儿童带量食谱

02四月20241第八章相量法

内容提要1.正弦量及其三要素、相位差的概念；2.相量法的概念、性质及其运算；3.相量图；4.电路定律和元件VCR的相量形式。1.正弦量的三要素；2.正弦量的有效值和相量差；3.电路定律和元件VCR的相量形式.

重点01四月20241第八章相量法02四月20242

难点1.正弦量与相量之间的联系和区别；2.元件电压相量和电流相量的关系、相量图。主要是相位关系是学习第9、10、11、12章的基础。

.Im=5∠45oA

.Um=100∠0oV45oZ=

.Um

.Im

=20∠-45o

W

与其它章节的联系必须熟练掌握相量法的解析运算。01四月20242难点1.正弦量与相量之间的联系和02四月20243§8-1复数1.复数的表示形式(3)指数和极坐标形式(1)代数形式F=a+jbRe[F]=a，Im[F]=b(2)

三角形式

F=|F|(cosq+jsinq)a=|

F

|cosq，b=|

F

|sinq|

F

|

=

a2+

b2q=arctgba

根据复数的欧拉公式

ejq=cosq+jsinq

得指数形式：

F=|

F

|

e

jq或写成极坐标形式：F=|

F

|q01四月20243§8-1复数1.复数的表示形式(02四月20244F2(4)矢量形式2.复数的运算(1)加减

用代数形式最好。复数加的图解o+j+1Fbaq+jo+1F1F2F=F1+F2+jo+1F1F2F=F1+F2设F1=a1+jb1，则

F1±F2=F2=a2+jb2(a1±a2)+j

(b1±b2)

01四月20244F2(4)矢量形式2.复数的运算复02四月20245复数减的图解F=F1-F2-F2+jo+1F1F2FF=F1-F2+jo+1F1F2

若F1=

F2则必须是或者a1=

a2，jb1=

jb2即两个复数相等|F1|=|F2|，q1=q2(2)乘除

用指数或极坐标形式最好。乘(除)法运算满足：模相乘(除)，辐角相加(减)。01四月20245复数减的图解F=F1-F2-F2+jo02四月20246复数乘、除的图解乘：F1

的模被放大|F2|倍,辐角逆时针旋转q2。除：F1

的模被缩小|F2|倍,辐角顺时针旋转q2。+jo+1q1F1F2q2|F2|F1q2F=F1F2q=q1+q2q1F1F2q2F1|F2|q2F=F1F2q=q1-q2+jo+1则F=

F1

F2

q1+q2q1-q2F=F1F2=|F1

||F2

|F2=|

F2

|设F1=|

F1

|q1

，q2=|F1

||F2

|

01四月20246复数乘、除的图解乘：F1的模被放大02四月202473.旋转因子ej

旋转因子ej

=1∠

是一个模等于1，辐角为q的复数；任意一个复数A=|A|ejqa乘以ej

，等于把A逆时针旋转

角度，而模|A|保持不变。

+jo+1A

aAej

+j、-j、-1等于A逆时针旋转90o。=-jAAj=cosep2jAe±jp

=-

Ap2+jsinp2=

+jjA等于A顺时针旋转90o。-jA-A都是旋转因子。若

=

2ep2jA=

jA，ep2-jA=等于A旋转180o。90o90o01四月202473.旋转因子ej旋转因子ej02四月20248§8-2

正弦量

电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量。研究正弦电路的意义是：正弦交流电有很多优点，在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。①容易产生、传送和使用。可以根据需要，利用变压器方便地把正弦电压升高或降低；②电机、变压器等电气设备，在正弦交流电下具有较好的性能；③正弦量对时间的导数、积分、几个同频率正弦量的加减，其结果仍是同频率的正弦量，使电路分析计算变得简单。④正弦信号是一种基本信号，其分析结果可以推广到非正弦周期电流电路中。01四月20248§8-2正弦量电路中按正弦规律变化02四月20249正弦量的时域表达式有两种形式i=Imcos(wt+fi)

i=Imsin(wt+fi)也称为瞬时值表达式分析时不可混用，以免发生相位错误。今后采用的形式以教材为准：i=Imcos(wt+fi)

u=Umcos(wt+fu)

