《三角形的外角》名师教案

第十一章三角形11.2与三角形有关的角11.2.2三角形的外角（袁梅）一、教学目标（一）学习目标1.理解三角形的外角的概念.2.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.3.学会运用说理计算三角形相关的角.（二）学习重点三角形外角的性质.（三）学习难点运用三角形外角的性质计算与三角形有关的角时能准确地推理.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫三角形的外角．（2）如图，在△ABC中，∠ACD是△ABC的一个外角：①若∠A=70o，∠B=60o，由∠A+∠B+∠ACB=180o，得∠ACB=180o−∠A−∠B=180o−70o−60o=50o.由∠ACB+∠ACD=180o，得∠ACD=180o−∠ACB=130o.由计算结果发现∠ACD=∠A+∠B.②若∠A=75o，∠B=70o，由∠A+∠B+∠ACB=180o，得∠ACB=180o−∠A−∠B=180o−75o−70o=35o.由∠ACB+∠ACD=180o，得∠ACD=180o−∠ACB=145o.由计算结果发现∠ACD=∠A+∠B.③观察上面的计算，你发现的结论是三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.预习自测（1）如图，在△ABC中，∠1，∠2，∠3哪个是△ABC的外角？【知识点】三角形外角的概念【思路点拨】三角形的外角是由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，由此可进行判断．【解题过程】解：由三角形的外角是由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，所以∠1，∠2都是三角形的外角.【答案】∠1和∠2（2）一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不能确定【知识点】三角形的外角的概念，三角形的分类．【思路点拨】根据三角形的外角的概念可知三角形的外角是相邻的内角的邻补角，所以可知此外角与相邻内角互补，再根据三角形按角分类可进行判断.【解题过程】解：根据三角形的外角的概念可知三角形的外角是相邻的内角的邻补角，所以可知此外角与相邻内角互补，根据题意，此外角是锐角，所以相邻的内角是钝角，故此三角形是钝角三角形.故选C．【答案】C（3）求出下列图形中∠1的度数.【知识点】三角形外角的性质．【思路点拨】由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可得出结果．【解题过程】解：图（1）∠1=35°+50°=85o；图（2）∠1=90°+40°=130o【答案】85o，130o（4）如图所示，直线BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠ABC=35o，∠BAC=70o，则∠CEF的度数为（）A．105oB．90oC．60oD．75o【知识点】三角形外角的性质，平行线的性质．【思路点拨】由平行线的性质可知，求∠CEF的度数即∠ACD即可，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出结果．【解题过程】解：由题可知∠ACD=∠A+∠B=70o+35o=105o，∵BD∥EF，∴∠CEF=∠ACD=105o，故选A.【答案】A(二)课堂设计1.知识回顾（1）什么是三角形的内角？三角形的内角和为.（2）直角三角形的两个锐角.（3）若∠A与∠B互为邻补角，则∠A与∠B的数量关系为.2.问题探究探究一探究三角形外角的概念.●活动①回顾旧知师：说出△ABC的三个内角，并指出每个内角是由哪两条边组成的？学生回答，∠A是AB、AC组成的角，∠B是BC、BA组成的角，∠C是CB、CA组成的角.师：∠ACD是由哪两条边组成的？与三角形的内角的组成有什么不同？学生回答，∠ACD是由CA、CD组成，三角形的内角是由三角形的两边组成，而∠ACD是由三角形的一边和三角形另一边的延长线组成的.【设计意图】通过对旧知识的复习，回顾三角形的内角的概念，初步感知与内角不同的外角的特征，为新知识的学习作铺垫.●活动②整合旧知，探究三角形外角的概念.学生自学教材第14页最后一段话，然后完成下列问题：问题1画图说明什么是△ABC的外角，你能画出多少个？它们有什么关系？问题2如图，请指出∠ADB、∠DEC、∠BEC分别是哪个三角形的外角？【设计意图】通过自主学习，画图说明，练习反馈，使学生掌握三角形外角的概念.