2023届新疆生产建设兵团第七师中学全国卷Ⅱ数学试题高考模拟题

2023届新疆生产建设兵团第七师中学全国卷II数学试题高考模拟题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数二满足z-iz=2+i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.以下关于/（幻=5山2犬-（：0$2%的命题，正确的是

.函数/（x）在区间（0,手］上单调递增

A

B.直线x需是函数y=图象的一条对称轴

O

C.点?,0是函数y=/（x）图象的一个对称中心

D.将函数y=/（x）图象向左平移需J个单位，可得到y=0sin2x的图象

O

3.已知集合4={#2—3x-10<。},集合8={41<》<6},则AB等于（）

A.1x|-l<x<5|B.|x|-l<x<5|

C.1x|-2<x<6|D.{M-2cx<5}

4.已知等差数列{〃〃}中，%+4=8贝！|。3+%+。5+。6+%=（）

A.10B.16C.20D.24

5.已知正项数列{4},也〃}满足：\r_〃"，设qi=/，当。3+。4最小时，生的值为（）

14〜

A.2B.—C.3D.4

6.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中.“〃阶幻方（〃23,〃€^）”是由前〃2个正整数组

成的一个〃阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的〃个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如

图所示）.则“5阶幻方”的幻和为（）

A.75B.65C.55D.45

7.直线1过抛物线y2=4x的焦点且与抛物线交于A,B两点，则41A/|+|瓦q的最小值是

A.10B.9C.8D.7

8.公差不为零的等差数列｛斯｝中，“1+02+05=13,且01、。2、。5成等比数列，则数列｛砺｝的公差等于（）

A.1B.2C.3D.4

9.已知双曲线£-y2=i的一条渐近线方程是）,=立了，则双曲线的离心率为（）

a~3

A.3B.旦C.3D.正

3323

10.已知AB=（2,-1）,=若cosN8AC=X^,则实数2的值是（）

10

A.C.1D.1或7

11.下列不等式成立的是（）

11

sinl>coslB,1,1

C.log,-<log,-

2253§2

12.设xeR,则“炉<27”是“|%|<3"的（）

充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到

湖北A、3两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有种选

派方法.

14.已知矩形ABCD,AB=4,BC=3,以A,B为焦点，且过C,D两点的双曲线的离心率为.

15.已知平面向量“、8的夹角为葛，且卜+。|=1,贝+2〃/的最大值是.

16.已知定义在R的函数f（x）满足/（》）-/（—）=0,且当x＞（）时，xf'（x）＜0,则f[k）g3（X—1）]＜/⑴的解集为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=2sin?x+2Gsinxcosx-l,xeR.

(1)求/(x)的单调递增区间；

A

(2)△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若/'($)=1且4为锐角，a=3,sinC=2sinB,求△ABC的面积.

18.(12分)某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了2()人的分数.以下茎叶图记录了他们的考

试分数(以十位数字为茎，个位数字为叶)：

6?5

7863331

89RR77633

9R665

若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”.

(1)从这20人中任取3人，求恰有1人成绩“优秀”的概率；

(2)根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图解决下面的问题.

频率

组别分组频数频率

组距

1[60,70)

2[70,80)

3[80,90)

4[90,100]

O.OS―力一一、

-------wv*--------1-------1-------1-------1---------►5HBt

060708090100

①估计所有员工的平均分数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

②若从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望.

19.(12分)已知函数/(x)=|x+a|+|x-l].

(1)当a=2时，求不等式/(x)2x+8的解集;

(2)若关于x的不等式/(x)w|x-5|的解集包含[0,2],求实数"的取值范围.

20.(12分)如图，在四棱锥P—ABCO中，。是边长为4的正方形ABCD的中心，PO,平面ABC。，E为8C的

中点.

(I)求证：平面PAC_L平面PBD；

(II)若PE=3,求二面角。一庄―3的余弦值.

22

21.(12分)已知椭圆C：三+m=1("＞人＞0)的两个焦点是不F2,M(女,1)在椭圆C上，且|M耳I+M闾=4,

0为坐标原点，直线/与直线OM平行，且与椭圆交于A,B两点.连接M4、MB与x轴交于点。，E.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求证：|O°+O目为定值.

22.(10分)设函数/(x)=tzx—(a+l)ln(x+l).

(1)4=1时，求的单调区间；

(2)当a＞0时，设/(x)的最小值为g(a),若g(a)〈。恒成立，求实数f的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

由复数的除法运算可整理得到Z,由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限.

【详解】

2+z(2+z)(l+z)l+3z13.

