2023年中考数学副复习教案 一线三等角模型(含答案解析)

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题4一线三等角模型

解题策略

\________7

在直线AB上有一点P,以A,B,P为顶点的Nl,N2,N3相等，Zl,N2的一条边在直线AB上,另一条边在AB

同侧，Z3两边所在的直线分别交Nl,Z2非公共边所在的直线于点C,D.

1.当点P在线段AB上，且N3两边在AB同侧时.

(1)如图，若N1为直角，则有△ACPsZ\BPD.

(2)如图，若N1为锐角，则有△ACPs^BPD.

2.当点P在AB或BA的延长线上，且N3两边在AB同侧时.

如图，则有△ACPs^BPD.

3.当点P在AB或BA的延长线上，且N3两边在AB异侧时.

如图，则有△ACPS/\BPD.

Z--------------------------------------------------\

经典例题

【例1工(2022•全国•八年级课时练习)(1)某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本

图形.如图1,已知1：在△力BC中直线/经过点4,BD_L直线直线/，垂足分别为

点、D,E.求证：DE=BD+CE.

G

（2）组员小明想,如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2,将（1）中的条件改为：在AABC

中=4CQAE三点都在直线/上,并且有4BZM="EC=kBAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结

论OE=BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立,请说明理由.

（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3,过△ABC的边48,AC

向外作正方形48OE和正方形AC尸G4H是BC边上的高.延长交EG于点/.若S-EG=7,则

SAW-------------

【例2】.（2022•全国•八年级专题练习）在直线m上依次取互不重合的三个点0,4E,在直线山上方有48=

⑴如图1,当a=90。时，猜想线段DE,BD,CE之间的数量关系是；

（2）如图2,当0<a<180。时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理

由；

（3）应用：如图3,在4ABC中/B4C是钝角=AC,ABAD</.CAE,ABDA=乙4EC=NBAC,直线zn与CB的

延长线交于点F,若BC=3尸48c的面积是12,求4F8。与44CE的面积之和.

【例3】.（2022.浙江绍兴.模拟预测）如图,中48="=30LDEF=30。,且点E为边BC的中点.将

ZDEF绕点E旋转,在旋转过程中，射线DE与线段4B相交于点P,射线EF与射线C4相交于点Q,连结PQ.

(1)如图1,当点Q在线段C4上时，

①求证：ABPEs^CEQ；

②线段BE,BP.CQ之间存在怎样的数量关系？请说明理由;

⑵当^APQ为等腰三角形时，求黑的值.

培优训练

\_________________________________✓

一、解答题

1.(2022・全国•八年级课时练习)在^ABC中，乙4cB=90。,4c=BC,直线MN经过点C,且4。1MN于

D,BE1MN于E.

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时.

①请说明△力DCCEB的理由：

②请说明DE=AD+BE的理由；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,DE、AD,BE具有怎样的等量关系?请写出等量关系，并予以证

明.

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,DE、AD.BE具有怎样的等量关系?请直接在横线上写出这个等

量关系：.

2.(2022・江苏•八年级课时练习)(1)如图1,在△A8C中,N84C=9()O4B=AC,直线m经过点A,8O_L直线

/n,CEJ_直线见垂足分别为点。、E.求证：△ABO好△CAE；

（2）如图2,将（1）中的条件改为：在△ABC中,AB=AC,D、4、E三点都在直线机上,并且有N8D4=/

AEC=NBAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论△ABO名是否成立？如成立，请给出证明；若

不成立，请说明理由.

（3）拓展应用：如图3,。,E是0,4,E三点所在直线山上的两动点（D,A,E三点互不重合），点尸为N8AC平

分线上的一点，且aABF和△ACF均为等边三角形，连接BDCE,若/BD4=NAEC=NBAC,求证：ADE尸是

等边三角形.

3.（2022.全国•九年级专题练习）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：

如图\,/-BAD=乙ACB=AAED=90。,由41+42+4BAD=180°,Z2+ND+AAED=180。,可得41=

ZD；又因为4cB=Z.AED=90。,可得△ABC^,△ZME,进而得到合=.我们把这个模型称为“一线三

等角”模型.

应用：（2）实战组受此模型的启发,将三等角变为非直角，如图2,在44BC中=AC=10,BC=12,点尸是

BC边上的一个动点（不与B、C重合），点。是AC边上的一个动点，且乙4PD=NB.

①求证：4ABP“APCD；

②当点P为8C中点时，求CD的长：

拓展：（3）在（2）的条件下如图2,当△力PC为等腰三角形时，请直接写出BP的长.

4.（2022•山东烟台•七年级期末）问题背景：（1）如图①，已知AZBC中/84。=90。,48=4（7,直线机经过

点A,BDL直线m,CE，直线肛垂足分别为点DE,易证：DE=+.

（2）拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在△4BC中=4C,2A,E三点都在直线机上,并且有

4BDA=/-AEC=NBAC,请求出三条线段的数量关系，并证明.

