高考数学一轮复习 第9章 双曲线讲义文（全国版）

§9.7双曲线

【考试要求】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对

称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.双曲线的定义

把平面内与两个定点£,手的距离的差的绝对值等于非零常数(小于"KD的点的轨迹叫做双

曲线.两个定点回叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

2.双曲线的标准方程和简单几何性质

,X

标准方程尸尸30,/;>0)了一歹=1(H>0,b>0)

图形

焦点E(-c,0),4(c,0)E(0,—c),"(0,c)

焦距亜=2c

范围xW—a或yGRZ-a或介&x£R

对称性对称轴：坐标轴;对称中心：原点

顶点4(—a,0),4(a,0)4(0,1a),4(0,a)

性质

实轴：线段.，长：2a；虚轴：线段为心，长：2b,实半轴

轴

长：旦,虚半轴长：b

离心率+0°)

a

丄a

渐近线y=±-xy=±v

a

a,b,c的关系c=—+♦(c>a>0,c>6>0)

【常用结论】

(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

(2)若戶是双曲线右支上一点,R,K分别为双曲线的左、右焦点，则|阕『a+c,|附-

9A2

（3）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴的弦），其长为丝.

a

（4）若〃是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，R,K分别为双曲线的左、右焦点，则

=一吃，其中0为NFFR.

tany

2222

（5）与双曲线当一£=1（a>0,力0）有共同渐近线的方程可表示为当一看=貿—0）.

abab

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线.（X）

22

（2）方程工一2=1（即〉0）表示焦点在x轴上的双曲线.（X）

mn

22

⑶双曲线勺-4=1（勿>0,力>0）的渐近线方程是乙±1=0.（V）

mnmn

（4）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于qi（v）

【教材改编题】

22

1.若双曲线勺一£=1（a>0,力0）的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心

ab

率为（）

A.mB.5C.V2D.2

答案A

解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b=2a,

又a+6=c,.*.5a=c.

:.e=/=5,e=y[5.

2.设戶是双曲线会一言=1上一点，F、,用分别是双曲线的左、右焦点，若|依丨=9,则|格|

等于（）

A.1B.17

C.1或17D.以上均不对

答案B

解析根据双曲线的定义得I丨冏I一丨例I1=8=|"|等于1或17.又|你|2c-a=2,

故|冏1=17.

3.（2022•汕头模拟）写一个焦点在y轴上且离心率为十的双曲线方程.

答案/一日=1（答案不唯一，符合要求就可以）

解析取c=小,则e=/=/，

可得a=1,，b=y]c-a=y[2,

因此，符合条件的双曲线方程为了-5=1(答案不唯一，符合要求就可以).

■探究核心题型

题型一双曲线的定义及应用

例1(1)已知定点£(-2,0),K(2,0),N是圆。：f+/=i上任意一点，点内关于点力的

对称点为M线段内"的中垂线与直线相交于点戶，则点产的轨迹是()

A.椭圆B.双曲线

C.抛物线D.圆

答案B

解析如图，连接〃M由题意可得丨〃八1=1,且N为,昉的中点，又。为的中点，

所以I，阴人关于点儿的对称点为M,线段片"的中垂线与直线相交于点P,由垂直平分线

的性质可得I齒=1用I，

所以I|所|一匹丨丨=丨I网一I掰|

=|圾|=2<出用|,

所以由双曲线的定义可得，点卩的轨迹是以£,用为焦点的双曲线.

(2)已知E,K为双曲线Gf-7=2的左、右焦点，点-在C上，NRP360：则△£%

的面积为.

答案2小

解析不妨设点尸在双曲线的右支上，

则丨小丨一丨松|=2a=2啦，

在例中，由余弦定理，得

丨用「+1-「一由421

cosZRPFL2jpFx|.而~2>

丨阳丨•丨松|=8,

•\PF>\­sin60°=2帀

延伸探究在本例（2）中，若将9=60°”改为“两•方'=0"，则△£图的面积

为.

答案2

解析不妨设点户在双曲线的右支上,

则丨阳|一|）|=2a=2/，

,福•京=0,.,.万T丄/，

.•.在中,有|历

即丨历「+|朋|2=16,

丨阳丨•|你|=4,

s4F\PF,=也尸川•I尸KI=2.