由ZT=2+7得:Z—==5+A

]_3

；.Z对应的点的坐标为,位于第一象限.

2,2

故选：A-

【点睛】

本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.

2、D

【解析】

利用辅助角公式化简函数得到/«^sin(2x^),再逐项判断正误得到答案.

【详解】

A选项，0,J-fe(--函数先增后减，错误

I3J4412

B选项，x=g=2x-f=0不是函数对称轴，错误

84

C选项，x=£n2x-£=£,不是对称中心，错误

444

D选项，图象向左平移需三个单位得到y=0sin(2(x+工)—代)=0sin2x,正确

884

故答案选D

【点睛】

本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三

角函数是解题的关键.

3,B

【解析】

求出A中不等式的解集确定出集合A,之后求得

【详解】

由A={x.-3x-10<o1=|JV|(X+2)(X-5)<0j={*卜2<%<5},

所以ACJB={H-14X<5},

故选：B.

【点睛】

该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目.

4、C

【解析】

根据等差数列性质得到4+4=8=24，再计算得到答案.

【详解】

已知等差数列{。“}中，%+&=8=2a$=>%=4

G+07=5a5=20

故答案选C

【点睛】

本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.

5、B

【解析】

n9

a,=a+l0b-5±L=1+----,9,9

由，丁，得％%上1，即%M=1+―，所以得q+C4=，3+l+—7,利用基本不等式求出最

五+1c“+lC3+I

小值，得到。3=2,再由递推公式求出C5.

【详解】

冬+10

4M=%+吸a_a„+10b_b„9

由，n+i------n-----------=--l--+--

bn+i=an+b„bn+lan+bn%十1"+1

b„

,9

即%=1+—；

%+1

,9,

C3+C4=C3+1+>6,当且仅当C3=2时取得最小值,

,9”,914

此时,4=1+----------；=4,c,=1+

C3+Ic4+l5•

故选：B

【点睛】

本题主要考查了数列中的最值问题，递推公式的应用，基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力.

6、B

【解析】

计算1+2++25的和，然后除以5,得到“5阶幻方”的幻和.

【详解】

1+25

依题意“5阶幻方”的幻和为1+2++25F-xc故选B.

55

【点睛】

本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前〃项和公式，属于基础题.

7、B

【解析】

根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得方+函=5=1；再由基本不等式可求得41A耳+忸月的最小值.

【详解】

由抛物线标准方程可知p=2

因为直线1过抛物线y2=4x的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知

------1------=—=1

\AF\\BF\p

所以可A目+忸目

=（4|M+|叫）［由+藤

因为忸月为线段长度，都大于o,由基本不等式可知

।4|阿4\AF

但1X

4+1+[“I两

>5+2x2

>9,此时忸目=2|AF|

所以选B

【点睛】

本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题.

8、B

【解析】

设数列的公差为.由4+%+%=13,4，4，%成等比数列，列关于《，”的方程组，即求公差d.

【详解】

设数列的公差为

at+a2+a5=13,；.3al+5d=13①.

成等比数列，+d1=q(q+4d)②，

解①②可得4=2.

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.

9、D

【解析】

222

双曲线的渐近线方程是y=±1x,所以'=立，即。=百的=1,c^a+b=4，即。=2,e=-=-^3,

aa3a3

故选D.

10、C

【解析】

根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得2的值.

【详解】

由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得

/nArABAC2-2VlO

cosZBAC=।————।=—~.=--------

n10

网AC|BN1+乃-

解得4=1.

故选：c.

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.

11、D

【解析】

根据指数函数、对数函数、幕函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.

【详解】

对于A，0<—<—,.-.sin-<cos-,A错误；

2422

,v11

对于3,>=在R上单调递减，.•.(g)3错误;

对于C,log,1=log23>l,log,1=log32<l,.-,log||>loglC错误:

3b§2耳3§2

对于"在上单调递增，

y=)RZ)正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幕函数的

单调性.

12、B

【解析】

先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可

【详解】

解不等式V<27可得x<3,

解绝对值不等式|x|<3可得-3<x<3,

由于｛x|-3<x<3｝为｛x|x<3｝的子集，

据此可知“V<27”是"Ix|<3"的必要不充分条件.

故选：B

【点睛】

本题考查了必要不充分条件的判定，考查了学生数学运算，逻辑推理能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、24

【解析】

先求出每地一名医生，3名护士的选派方法的种数，再减去甲乙两名护士到同一地的种数即可.

【详解】

解：每地一名医生，3名护士的选派方法的种数有C；C；=40,

若甲乙两名护士到同一地的种数有=16,

则甲乙两名护士不到同一地的种数有40-16=24.