（3）实际应用：如图③，在△力CB中/4CB=90。/。=BC,点C的坐标为（一2,0）,点A的坐标为（—6,3）,请直

接写出8点的坐标.

5.（2021・浙江・义乌市绣湖中学教育集团八年级阶段练习）（1）模型建立，如图1,等腰直角三角形A8C中,/

ACB=9（r,CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD1.ED于£>,过B作BELED于E.求证：△BEgX

CDA；

（2）模型应用：

①已知直线y=|x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点,将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC,过

点A,C作直线，求直线AC的解析式；

②如图3,矩形ABC0,0为坐标原点,B的坐标为（8,6）,A,C分别在坐标轴上/是线段BC上动点，已知点力在第

一象限，且是直线y=2x-5上的一点，若△AP。是不以A为直角顶点的等腰直角三角形,请直接写出所有符合

条件的点力的坐标.

6.（2022•江苏•八年级专题练习）（1）课本习题回放：“如图①，乙4cB=90°,AC=BC,AD1CE,BE1CE,垂

足分别为。,E/D=2.5cm，DE=1.7cm.求BE的长”，请直接写出此题答案：BE的长为.

（2）探索证明：如图②，点在/MAN的边4M、4N上,48=4C,点E,F在4M4N内部的射线4。上，且

乙BED=4CFD=LBAC.求证：A4BEmAC”.

(3)拓展应用：如图③，在A4BC中,48=AC/8>8C.点。在边BC上,C。=2BD,点E、F在线段力。

上/BED=MFD=NB4C.若A4BC的面积为15,则A4CF与ABDE的面积之和为.(直接填写结

果,不需要写解答过程)

7.(2022•全国•八年级课时练习)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

(1)如图l,/BAD=90。,AB=A。,过点8作BC，AC于点C,过点。作。E，4C于点E.由/1+/2=/2+

/。=90。,得Nl=/£>.又NACB=/AEQ=90。,可以推理得到AABC丝△D4E.进而得到AC=,BC

=AE.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；

(2)如图2,NA4O=NC4E=9()o,AB=AO,AC=AE,连接8C,OE,且8C_LA尸于点与直线4尸交于点

G.求证：点G是力E的中点；

(深入探究)

(3)如图，已知四边形ABCD和OEGF为正方形,△AF。的面积为5/,ADCE的面积为S2,则有SiS2

(填“>、=、V")

（图1）

8.(2021•北京•东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中)如图，在△ABC中,/ACB=9(T,AC=BC,直线I

经过顶点C,过A、B两点分别作/的垂线AE、BF,E、F为垂足.

(1)当直线/不与底边A8相交时，

①求证：NEAC=NBCF.

②猜想E尺AE,8尸的数量关系并证明.

(2)将直线/绕点C顺时针旋转，使/与底边AB交于点。(。不与A8点重合)，请你探究直线/,EF、AE,

3F之间的关系.(直接写出)

(1)如图1,在等腰直角三角形ABC中/4CB=90°,C5=C4直线ED经过点C,过4作AD1ED于点。，过B作

BE工ED于点E.求证：BE=CD；

模型应用：

(2)已知直线，/y=2x+4与坐标轴交于点力、B,将直线。绕点4逆时针旋转90。至直线，2,如图2,求直线

的函数表达式；

(3)如图3,已知点A、B在直线y=[x+4上，且48=4位.若直线与y轴的交点为M,M为4B中点.试判断

在x轴上是否存在一点C,使得△ABC是以4B为斜边的等腰直角三角形.

10.(2022・全国•八年级课时练习)如图，线段A8=6,射线BGLAB,尸为射线8G上一点，以AP为边做正方形

APCD,且点C、。与点8在AP两侧,在线段OP上取一点E,使得/EAP=NBAP,直线CE与线段AB相交于

点、F(点尸与点A、B不重合)，

(1)求证：&AEP色XCEP：

(2)判断C尸与AB的位置关系,并说明理由；

(3)的周长是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是,请说明理由.

11.（2022•全国•八年级课时练习）如图，在aABC中,AB=AC=2,/B=40。,点。在线段8c上运动（£＞不与

B,C重合），连接AO,作ZADE=40°,DE交线段AC于E.

（1）当/BOE=115。吐/BAD=。，点。从B向C运动时,NBA。逐渐变（填“大”或

“小”）；

（2）当0c等于多少时,△A3。岭△£）（",请说明理由；

（3）在点。的运动过程中,△AOE的形状也在改变,判断当NBA。等于多少时,△4OE是等腰三角形.

12.（2022•重庆江北•八年级期末）如图,在平面直角坐标系中，已知4（a,0）、B（O,b）分别在坐标轴的正半轴

上.

