第02讲 两条直线的位置关系 高频考点精讲（解析版）备战2024年高考数学一轮复习精讲精练（艺考生基础版）

第第页第02讲两条直线的位置关系(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析题型一：两条直线的位置关系角度1：判断两直线的位置关系角度2：由两直线的位置关系求参数角度3：由两直线的位置关系求直线方程题型二：与距离有关的问题题型三：对称问题角度1：点关于直线对称角度2：直线关于直线对称题型四：直线系方程的应用第一部分：知第一部分：知识点精准记忆知识点一：两条直线平行与垂直的判断1、两条直线平行对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有.对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②与不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.2、两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即.对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且.(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3)判定两条直线垂直的一般结论为：或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．知识点二：直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应.与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；与平行方程组无解；与重合方程组有无数个解.知识点三：距离公式1、两点之间的距离公式：平面上任意两点，间的距离公式为特别地，原点与任一点的距离.2、点到直线的距离公式平面上任意一点到直线：的距离.3、两条平行线间的距离一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离.知识点四：对称问题1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式)求点关于点的对称点由：2、点关于直线对称问题（联立两个方程）求点关于直线：的对称点①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中；②整理得：3、直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则）方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解；方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数.方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上.4、直线关于直线对称问题4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线①求出与的交点②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点③根据，两点求出直线4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线①②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线.第二部分：典型例题剖析第二部分：典型例题剖析题型一：两条直线的位置关系角度1：判断两直线的位置关系典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知直线和，则有（）A．与可能重合 B．与不可能垂直C．直线上存在一点，使得直线以为中心旋转后与重合 D．以上都不对【答案】C【详解】∵直线，故直线m的斜率为，而直线的斜率为，∴直线m和直线n不可能重合，故A错误；当时，直线m和直线n斜率之积等于，两直线垂直，故B错；当直线m和直线n相交于点P时，直线n以P为中心旋转后能与m重合，故C正确且D错误，故选：C.例题2．（2022·全国·高二专题练习）已知直线的倾斜角为，直线经过点、，则直线、的位置关系是（

）A．平行或重合 B．平行C．垂直 D．重合【答案】A【详解】由题意可知直线的斜率，直线的斜率．因为，所以，或、重合．故选：A.例题3．（2022·全国·高二专题练习）直线与直线的位置关系是（

）A．平行 B．相交 C．重合 D．异面【答案】A【详解】直线方程化为，直线斜率为2，纵截距为，直线方程化为，直线斜率为2，纵截距为，两直线斜率相等，纵截距不相等，两直线平行．故选：A．同类题型归类练1．（2022·全国·高二专题练习）直线与直线的位置关系是（）A．相交 B．重合 C．平行 D．垂直【答案】C【详解】解:直线与直线,满足,故直线与直线平行.故选:C2．（2022·江苏·徐州华顿学校高二阶段练习）已知直线：与：，则这两条直线的位置关系是（）A．重合 B．平行 C．垂直 D．不能确定【答案】C【详解】因为直线：的斜率为：，直线：的斜率为，所以，所以这两条直线的位置关系是垂直，故选：C3．（2022·全国·高二专题练习）直线与直线的位置关系是（

）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定【答案】C【详解】因为直线与直线的斜率分别为和，显然且，因此两直线既不平行也不垂直；因此两直线相交但不垂直.故选：C角度2：由两直线的位置关系求参数典型例题例题1．（2022·河南·开封市立洋外国语学校高二期中）已知直线的方程为，直线的方程为，若，则（

）A．或 B． C． D．【答案】B【详解】由，得，化为：，解得或．经过验证时，两条直线重合，舍去．．故选：B．例题2．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校高二期中）已知直线：与：平行，则的值是（

）A．1 B．3或5 C．5 D．1或3【答案】B【详解】，且或故选：B例题3．（2022·江苏南通·高二期中）若直线：与直线：垂直，则实数的值为（

）A．-1 B．0 C．1 D．【答案】B【详解】因直线：与直线：垂直，则有，解得.故选：B例题4．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（文））已知直线，且，则（