故答案为：24.

【点睛】

本题考查利用间接法求排列组合问题，正难则反，是基础题.

14、2

【解析】

根据A8为焦点，得c=2；又-忸C|=2a求得“，从而得到离心率.

【详解】

A,8为焦点=>2c=4=>c=2

C在双曲线上，贝!）同。一忸C|=2a

又|AC|=四*叱=5=2a=2=a=l

：.e=-=2

a

本题正确结果：2

【点睛】

本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.

15、3+273

【解析】

建立平面直角坐标系，设NAOC=6,可得|OC|=1,进而可得出|0q=2sin。，|。4卜2豆11（葛-，）由此将

31+2。4转化为以。为自变量的三角函数，利用三角恒等变换思想以及正弦函数的有界性可得出结果-

【详解】

根据题意建立平面直角坐标系如图所示,设a=OA,〃=OB，以。4、OB为邻边作平行四边形OACB，则OC=a+人，

设ZAOC=6»,则NBOC=NACO=W—。，ZOAC=ZOBC=-,且

66

Hi

在AQ4C中，由正弦定理（5冗\~万

a=|a|-

则

3«2+2a-b=3x2sin(^—e-4V3sin^sin^-^--^=12sin2

1-cosj^^—2e]/r~\f1y/312广

-

ic(3)AA.c舱,AIA=6l——cos20+—sin20_6sin^-V3sin20

-12x---------------------4x/3sin6)——sinO+—cos。?2

222、)

\/

=6—3cos2e+36sin2e—6x^^^—6sin2e=3+2^sin29,

2

当sin20=l时，3a?+2a.人取最大值3+26.

故答案为：3+2g.

【点睛】

本题考查了向量的数量积最值的计算，将问题转化为角的三角函数的最值问题是解答的关键，考查计算能力，属于难

题.

16、

【解析】

由已知得出函数是偶函数，再得出函数的单调性，得出所解不等式的等价的不等式|log3（X-l）|>l，可得解集.

【详解】

因为定义在R的函数〃x)满足f(x)~f(-x)=0,所以函数/(x)是偶函数，

又当x〉0时，W)<0,得x>0时，/'(x)<0,所以函数/(x)在(0,+8)上单调递减，

所以函数f(x)在(0,+8)上单调递减，函数.f(x)在(y,0)上单调递增，

所以不等式/[log3(x-l)]</(I)等价于|log3(x-l)|>l,即log3(x-l)>l或log3(x-l)<-1,

解得l<x<g或x>4,所以不等式的解集为：(l,£|54,+oo).

故答案为:

【点睛】

本题考查抽象函数的不等式的求解，关键得出函数的奇偶性，单调性，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)[--+k7r,-+k7r]也wZ)(2)述

632

【解析】

(1)利用降次公式、辅助角公式化简“X)解析式，根据三角函数单调区间的求法，求得了(X)的单调递增区间.

(2)先由求得A，利用正弦定理得到c=»，结合余弦定理列方程，求得仇c,由此求得三角形ABC的

面积.

【详解】

(1)函数/(x)=2sin2x+2^/3sinxcosx-1,xeR,

/(x)=gsin2x-cos2x=2sin(2x-—),

6

由一2+2攵4<2x-兰<工+2攵%攵wZ,

262

rrrr

得---\-k7r<x<—+k/r,4wZ.

63

TTTT

所以/(X)的单调递增区间为[一一+&肛一+&万](keZ).

63

(2)因为/($=2sin(Aq)=l且A为锐角，所以A=2.

7F

由sinC=2sin6及正弦定理可得。=28，又。=3,A=一,

3

由余弦定理可得/=〃+。2-2^CCOSA=〃+。2-。C=302,

xx

解得。=6,c=25A，SABC=gbcsinA=gx62百=3f.

【点睛】

本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面

积公式，属于中档题.

83

18,(1)—；(2)①82,②分布列见解析，E(X)=g

【解析】

(1)从20人中任取3人共有C：。种结果，恰有1人成绩“优秀”共有C：G：种结果，利用古典概型的概率计算公式计算

即可；

(2)①平均数的估计值为各小矩形的组中值与其面积乘积的和；②要注意X服从的是二项分布，不是超几何分布，

利用二项分布的分布列及期望公式求解即可.

【详解】

(1)设从20人中任取3人恰有1人成绩“优秀”为事件A，

02oo

贝(IP(A)=-^=6,所以，恰有1人“优秀”的概率为6.