（1）如图1,若。、。满足（a-4）2+75=^=0,以B为直角顶点,AB为直角边在第一象限内作等腰直角△

4BC,则点C的坐标是（）；

（2）如图2,若a=b,点。是04的延长线上一点，以。为直角顶点,BD为直角边在第一象限作等腰直角A

BOE,连接4E,求证：/.ABD=UE。；

(3)如图3,设AB=c,乙48。的平分线过点D(2,-2),直接写出a—b+c的值.

13.(2021・湖北碱宁市第三初级中学八年级期中)如图,在等腰RM4BC中/力BC=90。,点/、B分别在x

(1)如图①，若点。的横坐标为5,求点B的坐标；

(2)如图②，若久轴恰好平分434。,8(?交工轴于点M,过点C作CD_Lx轴于点。，求名的值；

AM

(3)如图③，若点4的坐标为(-4,0),点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、为边在第一、第二象限中

作等腰Rt△08F,等腰Rt△ABE,连接EF交y轴于点P,当点B在y轴上移动时,PB的长度是否发生改变？若不

变求PB的值；若变化，求PB的取值范围.

14.(2022•江西・丰城九中七年级期末)综合与探究：在平面直角坐标系中，已知A(0,a),B(40)且。力满

足Ca-3)2+\a-2b-1|=0

(1)求A,8两点的坐标

(2)已知aABC中AB=CB,N48c=90。,求C点的坐标

(3)已知。，试探究在x轴上是否存在点P,使△ABP是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写

出点P的坐标；若不存在,请说明理由.

15.(2022・全国•八年级课时练习)如图，在△ABC中,AB=AC=2,N8=/C=40。,点D在线段8c上运动

(点。不与点B、C重合)，连接A£>,作/AZ)E=40o,OE交线段AC于点E.

(1)当/BD4=105。时,NEDC=。，/DEC=°；点。从点B向点C运动时，/BD4逐渐

变.(填"大''或"小")

(2)当0c等于多少时,△ABOwAuDCE?请说明理由.

(3)在点。的运动过程中,AAOE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出NBD4的度数；若不

可以,请说明理由.

16.(2021.北京•北师大实验中学九年级开学考试)在正方形力BCD中，点E在射线CB上(不与点B,C重合)，

连接DB,DE,过点E作EF1DE,并截取EF=DE(点D下在BC同侧)，连接BF.

(1)如图1,点E在8c边上.

①依题意补全图1;

②用等式表示线段BD,BE,BF之间的数量关系，并证明；

(2)如图2,点E在CB边的延长线上，其他条件均不变,直接写出线段之间的数量关系.

17.(2022•全国•八年级课时练习)在综合实践课上，李老师以“含30。的三角板和等腰三角形纸片”为模具与

同学们开展数学活动.已知,在等腰△ABC纸片中，&4=CB=5/ACB=120。,将一块含30。角的足够大的直

角三角尺PMN(ZM=90°XMPN=30°)按如图所示放置，顶点P在线段B4上滑动(点P不与4,8重合)，三

角尺的直角边PM始终经过点C,并与CB的夹角“CB=a,斜边PN交4c于点C.

(1)当NBPC=100°时,a=°；

(2)当4P等于何值时，△力PD三ABCP?请说明理由；

(3)在点P的滑动过程中，存在△PCD是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角a的大小；若不存在，请说明理

由.

M

18.(2021・河南・舞阳县教研室八年级期中)如图，等腰直角AABC中,BC=4C,NACB=90。,现将该三角形放

置在平面直角坐标系中，点8坐标为(0,2)，点C坐标为(6,0).

(1)过点A作AO_Lx轴，求。。的长及点A的坐标；

(2)连接OA,若P为坐标平面内不同于点A的点，且以0、P、C为顶点的三角形与△OAC全等，请直接写

出满足条件的点P的坐标；

(3)已知。4=10,试探究在x轴上是否存在点Q,使△OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点

。的坐标；若不存在,请说明理由.

19.(2021•山东•肥城市汶阳镇初级中学七年级阶段练习)已知：C。是经过NBC4的顶点C的一条直

线,C4=C8.E、F是直线CD上两点/BEC=4CR4=Na.

(1)若直线CD经过NBC4的内部/BCO＞乙ACD.

①如图1/BC4=90。,4a=90。,直接写出BE,EF,4F间的等量关系：.

②如图2/a与ZBCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出4a与NBC4的数量关系，并对结论

进行证明;

（2）如图3,若直线CD经过/BC4的外部,"=NBC4①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立,

写出新结论并进行证明.

20.（2022・全国•八年级课时练习）（1）如图（1）在AABC中,N8AC=9（TAB=AC,直线小经过点A,8£>_L

直线皿CE,直线见垂足分别为点。、E.求证：DE=BD+CE；

（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在AABC中力B=AC,。、A、E三点都在直线机上,并且有/BD4=

NAEC=N54C=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论力E=B£>+CE是否成立？如成立，请给出证明；若

不成立，请说明理由.

