函数的图象与性质（解析版）-2021年高考数学理函数与导数二轮突破提升

《2021年数学(理)函数与导数二轮突破提升》

专题01函数的图象与性质

【考情分析】1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等，主要考查求函

数的定义域、分段函数的函数值的求解或分段函数中参数的求解及函数图象的识别.难度属中等及以上2

此部分内容多以选择题、填空题形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命

题.

考点一函数的概念与表示

【重点热点】

1.复合函数的定义域

(1)若兀0的定义域为[加，ri\,则在犬g(x))中，m<g(x)<n,从中解得x的范围即为/(g(x))的定义域.

⑵若|g(x))的定义域为阿，n],则由机SxWw确定的g(x)的范围即为用0的定义域.

2.分段函数

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集.

例1(1)若函数/(X)=log2(x—1)+y2—X,则函数的定义域为()

A.(1,2]B.(2,4]C.[1,2)D.[2,4)

【答案】B

【解析】由f得1VE2,故式尤)的定义域为(1,2],由1条2,得2y4,故/闱的定义域为(2,4].

L%—1>0,乙s

(2x+l,x<0,

(2)设函数加尸“八贝IJ满足於)+加一122的x的取值范围是________.

⑷，x>0,

【答案】修+8)

2元+1,立0,

【解析】,・,函数兀」

⑷，x>0,

・••当xSO时，x—1<—1,fix)J[x—l)=2x+l+2(x—1)+1=4x>2,无解；

fx>O

当[f即0<%<1时，

[%—1<0,

fi.x)+fix-I)=4x+2(X-1)+1=4x+2x~1>2,得幺后1；

当x—1>0,即x>l时，兀x)+/(x—1)=4*+4厂>2,得x>l.

综上，x的取值范围是七，

【方法小结】⑴形如黄g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.

(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.

考点二函数的性质

【重点热点】

1.函数的奇偶性

(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：

八X)是偶函数=4—X)=式尤)=XIR)；

«r)是奇函数=八一劝=-fix).

(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数x奇函数是偶函数).

2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法.

3.函数图象的对称中心或对称轴

⑴若函数危)满足关系式加+x)=2b—加一x),则函数y=/(x)的图象关于点(a,b)对称.

(2)若函数次无)满足关系式艮a+x)=f(b—尤)，则函数y=/(x)的图象关于直线尤=对称.

考向1单调性与奇偶性

例2(2020•新高考全国I)若定义在R上的奇函数於)在(一oo,0)上单调递减，且负2)=0,则满足就xT巨0

的x的取值范围是()

A.[-1,1]U[3,+oo)B.[-3,-1]U[O,1]

C.[-1,O]U[1,+oo)D.[-1,0]U[1,3]

【答案】D

【解析】因为函数1x)为定义在R上的奇函数，

则共0)=0.

又兀0在(一8,0)上单调递减，且负2)=0,

画出函数兀0的大致图象如图(1)所示，

则函数/U—1)的大致图象如图(2)所示.

当烂0时，要满足状x—l)K),则兀CT)W0,

得一1W烂0.

当x>0时，要满足求x—1)沙,则危一1巨0,

得l<x<3.

故满足欢xT巨0的x的取值范围是[T,0]U[1,3].

考向2奇偶性与周期性

例3⑴定义在R上的奇函数於)满足小+|)=段),当xe(0,；时&)=log』(l—x),则式x)在区间(1,1

2

内是()

A.减函数且黄尤)>0B.减函数且黄尤)<0

C.增函数且式x)>0D.增函数且加)0

【答案】D

【解析】当xG(0,时，由於)=log1(1-X)可知，/(X)单调递增且又函数/(x)为奇函数，所以

2

在区间［W0)上函数也单调递增，且於)<0.由小+步段)知，函数的周期为|,所以在区间(1,号上，

函数单调递增且尤)<0.故选D.

