抽象函数周期性对称性相关定理全总结

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抽象函数周期与对称轴的相关结论一、教学内容 抽象函数的周期与对称轴二、教学重、难点重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。难点：结论的推导证明，利用结论解决问题三、具体内容.若/(%)=。(1+7)则/(%)的周期为丁。.若/(%+“)=/(%+»则/(%)的周期为T=»—4。证：令％=x—a/(x)=f(x+b-a).若/(%+“)=—/(1+Z?)贝ij/(x)的周期T=2|万—4。证：令x=%—a/./(x)=-f(x+b-a)①令x=x—b f(x+a-b)=-/(x)②由①②得：——a)]/./Ex+(tz-/?)]=f\x+(b-a)\：.T=^b-a\4.若/(a+%)=/(〃—x)则/(x)图象的对称轴为x=色乎o4.证：要证原结论成立只需证/(色芋+1)=/(=2-％)乙 乙人b-a, 「/ 、 ”， 、 「，a+b、r/a+b、令％=-^―+]代入/(“+%)=f(b-x) 贝ij/(_^+x)=/(----x)5.若/(a5.若/(a+%)=—/(〃—%)则/(%)的图象，以'a+b'---,0为对称中心。12 )证：方法一：要证原结论成立只需证/(/+%)=-/(W士-X)乙 乙b—a令％=亍+、代入 —/S-x)则于口^+X)=_于出？-%)方法二：设＞=/(%)它的图象为。VP(x,y)gC0 0'a+b、则夕关于点—7—,0I2J的对称点尸ej°y)f(a+b-x)f(a+b-x), o=f\a+(b-x)]=-/t-(b-x)]=-/(%)•・・/(%)=%.../("I。1。PeC【几个重要的结论】(一)函数图象本身的对称性(自身对称)1、函数y=f(x)满足f(T+x)=f(T-x)(T为常数)的充要条件是y=f(x)的图象关于直线X=T对称。2、函数y=f(x)满足f(x)=f(2T-x)(T为常数)的充要条件是y=f(x)的图象关于直线x=T对称。3、函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)的充要条件是y=f(x)图象关于直线x=4、如果函数y=f(x)满足f(T+x)=f(T-x)且f(T+x)=f(T-x)，(T和T是不相等的常数)，1 1 2 2 12则y=f(x)是以为2(T-T)为周期的周期函数。215、如果奇函数y=f(x)满足f(T+x)=f(T-x)(T牛0)，则函数y=f(x)是以4T为周期的周期性函数。6、如果偶函数y=f(x)满足f(T+x)=f(T-x)(T丰0)，则函数y=f(x)是以2T为周期的周期性函数。(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、曲线y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称。2、曲线y=f(x)与y=f(-x)关于Y轴对称。3、曲线y=f(x)与y=f(2a-x)关于直线x=a对称。4、曲线f(x,y)=0关于直线x=b对称曲线为f(x,2b-y)=0。5、曲线f(x,y)=0关于直线x+y+c=0对称曲线为f(-y-c,-x-c)=0。6、曲线f(x,y)=0关于直线x-y+c=0对称曲线为f(y-c,x+c)=0。7、曲线f(x,y)=0关于点P(a,b)对称曲线为f(2a-x,2b-y)=0。注：一个结论：设y=f(x)，VxeR都有f(x)=f(2a-x)且f(x)=0有k个实根(k>2)，则所有实根之和为ka【典型例题】【例1】对于y=f(x)，xeR有下列命题。(1)在同一坐标系下，函数y=f(1+x)与y=f(1-x)的图象关于直线x=1对称。(2)若f(1+X)=f(1-x)且f(2+x)=f(2-X)均成立，则f(x)为偶函数。(3)若f(X-1)=f(X+1)恒成立，则y=f(X)为周期函数。(4)若f(X)为单调增函数，则y=f(aX)(a>0且a中1)也为单调增函数，其中正确的为解(2)(3)【例2】若函数f(x)=(x+a)3VxeR有f(1+x)=-f(1-x)求f(2)+f(-2)。