图⑴图⑵

经典例题

__________________/

【例1】.（2022•全国•八年级课时练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本

图形.如图1,己知：在AABC中/84。=90。/8=",直线/经过点48。_1直线/£51直线/,垂足分别为

点、D,E.求证：DE=BD+CE.

（2）组员小明想,如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2,将（1）中的条件改为：在△ABC

中,48=4CQAE三点都在直线/上,并且有NBZM=^AEC=4BAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结

论DE=BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立,请说明理由.

（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3,过△ABC的边AB,AC

向外作正方形ABDE和正方形ACFG4H是8c边上的高.延长HA交EG于点/.若又越。=7,则

SA4£/=-----

【答案】（I）见解析；（2）结论成立,理由见解析；（3）3.5

（分析】（1）由条件可证明△A8O丝△CAE,可得D4=CE4E=B£）,可得DE=BD+CE；

（2）由条件可知/BAD+NC4E=180°-a,且/。BA+NBAO=180°-a,可得NDBA=/CAE,结合条件可证明^

AB£）丝△C4E,同（1）可得出结论；

（3）由条件可知EM=AH=GN,可得EM=GN,结合条件可证明△EM/gaGM,可得出结论/是EG的中点.

【详解】解：（1）证明：如图1中,直线/,CEL直线/,

，/8Q4=/CEA=90°,

TZBAC=90°,

：.ZBAD+ZCAE=90°,

VZBAD+ZABD=90°,

：.ZCAE=ZABD,

在和△CEA中，

Z.ABD=4CAE

Z.BDA=4CEA,

,AB=AC

•••△AOB丝ZXCEA(A4S),

:・AE=BD,AD二CE,

：.DE=AE+AD=BD+CE.

(2)解：成立.

理由：如图2中，

,?ZBDA=ZBAC=a,

：.ZDBA+ZBAD=ZBAD-^ZCAE=\80°-a,

:・/DBA=/CAE,

在△AD8和△CEA中，

NBDA=Z.AEC

/.DBA=Z-CAE,

AB=AC

：./\ADB^/\CEA(A45),

:.AE=BD,AD=CE,

：.DE=AE+AD=BD+CE.

(3)如图3,过E1作EM_LH/T-M,GN_L”/的延长线于N.

图3

工NEM仁/GNI=90。

由(1)和(2)的结论可知EM=AH=GN

：.EM=GN

在〃和△GN/中，

NG1N=㈤M

EM=GN,

ZGN/=乙EM1

：・4EMl迫丛GNI(A4S),

:.EI=GL

，/是EG的中点.

.'.SAAEI=^SAAEG=3.5.

故答案为：3.5.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握

全等三角形的判定与性质是解题的关键.

【例2】.(2022.全国•八年级专题练习)在直线m上依次取互不重合的三个点D,4,E,在直线m上方有ZB=

AC,且满足NBZM=4AEC=/.BAC=a.

⑴如图1,当a=90。时，猜想线段DE,BD,CE之间的数量关系是:

(2汝口图2,当0<a<180。时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理

由；

(3)应用：如图3,在△4BC中/BAC是钝角,AB=AC,^BAD<4cAE/BDA=Z.AEC=ZBAC,直线m与CB的

延长线交于点F,若BC=3FBAABC的面积是12,求^FBD与A4CE的面积之和.

【答案】(DDE=BD+CE

⑵DE=B£>+CE仍然成立,理由见解析

与△ACE的面积之和为4

【分析】(1)由/Ba4=NBAC=/AEC=90°得到/8AQ+NEAC=/BAQ+/Q8A=90°,进而得至ij

NDBA=NEAC,然后结合AB=AC得证△DBA@△E4C,最后得到DE=BD+CE；

(2)由NB力A=NBAC=N4EC=a得到N8A。+NEt4C=N84。+N3a4=180°-a,进而得到

ZEAC,然后结合A8=AC得证△OBA❷△"(?,最后得到/)E=8D+CE；

(3)由NBAO>/CAE,ZBDA=ZAEC=ZBAC,得出NCAE=NA8C,由A4S证得△AD8丝Z\CAE,得出

S^ABD=S^CEA,再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比,得出S/XAB尸即可得出结果.

(1)

解：£>E=8D+C£,理由如下，

TZBDA=ZBAC=ZAEC=90°,

：.ZBAD+ZEAC=ZBAD+ZDBA=90°,

；・NDBA=NEAC,

•：AB=ACf

：./\DBA^AEAC(AAS),

：.AD=CE,BD=AE,

：.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案为：DE=BD+CE.

