2023年陕西省咸阳市高考理科数学一模试卷及答案解析

2023年陕西省咸阳市高考理科数学一模试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（5分）设集合A={-2,0,1,2},B={x∣x<-2或x>l},则Arl（QRB）=（）

A.{-2}B.{1}C.{-2,0,1)D.{0,1,2}

2

2.（5分）已知复数Z=ɪ1-2/的共轨复数为H则h-=()

Z-I

A.1-iB.2+iC.1+ZD.-1+i

港是单位向量，且日

3.（5分）已知向量；，B—h∣=1,则IQ+b∣=()

A.1B.√2C.2D.√3

4.（5分）古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话

中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100

米爬行，他在后而追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追

者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟

爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在

起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬行，阿

喀琉斯就永远追不上乌龟.“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01

米时，乌龟共爬行了（）

A.11.1米B.10.1米C.11.11米D.11米

5.（5分）设尸为抛物线C：,=2px（p>0）的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离

为3,到y轴的距离为2,则P=（）

A.1B.2C.3D.4

6.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入α=白，则输出S=（)

/输入α/

7.（5分）已知α,β是两个不同平面，a,b是两条不同直线，则下列命题正确的是（）

A.若aJ_a,a±⅛,则〃〃a

B.若a“β,a∩β=⅛,a±b,则a,β

C.若a_l_p,〃J_a,h.Lβf则Lb

D.若。邛，a∩β=⅛,aJ_b,贝∣JUβ

b+c2\^3

8.（5分）在AABC中，角A,8,C的对边分别是a,b,c,若A=60°,⅛=1,------：—=—，

SinB+sιnC3

则AABC的面积为（）

√31

A.一C.一D.-

2424

9.（5分）如图，Z∖A8C中，ZBAC=90o,AB=AC=√2,。为BC的中点，将AABC沿

AO折叠成三棱锥A-8CZλ则当该三棱锥体积最大时它的外接球的表面积为（）

A.πB.2πC.3πD.4π

4

10.（5分）某家族有X,y两种遗传性状，该家族某成员出现X性状的概率为:，出现Y

15

27

性状的概率为二，X,y两种性状都不出现的概率为三，则该成员X,y两种性状都出现

的概率为（）

%y

H.(5分)直线/过双曲线C：--77=1(α>0,⅛>O)的右焦点尸，与双曲线C的两

a2bi

条渐近线分别交于A,B两点,O为原点，且=0,3AF=FB,则双曲线C的离

心率为()

--VsVe

A.Vz2B.ʌr/ɜC.—D.—

22

12.(5分)已知定义在R上的偶函数/(x)满足：当OWXWl时，/(x)=-x3+3x-1,且

f(Λ+1)—f(x-1).若关于X的方程/(x)=Iogfl(M+1)(a>l)有8个实根，则a的

取值范围为()

A.(1,6)B.(4,6)C.(8,10)D.(10,12)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)受新冠病毒肺炎影响，某学校按照上级文件精神，要求错峰放学去食堂吃饭，

高三年级一层楼有四个班排队，甲班不能排在最后，且乙、丙班必须排在一起，则这四

个班排队吃饭不同方案有种(用数字作答).

14.(5分)己知半径为1的圆过点(1,√3),则该圆圆心到原点距离的最大值为.

Tr

15.(5分)设函数/(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)相邻两条对称轴之间的距离为5,

IfG)I=4则∣φ∣的最小值为.

(2团，%V0C

16.(5分)已知函数/(X)=一，则函数g(x)=/(x)-3∕(x)+2零点的个数

｛∖lnx∖,x>0

是.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，

每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.(12分)己知数列｛即｝的前"项之积为Sri=2吗④何∈N*).

(1)求数列｛〃”｝的通项公式；

(2)设公差不为0的等差数列｛为｝中,历=1,,求数列｛“”•公｝的前“项和ηt∙请

从①必=∕；②历+加=8这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答注：

如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分.

18.(12分)某学校为研究高三学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校400名高三

学生（其中女生220名）平均每天体育锻炼时间进行调查，得到如表:

平均每天锻[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]

炼时间（分

钟）

人数407288IOO8020

将日平均体育锻炼时间在40分钟以上的学生称为“锻炼达标生”，调查知女生有40人为

“锻炼达标生”.