解：VXeR，f(1+x)=-f(1-x)知f(x)的图象关于(1,0)对称而f(x)=(x+a)3的对称中心P(-a,0)・•・a=-1・・.f(x)=(x-1)3则f(2)+f(-2)=1-(-3)3=-26【例3】设f(x)是定义在R上的函数，VxeR均有f(x)+f(x+2)=0，当-1<x<1时，f(x)=2x-1,求当1<x<3时，f(x)的解析式。解：由VxeR有f(x)=-f(x+2)得T=4设xe(1,3]则(x-2)e(-1,1],f(x-2)=f(x-2+4)=f(x+2)=-f(x)・•.f(x)=-f(x-2)=-[2(x-2)-1]=-2x+5,，1<x<3时f(x)=-2x+5【例4】已知f(x)是定义在R上的函数且满足f(x)+f(x-1)=1,当xe[0,1]时有f(x)=x2则(1)f(x)是周期函数且周期为2,(2)当xe[1,2]时，f(X)=2x-x23f(-2004,5)=:其中正确的是？4解(1)(2)(3)【例5】已知f(X)满足f(X+2)=f(x-2),f(4+x)=f(4-x)，当-6<x<-2时b cP=f(11)求m、n、p大小关系？f(x)=x2+bx+c且f(-4)=-13，若P=f(11)求m、n、p大小关系？J 乙解：由已知得T=4，对称轴X=4x=-4也为一条对称轴b 4c-64--=-4b=8由f(-4)=-13.•・一=-13 .•・c=3,m=f(8),n=f(3),p=f(11)=f(3)・•・n>m>p兀【例6】定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(X)的最小正周期是兀，且当xe[0,-]时，f(x)=sinX求f(|兀)的值。解f(3兀)=f(3兀+兀)=f(3兀)=f(-9)=f(9)=sin-3=~2word格式-可编辑-感谢下载支持【例7】设y=/(x)定义在R上，V机〃£尺有/(加+〃)=/(机)・/(〃)且当工>。时，(1)求证：/0)=1且当x<0时，/(x)>l (2)求证：/⑴在R上递减。解：(1)在/(加+〃)=/(机>/(〃)中，令m=1,几=。得/⑴=/11)・/(0)0</(1)<1 /(0)=1设x<0,则—x>0令机=%,〃=—%代入条件式有/(0)=/(x)-/(-x)而/(0)=1f(x)=-->1/(-X)(2)设x<x则x一x>0 .二0<f(x+x)<1TOC\o"1-5"\h\z12 2 1 2 1令m=x,m+n=x则n=x一x代入条件式得f(x)=f(x)f(x一x)1 2 2 1 2 12 1- f(x) 一一 一即0<与=<1 :・f(x)<f(x) f(x)在R上递减f(x) 2 11【模拟试题】一、选择题.已知f(x)满足f(x+3)=f(x)，xeR且f(x)是奇函数，若f(1)=Y2则f(2000)=()A.v2B.一+'2C.3+\2 D.3—222.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)=f(x)对任何实数均成立，当0<x<2时，TOC\o"1-5"\h\zf(x)=x，当398<x<400时，f(x)=( )A.x—400b.x—398x—398c,400—xd.398—x3.若函数3.若函数f(x)=3sin(3x+中)，VxeR都有f(-+x)=以飞-x)则踪)等于(D.3或-3)A.0D.3或-3)-、.函数y=cos(-兀—2x)是(A.周期为A.周期为2兀的奇函数C.周期为兀的奇函数B.周期为兀的偶函数D.周期为4兀的奇函数.f(x)=2sin(2x+0)的图象关于y轴对称的充要条件是( )兀D.0=kR+K)A,0=2k兀+—B,0=D.0=kR+K).如果f(x+兀)=f(—x)且f(x)=f(—x)则f(x)可以是(A.sin2x B.cosxC.sin|x|D.|sinx|.y=sin(x+0)+y3cos(x—0)为偶函数的充要条件是( )RRRA.0=2k兀一一b.0=k兀一一C.0=2kR±一TOC\o"1-5"\h\z3 6 6则f(7.5)=().设f(x)是R上的奇函数，f(x+2)=-f(x)当0<x则f(7.5)=()A.0.5B.一0.5C.1.5D.一1.5.