）A．或 B． C． D．【答案】D【详解】直线，且，故，解得.故选：D.同类题型归类练1．（2022·辽宁朝阳·高二阶段练习）若直线：与直线：平行，则______.【答案】【详解】已知直线：与直线：平行，则且，解得.故答案为：2．（2022·山东烟台·高二期中）已知直线与平行，则实数的值为______．【答案】1【详解】由得：，解得，故答案为：13．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二阶段练习）已知直线的方程为，直线的方程为，若，则的值为______．【答案】2【详解】因为，所以，解得.故答案为：2.4．（2022·广西玉林·高二期中）若直线和直线垂直，则__________．【答案】【详解】直线和直线垂直，则有，解得.故答案为：角度3：由两直线的位置关系求直线方程典型例题例题1．（2022·新疆实验高二期中）经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程为___________.【答案】【详解】联立解得，又直线的斜率为，故经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程为，即故答案为：例题2．（2022·浙江·宁波市第二中学高二期中）已知直线：与直线：．(1)若直线与直线平行求a的值；(2)若直线与直线垂直求a的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为直线：与直线：平行，所以，解得：.（2）直线：与直线：垂直，所以，解得：.例题3．（2022·江苏省响水中学高二期中）已知直线.(1)若直线过点，且，求直线的方程；(2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【详解】（1）直线的斜率，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程是，即；（2）设直线，则平行线与之间的距离，得或，所以直线的方程是或,同类题型归类练1．（2022·江苏·马坝高中高二期中）已知直线经过两直线和的交点.(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；(2)若直线与直线平行，求直线的方程.【答案】(1)；(2).【详解】（1）由解得，即直线的交点为，因直线与直线垂直，则设直线的方程为，有，解得，所以直线方程为.（2）由（1）知，直线的交点为，因直线与直线平行，则设直线的方程为，有，解得，所以直线的方程为.2．（2022·黑龙江·铁力市马永顺中学校高二阶段练习）已知直线的方程为，(1)直线过点（3，0）且与平行，求的斜截式方程.(2)直线过点且与垂直，求的一般式方程.【答案】(1)(2)【详解】（1）设直线方程为：，将代入方程，得，所以直线方程为，化为斜截式方程为：.（2）可设直线的方程为，则有，解得，所以所求直线方程为.3．（2022·上海·闵行中学高二期中）已知直线.(1)若直线与直线垂直，且过点，求直线的方程；(2)若直线与直线平行，且过点，求直线的方程.【答案】(1)；(2)不存在.【详解】（1）由直线，可得，因为直线与直线垂直，所以，可得，又因为直线过点，可直线的方程为，即，所以直线的方程为；（2）因为直线与直线平行，所以直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，可化为，与直线重合，所以直线不存在.题型二：与距离有关的问题典型例题例题1．（2022·广东·深圳中学高二期中）直线与直线交于点，则点到直线的最大距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题可列：，解得，所以点的坐标为，因为直线，即恒过定点，所以点到直线的最大距离为，故选：B例题2．（2022·北京市昌平区前锋学校高二期中）点到直线的距离是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】点到直线的距离为：故选：B.例题3．（2022·四川·成都七中高二期中（文））当时，点到直线的距离最小值为___________.【答案】【详解】点​到直线​的距离令,则,所以,当且仅当即时取得等号,所以点​到直线​的距离最小值为,故答案为:.例题4．（2022·安徽宿州·高二期中）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是__________．【答案】【详解】因为直线与直线平行，则有，解得：，所以直线可化为，也即，由两平行线间距离公式可得：，故答案为：.例题5．（2022·江苏·盱眙县第二高级中学高二期中）已知直线.(1)当时，求两直线的距离；(2)写出原点到直线的距离，并求出该距离的最大值.【答案】(1)(2)；【详解】（1）当a=1时，，所以两直线的距离为.（2）原点到直线的距离为，当时，同类题型归类练1．（2022·吉林省实验中学高二期中）已知，两点到直线l：的距离相等，则（

）A．或 B．或4 C．2或4 D．或【答案】A【详解】由题意得，解得或.故选：A.2．（多选）（2022·安徽宿州·高二期中）已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值可能等于（