尤其是在较复杂图形中辨析三角形的外角，培养学生的识图能力，为进一步运用三角形性质作准备.探究二探究三角形外角的性质★●活动①大胆猜想，探究新知识填一填，仔细观察你有何发现？若∠A=70o，∠B=60o，由三角形的内角和为180o，得∠ACB=50°.由∠ACB+∠ACD=180o，得∠ACD=130°.由计算结果发现∠ACD=∠A+∠B.∠A=75o，∠B=70o，由三角形的内角和为180o，得∠ACB=35o.由∠ACB+∠ACD=180o，得∠ACD=145o.由计算结果发现∠ACD=∠A+∠B.观察上面的计算，大胆猜想：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.【设计意图】已知三角形两个内角的度数，利用三角形的内角和定理求出第三个角的度数，再利用邻补角的性质可求出三角形一个外角的度数，从具体的计算过程中，初步感知三角形外角与它不相邻的两个内角的关系，为证明三角形外角的性质提供思路.●活动②集思广益，证明性质如图，根据以上计算你能证明∠ACD=∠A+∠B吗？证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180o，∠ACB+∠ACD=180o∴∠ACD=∠A+∠B.你还有其他方法可证明吗？添加辅助线（平行线）进行证明.如下图：结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.【设计意图】通过利用三角形内角和定理、邻补角的性质证明三角形外角的性质，培养学生严谨的态度和推理论证的能力.同时探究不同证明方法，发散学生思维，感受几何问题的解题策略的多样性，激发学生学习兴趣.●活动③发散思维深入理解如图，∠ACD是△ABC的一个外角，你能比较∠ACD与∠A、∠B的大小吗？学生思考后回答，由三角形外角的性质可知∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.反思：三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角.【设计意图】比较三角形的一个外角和与它不相邻的内角的大小是三角形外角性质的进一步延伸，可进一步加深对外角性质的理解，同时也是比较三角形中角的大小的有效方法.探究三运用三角形外角的性质解决简单的问题.★▲●活动①三角形外角的性质例1如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？【知识点】三角形外角的性质【解题过程】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）．由∠1+∠2+∠3=180o，得∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180o=360o.【思路点拨】根据三角形外角的性质求三角形外角的和可转化为内角来计算．【答案】360o题后反思：三角形共有6个外角，在每个顶点处取一个外角，则三角形的3个外角和为360o练习：如图所示，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，已知∠A=70o，∠B=40o，求∠ECD的度数.【知识点】三角形外角的性质【解题过程】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠ACD=∠A+∠B=70o+40o=110o，又∵CE是∠ACD的平分线，所以∠ECD=∠ACD=×110o=55o【思路点拨】根据三角形外角的性质易求∠ACD的度数，再根据角平分线的定义可求得结果．【答案】55o●活动2利用三角形外角的性质解决实际问题例2一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90o，∠B，∠D应分别是21o和32o，检验工人量得∠DCB=148o，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？【知识点】三角形外角的性质【解题过程】延长DC交AB于点E.因为∠DCB是△CEB的一个外角，所以∠DCB=∠B+∠BEC.又因为∠BEC是△ADE的一个外角，所以∠BEC=∠A+∠D.所以∠DCB=∠B+∠A+∠D=90o+21o+32o=143o≠148o.所以这个零件不合格.【思路点拨】添加辅助线利用三角形的外角，可以把不是同一个三角形的几个角联系起来，它是不同三角形的内角之间相互转化的“桥梁”．此类题添加辅助线的方法不唯一，只要将此图形分成三角形即可，如下图.