上海中考数学重难点专练重难点01 新定义问题（原卷版）

年中考数学【热点·重点·难点】专练重难点01新定义问题新定义问题是上海中考数学的新趋势之一，近三年的中考题中均有出现，主要是以几何为主，包括平行四边形、圆、正方形的概念、性质的运用；此类题型分值占比不大，却是往后考查的热点，也是重难点；新定义问题解决方法：一、新定义问题介绍新定义的题目大概可分为两个问题的综合：模型化问题&变量问题大部分问题都是两者兼有之的，不过总会偏向某一方面。二、新定义的结构：“新定义”=定义条件+名称与表述题干——新定义——顶点选点/求值——单变量——多变量解决这类问题的核心就是提取模型提取模型就是把定义条件用我们已知的几何基本模型（有一些特殊的题提取出的模型可能是代数模型）运用所给的内容联系学过的内容。进行提取分析。而这就是所谓“提取模型”的含义三、新定义的类型与作用第一问：简单，一般是给出点并选点，用于发现模型第二问：偏难，一般是单变量问题（即只有一个变化图形），用于验证模型/初步实践模型第三问：很难，一般是多变量问题（很多图形同时变化），用于应用/实践模型或者题干：得到模型，第一问：检验模型，第二问：实践模型，第三问：进一步实践模型或者：题干：，第一问：发现模型，第二问：验证模型，第三问：实践模型四、解决思路：第一问：题目一般会给出几个特殊点，通过这些特殊点将能够发现某些关系（点的轨迹是个圆？可行的点在圆内还是圆上还是圆外？），帮助构建模型。第二问：运用第一问构建出来的模型，进行关系间的操作以求得范围边界（例如相切相交之类），并且以此来验证模型是否正确且完善（例如圆上能不能取，线段端点能不能取等等），用订正后的模型再次订正这道题。第三问：运用第二问完善得到的模型，通过对变量的处理以及几何图形的关系得到结果。五、核心与主旨核心：将题干中复杂的语言翻译学生的便于操作的语言主旨：没有无缘无故的第一问，三问联动处理，逐渐递进，相互依存【中考链接】1．（2020·上海·统考中考真题）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是()A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆2．（2022·上海·统考中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____．3．（2021·上海·统考中考真题）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为__________．限时检测01：上海各地区最新模拟试题（60分钟）1．（2023·上海徐汇·校联考一模）阅读理解：我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集.同样，如果引进“虚数”，实数集就扩展到“复数集”.现在我们定义：“虚数单位”，其运算规则是：，，，，，，，则（

）A． B． C．1 D．2．（2021·上海徐汇·一模）定义：表示不超过实数的最大整数.例如：，，根据你学习函数的经验，下列关于函数的判断中，正确的是（

）A．函数的定义域是一切整数B．函数的图像是经过原点的一条直线C．点在函数图像上D．函数的函数值随的增大而增大3．（2023·上海青浦·校考一模）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为______．4．（2023·上海黄浦·统考一模）在一块底边长为20厘米的等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，如果矩形的一边与等腰三角形的底边重合且长度为厘米，矩形另两个顶点分别在等腰直角三角形的两腰上，设矩形面积为平方厘米，那么关于的函数解析式是______．（不必写定义域）5．（2023·上海静安·统考一模）定义：把二次函数与（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数与（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点的坐标_________．6．（2022·上海杨浦·统考二模）新定义：在中，点D、E分别是边的中点，如果上的所有点都在的内部或边上，那么称为的中内弧．已知在中，，，点D、E分别是边的中点，如果是的中内弧，那么长度的最大值等于_________．7．（2022·上海松江·统考二模）定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，对于任意两点、称的值为、两点的“直角距离”．直线与坐标轴交于A、两点，为线段上与点A、不重合的一点，那么、两点的“直角距离”是___________．8．（2021·上海杨浦·统考一模）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为______．y1），（x2，y2），当x1＝﹣x2时，都有y1＝y2，称该函数为偶函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是偶函数的有__（填上所有正确答案的序号）．①y＝2x；②y＝﹣x+1；③y＝x2；④y＝﹣；10．（2020·上海嘉定·统考二模）定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α=2∠β，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为____．11．（2020·上海杨浦·统考二模）定义：对于函数y＝f（x），如果当a≤x≤b时，m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a）（k是常数），那么称此函数为“k级函数”．如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3级函数”．如果一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，那么k的值是_____．12．（2020·上海杨浦·统考一模）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度13．（2023·上海杨浦·统考一模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在的网格图形中，的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题：(1)___________；___________；(2)请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使．（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）14．（2022·上海闵行·统考二模）直角三角形中一个锐角的大小与两条边的长度的比值之间有明确的联系，我们用锐角三角比来表示.类似的，在等腰三角形中也可以建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对.如图，在中，，顶角A的正对记作，这时.仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题：(1)的值为（

