切点为，则直线的方程为.【考点六】椭圆与双曲线的顶点与轴【典例精讲】（多选）（2023·山东潍坊·三模）函数的图象是双曲线，且直线和是它的渐近线．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．， B．对称轴方程是C．实轴长为 D．离心率为【答案】ABD【分析】由基本不等式可判断A，由双曲线的性质判断B，C，D.【详解】时，，当且仅当即时取等号，时，，当且仅当即时取等号，故A正确；依题意，此双曲线两条渐近线为和，，由双曲线的对称性，双曲线的渐近线关于双曲线的对称轴对称，故得双曲线的两条对称轴方程为，故B正确；由双曲线的性质，双曲线实轴的两个顶点为对称轴与双曲线的两个交点，则由得双曲线实轴的两个顶点分别为，，故此双曲线的实轴长即为，故C错误；依题意，此双曲线两条渐近线和的夹角为，则渐近线与对称轴的夹角为，由双曲线的性质有，所以，解得，故D正确.故选：ABD【变式训练】一、单选题1．（2023上·河南·高三统考阶段练习）已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则椭圆的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据离心率及，建立关于的等式即可得解.【详解】显然离心率，解得，即，分别为C的左右顶点，B为上顶点，则，，于是，而，即，又，因此联立解得，所以椭圆的方程为.故选：B2．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线：（，）的实轴长为4，离心率为．若点是双曲线位于第一象限内的一点，则（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程，代入点坐标，由此求得的值.【详解】法一：双曲线的几何性质由题知，解得，所以双曲线：．又点是双曲线位于第一象限内的一点，所以（），解得.法二：由题知，解得，所以双曲线：．又点是双曲线位于第一象限内的一点，所以（），解得.故选：B二、多选题3．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则下列结论正确的是（

）A．椭圆的短轴长为 B．的坐标为C．椭圆的离心率为 D．存在点P，使得【答案】AC【分析】由椭圆标准方程可得基本量，从而可求离心率，故可判断ABC的正误，根据的大小关系可判断D的正误.【详解】椭圆的焦点在轴上，，则短轴长为，A正确；的坐标为，B错误；离心率为，C正确；因为，故以原点为圆心，为半径的圆与椭圆没有交点，故不存在点P，使得，D错误，故选：AC.三、填空题4．（2023·河北·统考模拟预测）已知，分别为椭圆：的两个焦点，右顶点为，为的中点，且，直线与交于，两点，且的周长为28，则椭圆的短轴长为.【答案】【分析】根据垂直平分线的性质，结合椭圆的焦点三角形，可得，利用的数量积为0，即可求解.【详解】由，为的中点，所以是的垂直平分线，所以,所以的周长为，，所以，由于，所以，故答案为：5．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校联考一模）已知F为双曲线的右焦点，A为C的左顶点，B为C上的点，且垂直于x轴，若C的离心率为5，则的斜率为．【答案】【分析】根据双曲线的几何性质可知，，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】设焦距为，则，因为C的离心率为5，所以，的斜率为，又因为，且，所以．故答案为：综合考点综合考点【考点一】抛物线的几何性质【典例精讲】（多选）（2023·浙江金华·模拟预测）已知为抛物线上的三个点，焦点F是的重心．记直线AB，AC，BC的斜率分别为，则（

）A．线段BC的中点坐标为B．直线BC的方程为C．D．【答案】ABD【分析】A.设，BC中点，则由重心分中线得到判断；B.结合选项A得到，再由点M的坐标写出直线方程判断；C.，得到判断；D.分别求得，判断.【详解】解：设，因为F为重心，所以，设BC中点，则，，由重心分中线得，即，又因为A在抛物线上，所以，所以，即，故A正确；，直线，故B正确；因为，所以，所以，故C错误；，同理，所以，故D正确．故选：ABD【变式训练】一、单选题1．（2023·河南郑州·校考模拟预测）已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．3【答案】B【分析】设，利用两点距离公式结合点在抛物线上有，再利用二次函数的性质和圆的半径即可得到答案.【详解】由题意知,设，则,所以当时,，又因为圆的半径为1，所以.故选：B.

