第04讲 空间直线、平面的垂直 高频考点-精练（解析版）备战2024年高考数学一轮复习精讲精练（艺考生基础版）

第第页第04讲空间直线、平面的垂直(精练）A夯实基础一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）下列做法可以使旗杆与水平地面垂直的是（

）①过旗杆底部在地面上画一条直线，使旗杆与该直线垂直；②过旗杆底部在地面上画两条直线，使这两条直线垂直；③在旗杆顶部拴一条长大于旗杆高度的无弹性的细绳，拉紧在地面上找三点，使这三点到旗杆底部的距离相等．A．①② B．②③ C．只有③ D．只有②【答案】C【详解】过旗杆底部在地面上画一条直线，则旗杆与该直线不一定垂直，所以旗杆与水平地面不一定垂直，故①错误；过旗杆底部在地面上画两条直线，只有当这两条直线相交，且旗杆与这两条直线都垂直时，才能使旗杆与水平地面垂直，故②错误；在旗杆顶部拴一条长大于旗杆高度的无弹性的细绳，拉紧在地面上找三点，使这三点到旗杆底部的距离相等．当旗杆与水平地面垂直时，斜线相等时射影相等；能在地面上找三点，使这三点到旗杆底部的距离相等，则旗杆与水平地面垂直，因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故③正确．故选：C．2．（2022·全国·高一课时练习）已知直线平面，有以下几个判断：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；上述判断中正确的是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】B【详解】对于①，当平面也可以有，但m不平行于平面，故①错；对于②，根据线面垂直的性质定理可知②正确；对于③，根据线面平行的性质定理可得存在且．而直线平面，故可根据线面垂直的性质得出，故正确；对于④，根据直线平面，可在平面内找到两条相交直线p，n，且，，又，所以，，故根据线面垂直的判定定理可知，正确．即②③④正确．故选：B．3．（2022·福建福州·高一期末）已知两个平面，两条直线，满足，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【详解】A选项，若，则或与异面，A错误；B选项，若，则或与斜交，或，B错误；C选项，如图，满足，但，C错误；D选项，根据面面垂直的判定，可知若，则故选：D4．（2022·四川乐山·高二期末（文））在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，取的中点，连接，三棱柱为直三棱柱，则平面，又平面，所以，又由题意可知为等腰直角三角形，且为斜边的中点，从而，而平面，平面，且，所以平面，则为与平面所成的角.在直角中，.故选：C5．（2022·全国·高一课时练习）如图，在正方体中，与平面所成角的余弦值是（

）.A． B． C． D．【答案】A【详解】如图，连接交于，则，又正方体中平面，平面，∴，而，∴平面，∴是直线与平面所成角，此角大小为45°，余弦值为．故选：A.6．（2022·吉林长春·高一期末）在正方体中，E是的中点，若，则点B到平面ACE的距离等于（

）A． B． C． D．3【答案】B【详解】如图，在正方体中，，是的中点，则，，．．设点到平面的距离为，由，得，解得．故选：．7．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）如图，在直棱柱中，，，E为BC的中点，F为的中点，则异面直线AF与所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】在直棱柱中，连接BF，如图，因E为BC的中点，F为的中点，则，则四边形为平行四边形，即有，因此是异面直线AF与所成角或其补角，因平面，平面，则，又，，平面，即有平面，平面，即，令，则，所以异面直线AF与所成角的正弦值为.故选：B8．（2022·江苏·高一课时练习）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬30°，则晷针与点A处的水平面所成角为（

）A．15° B．30° C．60° D．90°【答案】B【详解】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线，是点处的水平面的截线，是晷针所在直线，是晷面的截线.依题意可知，，，且晷针与点A处的水平面所成角为.由于，所以.由于，所以，也即晷针与点处的水平面所成角为.故选：B二、多选题9．（2022·安徽·淮南第一中学高一阶段练习）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（

）A． B．平面C．与平面所成角是 D．与所成的角等于与所成的角【答案】AB【详解】A选项，为正方形，，又平面，，又，平面，，A选项正确；B选项，为正方形，，又平面，且平面，平面，B选项正确；C选项，底面，与平面所成角是，C选项错误；D选项，为正方形，则与所成的角，又底面，则，所以与所成的角，D选项错误；故选：AB.10．（2022·安徽·淮南第一中学高一阶段练习）如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（

）A．直线与平面所成的角等于B．点到面的距离为C．两条异面直线和所成的角为D．三棱柱的体积是【答案】AB【详解】正方体的棱长为1，对于选项直线与平面所成的角为，故选项A正确.对于选项如图由平面，平面，所以又,，面所以面，所以点到面的距离为长度的一半，即，故选项B正确.对于选项如图由//，所以异面直线和所成的角为连接，所以为等边三角形则两条异面直线和所成的角为，故选项C错误.对于选项如图三棱柱的体积是，故选项D错误.故选：AB三、填空题11．（2022·江苏·高一课时练习）如图，在直四棱柱中，当底面ABCD满足条件___________时，有.（只需填写一种正确条件即可）【答案】(答案不唯一)【详解】根据直四棱柱可得：∥，且，所以四边形是矩形，所以∥，同理可证：∥，当时，可得：，且底面，而底面，所以，而，从而平面，因为平面，所以，所以当满足题意.故答案为：.12．（2022·全国·高二单元测试）在正方体中，二面角的大小是________.【答案】【详解】在正方体中，平面.所以所以是二面角的平面角.在直角中，，所以故答案为：四、解答题13．（2022·全国·高一课前预习）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(1)连接,∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，∴△为等边三角形，又∵G为AD的中点，∴BG⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)如图，∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.由（1）知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB，∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.14．（2022·广东韶关实验中学高一期中）如图，在三棱柱中，点D是AB的中点．(1)求证：∥平面．(2)若平面ABC，，求证：平面．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.(1)连接，交于点，连接∵是三棱柱，∴四边形为平行四边形，∴是的中点.∵点是的中点，∴是的中位线，∴，又平面，平面，∴∥平面.(2)∵平面，平面，∴，∵，，∴，∵，平面，∴平面.B能力提升15．（2022·全国·高二开学考试）如图，在三棱锥中，，，O，M分别为，的中点.(1)证明：平面；(2)若，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)（1）因为分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）由题知是等边三角形，O为的中点，所以，且.由题可知为等腰直角三角形，.又因为，所以，所以.又因为平面，所以平面，所以三棱锥的高为，其体积为.16．（2022·广西南宁·高二开学考试）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，E为的中点．(1)证明：平面；(2)设，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)（1）如图，连结，设与的交点为O，连接．因为四边形为矩形，所以点O为的中点．又点E为的中点，所以．因为平面平面，所以平面．（2）作于点H．∵平面，平面，∴又∵为矩形，，∴由，可得．因为，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，平面，故平面，即的长就是点A到平面的距离．因为，所以，因此为与平面所成角，则．17．（2022·福建福州·高三期末）如图，在三棱锥中，底面ABC，，，是的中点，点在上，且.(1