综上：对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。01四月20249正弦量的时域表达式有两种形式i=I02四月2024101.正弦量的三要素（以电流为例）(1)振幅Im、有效值

I(要素之一)oiw

tp2p3p-pIm-Im峰-峰值2Imi=

Imcos(wt

+

fi)=2I

cos(wt

+

fi)

反映正弦量变化幅度的大小。

振幅也称为幅值、最大值。

在放大器参数中，有时用峰-峰值表达。01四月2024101.正弦量的三要素（以电流为例）(02四月202411

关于周期性电流、电压的有效值IdefT1∫0Ti2(t)

dt物理意义：通过比较直流电流I和交流电流i在相同时间T内流经同一电阻R产生的热效应来确定：I2RT∫0Ti2(t)Rdt

周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效应，工程上采用有效值来表示。R直流IR交流i均方根值电流有效值01四月202411关于周期性电流、电压的有效值I02四月202412电流有效值

设i=Imcos(wt+yi),正弦电流有效值与振幅之间的关系：Im=2IUm=2U若交流电压有效值U=

220V，则其电压最大值Um≈1.414

220=311V。代入上式计算可以得到：IdefT1∫0Ti2(t)

dt电压有效值UdefT1∫0Tu2(t)

dt正弦电压有效值与振幅之间的关系：同理：01四月202412电流有效值设i=Imcos(wt02四月202413工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如电网的电压等级、设备铭牌的额定值等。需要注意的是另外注意：IM(Imax)指最大有效值。i、u、i1、u1、ia、ua；Im、Um、I1m、I、U、I1、U1、Ia、Ua；U1m、Iam、Uam；

但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。在测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。注意区分电流、电压的瞬时值，振幅和有效值的符号：01四月202413工程上说的正弦电压、电流一般指有效值02四月202414(2)角频率w、频率f、周期T(要素之二)w：指正弦量单位时间内变化的电角度f

：正弦量每秒钟变化的周波数，单位是Hz。w

=dtd(wt+fi)wT=2pT2pw、f、T之间的关系w=2pff

=T1oiw

tp2p3p-pT：正弦量变化一个周期所需要的时间。T

=f1

在工程中，常用频率区分电路：如工频、音频、中频、高频、微波电路等。

相位变化的速度。反映正弦量变化快慢的参数。i=

Imcos(wt

+

fi)01四月202414(2)角频率w、频率f、周期T(要02四月202415oiw

tp2p3p-p(3)初相角fi

(要素之三)注意①同一正弦量，计时起点不同，初相角不同。fi常取主值：|fi|≤180o

对任一正弦量，初相可以任意指定。但对多个同频率正弦量，应相对于同一个计时起点确定各自的相位。

fi反映正弦量的计时起点,常用角度表示,单位为rad或(o)。i=

Imcos(wt

+fi)②若正最大值发生在计时起点左侧，则初相位为正，右侧为负。t

=0时，正弦量的相位角(wt

+

fi)

=

fifi<0>0fi=0oi01四月202415oiwtp2p3p-p(3)初相角02四月202416例：已知正弦电流波形如图，

=103rad/s，

1.写出i(t)的表达式；2.求最大值发生的时间t1。oi

t10050t1解：1.i(t)=100cos(103t

+

fi)t

=0

50=100cosfifi=

60o由于最大值发生在计时起点右侧

fi=-60oi(t)=100cos(103t

-

60o)2.当103t

=

60o=

3时，出现最大值t1

=

3103=1.047ms01四月202416例：已知正弦电流波形如图，=1002四月2024172.同频率正弦量的相位差j则：改变计时起点，初相角不同，但相位差不变！相位差一般取主值，即j

