2023年天津高考数学高考必备知识点总结归纳

第一章-集合

一、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.

1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为厶=A；

②空集是任何集合的子集，记为02厶；

③空集是任何非空集合的真子集；

①n个元素的子集有2n个.n个元素的真子集有2n—1个.n个元素的非空

真子集有2n—2个.

注①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题0逆命题.

②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题。逆否命题.

DO4n3<=>{xIx£A,口xB}

2、集合运算：交、并、补.口口AJB<Z>{XIXGADxGB}

□□A<=>{XG[/,Dx&A]

u

三简易逻辑

构成复合命题的形式：P或q记作“pVq”；p且q记作“pAq”;

非p记作“iq”;

1、“或”、“且”、“非”的真假判断

4、四种命题的形式及相互关系：

原命题：若P则q;逆命题：若q则p;

否命题：若[P则1q;逆否命题：若[q则1p;

①、原命题为真，它的逆命题不一定为真；

②、原命题为真，它的否命题不一定为真；

③、原命题为真，它的逆否命题一定为真；

6、如果已知pnq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件；

若p=q且q=>p,则称p是q的充要条件，记为pq.

第二章-函数

一、函数的性质

1定义域：2值域：

3奇偶性：在整个定义域内考虑

①定义：偶函数：/(—%)=/(%)奇函数：/(-%)=—/(%)

②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称;

c.求/X)；d.比较/(-%)与F(%)或/(-%)与一/(%)的关系；

4函数的单调性

定义：对于函数fx的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x,x

12,

⑴若当x<x时，都有fx〈fx,则说fx在这个区间上是增函数；

1212

⑵若当x<x时，都有fx>fx,则说fx在这个区间上是减函数.

1212

二、指数函数与对数函数

指数函数y=〉°且。W1)的图象和性质

a>10<a<1

图

象

性1定义域：R

质2值域：0,+8

3过定点0,1,即x=0时，尸1

4x>0时,y>1;x<04x>0时,0<y<1;x<0时，y>1.

时,0<y<1

5在R上是增函数5在R上是减函数

对数函数y=logxa>0且aJ的图象和性质:

a

⑴对数、指数运算：

(2)y="xa>0,。与y=iog%a>0,〃wl互为反函数.

a

第三章数列

1.(1)等差、等比数列:

等差数列等比数列

號义

犍推a=a+d•a=aq.

nn-19nn-19

公式

通项1定义:叫芳勺〃-1%,"()

公式2值域R

生屮以

3过点1,0,即当x=1时，y=0

扮式

页4%e(0,1)时v<0XFfo.i)叶y>°

\9/LI'J

前n

Xe(1，+°°)时y>%G(i,+8)时y<o

0

项和

社AUH,q十C0T0'I上L疋J7秋、rV；的多致#4

重要”>午加纟声業库向获

性质

S]=%(〃=1)

｛a

2数列a｝的前〃项和S”与通项a的关系：ns-s(ji>2)

”"nnn-1

第四章-三角函数

一.三角函数

1、角度与弧度的互换关系：360°=271；180°=兀；

180宜TT

1rad=^=r-°=57°18';1°=__^rad

兀180

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

2、弧长公式："TaI".扇形面积公式：丁=；＞=；囘〃2

.yxv

3、三角函数：Sina=y；C0SCt=~；tan(X=-；

4、三角函数在各象限的符号：一全二正弦，三切四余弦

sina_

5、同角三角函数的基本关系式：7^77=tanasirua+cos2a=1

6、诱导公式：

7、两角和与差公式

8、二倍角公式是：

sin2a二2sina-cosoc

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2oc—1=1—2sin2a

2tana

tan2Qt=

l-tan2a＞

辅助角公式asin0+bcos0=J-2+匕2sjn0+(p,这里辅助角

b

屮所在象限由a、b的符号确定，＜P角的值由tan(p=z确定；

9、特殊角的三角函数值：

0

sina010

cosa100

不存不存

tan010

a在在

不存不存

cot100

a在在

abc~~

10、正弦定理而江"丽E=^=2RR为外接圆半径•

余弦定理C2=a2+b2—2bccosC,

b2=a2+c2-2accosB,

az=62+02—2bccosA.

面积公式:

2n

11.y=sin（①％+屮）或,=©0$（3X+屮）cow0的周期T=pp

兀

12.y=sin（co%+（p）的对称轴方程是尤=也+区左wZ,对称中心也,0；

y=cos（cox+（p）的对称轴方程是x=KukeZ,对称中心kn+1.71,0；

y=tan（3x+（p）的对称中心乃,0

第五章-平面向量

1向量的基本要素：大小和方向.

2向量的长度：即向量的大小，记作I丁

a+y2ay）

3特殊的向量：零向量4=0<=>I4丨=0.