(2)已知定义在R上的函数人x)满足：函数的图象关于点(1,0)对称，且尤K)时恒有五元+2)=次尤)，

当xe［0,1］时，fi,x)=ex~l,贝1］人2020)+4—2021)=.

【答案】1-e

【解析】因为函数y=Ax—1)的图象关于点(1,0)对称，所以y=A尤)的图象关于原点对称，

又定义域为R，所以函数y=/(x)是奇函数，

因为后0时恒有人尤+2)=兀0，

所以x>0时，氏0是周期为2的周期函数.

所以汽2020)+支一2021)=式0)—式2021)

=X0)-Xl)=(e°-l)-(e1-l)=l-e.

二级结论(1)若函数其无)为偶函数，且式a+x)=/(a—尤)，则2a是函数/(X)的一个周期.

(2)若函数/U)为奇函数，且八0+尤)=Xa—x),则4a是函数/(x)的一个周期.

(3)若函数处0满足八a+x)=/(a—尤)，且人方+无)=/(b—x),则2(6一°)是函数五功的一个周期.

考点三函数的图象

【重点热点】

1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对

称变换.

2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点.

考向1函数图象的识别

例4(1)(2020•衡水模拟)函数/U)=»ln|x|的图象可能是()

"y

AB

yfy

【答案】D

【解析】函数段)=x・ln|%|是奇函数，排除选项A,C；当时，y=一3对应点在x轴下方，排除B.

（2）已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是（）

y

^^4

1—e%e”一

A./U)—]+e『sinxB.人人）一砂十1■•sinx

1-e*e”一

c.府)一]+e『cos)D.於)—e-■•cosX

【答案】B

【解析】根据题意，由图象可得，该函数为偶函数，且在y轴右侧，先为正值，然后为负值.C,D选项

1—e"

中的函数均为奇函数，不符合题意；对于A选项,作）为偶函数，当xe（O,兀）时，sinx>0,百］。则A尤）<0,

QX—i

不符合题意；对于B选项，《x）为偶函数，当xG（0,兀）时，sinx>0,最不^>0,则/（彳）>0,符合题意.

考向2函数图象的变换及应用

例5（1）若函数y=/（x）的图象如图所示，则函数y=—/U+1）的图象大致为（）

A

【答案】c

【解析】要想由y=/（x）的图象得到y=Fx+l）的图象，需要先将y=/U）的图象关于x轴对称得到y=一

Kx）的图象，然后再向左平移一个单位长度得到y=-J（x+l）的图象，根据上述步骤可知C正确.

2%一］广0

（2）已知函数兀0=一2‘一’若不等式直划力以一2恒成立，则实数机的取值范围为（）

一一x—3x,x>0,

A.[3-2^2,3+2的B.[0,3-2^2]

C.(3-2^2,3+2^2)D.[0,3+2^2]

【答案】D

f-2x+l,烂0,

【解析】由函数的解析式易知人尤)或恒成立，则人x)|=2「I不等式应明沙吠一2恒成立，等价

[广十3元，x>0,

于函数y=|/(x)|的图象在函数y=m—2图象的上方恒成立.

作出函数y=|Ax)|的图象，如图所示，函数>=;加一2的图象是过定点(0,—2)的直线，由图可知，当机<0

时，不满足题意；当“2=0时，满足题意；当冽>0时，考虑直线y=/nx—2与曲线y=f+3x(x>0)相切的情

况.

[y=mx—2,

由J得f+(3)x+2=0,

[yx9~~I-3xf

令/=(3—02)2—8=m2—6〃z+l=0,

解得m=3+2吸或巾=3—2娘，

结合图形可知0<加工3+2也.

综上，根的取值范围是[0,3+2限].

【方法小结】(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利

用一些特征点排除不符合要求的图象.

(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、

最值、交点、方程的根等问题.求解两个函数图象在给定区间上的交点个数问题时，可以先画出已知函数

完整的图象，再观察.