（1）完成下面2义2列联表，试问：能否有99.9%以上的把握认为“锻炼达标生”与性

别有关？

锻炼达标生锻炼不达标合计

男

女

合计400

2

附：H=团晨稳温E，其中“="+b+c÷d∙

P(K2>Ko)0.1000.0500.0100.001

Ko2.7063.8416.63510.828

（2）在“锻炼达标生”中用分层抽样方法抽取10人进行体育锻炼体会交流，再从这10

人中选2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X,求X的分布列和数学期望.

19.（12分）如图，直三棱柱ABC-AiBiCi中，AC=BC=AA∖,。为Ccl上一点.

（1）证明：当。为CCl的中点时，平面AiBOJ_平面ABBIA1；

√io

（2）若∕ACB=90°,异面直线AB和Alo所成角的余弦值为一^-时，求二面角B-AiO

-A的余弦值.

Λ∙_______c1

\卜'，

A1

B

20.(12分)已知椭圆C：今+，=l(α>b>O)的离心率为手，它的四个顶点构成的四边

形的面积为4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设过点M(∕n,0)的直线/与圆/+/=1相切且与椭圆C交于A、B两点,求

的最大值.

21.(12分)已知函数/。)=警(XeR).

(1)求/(x)的单调区间；

(2)若对于任意的x∈[0,J],f(x)》AX恒成立，求证:k<^.

(二)选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一

题计分.

=1+√2

22.(10分)在直角坐标系Xoy中，直线/的参数方程为•τt(/为参数)，以坐标

=2÷√22

原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为p=4sinθ.

(1)写出曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线/与曲线C交于A,B两点，若P(l,2),求解∣+∣P8∣的值.

【选修4-5：不等式选讲】

23.已知函数/(x)=∖2χ-I∣+∣2x+2∣.

(1)解不等式/(x)W4；

Ill

(2)设/(x)的最小值为m,且—+—4-----m(a,b,c∈(O,+∞)),求证a+2b+3c

a2b3c

23.

2023年陕西省咸阳市高考理科数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.(5分)设集合4={-2,0,1,2},B={x∣x<-2或x>l},贝∣JA∩(CRB)=()

A.{-2}B.{1}C.{-2,0,1}D.{0,1,2}

【解答］解:B=WXV-2或x>l},则CR8={X-2WXW1},

A={-2,0,1,2},

则A∩(CRB)={-2,0,1).

故选：C.

2

2.(5分)已知复数z=l-2i的共规复数为2,则==()

Z-I

A.1-iB.2+iC.1+/D.-1+z

22

【解答】解：由题知2=1+2i,所以=二=—:=l-i.

z-ιl+ι

故选：A.

3.(5分)已知向量α,b都是单位向量，且Ia—b|=l,则∣α+b∣=()

A.1B.√2C.2D.√3

【解答】解：向量次力都是单位向量，

∖,∖a-b∖=1,

两边同时平方可得，(α—b)2=a2+b2—2a∙b=2—2a-b=1,即2α∙b=1,

Λ(a+b)2=a2+b2+2a-b=1+1+1=3,解得日+h∣=√3.

故选：D.

4.(5分)古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话

中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100

米爬行，他在后而追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追

者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟

爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在

起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬行，阿

喀琉斯就永远追不上乌龟.“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01

米时，乌龟共爬行了()

A.11.1米B.10.1米C.ILll米D.11米

【解答】解：依题意，乌龟爬行的距离依次排成一列构成等比数列{〃”},«1=10,公比q

=0.1,‰=0.01,

O(U

所以当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行的距离Sn=号等=1°；^)=

11.11.

故选：C.

5.(5分)设尸为抛物线C：y1=2px(p>0)的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离

为3,到y轴的距离为2,则P=()

A.ɪB.2C.3D.4

【解答】解：；抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点尸啰，0),准线方程X=—1

显然点A的横坐标为2,

根据抛物线定义得MFl=2+g=3,.∙.p=2.

故选:B.

