期中模拟预测卷01（解析版）

2022-2023学年高一数学下学期期中模拟预测卷01考生注意：1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一．填空题（共12小题）1．平面直角坐标系中，若角α＝532°，则α是第二象限的角．【分析】直接利用终边相同的角的表示化简求解即可．【解答】解：532°＝360°+172°，172°与532°终边相同，是第二象限角．故答案为：二．【点评】本题考查终边相同的角，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．2．函数f（x）＝sinxcosx的最大值是．【分析】利用二倍角的正弦函数公式将函数解析式变形，根据正弦函数的值域，即可得到函数f（x）的最大值．【解答】解：f（x）＝sinxcosx＝sin2x，∵﹣1≤sin2x≤1，∴﹣≤sin2x≤，则f（x）的最大值为．故答案为：【点评】此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，则b＝4．【分析】利用余弦定理，即可得解．【解答】解：由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccosA，所以5＝b2+4﹣4b×，化简得（4b+1）（b﹣4）＝0，解得b＝4．故答案为：4．【点评】本题考查解三角形中余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题．4．点（a＜0）是角α终边上一点，那么sinα＝．【分析】由已知求得|OP|，再由正弦函数的定义求解．【解答】解：∵（a＜0）到坐标原点的距离为|OP|＝，∴sinα＝．故答案为：．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，是基础题．5．在直角坐标系xOy中，x轴在正半轴上一点M依逆时针方向做匀速圆周运动，若点M一分钟转过角α（0＜α＜π），2分钟到达第三象限，7分钟回到原来位置，则α＝．【分析】由k•2π+π＜2α＜k•2π+（k∈Z），以及7α＝n•2π（n∈Z），可得α＝，再根据n的范围，求得α的值．【解答】解：∵0＜α＜π，且由题意，可得k•2π+π＜2α＜k•2π+（k∈Z），则必有k＝0，于是＜α＜，又7α＝n•2π（n∈Z），∴α＝，∴＜＜，则＜n＜，∴n＝2，故α＝．故答案为：．【点评】本题考查象限角、终边相同的角的概念和求法，关键是依据题中的已知条件列出关于θ，α的等式和不等式，体现了转化思想，属于基础题．6．已知f（x）＝atanx+bsin2x﹣3，且f（2）＝﹣1，则f（﹣2）＝﹣5．【分析】令g（x）＝f（x）+3，易判断函数g（x）为定义在R上的奇函数，结合f（2）＝﹣1可得g（﹣2）＝f（﹣2）+3＝﹣2，由此求得f（﹣2）＝﹣5．【解答】解：设g（x）＝f（x）+3＝atanx+bsin2x，易知函数g（x）为定义在R上的奇函数，∴g（﹣2）＝﹣g（2）＝﹣f（2）﹣3＝1﹣3＝﹣2，即f（﹣2）+3＝﹣2，∴f（﹣2）＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查函数奇偶性的运用，考查函数求值，考查运算求解能力，属于基础题．7．扇形面积为16，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为8．【分析】先利用扇形的面积公式求得扇形的半径，再由弧长公式，得解．【解答】解：扇形面积S＝αR2＝×2×R2＝16，所以扇形的半径R＝4，所以该扇形的弧长l＝αR＝2×4＝8．故答案为：8．【点评】本题考查扇形的面积和弧长公式，考查运算求解能力，属于基础题．8．已知tanθ＝2，则＝﹣．【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可求解．【解答】解：因为tanθ＝2，所以＝＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9．已知向量，方向相反，且，，则在方向上的数量投影为﹣4．【分析】根据投影的定义，应用公式在方向上的数量投影为||cosπ，求解即可．【解答】解：向量，方向相反，且，，根据投影的定义可得：在方向上的数量投影为||cosπ＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式，是基础题．10．函数的定义域为，k∈Z．【分析】由对数函数的真数大于0可知，利用余弦函数的性质可知，由此得到定义域．【解答】解：依题意，函数的定义域满足，即，由余弦函数的图象及性质可知，的解为，即所求函数的定义域为．故答案为：．【点评】本题考查对数函数的定义域以及余弦函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于基础题．11．方程cos2x﹣cosx＝0在区间[0，π]上的解集为．【分析】由已知结合二倍角的余弦公式可求cosx，进而可求x．【解答】解：由cos2x﹣cosx＝2cos2x﹣cosx﹣1＝0得cosx＝1或cosx＝﹣，因为x∈[0，π]，所以x＝0或x＝．故答案为：{0，}．【点评】本题主要考查了二倍角的余弦公式，特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．12．设函数f（x）（﹣1≤x≤10）的图像为折线QPR（如图），点Q、P、R坐标依次为（﹣1，0）、（0，﹣2）、（10，0），则满足的θ的取值范围是（2kπ，π+2kπ），k∈Z．【分析】根据一次函数解析式和P、R两点坐标求出f（x）在[0，10]上的解析式，根据定义域和正弦函数值域求出sinθ范围，从而确定3sinθ范围，令3sinθ＝t，构造函数y＝f（t+2）和函数，根据/的范围作出它们图像，数形结合即可求解．