L^20JL71y

(2)

频率

组别分组频数频率

组距

1

1[60,70)20.01

10

3

2[70,80)60.03

10

2

3[80,90)80.04

?

]_

4[90,100]40.02

5

10101010

估计所有员工的平均分为82

41

②X的可能取值为0、1、2、3,随机选取1人是“优秀”的概率为P=£

二P(X=0)=

⑸125

P(X=3)=

.*•X的分布列为

X0123

6448121

P

125125125125

.♦.数学期望E(X)=3x；=|.

【点睛】

本题考查古典概型的概率计算以及二项分布期望的问题，涉及到频率分布直方图、平均数的估计值等知识，是一道容

易题.

19、(1)XG(-OO,-3][7,+OO)(2)-4<«<0

【解析】

(1)按X21,-2<x<l,x4-2进行分类，得到等价不等式组，分别解出解集，再取并集，得到答案；(2)将问题转

化为/(X)=k+。|+|xT|<上一5|在xG［0,2］时恒成立，按Xe［0,1］和X€(1,2］分类讨论，分别得到不等式恒成立

时对应的”的范围，再取交集，得到答案.

【详解】

解：(1)当。=2时，/(x)=k+2|+k-l|2x+8等价于

x>\[-2<x<1fx<-2

<或〈公或《，

2x+12x+832x+8—2X—1Nx+8

解得x27或或xW-3,

所以不等式的解集为：3][7,+8).

(2)依题意即/(x)=|x+4+|x—1区卜―5|在Xe［0,2］时恒成立,

当xw[0,l]时，|x+4+l—x<5—x,即|x+a|<4,

所以—a对xe［0,l］恒成立

-4-6Z<0

,得

l<4-a

当XE(1,2]时，|x+4+x-lW5-x,

即|x+dW6—2x,2x—6<x+a<6—2x

/6-a

xW------

所以《一3对任意xe(1,2]恒成立，

x<6+a

2a[a<0

3，得.Ka«0,

a>-4

2<6+a

综上，-4<a<0.

【点睛】

本题考查分类讨论解绝对值不等式，分类讨论研究不等式恒成立问题，属于中档题.

20、(I)详见解析；(II)一豆史.

29

【解析】

(I)由正方形的性质得出AC由POL平面ABC。得出AC_LPO,进而可推导出AC_L平面只外),再利

用面面垂直的判定定理可证得结论；

（II）取AB的中点连接OM、OE,以OM、OE、OP所在直线分别为x、>、z轴建立空间直角坐标系，

利用空间向量法能求出二面角D—PE—3的余弦值.

【详解】

（I）ABCD是正方形，ACYBD,

PO_L平面ABCD,ACu平面ABC。，；.P0J_4C

•：OP>BDu平面PBD,且。PcB£）=O,平面PBD,

又ACu平面PAC,平面Q4C_L平面P3D；

（II）取AB的中点M,连接QM、OE,

是正方形，易知OM、OE、。尸两两垂直，以点。为坐标原点，以OM、OE、OP所在直线分别为X、y、

z轴建立如图所示的空间直角坐标系。-型，

在RtAPOE中,OE=2,PE=3,=

二8（2,2,0）、。（一2,-2,0）、P（0,0,6）、£（0,2,0）,

设平面/汨E的一个法向量m=（%，x，zj,BE=（-2,0,0）,PE=（0,2-45）,

〃z,BE—0%）—0.—zI—、

由《，得〈r令y=j5,则玉=0,4=2,.,.加=（0,j5,2）.

[m-PE=0后=071V7

设平面POE的一个法向量〃=（々，为，22），DE=（2,4,0）,PE=（0,2,-V5）,

220,取为=不，得z?=2,&=-2右，得〃=（一2石，石,2）.

m-n3A/29

COS<"Z,n>="j—;~~r=-----------

WW29，

二面角。—PE—3为钝二面角，，二面角。—PE—B的余弦值为—上叵.

29

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

22

21、(1)—+^-=1(2)证明见解析

42

【解析】

(1)根据椭圆的定义可得。=2,将加代入椭圆方程，即可求得〃的值，求得椭圆方程；

(2)设直线AB的方程，代入椭圆方程，求得直线M4和MB的方程，求得。和E的横坐标，表示出|。。+。目，根

据韦达定理即可求证+OE\为定值.

【详解】

⑴因为周+网玛=4,由椭圆的定义得2a=4,a=2,

点在椭圆。上，代入椭圆方程，解得从=2,

22

所以。的方程为二+±=1;

42

(2)证明：设A&,y),B(9,%)，直线AB的斜率为弓，设直线/的方程为y=