线性代数向量及其线性运算

关于线性代数向量及其线性运算2.2ｎ维向量一ｎ维向量三应用举例二向量的运算五向量空间四向量组与矩阵第2页,共54页，2024年2月25日，星期天注意：集中精力，仔细理解第3页,共54页，2024年2月25日，星期天

确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，会产生一个有序数组１、引入一、ｎ维向量（Vector）第4页,共54页，2024年2月25日，星期天２、定义ｎ个数组成的有序数组称为一个ｎ维向量，其中称为第个分量.记作如：ｎ维向量写成一行，称为行矩阵，也就是行向量，如：记作α,β,γ.ｎ维向量写成一列，称为列矩阵，也就是列向量，（RowVector）（ColumnVector）第5页,共54页，2024年2月25日，星期天注意１、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；２、当没有明确说明时，都当作实的列向量.第6页,共54页，2024年2月25日，星期天几何上的向量可以认为是它的特殊情形，即n=2,3且F

为实数域的情形.在n>3时，n

维向量就没有直观的几何意义了.我们所以仍称它为向量，一方面固然是由于它包括通常的向量作为特殊另一方面也由于它与通常的向量一样可以定义运算，并且有许多运算性质是共同的，因而采取这样一个几何的名词有好处.以后我们用小写希腊字母

，

，

等来代表向量.情形，第7页,共54页，2024年2月25日，星期天三、n

维向量的运算1.两个向量相等定义2.3

如果n

维向量

=(a1,a2,…,an)T,

=(b1,b2,…,bn

)T的对应分量都相等，即ai=bi(i=1,2,…,n),就称这两个向量是相等的，记作

=

.第8页,共54页，2024年2月25日，星期天2.向量的加法1)定义定义2.4

向量

=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn

)T称为向量

=(a1,a2,…,an)T,

=(b1,b2,…,bn

)T的和，记为

=+.第9页,共54页，2024年2月25日，星期天2)运算规律交换律

+=+.结合律

+(+)=(+)+

.4)负向量定义向量(-a1,-a2,…,-an

)T

称为向量=(a1,a2,…,an)的负向量，记为-

.第10页,共54页，2024年2月25日，星期天显然，对于所有的

，都有+0=

，

+(-

)=0.5)向量减法运算定义

-

=+(-

).第11页,共54页，2024年2月25日，星期天3.数量乘积定义2.5

设k

为数域F

中的数，向量(ka1,ka2,…,kan

)称为向量

=(a1,a2,…,an)与数k

的数量乘积，记为k.1)定义向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算.显然，数域F

上的向量经过线性运算后，仍为数域F

上的向量.第12页,共54页，2024年2月25日，星期天2)运算规律k(+)=k

+k,(k+l)=k

+l,k(l

)=(kl)

,1=,0

=0,(-1)

=-

,k

0=0.如果k

0,

0,那么k

0.第13页,共54页，2024年2月25日，星期天3、向量与矩阵的关系其第ｊ个列向量记作ｍ个ｎ维行向量.按行分块按列分块ｎ个ｍ维列向量.其第ｉ个行向量记作矩阵与向量的关系中注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清.第14页,共54页，2024年2月25日，星期天

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如三、向量组、矩阵、线性方程组向量组称为矩阵Ａ的列向量组.对于一个矩阵有ｎ个ｍ维列向量.记作：第15页,共54页，2024年2月25日，星期天向量组为矩阵Ａ的行向量组．类似的，矩阵有ｍ个ｎ维行向量.第16页,共54页，2024年2月25日，星期天四、线性方程组AX=b的向量表示方程组的解x1=c1,x2=c2,….,xn=cn,可以用n维列向量：