）.A．；

B．1；

C．；

D．2.(2)对于，的正对值的取值范围是______.(3)如果，其中为锐角，试求的值.15．（2020·上海嘉定·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，将点定义为点的“关联点”．已知点在函数的图像上，将点A的“关联点”记为点．（1）请在如图基础上画出函数的图像，简要说明画图方法；（2）如果点在函数的图像上，求点的坐标；（3）将点称为点的“待定关联点”（其中），如果点的“待定关联点”在函数的图像上，试用含的代数式表示点的坐标．限时检测02：全国各地最新模拟试题（80分钟）1．（2023·河南周口·校考一模）定义运算：．例如：，则方程的根的情况是（）A．无实数根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根 D．无法确定2．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）新定义：，，为二次函数，，，为实数）的“图像数”，如：的“图像数”为，，，若“图像数”是，，的二次函数的图像与轴只有一个交点，则的值为（

）A． B． C．或2 D．23．（2023·山东济南·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下新定义，若，则称点是点的限变点，例如：点的限变点是，点的限变点是，若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（）A． B． C． D．4．（2022·河北保定·保定十三中校考二模）定义运算：※，例如：4※．若关于的方程※有实数根，则的取值范围为（

）A． B． C．或 D．或5．（2022·山东济宁·校考二模）定义运算：，例如：．则方程的根的情况为（

）A．有两个相等的实数根 B．无实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定6．（2022·重庆璧山·统考一模）定义：如果代数式（，、、是常数）与（，、、是常数），满足，，，则称这两个代数式A与B互为“同心式”，下列四个结论：（1）代数式：的“同心式”为；（2）若与互为“同心式”，则的值为1；（3）当时，无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数；（4）若A、B互为“同心式”，有两个相等的实数根，则．其中，正确的结论有（

）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考三模）将4个数排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝．则方程＝－4的根的情况为（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．只有一个实数根8．（2022·重庆·重庆八中校考三模）对x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，则结论正确的个数为（

）（1）a＝1，b＝2；（2）若，则；（3）若，m、n均取整数，则或或；（4）若，当n取s、t时，m对应的值为c、d，当时，；（5）若对任意有理数x、y都成立（这里T（x、y）和T（y、x）均有意义），则A．2个 B．3个 C．4个 D．5个9．（2022·贵州遵义·统考一模）定义新运算：，如，则{___________}．10．（2023·湖南娄底·校考一模）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知．是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则_______．11．（2023·四川成都·模拟预测）定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为__________．12．（2022·四川成都·统考二模）已知，定义，，，则______．13．（2022·湖南湘潭·校考模拟预测）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如的数叫做复数，其中叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整数的加、减、乘法运算类似．例如计算：根据以上信息计算_____．14．（2023·四川巴中·校考一模）对数的定义：一般地，若（且），那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式．计算_____．15．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，，则图中的“等垂四边形”是______；如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，，，则边AB长的最小值为______．16．（2022·河北保定·统考一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对于点M（x，y），可以用以下方式定义M到O的“原点距离”：若|x|≥|y|，则M到O的“原点距离”为|x|；若|x|＜|y|，则M到O的“原点距离”为|y|．例如，（5，7）到O的“原点距离”为7．（1）点A（4，3）、B（3，﹣2）、C（﹣3，5）、D（﹣3，﹣3）四点中，到O的“原点距离”为3的点有_____个．（2）经过点（1，3）的一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象上存在唯一的点P，到O的“原点距离”为2，则k＝_____．17．（2023·河北邯郸·统考一模）新定义：如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”．(1)验证：嘉嘉说：是“4倍数”，琪琪说：也是“4倍数”，判断他们谁说得对？(2)证明：设三个连续偶数的中间一个数是（n是整数），写出它们的平方和，并说明它们的平方和是“4倍数”．18．（2022·宁夏固原·校考一模）阅读以下材料，并解决相应问题：在学习了直角三角形的边角关系后，我们可以继续探究任意锐角三角形的边角关系，在锐角中，的对边分别是．如图1，过点作于点，则根据定义得，于是，也就是，即．同理有，，即最终得到．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．(1)在锐角△ABC中，若，，，求．(2)仿照证明过程，借助图2或图3，证明和中的其中一个．19．（2022·河南信阳·统考模拟预测）（1）新定义：若抛物线和抛物线的对称轴为同一条直线，我们称和互为“同枝”抛物线．如图，抛物线：与坐标轴交于，，三点，请任意写出一个与抛物线互为“同枝”抛物线的解析式；（2）抛物线与互为“同枝”抛物线，且与的形状相同，若与坐标轴仅有两个交点，请求出的解析式；（3）若抛物线与互为“同枝”抛物线，且与的形状相同，与轴的两个交点的坐标为和，且，设：，请直接写出的取值范围．【答案】（1）答案不唯一，如：；（2）或或20．（2022·江苏宿迁·统考二模）由教科书知道，相似三角形的定义：如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似；由教科书中实践操作可得基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．(1)请依据上面定义和事实，完成下列问题：①已知，如图甲，中，点、分别在、上，且．问：与相似吗？试证明．②你得到的结论是：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形________．(2)依据（1）中②的结论完成下列问题：已知，如图乙，在和中，，．①问：与相似吗？试证明．②你得到的结论是：________________的两个三角形相似．21．（2023·内蒙古包头·统考一模）阅读下面的材料，并回答所提出的问题：如图所示，在