2024届北京首都师范大第二附属中学中考五模数学试题含解析_第1页
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文档简介

2024届北京首都师范大第二附属中学中考五模数学试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.如图,、是的切线,点在上运动,且不与,重合,是直径.,当时,的度数是()A. B. C. D.2.下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C,D分别为线段AB,OB的中点,点P为OA上一动点,PC+PD值最小时点P的坐标为()A.(-3,0) B.(-6,0) C.(-,0) D.(-,0)4.下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是()A.直角梯形B.平行四边形C.矩形D.正五边形5.下列命题中,真命题是()A.如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部,那么这两个圆外离B.如果一个点即在第一个圆上,又在第二个圆上,那么这两个圆外切C.如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长,那么这条直线与这个圆相切D.如果一条直线上的点都在一个圆的外部,那么这条直线与这个圆相离6.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题,大意是:100匹马恰好拉了100片瓦,已知1匹大马能拉3片瓦,3匹小马能拉1片瓦,问有多少匹大马、多少匹小马?若设大马有匹,小马有匹,则可列方程组为()A. B.C. D.7.方程的解是()A. B. C. D.8.把直线l:y=kx+b绕着原点旋转180°,再向左平移1个单位长度后,经过点A(-2,0)和点B(0,4),则直线l的表达式是()A.y=2x+2 B.y=2x-2 C.y=-2x+2 D.y=-2x-29.反比例函数y=1-6txA.t<16B.t>16C.t≤110.定义:一个自然数,右边的数字总比左边的数字小,我们称之为“下滑数”(如:32,641,8531等).现从两位数中任取一个,恰好是“下滑数”的概率为()A. B. C. D.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.函数的自变量x的取值范围是_____.12.如图,已知,,则________.13.计算:(a2)2=_____.14.已知圆锥的底面半径为3cm,侧面积为15πcm2,则这个圆锥的侧面展开图的圆心角°.15.有一张三角形纸片ABC,∠A=80°,点D是AC边上一点,沿BD方向剪开三角形纸片后,发现所得两张纸片均为等腰三角形,则∠C的度数可以是__________.16.如图,矩形OABC的两边落在坐标轴上,反比例函数y=的图象在第一象限的分支过AB的中点D交OB于点E,连接EC,若△OEC的面积为12,则k=_____.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)如图,抛物线y=ax2+ax﹣12a(a<0)与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,点M是第二象限内抛物线上一点,BM交y轴于N.(1)求点A、B的坐标;(2)若BN=MN,且S△MBC=,求a的值;(3)若∠BMC=2∠ABM,求的值.18.(8分)某高中进行“选科走班”教学改革,语文、数学、英语三门为必修学科,另外还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理(分别记为A、B、C、D、E、F)六门选修学科中任选三门,现对该校某班选科情况进行调查,对调查结果进行了分析统计,并制作了两幅不完整的统计图.请根据以上信息,完成下列问题:该班共有学生人;请将条形统计图补充完整;该班某同学物理成绩特别优异,已经从选修学科中选定物理,还需从余下选修学科中任意选择两门,请用列表或画树状图的方法,求出该同学恰好选中化学、历史两科的概率.19.(8分)如图,某地方政府决定在相距50km的A、B两站之间的公路旁E点,修建一个土特产加工基地,且使C、D两村到E点的距离相等,已知DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,DA=30km,CB=20km,那么基地E应建在离A站多少千米的地方?20.(8分)据某省商务厅最新消息,2018年第一季度该省企业对“一带一路”沿线国家的投资额为10亿美元,第三季度的投资额增加到了14.4亿美元.求该省第二、三季度投资额的平均增长率.21.(8分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,M是BC的中点,DE⊥AM于点E.求证:△ADE∽△MAB;求DE的长.22.(10分)已知△ABC中,AD是∠BAC的平分线,且AD=AB,过点C作AD的垂线,交AD的延长线于点H.(1)如图1,若∠BAC=60°.①直接写出∠B和∠ACB的度数;②若AB=2,求AC和AH的长;(2)如图2,用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系,并证明.23.(12分)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,∠ABC的平分线交⊙O于点D,DE⊥BC于点E.试判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;过点D作DF⊥AB于点F,若BE=3,DF=3,求图中阴影部分的面积.24.如果一条抛物线与轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.(1)“抛物线三角形”一定是三角形;(2)若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形,求的值;(3)如图,△是抛物线的“抛物线三角形”,是否存在以原点为对称中心的矩形?若存在,求出过三点的抛物线的表达式;若不存在,说明理由.