虹教师备选】

1.已知圆G：(%+3)2+y2=l,G：（x—3）'+/=9,动圆材同时与圆G和圆G相外切，则

动圆圆心材的轨迹方程为（）

X2

B?-y=l

2

y

C.V一卷=l(xW—1)D.V—7=1(x21)

Oo

答案c

解析设圆"的半径为r,由动圆M同时与圆G和圆&相外切，

得丨制|=l+r,|MC|=3+r,

丨,必丨一丨阅丨=2<6,

所以点〃的轨迹是以点G（—3,0）和C⑶0）为焦点的双曲线的左支，

且2a=2,a—l,又c=3,

则lf=c—ai=8,

2

所以点”的轨迹方程为f一5=1（后一1）.

O

2.（2022•长春模拟）双曲线。的渐近线方程为尸土芈x,一个焦点为户（0,一帀），点力（乖,

0）,点戶为双曲线第一象限内的点，则当点。的位置变化时，△阳尸周长的最小值为（）

A.8B.10

C.4+3帀D.3+3如

答案B

22

解析由已知得双曲线方程为?一±=1,设双曲线的另一个焦点为广，则1加1=1兩丨+4,

△为b的周长为1M+|阳|+|"1=丨方丨+4+1川+3,当X,凡1三点共线时，

|小丨+|川有最小值,为I-|=3,

故△胡尸的周长的最小值为10.

思维升华在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合丨I用丨一丨"||=2a,

运用平方的方法，建立与丨用丨•I阳I的联系.

22

跟踪训练1⑴双曲线今一方=1（0〈猿叭②上一点卩到右焦点的距离为8,则点尸到左焦点

的距离为（）

A.12或6B.2或4

C.6或4D.12或4

答案D

解析设双曲线的左、右焦点分别为A,

由题意知丨第1=8,

所以I|依|一|用|丨=4,

解得丨阳丨=12或|小丨=4,

故点。到左焦点的距离为4或12.

（2）已知厂是双曲线?一*=1的左焦点，履1,4）,〃是双曲线右支上的动点，贝iJI/Fl+l力|

的最小值为一.

答案9

解析设双曲线的右焦点为“，则由双曲线的定义，可知I件|=4+|所，

所以当|阳|+|川最小时满足|阴+|朗最小.

由双曲线的图象，可知当点4P,£共线时，

满足I阳|+|川最小，

|幽|+4即|例+|川的最小值.

又|4川=5,故所求的最小值为9.

题型二双曲线的标准方程

22

例2⑴（2021•北京）双曲线C：宏一方=1过点（电，小）,且离心率为2,则该双曲线的

标准方程为（）

yx

A.x9-T=1B.——y2=1

oo

八2A/3y

C.--y2=l

答案A

解析•.％=£=2,

a

则c=2a,b=\j（^一扌=事a,

则双曲线的方程为卷=1,

2Q1

将点（也,黄）的坐标代入双曲线的方程可得了一彳=1=1,解得a=l,故6=小,因此,

双曲线的方程为fg=l.

（2）若双曲线经过点（3,F，且渐近线方程是了=土;x,则双曲线的标准方程是

答案/一§=1

解析设双曲线的方程是/一9=4（4^0）.

因为双曲线过点（3,帀）

9

所以^=2--=1,

故双曲线的标准方程为/一§=L

工教师备选】

22

1.过双曲线a»1（於杨。）的右顶点作x轴的垂线，与c的一条渐近线相交于点4若

以C的右焦点Q为圆心、半径为4的圆经过4。两点（。为坐标原点），则双曲线。的标准方

程为（）

2222

XV

A-f-T2=1B———=1

79

22

xyXV

C———=：1F)-----------=1

88124

答案A

解析因为渐近线尸3X与直线x=a交于点力（a,b）,c=4且N_4—a一"2+t）=4,解得才

22

=4,"⑵因此双曲线的标准方程为＞*=1.

2.经过点“3,2帀），0（—6啦，7）的双曲线的标准方程为.

答案為G=1

解析设双曲线方程为/7〃一〃=1(初＞0).

[9^7—28/7=1,|//；75'

•・•bn解得丄

C25,

22

...双曲线的标准方程为冬一条=1.

Zbr0

思维升华求双曲线的标准方程的方法

⑴定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,26或2c,从而求出才，及

22

(2)待定系数法：”先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为2一5

mn

=A(H#0),再根据条件求H的值.

跟踪训练2(1)已知双曲线过点⑵3),渐近线方程为y=土木X,则该双曲线的标准方程是

()

O乙O乙Q

答案c

2

解析因为双曲线的渐近线方程为尸土小X,所以可设双曲线的方程为f一5=A(A^O),

•J

将点⑵3)代入其中，得辻=1,所以该双曲线的标准方程为六一々=1.