【突破提升练习】

一、选择题

1.函数y="一晨2：+3的定义域为()

A.(-1,3]B.(—1,0)U(0,3]

C.[-1,3]D.[―1,0)U(0,3]

【答案】B

—X2+2X+3>0,

【解析】由已知得卜+1>0，

、x+1力1,

解得l,0)U(0,3].

[2X—3,x>0,

2.若加)==’是奇函数，则虑(一2))的值为()

[gx,x<0

55

A，2B.-2C.1D.—1

【答案】c

(2X—3x>0

【解析】：/)=''是奇函数,

[gx,x<0

当x<0时，g(x)=—£+3

'•g(-2)=-3=-1,

Xg（-2））=A-l）=^（-D=-^+3=l.

3.（2020•全国H）设函数负x）=ln|2尤+l|Tn|2x—l|,则式x）（)

A.是偶函数，且在g,+oo）单调递增

B.是奇函数，且在（V，，单调递减

C.是偶函数，且在（一8,一§单调递增

D.是奇函数，且在（一8,一；）单调递减

【答案】D

【解析】於）=ln|2x+l|—ln|2x—1|的定义域为卜|存±3j.

又负一x）=ln|—2x+l|—ln|—2x-l|

=ln|2x-l|-ln|2x+l|

=一兀0，

.\Ax）为奇函数，故排除A,C.

当00，一；）时，

—-1

/（x）=ln（—2工一1）一ln（l—2x）=ln不玄-

——=小+含），

•.丁=]+5:]在（一孙一上单调递减，

•••由复合函数的单调性可得yu）在（一8,一；）上单调递减.

2

4.设函数yu）=我4X，则函数八方的图象大致为（）

o5x.05%

-2-2-

B

y

\2-

O.5x

-2•

D

【答案】A

【解析】观察函数解析式发现，尤是以平方、绝对值的形式出现的，所以外）为偶函数，排除B.当尤＞0时,

4x2216

当X—+oo时，人X）—0,排除C.因为式2）=丁=互＜2,选项D中汽2）＞2,所以D不符合题意.

3工，

2%+]%＞i

5.若函数人无）="2；二:t在R上是增函数，则〃的取值范围为（）

一X十QX十1,X＜1

A.[2,3]B.[2,+oo)C.[1,3]D.[1,+oo)

【答案】A

【解析】由题意得，

、-1+。+1<2+1,

二。昼[2,3]•

6.若定义域为R的函数人x）在（4,+（»）上为减函数，且函数y=«x+4）为偶函数，贝!]（

A.犬2)43)B.犬2)45)

C.八3)45)D.犬3)次6)

【答案】D

【解析】••,函数y=/（x+4）为偶函数,

.•加—x+4)=/(x+4),

函数y=/（x）的图象关于直线x=4对称,

•,•/2)=/6),犬3)=汽5).

又•.,函数＞=/（尤）在（4,+8）上为减函数,

.•小5)次6),...43)/6).

'2厂叫烂1,

7.设函数无）=若正1）是/U）的最小值，则实数。的取值范围是（）

尤+1,x>l,

A.[-1,2)B.[-1,0]

C.[1,2]D.[1,+oo)

【答案】C

犷叫烂1,

【解析】yu)=

x+1,X>1,

若x>l,贝!J/(%)=%+1>2,

易知六0=2『@在(m+8)上单调递增，在(一00,。)上单调递减.

若则«x)在处取得最小值，不符合题意；

若定1,则要使人工)在％=1处取得最小值，只需25W2,解得K2,・・・1%02,

综上所述，。的取值范围是[1,2].