(2)

OE=8D+CE仍然成立,理由如下，

•/ZBDA=ZBAC=ZAEC=a,

AZBAD+ZEAC=ZBAD+ZZ)BA=180°-a,

；・NDBA=NEAC,

t

：AB=AC1

AADBA^AEAC(AAS),

：.BD=AE)AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)

解：•：NBADCNCAE,NBDA=/AEC=NBAC,

：.ZCAE=ZABDf

在△ABD和△CAE中，

乙480=/.CAE

Z-BDA=Z.CEA,

.AB=AC

.••△ABO四△CAE(AAS),

：.S/\ABD=S/\CAEt

设△ABC的底边BC上的高为h,则4ABF的底边B尸上的高为h,

；

.S/\ABC=d2BC,h=T22,SAABF口BF,h,

■:BC=3BF,

：.S/\ABF=4t

♦"△ABF=SLBDF+S4ABD=SdFBD+SLACE=4,

二△FBD与△ACE的面积之和为4.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质,三角形的面积，解题的关键是熟练掌握

全等三角形的判定与性质.

【例3】.(2022•浙江绍兴•模拟预测)如图,AABC中=30。,且点E为边BC的中点.将

△DEF绕点E旋转,在旋转过程中，射线CE与线段4B相交于点P,射线EF与射线C4相交于点Q,连结PQ.

图1备用图

⑴如图1,当点Q在线段C4上时，

①求证：bBPEs^CEQ；

②线段BE,BP,CQ之间存在怎样的数量关系？请说明理由；

(2)当△4PQ为等腰三角形时，求黑的值.

Hr

【答案】⑴①见解析，②Bf-BPCQ

(2)1或3

【分析】⑴①推导角度关系可得/C£Q=/8PE,结合/B=/C即可得出结论；②由①中相似可得器=署,

结合8E=CE即可得出结论；

(2)Q点可能在线段CA上或者线段CA的延长线上，分两种情况讨论，结合(1)中的相似三角形即可得出

结果.

(1)

解：@VZDEF=30°,ZB=30°,

・・・ZBED+ZCEQ=150°,ZBED+ZBPE=150°

・•・NCEQ=NBPE,

/B=/C,

：./\BPE^ACEQ；

②理由如下：

.：ABPESACEQ

.££BP

**CQ=CE

：.BECE=BPCQ

•.•点E为边8C的中点，

；・BE=CE,

:・BE7=BPCQ；

(2)

解：①当点。在线段AC上时，

<//4=180。-/8-/。=120。,为钝角，

：./\APQ为等腰三角形时有AP=AQ,

V/B=NC,

:・AB=AC,

:・BP=CQ,

VZBAC=120°,

当△APQ为等腰三角形时，有△AP。为等边三角形

设A8=AC=2〃厕BC=2取，

BE二CE二6a,

设AQ=AP=x,

贝I」CQ=2a+x,BP=2a-x,

由(1)得：B氏BPCQ

，(V^〃)2=(2n+x)(2〃-x),

解得：x=a,

:.BP=a,CQ=3ay

•丝3

BP—

综上靠的值为1或3.

Dr

【点晴】本题考查三角形相似综合问题，熟练掌握一线三等角的相似三角形模型是解题关键.

培优训练

X,_________________________________✓

一、解答题

1.(2022・全国•八年级课时练习)在4ABC中，乙4cB=90。,4c=BC,直线MN经过点C,且4。1MN于

D,BE1MN于E.

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时.

①请说明AADC三△CEB的理由；

②请说明DE=4D+BE的理由；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,DE、AD.BE具有怎样的等量关系?请写出等量关系，并予以证

明.

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,DE、AD.BE具有怎样的等量关系?请直接在横线上写出这个等

量关系：.

【答案】(1)①理由见解析；②理由见解析

(2)DE=AD-BE,证明见解析

(3)DE=BE—AD

【分析】本题“一线三垂直”模型即可证明全等，根据全等三角形的性质即可分别在三个图形中证明

AD.EB、0E之间的关系.

(1)

解：①_LMN于。J.MN于瓦

：.Z.ADC=乙BEC=90°,

9：Z.ACB=90°,

J.Z.ACD+乙BCE=90°,

Z.ACD+Z.DAC=90°,

C.Z-DAC=乙BCE,

在△4OC和ACEB中

Z-ADC=乙BEC

Z.DAC=乙BCE,

.AC=BC

△ADC=△CEB,

@9：^ADC=△CEB,

：.AD=EC,CD=BE,

\9DC+CE=DE,

•MO+E8=DE,

(2)

结论：DE=AD—BE,

♦：BE1EC,AD1CE,

：.Z.ADC=乙BEC=90°,

+NBCE=90。，

*：Z-ACB=90°,

：.Z.ACEZ.BCE=90。，

C.Z.ACD=乙EBC,

△ADC=△CEB,

：.AD=EC,CD=BE,

：.DE=EC-CD=AD-EBy

⑶

结论：OE=BE-AD,

\'£.ACB=90°,

."AC。+Z_BCE=90。，

'：BE1MN,AD1MN,

J./.ADC=乙DEC=90°,

J.^ACD+Z.DAC=90°,

：.Z.DAC=乙BCE,

在△40。和4CEB中

Z.ADC=ABEC

"AC=乙BCE

AC=BC

△ADC=△CEB,

：.AD=EC,CD=BE,

：.DE=CD-EC=EB-AD.