练习：如图，点D是△ABC内一点，连接BD、CD，∠ABD=20o，∠ACD=30o，∠A=35o，求∠BDC的度数.【知识点】三角形外角的性质【解题过程】延长BD交AC于点E，因为∠BEC是△ABE的一个外角，所以∠BEC=∠A+∠ABD.又因为∠BDC是△CDE的一个外角，所以∠BDC=∠BEC+∠ACD.所以∠BDC=∠ABD+∠A+∠ACD=20o+35o+30o=85o.【思路点拨】添加辅助线利用三角形的外角，可以把不是同一个三角形的几个角联系起来，它是不同三角形的内角之间相互转化的“桥梁”．方法不唯一.【答案】85o●活动3三角形外角的性质与角平分线的综合例3在△ABC中，∠B的平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线相交于点E.（1）若∠A=36o，∠B=40o，求∠E的度数.（2）若∠A=α，∠E=β，试探索图中α与β的关系.【知识点】三角形外角的性质，角平分线的定义【解题过程】解：（1）因为∠ACD是△ABC的一个外角，所以∠ACD=∠A+∠ABD=36o+40o=76o.又因为BE、CE分别是∠ABC、∠ACD的平分线，所以∠EBC=∠ABC=20o，∠ECD=∠ACD=38o，又因为∠ECD是△BCE的一个外角，所以∠ECD=∠EBC+∠E.所以∠E=∠ECD−∠EBC=38o−20o=18o.（2）因为∠ACD是△ABC的一个外角，所以∠ACD=∠A+∠ABD.即∠ACD−∠ABD=∠A.又因为BE、CE分别是∠ABC、∠ACD的平分线，所以∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，又因为∠ECD是△BCE的一个外角，所以∠ECD=∠EBC+∠E.所以∠E=∠ECD−∠EBC=∠ACD−∠ABC=（∠ACD−∠ABD）=∠A，即β=α.【思路点拨】第（1）小题知道三角形两个内角的度数，可利用三角形外角性质和角平分线的定义直接计算出结果；第（2）小题虽不知角的具体度数，但仍可类比第（1）小题作法，将特殊归纳到一般情况即可解决.【答案】18o，β=α.练习：如图，△ABC两个外角∠DBC、∠ECB的角平分线相交于点F，若∠A=50o，求F的度数.【知识点】三角形外角的性质，角平分线的定义【解题过程】解：因为∠DBC、∠ECB是△ABC外角，所以∠ECB=∠A+∠ABC，∠DBC=∠A+∠ACB.又因为BF、CF分别是∠DBC、∠ECB的平分线，所以∠FBC=∠DBC，∠FCB=∠ECB，在△BCF中，∠F=180o−∠FBC−∠FCB=180o−（∠DBC+∠ECB）=180o−（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），因为∠A+∠ACB+∠ABC=180o，所以∠F=180o−（∠A+180o）=90o−∠A=65o.【思路点拨】此题与例题类似，综合利用三角形外角的性质和三角形内角和定理将角的度数进行转化求解.【答案】65o3.课堂总结知识梳理（1）三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫三角形的外角．（2）三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（3）利用三角形的外角的性质可解决与三角形的角有关的问题.重难点归纳（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（2）三角形外角的性质是解决几何图形中有关角度问题的基本定理，需熟练掌握．（3）添加辅助线构造三角形，利用三角形的外角可以把不是同一个三角形的几个角联系起来，它是不同三角形的内角之间相互转化的“桥梁”．(三)课后作业基础型自主突破1.如图，AB∥CD，∠B=58o，∠E=20o，则∠D的度数为（）A.28°B.38°C.48°D.58°【知识点】三角形外角的性质，平行线的性质【思路点拨】由AB∥CD的条件自然想到图中有同位角、内错角相等，已知∠E=20o，要求∠D，可利用三角形的外角性质，求出∠BFD或∠CFE即可.【解题过程】∵AB∥CD，∴∠BFD=∠B=58o，因为∠BFD是三角形DEF的外角，所以∠DFB=∠D+∠E，所以∠D=∠DFB−∠E=58o−20o=38o，故选B.【答案】B2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是（）A.∠A>∠1>∠2B.∠2>∠1>∠AC.∠A>∠2>∠1D.