）A． B．1 C．2 D．【答案】AC【详解】由A、B两点到直线l距离相等得，解得或.故选：AC3．（2022·吉林省实验中学高二期中）两直线：与：间的距离为______．【答案】1【详解】因为直线：与：平行，由两平行线间的距离公式可得：，故答案为：.4．（2022·江苏·海安高级中学高二期中）已知直线与直线，在上任取一点A，在上任取一点B，连接AB，取AB的靠近点A的三等分点C，过C作的平行线，则与间的距离为______．【答案】##【详解】过A做于D，交于E，如图所示：因为，且由题意得，所以，所以，又直线与间的距离，所以与间的距离，故答案为：.5．（2022·河北·石家庄市第四十一中学高二期中）已知两点到直线的距离相等，则____________．【答案】或【详解】由题意可得，解得或.故答案为：或.题型三：对称问题角度1：点关于直线对称典型例题例题1．（2022·北京市第十二中学高二阶段练习）点关于直线对称的点的坐标为(

)A． B． C． D．【答案】A【详解】设关于直线的对称点为，，则的中点为，，则，在直线上，，①再由直线与直线垂直，得②联立①②解得：，．点关于直线的对称点的坐标是．故选：A．例题2．（2023·全国·高二课时练习）已知点与点，试在轴上求一点，使的值最小，并求出最小值.【答案】点P的坐标为；.【详解】解：如图，作点关于y轴的对称点，易得其坐标为，在y轴上任取一点P，由对称的知识易知..当且仅当三点共线时，最小，所在直线的方程为，即.令，得，故点P的坐标为.此时，.同类题型归类练1．（2022·浙江台州·高二期中（文））点关于直线的对称点的坐标是___________【答案】【详解】解：设M（﹣1，0）关于直线x+2y﹣1＝0对称点M′的坐标是（a，b），则有，解得a＝﹣，b＝，故M’的坐标是,故答案为.2．（2022·江苏·高二课时练习）已知点，求点分别关于原点、轴和轴的对称点的坐标．【答案】答案见解析【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为，点关于轴的对称点的坐标为，点关于轴的对称点的坐标为.角度2：直线关于直线对称典型例题例题1．（2022·北京教育学院附属中学高二期中）直线与直线关于轴对称,则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解:已知直线,不妨取直线两点所以这两点关于轴对称的点为则直线与直线关于轴对称的直线过这两点,所以过这两点的直线方程为,故选:A例题2．（2022·江苏·高二课时练习）若入射光线所在直线的方程为，经直线反射，则反射光线所在直线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对直线，令，解得，设，关于直线的对称点为，则，解得，即，对直线，令，解得，设，关于直线的对称点为，则，解得，即，，直线：，即。故选：C例题3．（2022·山东·青岛中学高一阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是________.【答案】【详解】设所求直线上任意一点，点P关于的对称点为,如图所示：则有，得∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.故答案为：例题4．（2022·江苏·高二课时练习）求直线关于直线对称的直线的一般式方程.【答案】.【详解】由，可得交点为（2，0），所以可设所求直线的方程为，即.点（3，2）为直线上一点，所以，解得（舍去）或.所以所求直线的方程为，即.故答案为：.同类题型归类练1．（2007·全国·高考真题（文））如果直线与直线关于直线对称，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】在上取一点，则由题意可得其关于直线的对称点在上，所以，得，在上取一点，则其关于直线的对称点在上，所以，得，综上，故选：A2．（2022·全国·高二单元测试）两直线，则直线关于直线对称的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】联立方程，解得，在直线上任取一点，其关于的对称点为，则直线关于直线对称的直线方程为，即故选：D.3．（2022·全国·高二课时练习）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则有（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【详解】由题意，点在直线上，且点关于直线对称的点为，所以点在直线上，即，解得；所以点在直线上，且点关于直线对称的点为，则点在直线上，即，解得.故选：D.4．（2022·江苏·高二单元测试）直线关于直线对称的直线方程为___________.【答案】【详解】直线的斜率为，直线关于直线对称的直线的斜率为，点是直线上一点，点关于直线对称点为，所以直线关于直线对称的直线方程为.故答案为：题型四：直线系方程的应用典型例题例题1．（2022·贵州·遵义四中高二期末）过点且垂直于直线的直线方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为所求直线垂直于直线，所以设其方程为，又因为直线过点，所以，解得所以直线方程为：，故选：A.例题2．（2022·福建省泉州第一中学高二期中）过点且与直线垂直的直线方程___________.【答案】【详解】与直线垂直的直线方程可设为，因为点在所求直线上，则，所以，所以