(2)(2022•佛山调研)已知£,内分别为双曲线F—上=1(a0,力0)的左、右焦点，户为双曲

clD

线上一点，伤与入轴垂直，/阳氏=30°,且虚轴长为242,则双曲线的标准方程为()

xyxy

A———=1B———=1

4232

222

XV2V

C-7-I=1D.*_万=1

答案D

解析由题意可知丨%|=半，

苗邛,

26=2隹

由双曲线的定义可得半一半=2a,

即c=y[3a.

又力=/，,

2

；.a=l,双曲线的标准方程为/一《=1.

题型三双曲线的几何性质

命题点1渐近线

例3由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数

学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线4

a

2

-；=l（a〉0,»0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2,离心率为2,

则该双曲线的方程为（）

答案B

解析由题意知，6=2,

又因为©=5=4l+（g）=2,

4

解得才=§,

q22

所以双曲线的方程为子一〃=L

2222

思维升华⑴渐近线的求法：求双曲线/63>。,力。）的渐近线的方法是令:2。,

即得两渐近线方程亠±日=。（了=±刍）

ao\a）

XV

（）在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线F—友（於）中,

2ab=10,8>0

离心率e与双曲线的渐近线的斜率k=±《,满足关系式¥=1+疋

命题点2离心率

例4（1）（2021•全国甲卷）已知£,凡是双曲线C的两个焦点，/为C上一点，且/£格=

60°,丨阳|=3］也则。的离心率为（）

答案A

解析设\PF）=m,则|⑶：=3卬,

在△£期中,

IF\Fi|="序+9"-2X3=XmXcos60°二帀銀，

2c_|^|

所以,的离心率

2a~\PF,\-\PF2\

一2)一2.

【高考改编】

已知双曲线E了一1=l（a>0,於0）的左、右焦点分别为A,握,点力在双曲线K的左支上,

且NA/K=120°,|4K|=2|/£|,则双曲线〃的离心率为（）

A.#B.乖

C.A/7D.7

答案C

解析点/在双曲线£1的左支上，左、右焦点分别为A,殳

设|阳|=山,

由|/用|=2|附|知|幽|=2必,

由双曲线定义得

\AFi\—\AF\\—2m—m—m—2a,

在△力£4中，

|阳|=2a,丨/川=4a,NA4K=120°,

由余弦定理知，

iii

\FxF2\=\AFi\+\AF2\-2\AFi\|A^|cosl20°

=4a°+16a2+8a2=28a2,

:.出R\=2巾a,

又=2c,

：・2帀a=2c,6=/=巾.

⑵若双曲线「一9=13。，力。）的渐近线的斜率大于平

则双曲线离心率的取值范围是

22o/7

解析因为双曲线点一会=1（90,垃0）的渐近线的斜率大于+,

所以会半，

即3a〉24b,也即3a2>44,

所以3az>4屹2—才）,

所以7才>41

所以e<>

又因为双曲线的离心率e>l,

所以1<水平，

双曲线离心率的取值范围是（1,亭）

【教师备选】

22

1.（2022•济南模拟）已知双曲线47一二=1（卬>0）的渐近线方程为x土my=0,则勿等于

十1mv

()

1

A-2B.，5-I

r>+1

L2D.2

答案A

由渐近线方程y=±~x=土*x,

解析

所以二挙则了=扌

22

2.设尸为双曲线C："方=l（a>0,核0）的右焦点，。为坐标原点，以分,为直径的圆与圆

V+7=a2交于只0两点.若|阕=丨如，贝IJC的离心率为（）

A.^/2B.45

C.2D.乖

答案A

解析令双曲线C：*一S=l（a>0,6>0）的右焦点尸的坐标为（c,0）,则c=y/a'+汽

如图所示，由圆的对称性及条件丨户0=丨冰|可知，气是以〃为直径的圆的直径,

且倒丄如设垂足为机连接砒

则丨如=a,|朗=|网=*

由丨關?+［网2=］阴2,

；”=也,即离心率e=帀.

思维升华求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,6,

c的方程或不等式，利用。2=才+庁和e=£转化为关于e的方程（或不等式），通过解方程（或

a

不等式）求得离心率的值（或范围）.

22

跟踪训练3⑴已知双曲线之一方=l（a>0,6>0）的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心

ab

率是（）

A.2B.V3C.A/2D.I

答案C

解析由题意可知直线尸2x与y=-互相垂直，

aa

可得一厶•2=-1,则a=b.

aa

由离心率的计算公式,

孑O2-kA2L

可得宀=了=丁=2,所以e=/.