≤|p|。设：i=Imcos(wt+fi)

j等于初相之差。j

=(wt+fu)-(wt+fi)=fu-fi(1)j＞0，称

u超前i，或i滞后u，表明u比i先达到最大值；(2)j＜0，称

i超前u，或u滞后i，表明i比u先达到最大值；u=Umcos(wt+

u)jjoi，uw

tp2p3p-piu01四月2024172.同频率正弦量的相位差j则：改变计02四月202418j=0，i与u同相j=90o，i与u正交j=180o，i与u反相+-uiZi(3)特殊相位关系

改设参考方向时，该正弦量的初相改变p，因此与其它正弦量的相位差都改变p。oi，uw

tp2poi，uw

tp2poi，uw

tp2pi=Imcos(wt+fi

p)01四月202418j=0，i与u同相j=90o，i02四月202419例：计算下列两正弦量的相位差。(1)i1(t)=10cos[100pt+(3p/4)]Ai2(t)=10cos[100pt-(p/2)]A(2)i1(t)=10cos(100pt+30o)Ai2(t)=10cos(100pt-105o)A(3)u1(t)=10cos(100pt+30o)Vu2(t)=10cos(200pt+45o)V(4)i1(t)=5cos(100pt-30o)Ai2(t)=-3cos(100pt+30o)A解：(1)

j=(3p/4)-(-p/2)=(5p/4)＞pj=(5p/4)-2p=-3p/4所以(2)

j=30o-(-105o)=135o(3)

w1≠w2，(4)i2(t)=3cos(100pt-150o)j=-30o-(-150o)=120o不能进行相位比较。

注意：两个正弦量进行相位比较时，应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。01四月202419例：计算下列两正弦量的相位差。(1)02四月202420§8-3相量法的基础

引言：在正弦稳态线性电路中，各支路的电压和电流(响应)与电源(激励)是同频率的正弦量，因此应用KCL、KVL分析正弦电路时，将遇到正弦量的加减运算和积分、微分运算，在时域进行这些运算十分繁复，通过借用复数表示正弦量，可以使正弦电路分析得到简化。

相量法的实质是用复数表示正弦量，是求解正弦电流电路稳态响应的有效工具。01四月202420§8-3相量法的基础引言：在02四月2024211.问题的提出Cu+-+-uLRL+-uCi+-uR

电路方程是微分方程：LCd2uCdt2duCdt+RC+uC=

u若激励

u

=Psin

t(或Pcos

t)u'C

=Q1sin

t+Q2

cos

t=

Q

cos(wt+

)则特解，即稳态解

稳态解是与激励同频率的正弦量！01四月2024211.问题的提出Cu+-+-uLRL02四月202422

同频的正弦量相加(减)仍得到同频的正弦量。(省去繁琐的推导步骤)i1

=I1m

cos(

t+f1)i2

=I2m

cos(

t+f2)RLi1i2i3i3

=i1

+i2=I3m

cos(

t+f3)

在线性电路中，若激励都是同频率的正弦量，则响应也都是与激励同频率的正弦量。在分析过程中，主要考虑的是：

两个正弦量的加(减)，如KCL、KVL方程运算：求解振幅或有效值，初相角或相位差。01四月202422同频的正弦量相加(减)仍得到同02四月2024232.正弦量的相量表示考查一个复函数对F(t)取实部无物理意义实部是一个正弦量，有物理意义。F(t)=

Imej(wt+fi)F(t)=Imcos(wt+fi)+jImsin(wt+fi)根据复数的欧拉公式Re[Imej(wt+fi)]

=Imcos(wt+fi

)=

i结论：任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复函数。

指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却可以相互转换。F(t)=

Imej(wt+fi)i=Imcos(wt+fi)