参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、B【解析】

连接OB,由切线的性质可得,由邻补角相等和四边形的内角和可得,再由圆周角定理求得,然后由平行线的性质即可求得.【详解】解,连结OB,∵、是的切线,∴,,则,∵四边形APBO的内角和为360°,即,∴,又∵,,∴,∵,∴,∵,∴,故选:B.【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、平行线的性质和四边形的内角和,解题的关键是灵活运用有关定理和性质来分析解答.2、A【解析】【分析】根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可得.【详解】A、是中心对称图形,故此选项正确;B、不是中心对称图形,故此选项错误;C、不是中心对称图形,故此选项错误;D、不是中心对称图形,故此选项错误,故选A.【点睛】本题主要考查了中心对称图形,熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键;把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.3、C【解析】

作点D关于x轴的对称点D′,连接CD′交x轴于点P,此时PC+PD值最小,如图所示.直线y=x+4与x轴、y轴的交点坐标为A(﹣6,0)和点B(0,4),因点C、D分别为线段AB、OB的中点,可得点C(﹣3,1),点D(0,1).再由点D′和点D关于x轴对称,可知点D′的坐标为(0,﹣1).设直线CD′的解析式为y=kx+b,直线CD′过点C(﹣3,1),D′(0,﹣1),所以,解得:,即可得直线CD′的解析式为y=﹣x﹣1.令y=﹣x﹣1中y=0,则0=﹣x﹣1,解得:x=﹣,所以点P的坐标为(﹣,0).故答案选C.考点:一次函数图象上点的坐标特征;轴对称-最短路线问题.4、D【解析】分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合矩形、平行四边形、直角梯形、正五边形的性质求解.详解:A.直角梯形不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项错误;B.平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;C.矩形是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项错误;D.正五边形是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项正确.故选D.点睛:本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,图形旋转180°后与原图形重合.5、D【解析】

根据两圆的位置关系、直线和圆的位置关系判断即可.【详解】A.如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部,那么这两个圆外离或内含,A是假命题;B.如果一个点即在第一个圆上,又在第二个圆上,那么这两个圆外切或内切或相交,B是假命题;C.如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长,那么这条直线与这个圆相切或相交,C是假命题;D.如果一条直线上的点都在一个圆的外部,那么这条直线与这个圆相离,D是真命题;故选:D.【点睛】本题考查了两圆的位置关系:设两圆半径分别为R、r,两圆圆心距为d,则当d>R+r时两圆外离;当d=R+r时两圆外切;当R-r<d<R+r(R≥r)时两圆相交;当d=R-r(R>r)时两圆内切;当0≤d<R-r(R>r)时两圆内含.6、B【解析】

设大马有匹,小马有匹,根据题意可得等量关系:大马数+小马数=100,大马拉瓦数+小马拉瓦数=100,根据等量关系列出方程即可.【详解】解:设大马有匹,小马有匹,由题意得:,故选:B.【点睛】本题主要考查的是由实际问题抽象出二元一次方程组,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出方程组.7、D【解析】

按照解分式方程的步骤进行计算,注意结果要检验.【详解】解:经检验x=4是原方程的解故选:D【点睛】本题考查解分式方程,注意结果要检验.8、B【解析】

先利用待定系数法求出直线AB的解析式,再求出将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式,然后将所得解析式绕着原点旋转180°即可得到直线l.【详解】解:设直线AB的解析式为y=mx+n.∵A(−2,0),B(0,1),∴-2m+n=0n=4解得m=2n=4∴直线AB的解析式为y=2x+1.将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式为y=2(x−1)+1,即y=2x+2,再将y=2x+2绕着原点旋转180°后得到的解析式为−y=−2x+2,即y=2x−2,所以直线l的表达式是y=2x−2.故选:B.【点睛】本题考查了一次函数图象平移问题,掌握解析式“左加右减”的规律以及关于原点对称的规律是解题的关键.9、B【解析】

将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中,整理得出x2﹣2x+1﹣6t=0,又因两函数图象有两个交点,且两交点横坐标的积为负数,根据根的判别式以及根与系数的关系可求解.【详解】由题意可得:﹣x+2=1-6tx所以x2﹣2x+1﹣6t=0,∵两函数图象有两个交点,且两交点横坐标的积为负数,∴(-解不等式组,得t>16故选:B.点睛:此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,关键是利用两个函数的解析式构成方程,再利用一元二次方程的根与系数的关系求解.10、A【解析】分析:根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数:根据题意得知这样的两位数共有90个;

②符合条件的情况数目:从总数中找出符合条件的数共有45个;二者的比值就是其发生的概率.详解:两位数共有90个,下滑数有10、21、20、32、31、30、43、42、41、40、54、53、52、51、50、65、64、63、62、61、60、76、75、74、73、72、71、70、87、86、85、84、83、82、81、80、98、97、96、95、94、93、92、91、90共有45个,

概率为.