【点睛】本题考查全等三角形的判断和性质，灵活运用“一线三垂直”模型是解题的关键.

2.（2022・江苏•八年级课时练习）（1）如图1,在△ABC中,N8AC=9（）O48=AC,直线机经过点A,8Z）_L直线

加右后,直线想垂足分别为点。、E.求证：△ABQZZXC4E；

（2）如图2,将（1）中的条件改为：在AABC中48=AC,D、A、E三点都在直线机上,并且有N8D4=N

AEC=NBAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论△ABD丝△C4E是否成立？如成立，请给出证明；若

不成立，请说明理由.

（3）拓展应用：如图3,Q,E是DA,E三点所在直线机上的两动点（Z）,A,E三点互不重合），点尸为N8AC平

分线上的一点，且△4BF和△4CF均为等边三角形，连接BZ）,CE,若N8D4=NAEC=NBAC,求证：△OEF是

等边三角形.

【答案】（1）见详解；（2）成立,理由见详解；（3）见详解

【分析】（1）根据BDJ_直线m,CE_L直线m得NBZM=/.CEA=90°,而MAC=90°,根据等角的余角相等得

Z.CAE=4ABD,然后根据“AAS”可判断AADB=ACEA；

(2)利用NBZM=Z.BAC=a,贝ij4DBA+匕BAD=乙BAD+乙CAE=180°-a,得出iCAE=44BD,然后问

题可求证；

(3)由题意易得8尸=4尸=48=4。,448/=484尸=4凡4。=60。,由(1)(2)易证A4D8三ACE?!,则

有AE=BD,然后可得ZFBD=乙凡4E,进而可证ADBF=AEAF,最后问题可得证.

【详解】(1)证明：・.・BD1直线线m,

・•・Z.BDA=ACEA=90°,

vZ-BAC=90°,

・•・乙BAD+Z.CAE=90°,

•・•乙BAD4-乙ABD=90°,

・•・4CAE=乙4BD,

・・•在A4DB和中，

/-ABD=Z.CAE

Z.BDA=Z.CEA,

AB=AC

・•・LADB=ACEA(44S)；

解：(2)成立，理由如下：

vZ.BDA=Z.BAC=a,

・•・乙DBA+乙BAD=乙BAD+Z.CAE=180°-a,

:.Z.CAE=Z.ABD,

•・•在A/OB和ACEA中，

Z.ABD=Z.CAE

Z-BDA=Z.CEA,

AB=AC

・•・AADB=AC£4(44S)；

(3)证明：:△AB/和△人7尸均为等边三角形，

：.BF=AF=AB=AC.Z.ABF=乙BAF=/.FAC=60°,

・•・ZBDA=NAEC=ZBAC=120°,

：.^DBA+Z.BAD=乙BAD+Z.CAE=180°-120°,

：.^CAE=乙ABD,

：.^ADB=AC£71(44S),

：.AE=BD,

■:乙FBD=LFBA+乙ABD,Z.FAE=/.FAC+/.CAE,

."FBD=^FAE,

:.XDBF=LEAF（SAS）,

：.FD=FE/BFD=/.AFE,

：.Z.BFA=乙BFD+^DFA=Z.AFE+^DFA=乙DFE=60°,

...△QFE是等边三角形.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定与

性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键.

3.（2022・全国•九年级专题练习）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：

如图1/BAD=乙ACB=LAED=90。,由41+42+/.BAD=180°,Z2+ND+LAED=180。,可得41=

乙D；又因为4cB=/.AED=90。,可得△ABC^△ZME,进而得到第=.我们把这个模型称为“一线三

等角”模型.

应用：（2）实战组受此模型的启发,将三等角变为非直角，如图2,在中SB=4C=10,BC=12,点P是

8c边上的一个动点（不与3、C重合），点。是AC边上的一个动点，且乙4PD=/B.

①求证：AABPS^PCD；

②当点P为BC中点时，求CD的长；

拓展：（3）在（2）的条件下如图2,当△4PD为等腰三角形时，请直接写出8P的长.

【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；

（2）①根据等腰三角形的性质得到N3=NC根据三角形的外角性质得到N3AP=NCP£）,即可求证；

②根据相似三角形的性质计算，即可求解；

（3）分以=PQ、AP=AD,D4=OP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解.

【详解】感知：(1),：4ABCS&DAE,

.BC_AC

**AE~DE"

.BC_AE

AC~OE'

故答案为：鲁

DE

应用：(2)①•：NAPC=/B+NBAP,NAPC=NAPD+/CPD,NAPD=NB,

：.ZBAP=ZCPD,

TAB=AC,

:・/B=/C,

：.AABPsAPCD：

②3012,点P为8C中点，

：.BP=PC=6,

VAABPs4PCD,

.ABBP106

•.而=而n，n即T=而，

解得：CD=3.6；

拓展：(3)当雨二PQ时,△ABPg/\PCD

・・・PC=AB=\O,

：.BP=BC-PC=12-\O=2；

当AP=AQ时,NA。尸二NAPO,

VNAPD=NB=NC,

:.NAQP=NC,不合题意，

：.AP^AD；

当DA=DP时,NOAP=NAP。=NB,

vzc=zc,

:•△BCb-XkCP,

.BCAC1210

••就=市n即nG=徜

解得：CP=y,

：2511

.BP=BC-CP=12--3=—3

综上所述，当△APD为等腰三角形时,的长为2或弓.