取实部或虚部分析求解，都能得到全部结果。本教材取实部进行分析求解，有的教材取虚部。01四月2024232.正弦量的相量表示考查一个复函数02四月202424其中，Im.=Imej

i这是一个特殊的复数，特点是辐角随时间变化。是一个与时间无关的复常数。F(t)=

Imej(

t+

i

)=

Imej

iej

tIm.ej

t=F(t)包含了正弦量的三要素：Im(或I)、

i

、

。相量的模表示正弦量的振幅或有效值，i=Imcos(wt+

i)Im.=Im=

i2I

i相量的幅角表示正弦量的初相位。同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：u=Umcos(wt+

u)Um.=Um=

u2U

u

复常数包含了两个要素：Im(或I)、

i

，这就是与正弦量对应的相量。01四月202424其中，Im.=Imeji这是02四月202425实轴上的投影

t1t2+j+1o

.Im.Im.ImImcos(

t+

)=i

+j+1o

i.I.U

u

t=0t=t1t=t2两个同频率正弦量的旋转速度相同，相对位置不变，即相位差不变。可抓住初始时刻定格，研究它们的大小关系和相位关系。mm也可以画有效值相量。

相量的图示说明：01四月202425实轴上的投影t1t2+j+1o02四月202426例1：已知i=

141.4

cos(314t+

30o)A试用相量表示i，u

。解：变换简单易行例2：已知u=

311.1

cos(314t-

60o)VI=.10030oA试写出电流的瞬时值表达式。f=50Hz在复平面上用向量表示相量的图。.I

.U

注意：正弦量与相量的关系是一种数学变换，不是相等的关系！U=.220-60oV+j+1o-60o30oI=.1015oA解：i=

14.1

cos(314t+

15o)A注意有效值与振幅的关系01四月202426例1：已知i=141.4co02四月202427作业：8-6，8-701四月202427作业：8-6，8-702四月2024283.相量的性质(1)线性性质k1i1±

k2i2±···若i1(t)

=

I1m

cos(

t+

i1)i2(t)

=

I2m

cos(

t+

i2)则i(t)

=i1(t)

+i2(t)

相量也具有比例性质：由叠加性质和比例性质可知ki1(t).I1mk(k1.I1±k2.I2±···)

相量关系为：=Re[I1m.ejt]=Re[I2m.ejt].=Re[I1mejt]+Re[I2m.ejt].=Re[I1mejt+

I2m.ejt].=Re[I1m+

I2m.]ejt.Im.Im=

.I1m.I2m+这是叠加性质同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。.I1k或201四月2024283.相量的性质(1)线性性质k1i02四月202429例：i(t)

=i1(t)

±

i2(t)

.I=

.I1.I2±i1=102cos(314t+60o)Ai2=22cos(314t-150o)A2求：i1+i2=5+j8.66A=-19.05-j11A.I1+=(5-19.05)+j(8.66-11)=(-14.05-j2.34)A.I1=1060o.I2=22-150o解：I=14.052+2.342=14.24A

i

=+arctg-14.05-2.34-180o

i为第3象限角。=14.24

-170.54oAi1+i2=14.242cos(314t-170.54o)AI1..+I2+j+1o-14.05-2.34-170.54oI1+I2...I2

i01四月202429例：i(t)=i1(t)±i02四月202430(2)微分性质设

i=Imcos(

t+

i)didtdnidin(jw)nIm结果是模变为wIm，相位比原相量超前90o。对n阶导数有.ddt==Re[Im.ejt]Re[Im.ejt]Im.=Im

ij

Im.=

Im

i+90o

正弦量的微分是一个同频正弦量，时域内的一次微分，对应于相量域内乘以jw。=Re[Im.j

ejt]则01四月202430(2)微分性质设i=Imco02四月202431∫(3)积分性质∫idt=(jw)n对n重积分有idt…∫∫则一次积分，对应于相量域内除以jw。结果是模变为(Im/w)，相位比原相量滞后90o。正弦量的积分是一个同频正弦量，时域内的Im.设

i=

Imcos(

t+

i)=Re[Im.ejt]Im.=Im

i∫Re[Im.ejt]dt=Rej

1Imejt.01四月202431∫(3)积分性质∫idt=(j02四月202432例：解：变换为相量形式di1dt60ojwI1=j314

10=314060o+90o=3140cos(314t+150o)∫i2dtjw.I222-150o-

90o=314=0.07120o求：di1dt∫i2dt2di1dt所以∫i2dt=0.072cos(314t+120o)i1=102cos(314t+60o)Ai2=22cos(314t-150o)A2.I1=1060oA.I2=22-150oA.所以01四月202432例：解：变换为相量形式di1dt6002四月202433