2

(2)己知厂为双曲线机/一方=1(»0)的左焦点，圆。：5—3)2+/=6与双曲线”的渐近线

有且仅有2个不同的公共点，则下列说法正确的是()

A.点b到渐近线的距离为十

B.双曲线〃的渐近线方程为42y=0

C.双曲线."的虚轴长为2

D.双曲线〃的离心率为小

答案D

解析因为圆0与双曲线"的渐近线有且仅有2个不同的公共点,

所以圆0与渐近线bx±y=Q相切，

则有雋=/,

解得b=yf2f

2

则双曲线材的方程为

所以a=l,b=y[2,c=4,

其渐近线方程为4x±y=0,故B选项错误:

左焦点尸(一小，o)到渐近线的距离为‘萨」=低故A选项错误;

双曲线"的虚轴长为23=2啦，故C选项错误；

双曲线,"的离心率为e=!=^=/,故口选项正确.

课时精练

应基础保分练

1.双曲线9*2—16/=1的焦点坐标为()

A.(±*0)B.(0,±与

C.(±5,0)D.(0,±5)

答案A

解析将双曲线的方程化为标准形式为:一（=1,

916

所以7+得磊，

5

所以c=Ii'

所以两焦点坐标分别为（±。，0）.

22

2.己知双曲线上--£7=1E>0）的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（）

m〃7十6

X2V2

A----------1

24

2•x2y2

C.八卜1D———=1

28

答案D

解析由题意，得2g=固0+6,解得勿=2,

所以双曲线的标准方程为今一£=1.

乙O

22

xy

3.若双曲线A§一而=1的左、右焦点分别为A,K,点一在双曲线£上，且1如丨=3,则

I网等于（）

A.11B.9C.5D.3

答案B

解析方法一依题意知，点产在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得I阳1一|阳丨=2X3

=6,所以丨月初=6+3=9.

方法二根据双曲线的定义，

得丨丨网一|阕|=2X3=6,

所以丨I两|一3|=6,

所以I房1=9或|依|=一3（舍去）.

4.（2022•大连模拟）若双曲线a?一£=1的右焦点到它的一条渐近线的距离是3斓，则。

的离心率为（

A.2B.

答案A

22________

解析双曲线G］一方=1的右焦点坐标为（正”，0）,

渐近线方程为y=±gx,即。x±3y=0,

22

•双曲线G寸一方=1的右焦点到它的一条渐近线的距离是3朮，

解得6=3帀,

c=yj9+庁=79+~3小~%=6,

Q6

・•・离心率e=—=彳=2.

a3

22

5.已知双曲线C的方程为白一春=1,则下列说法不正确的是（）

169

A.双曲线C的实轴长为8

B.双曲线。的渐近线方程为尸土］x

C.双曲线，的焦点到渐近线的距离为3

9

D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为j

答案D

解析因为@2=16,

所以a=4,2a=8,故A正确；

因为a=4,6=3,所以双曲线C的渐近线方程为

b3

y=+-x=±^x,故B正确；

a4

因为c=-\/a2+J=/16+9=5,

所以两焦点坐标分别为（-5,0）,（5,0）,焦点（5,0）到渐近线3x―4y=0的距离为

|15|

I,=3,

、3-+—42

故C正确；

双曲线。上的点到焦点距离的最小值为c—a=l,故D错误.

22

6.己知双曲线C：2一£=l（a>0,力0）的左、右焦点分别为£,&直线x—c=0与双曲线

ab

I2

C的一个交点为点戶，与双曲线C的一条渐近线交于点0,。为坐标原点，若分=可灰+可血,

OO

则双曲线。的离心率为（)

A.

答案B

解析因为旗近

2

所以苏-存=可(而一赤),

O

所以下户=]址,

gF2be

所以:=?二,

得2c=3b,

3b

xV

7.(2021•新高考全国H)已知双曲线G1一方=1(a0,6>0)的离心率e=2,则该双曲线。

的渐近线方程为.

答案y=±y[ix

解析因为双曲线F殳—,£=1(@>0,力0)的离心率为2,

ab

所以e=yJ^="\J'\"=2’所以亨=3,

所以该双曲线的渐近线方程为y=±gr=±/x

22

8.设双曲嘴味=1的右顶点为4右焦点为E过点下且平行于双曲线的一条渐近线的直

线与双曲线交于点8,则△/处的面积为一

答案i

解析因为才=9,炉=16,所以c=5.

所以4(3,0),6(5,0),

4

不妨设直线跖的方程为了=55—5),

O

代入双曲线方程解得痔，一号

…1...,13232

所以加月明=$14rl•|%|=-X2X—=—

LL1010

VV

9.已知双曲线左一力=1的左、右焦点分别为£,凡

164

（1）若点"在双曲线上，且砺•丽=0,求M点到X轴的距离；

（2）若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点（3、P，2）,求双曲线。的方程.