故选A.点睛:此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、x≠1【解析】

根据分母不等于2列式计算即可得解.【详解】由题意得,x-1≠2,解得x≠1.故答案为x≠1.【点睛】本题考查的知识点为:分式有意义,分母不为2.12、65°【解析】

根据两直线平行,同旁内角互补求出∠3,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.【详解】∵m∥n,∠1=105°,∴∠3=180°−∠1=180°−105°=75°∴∠α=∠2−∠3=140°−75°=65°故答案为:65°.【点睛】此题考查平行线的性质,解题关键在于利用同旁内角互补求出∠3.13、a1.【解析】

根据幂的乘方法则进行计算即可.【详解】故答案为【点睛】考查幂的乘方,掌握运算法则是解题的关键.14、1【解析】试题分析:根据圆锥的侧面积公式S=πrl得出圆锥的母线长,再结合扇形面积即可求出圆心角的度数.解:∵侧面积为15πcm2,∴圆锥侧面积公式为:S=πrl=π×3×l=15π,解得:l=5,∴扇形面积为15π=,解得:n=1,∴侧面展开图的圆心角是1度.故答案为1.考点:圆锥的计算.15、25°或40°或10°【解析】【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB,再求出∠BDC,然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解.【详解】由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形,对于△ABD可能有①AB=BD,此时∠ADB=∠A=80°,∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-80°=100°,∠C=(180°-100°)=40°,②AB=AD,此时∠ADB=(180°-∠A)=(180°-80°)=50°,∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-50°=130°,∠C=(180°-130°)=25°,③AD=BD,此时,∠ADB=180°-2×80°=20°,∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-20°=160°,∠C=(180°-160°)=10°,综上所述,∠C度数可以为25°或40°或10°故答案为25°或40°或10°【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,难点在于分情况讨论.16、12.【解析】

设AD=a,则AB=OC=2a,根据点D在反比例函数y=的图象上,可得D点的坐标为(a,),所以OA=;过点E作EN⊥OC于点N,交AB于点M,则OA=MN=,已知△OEC的面积为12,OC=2a,根据三角形的面积公式求得EN=,即可求得EM=;设ON=x,则NC=BM=2a-x,证明△BME∽△ONE,根据相似三角形的性质求得x=,即可得点E的坐标为(,),根据点E在在反比例函数y=的图象上,可得·=k,解方程求得k值即可.【详解】设AD=a,则AB=OC=2a,∵点D在反比例函数y=的图象上,∴D(a,),∴OA=,过点E作EN⊥OC于点N,交AB于点M,则OA=MN=,∵△OEC的面积为12,OC=2a,∴EN=,∴EM=MN-EN=-=;设ON=x,则NC=BM=2a-x,∵AB∥OC,∴△BME∽△ONE,∴,即,解得x=,∴E(,),∵点E在在反比例函数y=的图象上,∴·=k,解得k=,∵k>0,∴k=12.故答案为:12.【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题,求得点E的坐标为(,)是解决问题的关键.三、解答题(共8题,共72分)17、(1)A(﹣4,0),B(3,0);(2);(3).【解析】