单位向量”为单位向量O

II=1.

x二x

<12

4相等的向量：大小相等，方向相同x,y=x

112y尸y

二L

5相反向量：方=一方o方=一ao方+万

6平行向量共线向量：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作〃〃匕.

平行向量也称为共线向量.

7.向量的运算

运

算

几何方法坐标方法运算性质

类

型

向

量1.平行四边

的形法则

加2.三角形法则

法

向

量

AB=-BA,

的三角形法则

VB-VA=7LB

减

法

1.九,是一■个向

数

量，满

乘

足：I氏l=l入I⑶

向

2.入＞0时，解与万

量

同向；入＜0时，

九3与力异向;

入二。时，筋=0.

向

量

&,5是一,个数

的

1.a=0或方=0

数

时，H•万=0

量

积

8两个向量平行的充要条件

__H二九万

d//bb01<^>記n

〃0或xy—xy=O

1221

9两个向量垂直的充要条件

。丄方<^=*>aJb=oox,x+y,y=0

1212

a-bxx+yy

121

10两向量的夹角公式：cose=I〃卜|匕|二„+不再专

0W0W180°,

附：三角形的四个“心”；

1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点

2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点

3、重心：中线的交点

4、垂心：高的交点

11AABC的判定:

C2=Q2+b2=4ABC为直角+ZB=;

02V。2+/?2<=>^ABC为钝角NA+ZB<y

,汽

C2>02+820△ABC为锐角NA+ZB>y

11平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.

第六章-不等式

1.几个重要不等式

1aeR,a2>0,|6f|>0当且仅当a=0,取a—b220a、b£R

2a,beR,则。2+/?2>2ab

3。,/?eA+,则a+/?2；

,+/.c、

⑸若a、b£R+,,则a?+b2'(p_eR)

(a,b£R+)

2、解不等式

1-元-次不等式办〉优"0)

①Q>0,<％%>_>②。<0,<％无<—>

Ia\〔aj

2一元二次不等式ax2+br+c>°,(a>°)

第七章-直线和圆的方程

一、解析几何中的基本公式

1.两点间距离：若厶(*],匕)岀(X,,丫2),则,4=1(%2_q)2+优一3)2

2.平行线间距离：若1]：Ax+By+C=0,1,:Ax+By+C=0

IC-Cl-

贝i]•d=li21

.JA2+B2

注意：x,y对应项系数应相等；

3.点到直线的距离：P（x，y），1：Ax+By+C=0

oo

6尸心产

则p到I的距离为:

JA2+B2

y=kx+b

4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式：、八_八消y:ax+bx+c=0

y丿—u

务必注意△＞（）.若I与曲线交于A（%］，）；），8（%2,兀）则:

X+X

X=_1-----2_

5.若A（%］，yJ，5（L，兀），Px,y,p为AB中点，则＜2

y+y

V=I2

2

6.直线的倾斜角0°Wa〈i80°、斜率：％=tana

7.过两点尸|（%］，匕），。,（匕，匕）的直线的斜率公式：k=——（xwx）

111

222x-%12

21

8,直线丨与直线丨的的平行与垂直

12

1若1/I?均存在斜率且不重合：①

।I:Ax+By+C=0,I:Ax+By+C=0

丄Ol1112222＜=＞

?A=RC丄o线方程的五种形式

?22

名-称■■方程

斜截式：y=kx+b

点斜式:y—y=k（x—x）

_____________oo

y-yx-x

.、j—।

X;X

两点式:y-y%一%1^2

2121

,%y.

截距式：_+1=l

------ab

一般式：Ax+8y+C=。其中A、B不同时为零

10.圆的方程

1标准方程：（x—a）2+（＞一匕）2=尸2,3/）一一圆心，”一半径；

2一般方程：X2+y2+Dx+Ey+F=QD2+E2-4F>0)

nFJ£)2+£2-4F

（-宀一圆心,半径-----工-----

特例：圆心在坐标原点，半径为，.的圆的方程是：％2+y2=/2.

\x=a+rcosO

注：圆的参数方程：jy=b+rin。e为参数•

特别电以0,0为圆心，以r为半径的圆的参数方程为

3点和圆的位置关系：给定点用。。，入）及圆C:（x-a）2+（y-b）2=r2.

①Af在圆C内。（、一a）2+（%—/?）2YR2

②M在圆C上O（%0-。）2+（人一》）2K2

③M在圆C外＜=＞（,-。）2+（方-8）2〉r2

4直线和圆的位置关系：

设圆圆C：（%-。）2+（）一匕）2=〃2"上。）；

直线/：Ax+By+C=0（42+32,0）；

d|Ati+Bh+C|

圆心C（a,b）到直线/的距离

J-2+82-

①^二厂时，,与C相切；②dYr时，/与C相交;

③dA厂时，/与C相离.