6.(5分)执行如图所示的程序框图，若输入α=白，则输出S=()

【解答】解：执行程序，第一次循环：b=4，s=y∣≥⅛;

第二次循环：b=∕,s=*,∣>⅛;

第三次循环：b=*,S=（，*≥转；

第四次循环：b=/s=∣f,⅛<⅛,退出循环，输出s=∣∣,

所以S=磊

故选：A.

7.（5分）已知α,β是两个不同平面，a,b是两条不同直线，则下列命题正确的是（）

A.若〃_La,a∖.by则匕〃α

B.若α“β,α∩β=⅛,aYb,则α,β

C.若CIJ_p,6z±α,⅛±β,则a_L〃

D.若a_Lβ,a∩β=⅛,aLb,则〃_Lp

【解答】解：对于A,若a_La,〃_Lb,则b〃a或。ua,故A错误；

对于8,若a“β,a∩β=b,a_Lb时，可能B与a相交，但不垂直，即不一定a_Lp,故

8错误；

对于。，由平面与平面垂直的性质定理可知，

若a_Lp,a∩β=b,〃_Lb,qua时，则a_Lp,若oUa时，直线a与平面β不垂直，故

。错误，

对于C若a,β,则两平面的法向量互相垂直，因为。_La,⅛±β,所以,C选

项正确.

故选：C.

匕+c2-^3

8.（5分）在AABC中，角48,。的对边分别是小。,如若4=60°方=1,-----：—=—，

SinB+sιnC3

则AABC的面积为（）

√3√311

A.—B.—C.一D.一

2424

abcab+c

【解答】解:在AABC中，由正弦定理得：==—-=-因此「=.—.二=

SinASinBSinCSinAsιnB+sιnC

2√3

3

则。=竽5讥4=竽5出60°=竽*坐=1,而b=l,即有BC是正三角形，

1/O

所以aABC的面积SMBC=2absin60°=芋

故选：B.

9.(5分)如图，AABC中，NBAC=90°,AB=AC=√2,。为Be的中点，将aABC沿

AO折叠成三棱锥A-BC£>,则当该三棱锥体积最大时它的外接球的表面积为()

【解答】解：在AABC中，∕8AC=90°,AB=AC=⑰,。为BC的中点,

所以：BD=CD=AD=I,

将AABC沿AD折叠成三棱锥A-BCD,

当80,CQ时，三棱锥的体积最大；

且三棱锥的外接球的半径满足(2r)2≈12+12+12,

解得r=G

所以S跌=4∙7Γ∙ξ=3π.

故选：C.

4

io.(5分)某家族有X,y两种遗传性状，该家族某成员出现X性状的概率为:，出现丫

15

27

性状的概率为：，X,丫两种性状都不出现的概率为一，则该成员X,丫两种性状都出现

1510

的概率为()

1124

A.—B.—C.—D.—

15101515

【解答】解：设该家族某成员出现X性状为事件A,出现y性状为事件3,

则X,Y两种性状都不出现为事件彳n万，两种性状都出现为事件A∩-

47__7

所以，P(A)=亮，P(B)=gP(AnB)=W

所以PQ4UB)=I-P(AnB)=击，

又因为尸(AUB)=P(A)+P(B)-P(AC8),

1

所以P(ACB)=P(A)+P(B)-P(AUB)=言.

故选：B.

%y

11∙(5分)直线/过双曲线C二一三=1(α>0,6>0)的右焦点R与双曲线C的两

a2bz

条渐近线分别交于A,B两点，O为原点，且&=0,3AF=FB,则双曲线C的离

心率为()

-E√5V6

A.y/r2B.*∖∕3C.—D.—

22

【解答】解：如图所示，设渐近线/1：y=%,即汝-αy=0,

设渐近线线/1的倾斜角为θ,贝IJtane=IZAOF=ZBOF=Θ,

be

・・・双曲线的焦点/(c,0)到渐近线小bx-ay=O的距离为万=b,

'√α2+h2

V0M∙AF=0,：.OAl.AFf

.∖∖AF]=b,又IOFl=c,J.∖OA∖=a,

又3成=∕⅛,：.\FB\=3\AF\=3b,

・/4八C∣4B∣4bCC2tanθCb

..tanZAOB=77∏r∣=—=tan2θ=--------六，τ又7tanθ=一,

∖0A∖al-tan2θQ

2b

4bQ

a尸IN'