解（1）不妨设“在双曲线的右支上，材点到x轴的距离为瓦

•.•旃•砺=0,:.MF、丄*

设|炳|=m,\MF2,\=n,

由双曲线的定义知/n—n=2a=8.①

在Rt△加幽中，

由勾股定理得君+//=（2C）2=80,②

由①②得m•n=8.

S

^MFIF2=$/n=4=：X2c/i,

即也点到x轴的距离为摩.

5

22

（2）设双曲线。的方程为*1（-4</<16）.

16—44十人

・・,双曲线。过点（3镜，2）,

184

**16-A4+A丄'

解得久=4或4=一14（舍去），

22

.,.双曲线C的方程为高一卷=1.

1Zo

22

10.已知双曲线C-."方=l（a>0,核0）的其中一个焦点坐标为（4，0）,一条渐近线方程

为2x—y=0.

（D求双曲线。的标准方程；

（2）已知倾斜角为等的直线/与双曲线C交于46两点，且线段的中点的纵坐标为4,

求直线1的方程.

解（1）由焦点坐标可知。=十，

又一条渐近线方程为2x-y=0,

所以纟=2,

a

由/=才+。2可得5=4+4#,

解得才=1,3=4,

故双曲线C的标准方程为六一3=1.

⑵设/(汨，％),以如㈤，18中点的坐标为(m4),直线46的斜率为A,

2

则#一j=1,①

2

■一戸1,②

22

②一①得算一#=宁一不

即4=牛=*),

又a=tan十-=-L所以照=-1,

所以直线/的方程为y—4=—(x+1),

即x+y—3=0.

笠技能提升练

22

11.已知戶是双曲线G会一3=1右支上一点，R,R分别是双曲线。的左、右焦点，。为

—__>9

坐标原点，丨從+(历丨=?则下列结论中错误的是()

5

A.双曲线C的离心率为］

3

B.双曲线C的渐近线方程为了=±疝丫

23

C.点P到双曲线C的左焦点距离是了

45

1).△阳内的面积为彳

答案C

22

解析在双曲线G2一《=1中，

169

a=4,6=3,c=5,

该双曲线的左焦点为£(-5,0).

设户(x,y),则苏+存=(x-5,y),

由丨"I■而|=*

可得(X—5”+/=%，

10

fI?+/或，

lo

所以〈

169-i,

、x24,

卜=5,

解得j尸+2即点《5,±1)

对于A选项，双曲线。的离心率为6=-=不A对；

a4

3

对于B选项，双曲线。的渐近线方程为y=土丁，B对；

对于C选项，点产到双曲线C的左焦点距离是|PF\丨=、y1()2+,=¥，c错；

对于D选项，△小K的面积为

1945亠

S=-X2X5X-=—D对.

244f

22

12.(2022•湖南师大附中模拟)已知双曲线C;1一6=1(6>0),以。的焦点为圆心，3为半

4b

径的圆与。的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是()

A.(l,B(1，唱

C.(a啕D.(l,仃)

答案B

解析由题意可知双曲线的其中一条渐近线为尸方，即『2尸0,

又该圆的圆心为(G0)，

be

故圆心到渐近线的距离为N方+4,

be

则由题意可得近京<3,即成九93+4),

又6—6—a=c—4,

贝！J(1—4)c<9c2,

解得02<13,即"J於，

则e=5=^^,又e>l,

a厶厶

故离心率的取值范围是（1,鸣.

13.已知儿8是双曲线C孑一方=1（於。，力0）实轴的两个端点，加力是双曲线上关于x

轴对称的两点，直线4帆斜的斜率分别为4,k式k、k詁O）.若双曲线的离心率为2,则等十

I知的最小值为（）

A.1B.1C.^2D，A/6

答案D

解析由题意可设財（xi,珀，N（x\,—yi）,J（—a,0）,0）,

.~y\

则ki-----

X\—a

因为双曲线的离心率为2,

故1=1+（5=4,故左左=—3,

由基本不等式可得等+I&I22$=乖,

当且仅当|&丨=/，|初=平时等号成立，

故等+1叫的最小值为函.

22

14.已知双曲线C-.今一方=l（a>0,力0）的左、右焦点分别为&K,。为原点，若以F、B

为直径的圆与。的渐近线的一个交点为只且，/|=/丨帆I，则。的渐近线方程为一.

答案y=±小x

解析根据双曲线a

/一方=l（a>0,垃0）的左、右焦点为序用。为