(1)设y=0,可求x的值,即求A,B的坐标;(2)作MD⊥x轴,由CO∥MD可得OD=3,把x=-3代入解析式可得M点坐标,可得ON的长度,根据S△BMC=,可求a的值;(3)过M点作ME∥AB,设NO=m,=k,可以用m,k表示CO,EO,MD,ME,可求M点坐标,代入可得k,m,a的关系式,由CO=2km+m=-12a,可得方程组,解得k,即可求结果.【详解】(1)设y=0,则0=ax2+ax﹣12a(a<0),∴x1=﹣4,x2=3,∴A(﹣4,0),B(3,0)(2)如图1,作MD⊥x轴,∵MD⊥x轴,OC⊥x轴,∴MD∥OC,∴=且NB=MN,∴OB=OD=3,∴D(﹣3,0),∴当x=﹣3时,y=﹣6a,∴M(﹣3,﹣6a),∴MD=﹣6a,∵ON∥MD∴,∴ON=﹣3a,根据题意得:C(0,﹣12a),∵S△MBC=,∴(﹣12a+3a)×6=,a=﹣,(3)如图2:过M点作ME∥AB,∵ME∥AB,∴∠EMB=∠ABM且∠CMB=2∠ABM,∴∠CME=∠NME,且ME=ME,∠CEM=∠NEM=90°,∴△CME≌△MNE,∴CE=EN,设NO=m,=k(k>0),∵ME∥AB,∴==k,∴ME=3k,EN=km=CE,∴EO=km+m,CO=CE+EN+ON=2km+m=﹣12a,即,∴M(﹣3k,km+m),∴km+m=a(9k2﹣3k﹣12),(k+1)×=(k+1)(9k﹣12),∴=9k-12,∴k=,∴.【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求法,二次函数的图象和性质,是二次函数与解析几何知识的综合应用,难度较大.18、(1)50人;(2)补图见解析;(3).【解析】分析:(1)根据化学学科人数及其所占百分比可得总人数;(2)根据各学科人数之和等于总人数求得历史的人数即可;(3)列表得出所有等可能结果,从中找到恰好选中化学、历史两科的结果数,再利用概率公式计算可得.详解:(1)该班学生总数为10÷20%=50人;(2)历史学科的人数为50﹣(5+10+15+6+6)=8人,补全图形如下:(3)列表如下:化学生物政治历史地理化学生物、化学政治、化学历史、化学地理、化学生物化学、生物政治、生物历史、生物地理、生物政治化学、政治生物、政治历史、政治地理、政治历史化学、历史生物、历史政治、历史地理、历史地理化学、地理生物、地理政治、地理历史、地理由表可知,共有20种等可能结果,其中该同学恰好选中化学、历史两科的有2种结果,所以该同学恰好选中化学、历史两科的概率为.点睛:本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率.19、20千米【解析】

由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求,即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中利用斜边相等两次利用勾股定理得到AD2+AE2=BE2+BC2,设AE为x,则BE=10﹣x,将DA=8,CB=2代入关系式即可求得.【详解】解:设基地E应建在离A站x千米的地方.则BE=(50﹣x)千米在Rt△ADE中,根据勾股定理得:AD2+AE2=DE2∴302+x2=DE2在Rt△CBE中,根据勾股定理得:CB2+BE2=CE2∴202+(50﹣x)2=CE2又∵C、D两村到E点的距离相等.∴DE=CE∴DE2=CE2∴302+x2=202+(50﹣x)2解得x=20∴基地E应建在离A站20千米的地方.考点:勾股定理的应用.20、第二、三季度的平均增长率为20%.【解析】

设增长率为x,则第二季度的投资额为10(1+x)万元,第三季度的投资额为10(1+x)2万元,由第三季度投资额为10(1+x)2=14.4万元建立方程求出其解即可.【详解】设该省第二、三季度投资额的平均增长率为x,由题意,得:10(1+x)2=14.4,解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(舍去).答:第二、三季度的平均增长率为20%.【点睛】本题考查了增长率问题的数量关系的运用,一元二次方程的解法的运用,解答时根据第三季度投资额为10(1+x)2=14.4建立方程是关键.21、(1)证明见解析;(2).【解析】试题分析:利用矩形角相等的性质证明△DAE∽△AMB.试题解析:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠DAE=∠AMB,又∵∠DEA=∠B=90°,∴△DAE∽△AMB.(2)由(1)知△DAE∽△AMB,∴DE:AD=AB:AM,∵M是边BC的中点,BC=6,∴BM=3,又∵AB=4,∠B=90°,∴AM=5,∴DE:6=4:5,∴DE=.22、(1)①45°,②;(2)线段AH与AB+AC之间的数量关系:2AH=AB+AC.证明见解析.【解析】

(1)①先根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD=30°,由等腰三角形的性质得∠B=75°,最后利用三角形内角和可得∠ACB=45°;②如图1,作高线DE,在Rt△ADE中,由∠DAC=30°,AB=AD=2可得DE=1,AE=,在Rt△CDE中,由∠ACD=45°,DE=1,可得EC=1,AC=+1,同理可得AH的长;(2)如图2,延长AB和CH交于点F,取BF的中点G,连接GH,易证△ACH≌△AFH,则AC=AF,HC=HF,根据平行线的性质和等腰三角形的性质可得AG=AH,再由线段的和可得结论.【详解】(1)①∵AD平分∠BAC,∠BAC=60°,∴∠BAD=∠CAD=30°,∵AB=AD,∴∠B==75°,∴∠ACB=180°﹣60°﹣75°=45°;②如图1,过D作DE⊥AC交AC于点E,在Rt△ADE中,∵∠DAC=30°,AB=AD=2,∴DE=1,AE=,在Rt△CDE中,∵∠ACD=45°,DE=1,∴EC=1,∴AC=+1,在Rt△ACH中,∵∠DAC=30°,∴CH=AC=∴AH==;(2)线段AH与AB+

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