匕21

化简可得d=2巩.•.我=1

双曲线C的离心率为Jil=a2+b2,2771_/6

1+-,

~u~1+滔=2τ

12.(5分)已知定义在R上的偶函数/(x)满足：当OWXWI时，f(x)=-X3+3Λ-1,且

f(Λ+1)—f(x-1).若关于X的方程f(x)=IogO(M+1)(α>1)有8个实根，则a的

取值范围为()

A.(1,6)B.(4,6)C.(8,10)D.(10,12)

【解答】解：当0≤x≤l时，f(x)=-X3+3X-1,求导得：f(x)=-3X2+3,显然当0

VXVl时,f(x)>0,

即函数f(X)在［0,1］上单调递增，而fG)是R上的偶函数，则f(%)在［7,0］上单

调递减，

又/(x+l)=/(x-1),即/(x+2)=f(x),因此函数/(x)是周期函数，周期为2,且

f(X)min~~1,ʃ(X)max=1»

函数y=k)g”(IAi+1),a>∖是R上的偶函数，在(-8,0］上单调递减，在［0,+8)上

单调递增，

在同一坐标系内作出函数y=f(χ)与y=］ogq(∣χ∣+l)(fl>l)的部分图象，如图，

姆y=∣ogβ(lx∣+iχ0>l)

关于X的方程F(X)=logɑ(M+1)(α>l)的根，即是函数y=∕(x)与y=logα(Ixl+1)

(«>1)的图象交点的横坐标，

依题意，函数y=∕(x)与y=log∏(∣Λ∣+1)(a>l)的图象有8交点，则在x>0时，有4

个交点，

观察图象知，log“4<l<log“6,解得4<α<6,

所以4的取值范围为(4,6).

故选：B.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)受新冠病毒肺炎影响，某学校按照上级文件精神，要求错峰放学去食堂吃饭，

高三年级一层楼有四个班排队，甲班不能排在最后，且乙、丙班必须排在一起，则这四

个班排队吃饭不同方案有8种(用数字作答).

【解答】解：先将乙、丙班排序，并绑在一起，看成一个元素，有的种方案，

此时考虑将甲，丁及乙、丙的整体3个元素排序，

由于甲班不能排在最后，故将甲班选取1个位置安排，有心种方案，

最后再将丁及乙、丙的整体安排在剩下的两个位置上，有朗种方案，

所以根据乘法原理，共有朗胆掰=8种方案.

故答案为：8.

14.(5分)已知半径为1的圆过点(1,√3),则该圆圆心到原点距离的最大值为

【解答】解：设该圆圆心为(X,>),

因为半径为1的圆过点(1,√3),

所以(X-I)2+(y-√3)2=1,

所以该圆圆心的轨迹是以点(1,√5)为圆心，1为半径的圆，

因为(1,再)到原点的距离为2,

所以该圆圆心到原点的距离的最大值为2+1=3.

故答案为：3.

15.(5分)设函数f(x)=ASin(ωx+φ)(A>0,ω>0)相邻两条对称轴之间的距离为泉

筋)|=4则叫的最小值为—

【解答】解：因为函数/(χ)=ASin(ωx+φ)(A>0,ω>0)相邻两条对称轴之间的距

、一,π

离为；，

2

则函数/(x)的周期r=π,3=竿=2,又IfG)I=4，

因此2X与+夕=kτr+刍，∕c∈Z,即口=Mr-3kEZ9

所以当k=O时,∖φ∖min=亲

Tr

故答案为：

6

(7%V0C

16.(5分)已知函数/(%)=1一，则函数g(x)=/(x)-3/(x)+2零点的个数

{∖lnx∖,x>0

是6

【解答】解：令g(X)=0,即/(x)-3/(X)+2=0,解得f(x)=1或/(X)=2,

作出函数/(x)的图象如图，

由图可知，方程F(X)=1有3个实数解，/(x)=2有3个实数解，且均互不相同，

所以g(x)=O的实数解有6个，

所以函数g(X)=/(X)-3/(ɪ)+2零点的个数是6个.