【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形

的外角性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

4.（2022・山东烟台•七年级期末）问题背景:（1）如图①，已知AABC中/8"=90。,48=力（?,直线〃1经过

点A,BD_L直线m,CE，直线〃?,垂足分别为点O,E,易证：DE=+.

（2）拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在△4BC中=4C,O4,E三点都在直线〃?上,并且有

4BDA=/.AEC=N84C,请求出OE,B£>,CE三条线段的数量关系，并证明.

（3）实际应用：如图③，在AACB中/4CB=90。,4c=BC,点C的坐标为（一2,0）,点A的坐标为（一6,3）,请直

接写出8点的坐标.

【答案】3）BD；CE；证明见详解；（2）O£=8D+CE；证明见详解；（3）点8的坐标为B（l,4）.

【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得到ZE=8D./W=CE,结合图形解答即可；

（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明NABD=NC4E,证明△48。三△CAE,根据全等三角形的性质

得到4E=BD.AD=CE,结合图形解答即可；

（3）根据△AECdCFB,得至IJCF=AE=3,BF=CE=OE-OC=4,根据坐标与图形性质解答即可.

【详解】（1）证明：VBD1m9CE1m9

：./LADB=Z.CEA=90°,

VzFXC=90。，

+4（L4E=90。，

\'Z.BAD+Z.ABD=90°,

J.^CAE=/.ABD.

在△ADB和△CE4中

Z-ABD=/.CAE

Z.ADB=Z-CEA,

.AB=CA

・・△ADB=△CEA,

：.AE=BD.AD=CE,

：.DE=AE^AD=BD+CE,

即：DE=BD+CE,

故答案为：BD；CE；

(2)解：数量关系：DE=BD+CE,

证明：在△48。中=180°-/.ADB-/.BAD,

"：/-CAE=1800-ABAC-KBAD/BDA=乙AEC,

二.4ABD=/.CAE,

在△48。和4C4E中，

<Z.BDA=ZAEC

(AB^CA

：.^ABDCAE,

：.AE=BD,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)解：如图，作AE_Lx轴于瓦BF_Lx轴于F,

由（1）可知，△力EC三△CFB,

：.CF=AE=3,BF=CE=OE-OC=4,

：.OF=CF-OC=1,

.,.点8的坐标为8（1,4）.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理

是解题的关键.

5.（2021•浙江•义乌市绣湖中学教育集团八年级阶段练习）（1）模型建立，如图1,等腰直角三角形ABC中,/

ACB=9（r,CB=C4,直线ED经过点C,过A作ADVED于。，过B作BELED于E.求证：

CDA；

(2)模型应用：

①已知直线y=|x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点,将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC,过

点A,C作直线，求直线AC的解析式；

②如图3,矩形A8CO,。为坐标原点,B的坐标为(8,6),A,C分别在坐标轴上/是线段BC上动点，已知点。在第

一象限，且是直线y=2x-5上的一点，若△APO是不以A为直角顶点的等腰直角三角形,请直接写出所有符合

条件的点。的坐标.

【答案】⑴见解析；(2)y=—1+3；⑶(3,1)或(9,13)或《，争

【分析】(1)由条件可求得/EBC=L4CC,利用44s可证明ABEC三ACZM；

(2)由直线解析式可求得4、8的坐标，利用模型结论可得CE=80£E=A。,从而可求得C点坐标，利用待定

系数法可求得直线4c的解析式；

(3)分两种情况考虑：如图2所示，当乙4np=90。时/。=PD,设。点坐标为(x,2x—5),利用三角形全等

得到11-2x+x=8,易得D点坐标；如图3所示，当乙4P。=90。时,AP=PD,设点P的坐标为(8,m),表示

出。点坐标为(14-m,m+8),列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出。点坐标；如图4所示，当

^ADP=90。时4D=PD时，同理求出D的坐标.

【详解】解：(1)由题意可得，乙4cB=Z.ADC=乙BEC=90。，

：.Z.EBC+乙BCE=乙BCE+Z.ACD=90°,

"EBC=乙4c0,

在△BEC和△GM中

乙EBC=UCD

乙E=乙D

BC=AC

•・•△BEC三△C7X4(44S)；

(2)过点C作CD1%轴于点。，如图2,

在'=+3中，令y=0可求得x=—4,令x=0可求得y=3,

・♦・0A=3,OB=4

同(1)可证得△CDB=△BOA.

：.CD=BO=4,BD=AO=3.