∠2>∠A>∠1【知识点】三角形外角的性质【思路点拨】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可知此外角一定大于与它不相邻的内角，这是比较角大小的重要依据.【解题过程】因为∠2是△BEC的一个外角，所以∠2>∠1，因为是∠1是△ADB的一个外角，所以∠1>∠A，所以∠2>∠1>∠A.故选B.【答案】B3.已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4，则它的最大内角的度数为()A.90°B.110°C.100°D.120°【知识点】三角形外角的和，邻补角的定义【思路点拨】根据三角形的外角和为360°，三个外角的度数比为2:3:4，可求出各外角的度数，再根据邻补角的定义可求出各内角的度数，问题得以解决.【解题过程】解：根据三角形的外角和为360°，三个外角的度数比为2:3:4，求出各外角的度数分别为80°、120°、160°，则三个内角的度数分别为100°、60°、20°，故选C【答案】C4.如图，从A处观测C处仰角∠CAD=30o，从B处观测C处的仰角∠CBD=45o，从C处观测A、B两处时视角∠ACB=.【知识点】三角形外角的性质【思路点拨】利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解决问题的关键.【解题过程】因为∠CBD是△ABC的一个外角，所以∠CBD=∠ACB+∠A，所以∠ACB=∠CBD−∠A=45o−30o=15o.【答案】15o5.如图，D、B、C在同一直线上，∠A=80°，∠C=62°，∠D=20°，则∠1=________.【知识点】三角形外角的性质【思路点拨】在计算与三角形有关的角的问题时，有时一个角既是三角形的内角，又是另一个三角形的外角，如图中∠ABC在图形中需进行辨认，一般利用三角形外角的性质计算更直接.【解题过程】在△ABC中，∠A=80°，∠C=62°，所以∠ABC=180°−80°−62°=38°，因为∠ABC是△DBE的一个外角，所以∠1=∠ABC−∠D=18°.【答案】18°6.如图，△ABC为直角三角形，∠C=90o，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2=.【知识点】三角形外角的性质，三角形的内角和定理【思路点拨】由图可知∠1、∠2分别是三角形的外角，利用外角的性质和三角形内角和为180o，即可求解.整体思想的运用是解决本题的关键.【解题过程】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得：∠1=∠C+∠4，∠2=∠C+∠3.∴∠1+∠2=∠C+∠4+∠C+∠3，∵∠C+∠3+∠4=180o，∠C=90o，∴∠1+∠2=180o+90o=270o【答案】270o能力型师生共研7.如图，在△ABC中∠B=65o，∠BAD=30o，∠ACB=72o，且CE平分∠ACB，求∠AEC的度数．【知识点】三角形外角的性质，角平分线的定义【思路点拨】利用外角的性质和角平分线的定义即可求解【解题过程】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得：∠ADC=∠B+∠BAD=30o+65o=95o，∵∠ACB=72o，且CE平分∠ACB，∴∠ECD=∠ACB=36o，∴∠AEC=∠ADC+∠ECD=131o.【答案】131o8.如图所示，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°，求∠BCD的度数.【知识点】三角形外角的性质，角平分线的定义【思路点拨】求角的度数应联想到运用三角形的内角和与三角形的外角的性质解决，因此本题需作辅助线构成三角形外角求解.【解题过程】如图，作射线AC，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得：∠3=∠1+∠5，∠4=∠2+∠6，∴∠BCD=∠3+∠4=∠1+∠5+∠6+∠2=20°+25°+35°=80o.【答案】80o探究型多维突破9.如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的和为.【知识点】三角形外角的性质【思路点拨】求几个不在同一个三角形的和，一般添辅助线构出三角形的外角，借助三角形外角的性质将这些角联系起来，从而解决问题.【解题过程】如图，延长BE与AC相交于点F.由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得：∠2=∠D+∠E，∠1=∠2+∠C，所以∠1=∠D+∠E+∠C，因为∠A+∠B+∠1=180o，所以∠A+∠B+∠D+∠E+∠C=180o.