故答案为：6.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题,

每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

n(n-1)

17.(12分)已知数列｛斯｝的前"项之积为Sn=2J-(n∈N*).

(1)求数列｛“"｝的通项公式；

(2)设公差不为0的等差数列｛为｝中，加=1,,求数列｛”,,∙d｝的前〃项和7；.请

从①用="；②/+左=8这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答注:

如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分.

n(n—1)

-

【解答】解：(I)：数列仅”｝的前〃项之积为S71=2J(neN*),

S„n(n-l)(n-l)(n-2)

则当时,斯=话=2「-一一L=2n-1,

而当”=1时，ηι=Sι=l满足上式,

数列｛蜘｝的通项公式是即=2n^1.

(2)选条件①：b1=b4,设等差数列｛b｝的公差为d,加=1,则(l+d)2=1+3/又d

W0，解得"=1,

n1

.".hn=n,an-bn=n-2~,

则〃=1×20+2×21+3×22+-+(n-1)×2n-2+n×2n-1,

27；=1×21+2×22+3×23+-+(n-1)×2n-1+n×2n,

1—2n

F=1+2+•••+2n-1-n∙2n=ɪɪ-n∙27l=(l-n)∙2n-l,

Λ7;=(n-l)∙2n+l;

选条件②：⅛3+⅛=8,数列｛为｝是等差数列，则2b4=8,即加=4,又加=1,则公差d=

f,4-bι_

4-1一1i,

n1

.*.bn-n,an∙bn=n∙2~,

则7；=1×20+2×21+3×22+-+(n-1)×2n-2+n×2n~1,

27；=1×21+2×22+3×23+•••+(n-1)×2π-1+π×2n,

n1nnn

：.-Tn=l+2+∙∙∙+2--n-2=ɪɪ-n∙2=(l-n)∙2-l,

n

：.Tn=(n-1)-2+1.

18∙(12分)某学校为研究高三学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校400名高三

学生(其中女生220名)平均每天体育锻炼时间进行调查，得到如表：

平均每天锻[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]

炼时间（分

钟）

人数4072881008020

将日平均体育锻炼时间在40分钟以上的学生称为“锻炼达标生”，调查知女生有40人为

“锻炼达标生”.

（1）完成下面2X2列联表，试问：能否有99.9%以上的把握认为“锻炼达标生”与性

别有关？

锻炼达标生锻炼不达标合计

男

女

合计400

2

附.K2=--------"(αd-"C)----------其中“=α+b+c+d

叩∙K(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)'央中〃a+D+c+a.

P(∕C2≥⅛)0.1000.0500.0100.001

Ko2.7063.8416.63510.828

（2）在“锻炼达标生”中用分层抽样方法抽取10人进行体育锻炼体会交流，再从这IO

人中选2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X,求X的分布列和数学期望.

【解答】解：（1）补充完整的2X2列联表如下：

锻炼达标生锻炼不达标合计

男60120180

女40180220

合计100300400

4100x(60x180-40x120)2_400_>I∩Q

`:K2ιzιziυbz7,

180×220×100×300~^33~

，有99.9%以上的把握认为“锻炼达标生”与性别有关;

(2)“锻炼达标生”中男女人数之比为60：40=3：2,抽取的男生有6,女生有4人，

易知X=0,I,2,P(X=O)=单=与，P(X=I)=孥=Lp(χ=2)=与=余

CIoClOClO

X的分布列为:

X012

P182

31515

1824

fW=0×3+1×l5+2×T5=5∙

19.(12分)如图，直三棱柱48C-AlBICl中，AC=BC=AAi,。为CCl上一点.

(1)证明：当。为CCI的中点时，平面AlB。，平面AB8∣4;

√Tδ

(2)若N4C8=90°,异面直线AB和AIO所成角的余弦值为《一时，求二面角8-4。

-A的余弦值.

