数学-端点效应（洛必达法则）专题

端点效应(洛必达法则)专题例如：当x>0时，求的值.解答：(由题设可得，当x>0,x≠1时，:k≤0,即k的取值范围为(-o,0)2(个人原创)已知函数f(x)=x³+ax²+bx+a²,当a=-1时，若Vx∈(-o,0),恒成立则...恒成立，求a的取值范围.记g(x)=3sinx-xcosx-2x,则g(x)=2cosx+xsin因为g”(x)=xcosx-sinx=cosx(x-tanx)上单调递减，且g”(x)<0,上单调递减，上单调递减.由洛必达法则有恒成立.【评注】通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应①可以分离变量；③用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；③出现型或型式子.4、4、设函数f(x)=1-e*.求a的取值范围.设解：由题设x≥0,此时f(x)≥0.;记h(x)=e²-x²-2+e-*,则h(x)=e⁴-2x-e-*,h"(x)=e²+e*-2>0.,:若x>0,则h'(x)=2cosx-2xsinx-2cosx-cos=-2xsinx-cos2x+1=2sin²x-2xsinx=2sinx·(Ⅱ)若对所有x.0都有f(x).ax,求a的取值范围.(当且仅当x=0时，等号成立).()令g(x)=f(x)-ax,则g(α)=f²(x)-a=e⁵+e*(ii)若a>2,方程g’(x)=0的正根为此时，若x∈(0,x),则g'(x)<0,故g(x)在该区间为减函数.综上，满足条件的a的取值范围是(-0,2)8.(理)已知函数8.(理)已知函数f(x)=sinx+ln(1+x).(Ⅱ)①当a.2时，对x.0,由(1)的证明知f(x)xax.取.则x₀>0.∴F(x)递增→F(x)>F(O)=0,即f(x)>ax,不合题意.9.设函数f(x)=ax·lnx(a>0).(Ⅱ)若对所有(Ⅱ)若对所有x..1,都有f(x),,x²-1,求正数a的取值范围.综上所述，函数g(x)=f(x)-4(x-1)的零点的个数为2.求导，再令G(x)=F(αx)=a(lnx+1)-2x故G(x)在(1,+o)上为减函数，则F(x)在(1,+)上为减函数，(ii)若a>2,方程G(x)=0的解为故Gu)在,上为增函数，所以当1时，G(x).G(1)=a-2>0,即F(x)>0,(1)求f(x)的单调区间；(2)若对所有的x..0,均有f(x)..ax成立,.(2)令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax.“不等式f(x).ax在x.0时恒成立”⇔“g(x).g(O)在x..0时恒成立.”g'(x)=1n(x+1)+1-a=0→x=e⁴-¹-1.故a的取值范围是(-0,1).(1)求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(Ⅱ)求f(x)的极小值；(Ⅲ)若对所有的x..0,都有f(x),,(Ⅱ)设f(x)=0,切点为010,0),∴所求切线方程为y=2x.…(2分).…(6分)则g'(x)=2m(2x+1)+2-2a=2[m(2x+1)+1-a].令g(x)=0,得In(2x+1)=a-1,得得In(2x+1)>a-1,得;又g(O)=0,于是对所有x..0,都有g(x).g(O)=0成立.故当a,,1时，对所有的x.0,都有f(x)..2ax成立.÷.g(),上是减函数.综合(1),(2)可知实数a的取值范围(-0,1).…(12分)13.已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0,其中a>0.(1)求a的值；(2)若对任意的x∈(0,+x),有f(x),kx²成立，求实数k的最小值.令f(x)=0,可得x=1-a>-a,∵函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0,当k>0时，令g(x)=f(x)-kx²,即g(x)=x-ln(x+,,,g(x)在,+2)上g(w)<0,g(s)为减函数；,对任意的x∈(0,+o),有f(x),,kx²成立，14.14.设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π].(Ⅱ)设f(x),,1+sinx,求a的取值范围.【解析】(1)求导函数，可得f(x)=a-sinx,xe[0,π],sinx∈[0,1];当0<a<1时，由f(x)=0得x;=arcsina,x₂=π-单调递减),①当0殁y-0=-2(x-1),即2x+y-2=0.).(2)令g(x)=(x+1)·f(x),若对任意x.e,有g(x)>0恒成立，求a的取值范围；,,,检验：当a=9时，f')=²-2a²y=“2)X,2+0 0+增减增(2)因为g(x)=(x+1)lnx-a(x-1),因为x.e,令,则,所以t(x)>0,故t(x)在[e,+o]上单调递增，(3)证明：当a=2时，即因为m>n,所以e-”>1,所以,园为,所以.,.(2)函数h(x)=f(x+1)+g(x)=1n(x+1)-ax+e.∴h(x)在[0,+o]上递增.综上(i),(ii)知实数a的取值范围是(-0,2)(Ⅱ)若过原点作曲线y=f(x)的切线1与直线y=-ex+1垂直，证明：设,,,,,,在则x₁=e,则x₁=e,,,【解析】(1)依题意，函数f(x)的定义域为(0,+o),对f(x)求导，得,,4的方程为,·;,所以,所以,而,在而,oh(x)在(0,+o)上递增，h(x).h(O)=1恒成立，符合题意.所以h(x)在(0,+o)上递增，且h(O)=2-a<0,则存在x₀∈(0,+x),使得h(O)=0.综合①②可知，所求实数a的取值范围是(-0,2)第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析高频考点一：洛必达法则的简单计算型未定式型大),那么极限型及型未定式.3.定理23.定理21、0·o型的转化：或2、o-0型的转化：高频考点一：洛必达法则的简单计算1、判断下列计算是否正确解：由于中分子记为f(x)=6x,不能直接使用洛必达法则.分母记为g(x)=6x-2,2、求(本题属于型；)(不属于未定型，直接将x=1代入分子分母)(本题属于型；可使用洛必达法则)(不属于未定型，直接将x→+0代入分母)4、求)(本题属于0·0型，可使用洛必达法则)(不属于未定型，直接将x→0*代入分子)5.(2021·江苏省阜宁中学高三阶段练习)我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当x→0时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：【答案】D【详解】6.(2022.重庆市万州第二高级中学高二阶段练习)我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称头型，比如：当x→0时，的极限即型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：则【详解】7.(2022·山东省临沂第一中学高二阶段练习)我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称斗型，比如：当x→0时，的极限即斗型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在.早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法(洛必达法则),用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过【答案】2【详解】1.(2021全国高三专题练习)若不等式ac>sinx对于【详解】时，原不等式等价于,时，令g(x)=tanx-x,则以g(x)=tanx-x>g(0)=0,即x-tanx<所以f(x)<0.因此上单调递减.处取得极值，且曲恒成立，求实数m的取值范围.;(1,+x)是减函数，进而m(x)<0).3.(2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习(理))已知函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1)求a、b的值；(2)如果当x>0,且x≠1时，求k的取值范围.x>0,且x≠1x>0,且x≠1【详解】的斜率b=1,(2)当x>0,且x≠1时，,,从而h(x)在(0,+~)上单调递增，且h(1)=0,因此当x∈(0,1)时，h(x)<0,当x∈(1,+0)上单调递减，在(1,+~)上单调递增.处取得极值，且曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线x-y+1=0垂直(1)求实数a,b的值恒成立，求实数m的取值范围.【解析】函数f(x)=al