引入相量的优点1.把时域问题变为复数问题；2.相量法仅适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路；

需要注意的是2.把微积分方程的运算变为复数方程的运算。1.相量法是一种变换。3.相量法用来分析正弦稳态电路。3.可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。正弦量相量时域频域正弦波形图相量图微分方程代数方程01四月202433引入相量的优点1.把时域问题变为02四月202434§8-4电路定律的相量形式1.电阻元件VCR的相量形式

相位关系：

.UR+1+jo.IRfu=fiuR=

RiR时域形式：UR=

RIR.IR=

IR

有效值关系：相量形式：fi.UR=

RIRfiR+-uRiRiR

=Imcos(

t+

i)

=RImcos(

t+

i)Um

u

.UR

.IR

R+-相量图

相量关系：.UR=

RIR.相量模型

u=

i01四月202434§8-4电路定律的相量形式102四月2024352.电感元件VCR的相量形式电压超前于电流90o

!

L+-uLiL+1+jo.ULfu.ILfiuL=LdiLdt

.UL

.IL

+-j

L时域形式：iL

=Imcos(

t+

i)=-

LImsin(

t+

i)=

LImcos(

t+

i+90o).IL=

IL

相量形式：fi.UL=

LIL

i+90o相量模型相量图

相量关系：.UL=j

L.IL相位关系：UL=

LIL有效值关系：

u=

i+90o01四月2024352.电感元件VCR的相量形式电压超02四月202436

注意XL=

L

称为感抗，具有电阻的量纲，单位是。

XL表示限制电流的能力；

XL与频率成正比。=jXL

对直流，

=0，XL=0，短路；若

，则XL

，开路。相量关系：=j

L.IL.UL.IL01四月202436注意XL=L称为感抗，具有02四月2024373.电容元件VCR的相量形式+1+jo.UCfi.ICfu电流超前于电压90o!

C+-uCiCiC=CduCdt时域形式：uC

=Umcos(

t+

u)=-

CUmsin(

t+

u)=

CUmcos(

t+

u+

90o).UC=

UC

相量形式：fu.IC=

CUC

u+90o相量模型相量图

相量关系：.UC=.IC相位关系：IC=

CUC有效值关系：

i=

u+90o

.UC

.IC

+-j

C1j

C101四月2024373.电容元件VCR的相量形式+1+02四月202438

注意称为容抗，具有电阻的量纲，单位是。

XC表示限制电流的能力；

XC与频率成正反比。

对直流，

=0，

XC

，开路；若

，则XC

0

，高频视为短路。相量关系：.UC=.ICj

C1=-

j

C1.IC=jXC.ICXC=-

C1隔直通交01四月202438注意称为容抗，具有电阻的量纲，02四月2024394.受控源的相量表示

控制系数

、g、r和

都是常数，因此，根据相量的比例性质，可以直接用与正弦量对应的相量表示。用相量表示的CCCSbib+-+-rbeubeuceibbIb+-+-rbeUbeUceIb

.

.

.

.

用瞬时值表示的CCCS01四月2024394.受控源的相量表示02四月2024405.基尔霍夫定律的相量形式

同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：∑i(t)

=

0∑u(t)

=

0∑.I1

+.U=

0∑

表明：流入某一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。∑Re2.I2

+

ejt=

0.I=001四月2024405.基尔霍夫定律的相量形式同频率02四月202441例1：试判断下列表达式的正、误。1.u=

LiU

=

LI2.i=

5coswt=50oA3..Im

=j

CUm

.4.XL

=.UL

.ILXL

=ULIL5..UC

.IC=j

C=1j

C.