【解答】解：(1)证明：如图，分别取48、AlBl的中点E,F,连接OE,EF,FC∖,

由题意知FE=C1。，且FE〃Ci£>,.∙.CiQEF是平行四边形,

J.C∖F∕∕DE,

VAiCi=BICI,=为AIBl的中点,：.C\FLA\B\,

∙.∙平面421ClI平面ABBiAi,平面AIBlem平面ABBiAi=AiBi,

ClFU平面Aι8ιCι,.∙.C∣F"L平面A8B∣Aι,

∖'C∖F∕/DE,二OEJ_平面ABB∣4，

VDE⊂jFEAIBD,二。为CCl的中点时,平面AlBDj_平面ABBjAi；

(2)设AC=BC=AAl=2,C∖D=m,

'：AB//A\B\,.∙.∕8ιAιZ)是异面直线AB和4。所成角(或所成角的补角)，

√io

∙.,ZACB=90o,异面直线AB和4。所成角的余弦值为《一,

2

在AAIBIQ中，A∣Bι=2√2,A1D=√4+m,

.√10…八(j4W)2+(2√2)z-(j4W)2

..-----=COSZBIAID=--------------/-----------------,

52×j4+m2×2√2

解得〃?=1,；.。为CCl的中点，

如图，延长40交AC的延长线于尸，连接BF,过C作CE'LDF1于点E',连

接BE',

VAC,CiCc5FffiAiAF,BCLAC,BClCiC,AC∩CC=C,

.∙.BCJL平面AIA尸，：.BCVDF1,

'JCE1LDF,,：.DF'1.平面BCE',J.DF'LBE',

ʌZBE1C为二面角B-4。-A的平面角，

2

在RtA1BCE中，BC=2,CE'=下，

.,.tan∆BE'C=^7=V5,

ΛcosZBE,C=乎,

√6

二二面角8-4Q-A的余弦值为一.

6

B

20.(12分)已知椭圆C：各，=I(Q>b>0)的离心率为奉它的四个顶点构成的四边

形的面积为4.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设过点M(M0)的直线/与圆/+夕=1相切且与椭圆C交于A、B两点,求IABl

的最大值.

1

【解答】解：(1)椭圆。的四个顶点构成的四边形的面积为］×2a×2b=2ab=4,

a2=b2+C2

由题意可得<U=与，解得α=2,b=∖.

a~2

«b=2

χ2

所以，桶圆C的方程为丁+y2=1.

4

(2)若直线/与X轴重合，此时直线/与圆f+y2=l相交，不合乎题意,

设直线/的方程为％=>，〃，由题意可得嗜9=1,即∕w2=ι+a.

联立｛；2+“蒙T4消去x得(9+M2+4)2=4,即(尸+4)/+2。”)H-4=O,ʌ=(2∕∕n)

2tm

2-4(∕2+4)(∕W2-4)=16(∕2+4-∕ZZ2)=3>0.设AaI,yi)、Ba2,”),则以+y=—

2t2+4)

τn2-4

%%=H

722

所以∖AB∖=√TTt∣y1-y2∖=√1+t√(yι+y2)-4y1y2=

J16(“一吟=龚

√1+t2Vrm

t2+4产+4

≥1,则P=M-1,则MBl=雀^=茅≤fft=2,

令7∖+t2=n

2Jn,l

当且仅当九=V5时等号成立，此时£=±&,m=±√3.

故HBl的最大值为2.

21.(12分)己知函数/(X)=袈(XeR).

(1)求/(x)的单调区间；

(2)若对于任意的xe[O,刍，f(%)》丘恒成立，求证：fc<^.

【解答】解：(1)/，(X)=纱学竺=立巴”，

令f(X)>0,贝∣Jcos(X+4)〉0,即2∕cττ—VX+.≤2fcττ+工(kGZ),

解得了(X)的递增区间为(2/OT—苧，2∕m+*)(keZ);

令/(X)<0,贝IJCoS(X+勺<0,即2kττ+ɪVX+A≤2fcτr+-^∙(JC∈Z),

解得了(x)的递减区1可为(2∕cττ+/，2kττ+∙^)(keZ).

所以，/(Λ)的递增区间为(2时一手，2∕σr+软keZ),递减区间为(2"+92k