8.已知函数危)(x£R)满足7(%)=/(2—%),若函数yTx2—2x—3|与y=/(%)图象的交点为⑶，yD，(%2,竺)，…,

(Xm,ym),则♦等于()

z=l

A.0B.mC.2mD.4m

【答案】B

【解析】由题意可知式x)的图象关于直线x=l对称，而y=|f—2x—3|=|(x—l)2—4|的图象也关于直线x

=1对称，所以两个图象的交点关于直线x=l对称，且每对关于直线x=l对称的交点的横坐标之和为2,

tn

所以尸丸

(=1

9.已知定义在R上的函数式x)是奇函数，且兀0在(一8,0)上是减函数，式2)=0,g(x)=/(x+2),则不等式

xg(x)<0的解集是()

A.(—co,—2]U[2,+co)

B.[-4,-2]U[0,+oo)

C.(—co,—4]U[—2,+oo)

D.(-oo,-4]U[0,+oo)

【答案】C

【解析】由题意，可知g(x)的图象是把兀0的图象向左平移2个单位长度得到的，则g(x)的大致图象如图

所示，

[x>0,x<0,

则xg(x)岂)/或彳数形结合,

1g烂0〔g尤沙，

得移(元)三0的解集为(一oo,-4]U[-2,+oo).

10.定义新运算㊉：当。名时，a㊉b=a；当cz<6时，a®b—b2,则函数式幻=(1㊉x)x—(2㊉x),2,

2]的最大值等于()

A.-1B.1

C.6D.12

【答案】C

【解析】由题意知，当一2小1时，於)=x-2；当1<烂2时，於)=/一2,又：y=x-2,—2在R上

都为增函数，且/U)在x=l处连续，.7/U)的最大值为式2)=23—2=6.

11.(2020・贵阳模拟)定义在R上的偶函数式x)满足/U+2)=/(x),当3,—2]时，危)=一x—2,贝1()

A.7(sin的'(cos总B.Asin3)</(cos3)

C.7(sin华卜(cos专)D.42020)42019)

【答案】B

【解析】由式x+2)=/(x),得兀c)是周期函数且周期为2,根据本)在工€[—3,—2]的图象和穴X)是偶函数

可得在[0,1]上是增函数.

I十兀兀

对于A,0<sin不cos%<L

•'•/(sin^<f(cosD，A错误；

对于B,0<sin3<_cos3<1,

.'./sin3)</(—cos3)=y(cos3),B正确；

4兀4兀

对于C,0<—cos-<—sin-^-<1,

■卜os曰勺'(sin明，C错误；

对于D,/2020)=负0)勺(2019)=/U),D错误.

—%2~CIX,X^-1,

2；'若时，X2GR,且尤时X2，使得式X1)=/(X2),则实数a的取值范围

tr尤一7a+14,x>l,

是()

A.(-00,2)B.(-00,2)U(3,5)

C.[2,引D.[2,+oo)

【答案】B

f—X2,,

【解析】当〃=0时，/(%)={

[14,x>l,

此时存在Xl，X2£[—1,1]满足条件.

若分0,则当Q1时，段)为增函数,

且—■7a+14,

当它1时，J(x)=—x2+ax=—^x—^2+^,

对称轴为x=与

若即a<2时，满足条件，

若表1,即位2时，函数在（-8,1］上单调递增，

要使条件成立，则式x）在（一oo,1］上的最大值式1）=-1+外层一7。+14,

即8。+15<0,即3<a<5,'：a>2,：.3<a<5,

综上3<a<5或a<2.

二、填空题

2

13.（2020•江苏）已知y=/（x）是奇函数，当定0时，则八一8）的值是.

【答案】一4

2

【解析】/（—8）=-/（8）=—83=4

14.已知定义在R上的函数於）满足式x+2）=一/，当无e（0,2］时，段）=2x+l,则近2020）+八2021）的值为

14

【答案】y

【解析】••VU+2）=一为

.dx+4）=一看=〃），

.••函数人x）的周期为7=4.

又当xe（0,2］时，人龙）=2x+l,

•7/U)=3,丸2)=5,44)=

=一予

114

；瓜2020)+X202