x=（c1,c2,….,cn)T来表示。此时称为方程组的一个解向量。（P78）第17页,共54页，2024年2月25日，星期天例３ｎ维向量的集合是一个向量空间,记作.五、向量空间1、定义设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足①对加法封闭②对数乘封闭那么就称向量组Ｖ为向量空间（VectorSpace）．解任意两个ｎ维向量的和仍是一个ｎ维向量；任意ｎ维向量乘以一个数仍是一个ｎ维向量．所以，所有ｎ维向量的集合构成一个向量空间.易知该集合对加法封闭，对数乘也封闭，第18页,共54页，2024年2月25日，星期天第19页,共54页，2024年2月25日，星期天向量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：可随意平行移动的有向线段代数形象：向量的坐标表示式坐标系2、结构第20页,共54页，2024年2月25日，星期天空间解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集合坐标系代数形象：向量空间中的平面几何形象：空间直线、曲线、空间平面或曲面一一对应第21页,共54页，2024年2月25日，星期天2.3向量间的线性关系第22页,共54页，2024年2月25日，星期天回忆：向量线性运算数乘规定称为数ｋ与向量α的数量积.设β=kα，那么两个向量之间是什么样的关系？引申到多个向量，关系又如何？第23页,共54页，2024年2月25日，星期天

向量能由向量组线性表示．一定义第24页,共54页，2024年2月25日，星期天①若α＝kβ，则称向量α与β成比例．②零向量Ｏ是任一向量组的线性组合．④任一ｎ维向量都是基本向量组的一个线性组合．事实上，有③向量组中每一向量都可由该向量组线性表示．第25页,共54页，2024年2月25日，星期天b能够为α1，α2，…αn线性表示：令x1，x2，…xn分别为λ1,λ2,….,λn，则以上线性组合可以表示为：第26页,共54页，2024年2月25日，星期天第27页,共54页，2024年2月25日，星期天第28页,共54页，2024年2月25日，星期天第29页,共54页，2024年2月25日，星期天定理1第30页,共54页，2024年2月25日，星期天第31页,共54页，2024年2月25日，星期天第32页,共54页，2024年2月25日，星期天注意:定义３二、线性相关性的概念则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．第33页,共54页，2024年2月25日，星期天相关结论P92例3-4第34页,共54页，2024年2月25日，星期天第35页,共54页，2024年2月25日，星期天定理向量组线性无关

齐次线性方程组只有零解；定理向量组线性相关

齐次线性方程组有非零解.二、线性相关性的判断准则P91第36页,共54页，2024年2月25日，星期天推论ｎ个ｎ维向量线性相关

.推论ｎ个ｎ维向量线性无关

.P91定理第37页,共54页，2024年2月25日，星期天第38页,共54页，2024年2月25日，星期天解例１第39页,共54页，2024年2月25日，星期天1、设向量组线性相关，则ｋ

.2、设向量组线性无关，则必满足

.自己练习：第40页,共54页，2024年2月25日，星期天证法第41页,共54页，2024年2月25日，星期天第42页,共54页，2024年2月25日，星期天进一步：P94定理2.6向量组线性相关

至少有一个向量可由其余向量线性表示．定理第43页,共54页，2024年2月25日，星期天第44页,共54页，2024年2月25日，星期天第45页,共54页，2024年2月25日，星期天向量组线性无关

任何一个向量都不能由其向量线性表示．定理第46页,共54页，2024年2月25日，星期天P96例题9如果向量组线性相关，则α可由Ａ唯一线性表示.线性无关，而向量组证设∵Ａ线性无关，而向量组Ｂ线性相关，∴ｋ≠０，（否则与Ａ线性无关矛盾）∴α可由Ａ线性表示.即有第47页,共54页，2024年2月25日，星期天下证唯一性：两式相减有∵Ａ线性无关，即表达式唯一.设第48页,共54页，2024年2月25日，星期天性质设向量组若Ａ线性相关,则向量组Ｂ也线性相关；反之，若向量组Ｂ线性无关，则向量组Ａ也线性无关.P95例7此时A称为B的一个部分组。第49页,共54页，2024年2月25日，星期天说明：第50页,共54页，2024年2月25日，星期天第51页,共54页，2024年