设f(x)=x2+bx+JVxet有f(2+1)=f(2-1)那么( )A.f(2)<f(1)<f(4)B.f(1)<f(2)<f(4)C.f(2)<f(4)<f(1)D.f(4)<f(2)<f(1).y=f(x)定义在R上，则y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于( )A.y=0对称B.x=0对称 C.y=1对称D.x=1对称填空题.f(x)是R上的奇函数，且f(x+2r)=f(x)，f(R)+f(2r)+f(3r)+…+f(2003r)=。R.函数y=sm(2x+―)的图象的对称轴中最靠近y轴的是。.f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2|则当x<0时f(x)=。.偶函数f(x)的定义域为R，且在(-8,0)上是增函数，则33(1)f(-4)>f(a2-a+1) (2)f(-4)>f(a2-a+1)33(3)f(-4)<f(a2-a+1) (4)f(-4)<f(a2-a+1)中正确的是。解答题.设f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x=1对称，Vx、xe[0,1]都12 2f(x+x)=f(x)f(x)且f(1)=a>0。 (1)求f(1)、f(1) (2)证明：f(x)是周期函12 1 2 2 4数.如果函数y=f(x)的图象关于x=a和x=b(a<b)都对称，证明这个函数满足f[2(a-b)+x]=f(x)。.已知f(xXx2+bx+c对任意实数t都有f(1+1)=f(1-1)，比较f(1)与f(2)的大小。.定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(1+x)=f(2-x)成立，若方程f(x)=0仅有101个不同实根，求所有实根之和。【课后练习】1、定义在实数集上的奇函数f(x)恒满足f(1+x)=f(1-x)，且xe(-1,0)时，f(x)=2x+5,

则f(log20)= ^22、已知函数y=f(x)满足f(x)+f(2-x)=0，则y=f(x)图象关于对称。3、函数y=f(x-1)与函数y=f(1-x)的图象关于关于对称。4、设函数y=f(x)的定义域为R，且满足f(x-1)=f(I-x)，则y=f(x)的图象关于对称。5、设函数y=f(x)的定义域为R，且满足f(x+1)=f(1-x)，则y=f(x+1)的图象关于对称。y=f(x)图象关于对称。6、设y=f(x)的定义域为R，且对任意xeR，有f(1-2x)=f(2x)，则y=f(2x)图象关于对称，y=f(x)关于对称。7、已知函数y=f(x)对一切实数x满足f(2-x)=f(4+x)，且方程f(x)=0有5个实根，则这5个实根之和为( )A、5B、10 C、15D、188、设函数y=f(x)的定义域为R，则下列命题中，①若y=f(x)是偶函数，则y=f(x+2)图象关于y轴对称；②若y=f(x+2)是偶函数，则y=f(x)图象关于直线x=2对称；③若f(x-2)=f(2-x)，则函数y=f(x)图象关于直线x=2对称；④y=f(x-2)与y=f(2-x)图象关于直线x=2对称，其中正确命题序号为。9、函数y=f(x)定义域为R，且恒满足f(x+2)=f(2-x)和f(6+x)=f(6-x)，当2<x<6时，f(x)=时，f(x)=2--x，求f(x)解析式。10、已知偶函数y=f(x)定义域为R，且恒满足f(x+2)=f(2-x)，只有三个实根，且一个根是4,求方程在区间J8,10]中的根。【模拟试题答案】一．1.B2.C3.D4.C5.C6.D7.B8.B兀.1.0 2.x=— 3.xx+2 4.(2)JL乙.1.解：(I)：Vx,xe[0,1]都有f(x+x)=f(x)•f(x)12 2 1 2 1 2・•・f(x)=吗，♦吗"0 xe[0，1] ：f(1)=宿+2•「f(2)=a2，f(2)=f(4+4)=[f(4)]2 •'f(4)=1若方程f(x)=0在b,4]上9.A10.B)=f(2)，f(2)=[f(2)]21a4(2)由已知f(X)关于x=1对称 f(x)=f(1+1-x)即f(x)=fQ—x),xeR又由f(x)是偶函