锐角三角函数正弦

关于锐角三角函数正弦问题为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？学.科.网这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．ABC分析：情境探究第2页,共14页，2024年2月25日，星期天在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？学.科.网结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于?思考ABC50m30mB'C'AB'＝2B'

C'

＝2×50＝100第3页,共14页，2024年2月25日，星期天在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得因此即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比

，你能得出什么结论？学.科.网?思考ABC第4页,共14页，2024年2月25日，星期天综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值.学.科.网一般地，当∠A

取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？结论问题第5页,共14页，2024年2月25日，星期天在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'学.科.网这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．并且直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比值越大任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么与有什么关系．你能解释一下吗？探究ABCA'B'C'第6页,共14页，2024年2月25日，星期天

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA

即例如，当∠A＝30°时，我们有当∠A＝45°时，我们有正弦函数ABCcab对边斜边

(3)sinA

不是sin与A的乘积,而是一个整体

(4)sinA

是一个比值,没有单位

(5)正弦的三种表示方式：sinA、sin56°、sin∠DEF(1)sinA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。(2)sinA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。如果∠A为锐角则0＜sinA＜1当∠A＝60°时，我们有sinA=sin60°=第7页,共14页，2024年2月25日，星期天练一练1.判断对错:A10m6mBC1)如图(1)sinA=（）

(2)sinB=（）

(3)sinA=0.6m（）(4)SinB=0.8（）√√××sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；2)如图，sinA=（）

×第8页,共14页，2024年2月25日，星期天2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值（）A.扩大100倍B.缩小C.不变D.不能确定C练一练3.如图ACB37300则sinA=______.12第9页,共14页，2024年2月25日，星期天例：

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．解：（1）在Rt△ABC中，因此（2）在Rt△ABC中，因此ABCABC3413

求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比

例题示范5第10页,共14页，2024年2月25日，星期天

练习1、如图，Rt△ABC中，∠C=90度，CD⊥AB，图中sinB可由哪两条线段比求得。DCBA解：在Rt△ABC中，在Rt△BCD中，因为∠B=∠ACD，所以

求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值。第11页,共14页，2024年2月25日，星期天3、如图，在Rt△ABC中∠C=90°AB=,BC=。求∠A的度数。

练习2、锐角A满足2sin（A－15°）＝1