2．（2023·河北沧州·统考模拟预测）焦点为的抛物线上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将点的坐标代入抛物线中，解得，从而得到点和点的坐标，要满足，则只需点为的垂直平分线和的垂直平分线的交点，进而求解即可．【详解】将点的坐标代入抛物线中得，解得，则，所以的斜率为1，且的中点为，则的垂直平分线方程为，即，又的垂直平分线方程为，又，则点为的垂直平分线和的垂直平分线的交点，所以点的坐标为．故选：B．二、多选题3．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为，为上的一个动点，则（

）A．的焦点坐标为B．若，则周长的最小值为C．若，则的最小值为D．在轴上不存在点，使得为钝角【答案】BCD【分析】利用焦准距求出抛物线，可得焦点坐标，判断选项A；根据抛物线的定义的应用，结合周长公式，判断选项B；设，利用两点间距离公式结合二次函数的性质，求出的最小值，判断选项C；设，由数量积的坐标运算，判断出选项D．【详解】选项A，抛物线，焦点到准线的距离为，则，焦点，错误；选项B，，，，设到准线的距离为，到准线的距离为，则的周长为，正确；选项C，设，，则，当时，的最小值为，正确；选项D，设，，，，，，不可能为钝角，正确；故选：BCD三、填空题4．（2023上·湖南益阳·高三统考期末）已知抛物线的焦点为，圆与交于两点，其中点在第一象限，点在直线上运动，记.①当时，有；②当时，有；③可能是等腰直角三角形；其中命题中正确的有.【答案】①②【分析】联立方程求得，结合可得，当时，点三点共线，求得，即可求得，判断①；当时，由，求得的值，判断②；分情况讨论为等腰直角三角形情况，判断③.【详解】由圆与，联立方程，解得或（舍），当时，，所以，从而，即，因为点在直线上运动，所以，则，①当时，点三点共线，由于，所以，所以，由题意知，所以，故①正确；②当时，即，所以，即，解得，又，得，所以②正确；③若是等腰直角三角形，则或或为直角，因为，当时，则，得，此时，不是等腰直角三角形，由对称性可知当时，也不是等腰直角三角形，；当时，因为首先是等腰三角形，由抛物线的对称性可知点在轴上，此时，，,,即，故不是等腰直角三角形，综上所述，不可能是等腰直角三角形，所以③错误，故答案为：①②.【点睛】方法点睛：题目中涉及到向量的运算即，因此要利用向量的坐标运算，表示出，则①②即可判断；判断是否为等腰直角三角形，要讨论直角顶点可能的位置，即分类讨论，结合抛物线的对称性进行解答.5．（2022上·安徽蚌埠·高二统考期末）抛物线的准线方程是，则实数.【答案】/【分析】将抛物线方程化为标准方程，根据其准线方程即可求得实数.【详解】抛物线化为标准方程：，其准线方程是，而所以，即，故答案为：【考点二】双曲线渐近线【典例精讲】（多选）（2023·河北·统考模拟预测）双曲线的左、右焦点分别是，过的直线与双曲线右支交于两点，记和的内切圆半径分别为和，则（

）A．和的内切圆圆心的连线与轴垂直B．为定值C．若，则的离心率D．若，则的渐近线方程为【答案】ABD【分析】设，的内切圆圆心分别为，设圆切分别于点，过的直线与双曲线的右支交于两点，由切线长定理及双曲线的定义即可求得，再根据直角三角形边角关系以及相似三角形的性质求得，再逐项判断即可得答案.【详解】对于A，设，的内切圆圆心分别为，设圆切分别于点，过的直线与双曲线的右支交于两点，由切线长定理，可得，所以，则，所以点的横坐标为，即点的横坐标也为，同理点的横坐标也为，故轴，A正确；对于B，在中，，，所以，所以，即，B正确；对于C，由解得，即，则双曲线的离心率，C错误；对于D，，由可得，所以或（舍），则，则，所以的渐近线方程为，D正确．故选：ABD.【变式训练】一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知第一象限内的点在双曲线的渐近线上，为坐标原点，为的右焦点，则取得最小值时，的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据双曲线的渐近线方程可设，利用两点间距离公式可得，结合二次函数性质可得解.【详解】由题意，，双曲线的渐近线为，由点在第一象限，可设，则，，所以，所以当时，取最小值，此时，此时的面积，故选：C.2．（2023上·江苏宿迁·高二统考期中）双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的离心率的定义求出与的关系，从而得出与的关系，再根据渐近线方程定义即得.【详解】由可得：又因故有而双曲线：的渐近线方程为即：故选：D.二、多选题3．（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）在平面直角坐标系中，双曲线：的下、上焦点分别是，，渐近线方程为，为双曲线上任意一点，平分，且，，则（

）A．双曲线的离心率为B．双曲线的方程为C．若直线与双曲线的另一个交点为，为的中点，则D．点到两条渐近线的距离之积为【答案】AD【分析】延长，交于点，平分，且，则为的中点，可得，渐近线方程为，得，可得双曲线方程，逐个验证选项即可.【详解】不妨设为双曲线的下支上一点，延长，交于点，如图，