第八章-圆锥曲线方程

一、椭圆

1.定义I：若「产2是两定点，P为动点,且叫+%=2a＞匕尸21a为常

数则p点的轨迹’是i有圆；一

2.标准方程："+加=1（a＞b＞0）F+记=l（QAbA0）

O，a2b2

,Q2

长轴长二2。，短轴长=2b焦距：2c准线方程：x=±—,

离心率：e=E（0YeYl）焦点：＞%°）（°，°）或（°，—。）（°，。）.

二、双曲线

1、定义：若是两定点，『勺口”||=2。＜|尸円&为常数，则动点P的

轨迹是双曲线；

2.性质

1方程：=i（<2>o,z?>o）=i（Q>O,O>O）

Q202Q2。2

2〃x-+a2

实轴长二/〃，虚轴长=2b焦距：2c准线方程：X~~

—c2a22b2

离心率,二方.准线距一两准线的距离；通径一一.

uca

参数关系c2=“2+62,e=；

%2ylb

（2）若双曲线方程为而■一万•=1=渐近线方程：y=±-x

（3）等轴双曲线：双曲线12-y2=±12称为等轴双曲线，其渐近线方程为

,=±工，离心率6=0.

三、抛物线

1.定义：到定点F与定直线丨的距离相等的点的轨迹是抛物线；

即：到定点F的距离与到定直线I的距离之比是常数ee=1；

2.图形：

3.性质：方程：丁2=2〃羽（〃>°）,〃一一焦参数焦点到准线的距离；

焦点：q,o）,通径U=2p；

准线：X=~J'离心率e=l

第九章-立体几何

一、判定两线平行的方法

1、平行于同一直线的两条直线互相平行

2、垂直于同一平面的两条直线互相平行

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相

交，那么这条直线就和交线平行

4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

二.判定线面平行的方法

a）据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点

b）如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和

这个平面平行

c)两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面

d)平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平

面

e)平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另

一个平面

三、判定面面平行的方法

(1)由定义知：“两平行平面没有公共点”；

(2)由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一

个平面；

⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相

交，那么它们的交线平行”；

⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平

面；

(5)夹在两个平行平面间的平行线段相等；

(6)经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行；

四、面面平行的性质

1、两平行平面没有公共点

2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面

3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行

4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面

五、判定线面垂直的方法

1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直

2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直

3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面

4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面

5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一

个平面

六、判定两线垂直的方法

1、定义：成90。角

2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直

3、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直

七、判定面面垂直的方法

1、定义：两面成直二面角，则两面垂直

2、一个平面经过另一个平面的一■条垂线，则这个平面垂直于另—严

面

八、面面垂直的性质

1、二面角的平面角为90°

2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面

3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面

九、各种角的范围

1、异面直线所成的角的取值范围是：0°<0<90°(0°,90°」

2、直线与平面所成的角的取值范围是：0°<0<90°b°,90°]

3、斜线与平面所成的角的取值范围是：0°<6<90°(0°,90°]

夕、二面車的大小用它的平面角来度量；取值范围是：

(0°,180°J

十、面积和体积

§—ch

1.直棱柱侧

11;

0s=/hs=cl=nrl

L、正棱锥侧2圆锥侧2

4

3、球的表面积公式：S=47比2.球的体积公式：V=兀后.

4、圆柱体积：匕3=兀=2人=的厂为半径，人为高

圆柱

圆锥体积：锥=3兀/功=丁的厂为半径，入为高

锥体体积：V棱锥=\hs为底面积，入为高

5、面积比是相似比的平方，体积比是相似比的立方

第十章-概率与统计

1.必然事件PA=1,不可能事件PA=0,随机事件的定义0<PA<1;

两条基本性质①P~°(’=12…；②p+P+…n；

112

m

2.等可能事件的概率：古典概率PA二方理解这里m、n的意义；

3.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想

方法，一般地,样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布

表和频率分布直方图；

1平均数1殳数据贝U

1、

公元=(zX+x+...+X)

①五■12n

2方差：衡量数据波动大小

押了--------标准差

4.了解三种抽样的意义

1简单随机抽样：设一个总体的个数为N；如果通过逐个抽取的方法从中

抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样

为简单随机抽样；实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法；

2系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后

按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽

样叫做系统抽样也称为机械抽样；

系统抽样的步骤可概括为：1将总体中的个体编号；2将整个的编号进行

分段；3确定起始的个体编号；4抽取样本；

3分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部

分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成

的各部分叫做层；

第十一章导数

1.导数的几何意义：

函数y=