・・・0。=4+3=7,

."(一7,4)且4(0,3),

设直线AC解析式为y=kx+3,把C点坐标代入可得-7k+3=4,解得k=一］,

直线AC解析式为y=-;％+3；

过点。作DE1。4于E,过点。作DF1BC于F,

同理可得：AAED三△DFP

设。点坐标为(x,2x-5),则AE=DF=6-(2x-5)=ll-2x,

■:DE+DF=EF=BC,即11-2x+x=8,解得x=3,

可得。点坐标(3,1)；

如图3,当乙4P。=90。时,4P=PD,

过点P作PE1。4于E,过点D作。F1PE于尸，

设点P的坐标为(8,m),同理可得：4APE三APDF,

：.PF=AE=6—m,DF=PE=8,

二。点坐标为(14-m,m+8),

m+8=2(14—m)—5,得m=5,

点坐标(9,13);

如图4,当乙4DP=90。时,4。=PD时，同理可得△ADE三4DPF,

设。(n,2n-5),则DE=PF=nQE=2n-5,AE=DF

则DF=AE=2n-5-6=2n-ll,

'：DE+DF=EF=0C=8

An4-2n-11=8,解得n=y,2n—5=y

••.D点坐标百，y),

图4

综上可知满足条件的点。的坐标分别为（3,1）或（9,13）或（g，y）.

【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性

质、分类讨论及数形结合的思想，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解.

6.（2022•江苏•八年级专题练习）（1）课本习题回放："如图①/4CB=90。,4c=8C,401CE,BE1CE,垂

足分别为=2.5cm，DE=1.7cm.求BE的长”，请直接写出此题答案：BE的长为.

（2）探索证明：如图②，点B,C在NM4V的边AM、AN上,48=AC,点E,F在4MAN内部的射线4D上，且

上BED=£CFD=LBAC.求证：2L4BE三ACAF.

（3）拓展应用：如图③，在A4BC中,48=AC.AB>BC.点。在边BC上,C。=2BD,点E、F在线段4。

=Z.CFD=^BAC.若A4BC的面积为15,则A4CF与A8DE的面积之和为.（直接填写结

果,不需要写解答过程）

【答案】（1）0.8cw;（2）见解析（3）5

【分析】（1）利用A4S定理证明△CE8丝△ADC,根据全等三角形的性质解答即可;

（2）由条件可得/8EA=ZAFC,Z4-NABE,根据A4S可证明△ABEgaCAF；

(3)先证明得到2L4CF与A8DE的面积之和为△43。的面机再根据CO=280故可求解.

【详解】解：(])-BELCEADLCE,

・,.NE=NAQC=90。，

AZ£BC+ZBCE=90o.

VZBCE+NACO=90。，

:・/EBC=/DCA.

Z-E=Z-ADC

在△CEB和△ADC中,{NE8C=匕DCA

BC=AC

：./\CEB^/\ADCCAAS),

：.BE=DC,CE=AD=2.5cm.

•・・DC=CE-DE,DE=1.7cm,

：.DC=2.5-\J=0.Scm,

:.BE=0.Scm

故答案为：0.8C7ZZ;

(2)证明：VZ1=Z2,

：.ZBEA=ZAFC.

VZ1=NABE+Z3,Z3+Z4=ABAC.Z1=ZBAC,

：,ZBAC=ZABE+Z3,

：.Z4=ZABE.

♦：NAEB=ZAFC,ZABE=N443=AC,

A/\ABE^/\CAF(A4S).

(3)VzBFD=Z.CFD=LBAC

:.ZABE+ZBAE=ZFAC+ZBAE=ZFAC+ZACF

：.ZABE^ZCAF,ZBAE^ZACF

又4B=AC

.,.AABE^ACAF,

S“BE-ShCAF

与ABDE的面积之和等于A4BE与ABDE的面积之和，即为△AB。的面积,

,:CD=2BD,Z\A8O与△AC。的高相同

则SAAB。=

故A4CF与ABDE的面积之和为5

故答案为：5.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定

理是解题的关键.

7.(2022・全国•八年级课时练习)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

(1)如图l,/8A力=90。,AB=A£),过点B作BC，AC于点C,过点。作。E_LAC于点E.由N1+/2=N2+

/。=90。,得/1=/D又NACB=/AEZ)=90。,可以推理得到△ABC丝△D4E.进而得到AC=,BC

=AE.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；

(2)如图2,NBAD=NCAE=9()o,4B=A£),AC=4E,连接8CQE,且BC_LAF于点FQE与直线A尸交于点

G.求证：点G是。£的中点；

(深入探究)

(3)如图，已知四边形48CC和OEGF为正方形,449的面积为S/,Z\Z)CE的面积为$2厕有S,S2

（填“＞、=、＜”）

【答案】（1）DE；（2）见解析；（3）=

【分析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解：

（2）分别过点D和点E作ZWLFG于点H,EQLFG