因为，因为平分，所以，所以，所以为等腰三角形，则为中点，又为中点，所以，根据双曲线的定义得，，所以，，因为双曲线的渐近线方程为，所以，得，，，所以双曲线的标准方程为，离心率为，所以A正确，B不正确；设，，，因为，在双曲线上，所以①，②，①②并整理得，，因为，，所以，，所以C不正确.由，代入，即，即，所以点到两条渐近线的距离之积为，所以D正确；故选：AD.三、填空题4．（2023上·湖南永州·高二校考期中）过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为.【答案】【分析】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，代入点的坐标即可求得.【详解】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，代入点，得，解得，所以所求双曲线方程为.5．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）双曲线的离心率为2，则右焦点到其渐近线的距离为．【答案】【分析】由双曲线离心率结合方程求出，得到右焦点的坐标和双曲线渐近线方程，利用公式求点到直线的距离.【详解】双曲线的离心率为2，由得，则，右焦点，渐近线方程为，到渐近线的距离为.故答案为：培优考点培优考点【考点一】椭圆与双曲线的焦点三角形【典例精讲】（多选）（2023·山东日照·三模）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（

）A．圆和圆外切 B．圆心在直线上C． D．的取值范围是【答案】AC【分析】根据双曲线的标准方程、定义和切线长定理结合几何关系和对勾函数性质即可求解，【详解】双曲线的，渐近线方程为，两渐近线倾斜角分别为和，设圆与轴切点为过的直线与双曲线的右支交于两点，可知直线的倾斜角取值范围为，的的横坐标为，则由双曲线定义，所以由圆的切线长定理知，所以.的横坐标均为，即与轴垂直.故圆和圆均与轴相切于，圆和圆两圆外切.选项A正确；由双曲线定义知，中，，则只能是的中线，不能成为的角平分线，则圆心一定不在直线上.选项B错误；在中，，，则由直角三角形的射影定理可知，即则，故.选项C正确；

由直线的倾斜角取值范围为，可知的取值范围为，则的取值范围为，故，又，则令，则在单调递减，在单调递增.值域为故的值域为.选项D错误.故选：AC.【变式训练】一、单选题1．（2023·广东梅州·统考三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆的一个交点为，若，则的面积为（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用椭圆定义求出，再求出等腰三角形的面积作答.【详解】椭圆中，，由及椭圆定义得，

因此为等腰三角形，底边上的高，所以的面积为.故选：D2．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线C的右支上一点，且，，则双曲线C的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用双曲线的定义及勾股定理等得到，设，结合双曲线的定义得到，则，构造函数，利用导数法求解.【详解】解：因为，，∴，又，∴．设，则，，∴，∴，则，∴．∴，则，设，则，∴在上单调递增，∴，∴，∴，∴，∴，故选：B．二、多选题3．（2023·广东·校联考模拟预测）已知椭圆的焦点在轴上，且分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（

）A．B．的离心率为C．存在，使得D．面积的最大值为【答案】ACD【分析】A选项，根据焦点在在轴上，列出不等式，求出答案；B选项，求出，进而求出离心率；C选项，写出以为直径的圆的方程，联立椭圆方程，得到当时，方程有解，故C正确；D选项，由几何性质得到当点位于上顶点或下顶点时，面积取得最大值，表达出最大面积，配方后求出最值.【详解】A选项，椭圆的焦点在轴上，故，解得，A正确；B选项，设，则，故的离心率为，B错误；C选项，以为直径的圆的方程为，与椭圆联立得，，整理得，因为，所以，当时，，故，满足要求，故存在，使得，C正确；D选项，因为，故当点位于上顶点或下顶点时，面积取得最大值，故最大面积为，因为，所以当时，面积取得最大值，最大值为，D正确.故选：ACD三、填空题4．（2023·辽宁锦州·统考二模）椭圆的离心率为，分别为的左､右焦点，若，是上轴上方的两点且，则.【答案】3【分析】根据离心率得到椭圆方程，根据椭圆的性质和勾股定理得到，再利用余弦定理得到，得到答案.【详解】，解得，故椭圆，，连接，如图所示：则，，解得，则，，故，即，解得，故.故答案为：5．（2023上·广西玉林·高三校联考开学考试）双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为.【答案】【分析】设，由双曲线定义表示出，用已知正切值求出，再由双曲线定义得，再由勾股定理结合正切值用表示出，从而建立关系式求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率．【详解】由题可知共线，共线，如图，设，则，因为，所以，又，所以，所以，所以，又因为，，所以，所以，得，则，又，且，所以，化简得，所以.故答案为：.【考点二】圆锥曲线的离心率（求范围）【典例精讲】（多选）（2022·湖南·统考二模）已知双曲线E：的左､右焦点分别为，，过点作直线与双曲线E的右支相交于P，Q两点，在点P处作双曲线E的切线，与E的两条渐近线分别交于A，B两点，则（