【答案】180o10.如图所示，在△ABC中，外角∠ACD的平分线与∠ABC的平分线相交于点A1.∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2，∠A2BC与∠A2CD的平分线相交于点A3，若∠A=64o，则∠A3的度数为.【知识点】三角形外角的性质，角平分线的定义【思路点拨】根据三角形角平分线、外角性质和找规律可求解.【解题过程】在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180o−∠A，∵∠ACD＝180o−∠ACB，CA1平分∠ACD，∴∠A1CD＝∠ACD＝（180o−∠ACB）＝90o−∠ACB，∵BA1平分∠ABC，∴∠A1BC＝∠ABC，∵∠A1CD是△A1BC的外角，∴∠A1CD＝∠A1+∠A1BC＝∠A1+∠ABC，∴∠A1+∠ABC＝90o−∠ACB，∴∠A1＝90o−（∠ABC+∠ACB）＝90o−（180o−∠A）＝∠A.同理可得：∠A2＝∠A1＝∠A，∠A2＝∠A，依次类推：∠An＝∠A.则当∠A＝64o，n＝3时，∠A3＝∠A＝8°【答案】8°自助餐1.将一块三角板和直尺按如图所示叠放在一起，∠2=45o，则图中∠1的度数是（）A.20oB.45oC.15oD.25o【知识点】三角形外角的性质，平行线的性质【思路点拨】根据三角形外角的性质和平行线的性质可求解.【解题过程】根据直尺对边平行和三角形的外角的性质，∠1=∠2−30o=15o，故选C【答案】C2.如图，∠A=30o，∠D=42o，∠C=38o，则∠AFE的度数为（）A.50oB.60oC.70oD.80o【知识点】三角形的内角和定理，三角形外角的性质【思路点拨】已知∠A=30o，求∠AFE的度数，只需求出∠AEF的度数即可，而∠AEF是△DEC的一个外角，又知∠D=42o，∠C=38o，利用三角形外角的性质即可解决问题.【解题过程】∵∠AEF是△DEC的一个外角，∴∠AEF=∠D+∠C=80o，在△AFE中，∠A=30o，∠AEF=80o，所以∠AFE=180o−30o−80o=70o.【答案】C3.如图，在△ABC中，∠B=50o，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=.【知识点】三角形外角的性质，角平分线的定义【思路点拨】本题注意整体思想的运用，求∠AEC则需求出∠ACE+∠EAC的值，利用三角形的外角的性质可得：∠DAC=∠ACB+∠B，∠FCA=∠CAB+∠B，则∠DAC+∠FCA=∠ACB+∠B+∠CAB+∠B=180o+∠B=230o，问题得以解决.【解题过程】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，∠DAC=∠ACB+∠B，∠FCA=∠CAB+∠B，则∠DAC+∠FCA=∠ACB+∠B+∠CAB+∠B=180o+∠B=230o，又∵AE、EC分别平分∠DAC、∠FCA，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠FCA，∴∠EAC+∠ECA=（∠DAC+∠FCA）=×230o=115o，∴∠AEC=180o−（∠EAC+∠ECA）=180o−115o=65o.【答案】65o4.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部使，则∠A与∠1，∠2间的数量关系为.【知识点】三角形的内角和定理【思路点拨】先表示出图中所有三角形的内角和以及所有四边形的内角和，再整理化简即可得到所求角之间的关系．【解题过程】在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°①；在△ADE中∠A+∠ADE+∠AED=180°②；在四边形BCDE中∠B+∠C+∠1+∠2+∠ADE+∠AED=360°③；①+②-③得2∠A=∠1+∠2．【答案】2∠A=∠1+∠2．5.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，∠1=∠B，∠2=∠C，∠BAC=87o，求∠DAC的度数.【知识点】三角形外角的性质【思路点拨】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠2=∠B+∠1=2∠B，从而得∠C=∠2=2∠B，根据三角形的内角和定理建方程即可求得∠B的度数，从而不难求得∠BAC的度数．【解题过程】设∠1=∠B=x°，则∠2=2x°，∵∠2=∠C，所以∠C