.UL=j

LIL6.7.u=Cdidtu=

L

didt8.若.U1

=.U2，

则u1

=u2相量与频率无关，反求正弦量时必须知道

。故相量表示的运算关系只能在同频的正弦量中使用。01四月202441例1：试判断下列表达式的正、误。1.02四月202442例2：已知LuiLC15WiCiR-+iR0.02F4H求电源电流i(t)。0oV

2u(t)=120cos(5t)V，解：电压源电压的相量为：U

.=120

C

1=5×0.021=10W

L

=5×4

=20WIR

.LUILC15WICIR-+IR-j10Wj20W.....=RU

.=12015=8

AIC

.=-jU

.=wC

1-j10120=j12

AIL

.=U

.jwL=j20120=-j6

AI

.IR

.=+IC

.+IL

.=8+j12-j6

A

01四月202442例2：已知LuiLC15WiCiR-02四月202443LuiLC15WiCiR-+iR0.02F4H36.9oALUILC15WICIR-+IR-j10Wj20W.....I

.=8+j6=10

i(t)=10

2cos(5t+36.9o)AU

.I

.IC

.IL

.36.9o相量图如下：I

.IR

.=+IC

.+IL

.=8+j12-j6

A

IR

.例2：已知求电源电流i(t)。

2u(t)=120cos(5t)V，01四月202443LuiLC15WiCiR-+iR0.02四月202444.UBC例3:已知UAB=50V，.UR=30UAC=78V，问UBC=

30

j40

+-

.UAC.ICABjXL

解：+-.UR+-.UL1.I,.UL1

=j40.I.UAB

=(30+j40).UAB=(30I)2

+(40I)2

=50I

I=1A，UR=30V，UL1=40VUAC=(30)2

+(40+UBC)2

=78VUBC=(78)2

-(30)2

=32V-4030I.j40I..UAB.UBC.UAC设

.I=I0oA.I

I则：01四月202444.例3:已知UAB=50V，02四月202445本章结束01四月202445本章结束02四月202446第8章知识脉络相量法复数及其运算正弦量的表示时域表示两种表示的互换相量表示相位差参考相量(和参考正弦量)函数式、波形图(三要素：振幅或有效值、频率或角频率、初相角)相量图电路元件VCR的相量形式(R、L、C等)振幅相量、有效值相量电路定律的相量形式(KCL、KVL)01四月202446第8章知识脉络相量法复数及其运算正弦02四月202447

快速回放181.正弦量的三要素(1)正弦量的时域表示i=

Imcos(wt

+

fi)u=

Umcos(wt

+

fu)

有些教材用“sin”表示。

(2)正弦量的三要素

振幅(或最大值)Im、Um

角频率

(或f、T)

初相角

2.正弦量的有效值I=T1∫0Ti2(t)

dt(1)周期电流(压)的有效值①计时起点不同

不同；②若正最大值发生在计时起点左侧，则初相位为正，右侧为负。

=2

ff

=1/TU=T1∫0Tu2(t)

dt01四月202447快速回放181.正弦量的三要素(102四月2024483.相位差

同频率正弦量的相位差为初相角之差。

=(wt

+

fu)-(wt

+

fi)=

u-

i若

=0，则u与i同相；若

0，则u超前于i；若

0，则u滞后于i；若

=90o，则u与i正交；若

=180o，则u与i反相；也可以说i滞后于u。也可以说i超前于u。(2)正弦量的有效值I=Im2U=Um201四月2024483.相位差同频率正弦量的相位差为初02四月2024494.相量(1)正弦量的相量表示f(t)

=

Amcos(wt

+

f

)Am.=Am

ej

=Amf(2)正弦量与相量的关系f(t)

=

Amcos(wt

+

f)=Re[Am.ejt]

注意