）A．若，则B．若，则双曲线的离心率C．周长的最小值为8D．△AOB（O为坐标原点）的面积为定值【答案】ACD【分析】对于A，由双曲线的定义知，，结合，即可判定A.对于B，在中，由正弦定理得出，结合双曲线的定义求出，因为，即可判定B.对于C，由分析知，当直线PQ垂直x轴时，周长的最小值，代入即可判定C.对于D，设，过点P的双曲线E的切线方程为，与两条渐近线联立，求出A，B的坐标，又因为，故点P是AB的中点，所以，代入计算，即可判定D.【详解】由题意知，，则，所以有，从而，，故A正确.在中，由正弦定理得，则在，解得.又，所以，整理得，所以，解得，故B错误.当直线PQ垂直x轴时，的最小值为，，故C正确.设，过点P的双曲线E的切线方程为，E的渐近线方程为，不妨设切线与渐近线的交点为A，联立方程组，解得，即，同理可得.又因为点P在双曲线E上，则有，，故点P是AB的中点.设切线与x轴的交点为G，易知，所以，所以，故D正确.故选：ACD.【变式训练】一、单选题1．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等腰三角形三边关系可构造不等式求得的范围，根据双曲线和椭圆定义可利用表示出，从而得到，结合的范围可得结果.【详解】设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，，是以为底边的等腰三角形，点在第一象限内，，即，，且，，，，解得：．在双曲线中，，；在椭圆中，，；；，，则，，可得：，的取值范围为.故选：B.2．（2023·广东·校联考模拟预测）已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两点间距离公式，结合一元二次不等式的性质、双曲线离心率公式进行求解即可.【详解】设，，由，代入不等式中，化简，得恒成立，则有，解得，而，所以故选：A【点睛】方法点睛：一般求双曲线的离心率的方法是：根据已知的等式或不等式，构造关于中任意两个量的双齐次方程或不等式，再结合双曲线的离心率大于1进行求解即可.二、多选题3．（2022上·江西·高二校联考阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过椭圆上一点和原点作直线交圆：于，两点，下列结论正确的是（

）A．椭圆离心率的取值范围是B．若，且，则C．的最小值为D．若，则【答案】AD【分析】A中，由椭圆的离心率的表达式及的范围，可得离心率的范围，判断A的真假；B中，由题意，可得在以为直径的圆上，再由，可得为的中点，由圆的半径可得，从而求出的值，判断B的真假；C中，由椭圆的定义，可得，由三点共线，可得它的最小值，判断C的真假；D中，由余弦定理及椭圆的定义，可得的表达式，然后得到，的表达式，进而求出的值，判断D的真假．【详解】对于A：由椭圆的方程，可得椭圆的离心率，因为，所以，所以，所以，再由椭圆的离心率，可得，所以A正确；对于B：若，且，则在以为直径的圆上，如图所示：所以，由题意可得，即，所以，解得，所以B不正确；对于C：由椭圆的定义，可得，当为右顶点时取等号，此时最小，且为，所以C不正确；对于D：因为，所以，在中，由余弦定理，可得，①在中，由余弦定理，可得，②而，，①②，可得，即，所以，所以，所以D正确．故选：AD．三、填空题4．（2023·河北·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为圆与的一个公共点，若，则当时，椭圆的离心率的取值范围为.【答案】【分析】根据题意结合椭圆、圆的性质分析可得，结合对勾函数求其范围，进而可得离心率的范围.【详解】设椭圆的半焦距为，则圆，表示以，半径为的圆，若圆与椭圆有公共点，则，可得，解得，因为，且，可得，整理得，又因为，即，且，则，解得，可得，整理得，因为在上单调递减，在上单调递增，且，可得，则，可得；综上所述：椭圆的离心率的取值范围为.故答案为：.

【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．5．（2024·四川成都·成都七中校考一模）双曲线：其左、右焦点分别为、，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，设双曲线右顶点为，若，则双曲线的离心率的取值范围为．【答案】【分析】设，则，然后在中利用余弦定理列方程可表示出，再由可求出离心率的范围【详解】设，则，因为直线的倾斜角为，所以，在中，由余弦定理得，，得，因为，所以得，，所以，所以，解得，即双曲线的离心率的取值范围为故答案为：【点睛】关键点睛：此题考查求双曲线的离心率的范围，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是根据题意在中利用余弦定理表示出，然后代入已知条件中可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题.总结提升总结提升1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|).(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|).(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.3.求离心率通常有两种方法(1)椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))(0<e<1)，双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))(e>1).(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.4.与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).5.确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的等量关系或不等关系，然后用a，c代换b，进而求eq\f(c,a)的值或范围.6.求双曲线渐近线方程的关键在于求eq\f(b,a)或eq\f(a,b)的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.7.抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的倾斜角，则(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α).(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p).(4)以线段AB为直径的圆与准线x＝－eq\f(p,2)相切.8.利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.专项专项检测一、单选题1．（2023·吉林长春·统考一模）椭圆上有两点、，、分别为椭圆的左、右焦点，是以为中心的正三角形，则椭圆离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，由条件表示出的长，结合椭圆的定义，再由离心率的计算公式，即可得到结果.【详解】设边与轴交于点，且是以为中心的正三角形，则，且为的重心，由重心定理可得，，则，在中，，则，所以，由椭圆的定义可得，，即，化简可得，则.故选：C2．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为，且双曲线上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用由双曲线上的点到焦点的最近距离为2得，再由离心率、可得答案.【详解】由离心率，得，由双曲线上的点到焦点的最近距离为2，得，根据这两个方程解得，则，得，所以双曲线的方程为.故选：B.3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，由取得最小值，则最大，最小求解.【详解】解：如图所示：因为，设，则，，当时，取得最小值，此时，最大，最小，且，故选：C4．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆上存在点，使得曲线关于点对称.若椭圆的一个长轴端点到一个短轴端点的距离大于其焦距，则椭圆的长轴长的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据椭圆的几何性质可得，由函数图象的平移可得，即可将代入椭圆得，即可根据不等式求解.【详解】因为椭圆的一个长轴端点到一个短轴端点的距离大于其焦距，所以,整理得.因为，所以其图象由奇函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，所以关于点对称，故.将代入椭圆的方程，得.两边同时乘并整理，得，所以椭圆的长轴长.又，所以，所以，所以.所以椭圆的长轴长的取值范围是.故选：C.5．（2023·全国·模拟预测）已知直线过双曲线的右焦点，且与双曲线右支交于，两点．若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，，由得到，的关系，结合韦达定理得到，，之间的关系式，进而求出离心率.【详解】设，，则，．由，得．直线l的方程为，即，代入双曲线的方程中，得，即，∴，，∴，，∴，整理得．又，∴．故选:B．6．（2023·全国·模拟预测）设为抛物线的焦点，点为上第四象限的点．若直线的方程为，则（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】先根据焦点位置求出抛物线方程，再将直线和抛物线方程联立求出点坐标，再根据焦半径公式可得答案.【详解】由题意可知，，则，所以，．将代入，得，解得，，则，．因为点为上第四象限的点，所以．根据抛物线的定义可知，．故选：C．7．（2023·浙江宁波·统考一模）设为坐标原点，为椭圆的焦点，点在上，，则（

）A． B．0 C． D．【答案】C【分析】设，利用余弦定理可得，再由向量表示可知，即可得；联立即可求得.【详解】如下图所示：

不妨设，根据椭圆定义可得，；由余弦定理可知；又因为，所以，又，即可得，解得；又，即；所以可得；故选：C8．（2023·全国·模拟预测）已知直线与双曲线交于两点，点是双曲线上与不同的一点，直线的斜率分别为，则当取得最小值时，该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】联立方程求出的坐标，通过运算得到，代入，利用二次函数的知识求得取最小值时，的值，即可求解.【详解】将代入双曲线方程中，整理得，得，设，则，，所以，所以．当时，取得最小值，此时,所以，解得，所以.故选：C．二、多选题9．（2023·全国·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，，点是上一点，满足，，且的面积为，则的值可能为（

）A．3 B． C．4 D．【答案】AB【分析】结合题意，先根据椭圆的定义，可得，然后利用余弦定理求出椭圆的离心率或，再利用三角形的面积公式可求出椭圆的，即可求出的值.【详解】由椭圆的定义，得，又因为，所以，由，得，由余弦定理，得，当时，整理，得，即，解得或（因为椭圆离心率的取值范围是，