【解答】解：当0≤x≤10时，设f（x）＝kx+b，则由图可知，⇒，∴0≤x≤10时，．根据可知，3sinθ＞0⇒sinθ＞0，又∵﹣1≤sinθ≤1，∴0＜sinθ≤1，∴2＜3sinθ+2≤5，0＜3sinθ≤3，令3sinθ＝t∈（0，3]，则不等式变形为．，作出y＝f（t+2）和在t∈（0，3]上的图像：显然在t∈（0，3]上恒成立，故仅需要0＜sinθ≤1即可，解得θ∈（2kπ，π+2kπ），k∈Z．故答案为：（2kπ，π+2kπ），k∈Z．【点评】本题考查函数的性质，考查学生的分析能力及运算能力，属于中档题．二．选择题（共4小题）13．既是区间上的减函数，又是以π为周期的偶函数是（）A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝|sinx| D．y＝|cosx|【分析】结合三角函数的周期性，奇偶性及单调性分别检验各选项即可判断．【解答】解：A：y＝sinx为奇函数，不符合题意；B：y＝cosx的周期为2π，不符合题意；C：y＝|sinx|周期T＝π，为偶函数且（0，）上单调递增，不符合题意；D：y＝|cosx|为偶函数，周期T＝π，且（0，）上单调递增，不符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了函数的单调性，周期性及奇偶性的判断，属于基础题．14．已知非零向量，，，则“•＝•”是“＝”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】分别从充分性和必要性进行判断，由充分条件与必要条件的定义，即可得到答案．【解答】解：当且，则＝0，但与不一定相等，故不能推出，则“•＝•”是“＝”的不充分条件；由，可得，则，即，所以可以推出，故“•＝•”是“＝”的必要条件．综上所述，“•＝•”是“＝”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是掌握平面向量的基本概念和基本运算，属于基础题．15．在△ABC中，已知acosA＝ccosC，则△ABC的形状为（）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形【分析】首先利用正弦定理求得sin2A＝sin2C，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果．【解答】解：已知：acosA＝ccosC，利用正弦定理：＝2R，解得：sinAcosA＝sinCcosC，可得：sin2A＝sin2C，所以：2A＝2C或2A＝180°﹣2C，解得：A＝C或A+C＝90°，所以：△ABC的形状一定是等腰或直角三角形，故选：D．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于基础题型．16．设函数f（x）的图像与直线x＝a，x＝b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y＝sinnx在上的面积为，则y＝sin（x﹣π）+1在[0，2π]上的面积为（）A．4π B．2π C．π+4 D．π+2【分析】由题意得，作图，根据对称性，可求解．【解答】解：如图，y＝sin（x﹣π）+1＝1﹣sinx，根据对称性，S1＝S3，所以，阴影部分面积之和为S1+S2+S4＝S1+S2+S3＝1×2π＝2π，所以，y＝sin（x﹣π）+1在[0，2π]上的面积为2π．故选：B．【点评】本题考查了定积分的应用，属于基础题．三．解答题（共5小题）17．已知函数f（x）＝3sin2x+2sinxcosx+5cos2x．（1）若f（α）＝5，求tanα的值；（2）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，求f（x）在（0，B]上的值域．【分析】（1）把f（α）＝5代入整理可得，，利用二倍角公式化简可求tanα（2）由，利用余弦定理可得，，即，再由正弦定理化简可求B，对函数化简可得f（x）＝2sin（2x+）+4，由可求．【解答】解：（1）由f（α）＝5，得．∴．∴，即，∴．（5分）（2）由，即，得，则，又∵B为三角形内角，∴，（8分）又＝＝（10分）由，则，故5≤f（x）≤6，即值域是[5，6]．（12分）【点评】本题主要考查了利用正弦及余弦定理解三角形，辅助角公式的应用，及正弦函数性质等知识的简单综合的运用，属于中档试题．18．（1）已知角α的终边经过点P（x，6），且，求sinα和tanα的值．（2）已知，，且，求角β．【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得x的值，可得点P的坐标，从而得到sinα和tanα的值．（2）由题意先求出sinα、cos（α﹣β）的值，可得cosβ＝cos[（α﹣（α﹣β）]的值．【解答】解：（1）∵角α的终边经过点P（x，6），且＝，∴x＝﹣，∴，∴，．（2）由，得，．由，得，再根据，可得，所以，，又，∴．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属于中档题．19．如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔CD和EF．小明在只有量角器（可以测量从测量人出发的两条射线的夹角）和直尺（可测量步行可抵达的两点之间的直线距离）且不渡过河的条件下，为了计算塔CD的高度，他在点A测得点D的仰角为30°，∠CAB＝75°，又选择了相距100米的B点，测得∠ABC＝60°．（1）请你根据小明的测量数据求出塔CD高度；（2）在完成（1）的任务后，小明想要计算两塔顶之间的距离DF，在测得∠BAE＝90°之后，小明准备再测量两个角的大小，并为此准备了如下四个方案：方案①：测量∠ABF和∠DAF方案②：测量∠ABE和∠EAF方案③：测量∠ABE和∠ECF方案④：测量∠ABF和∠AFB请问：小明的备选方案中有哪些是可行的？写出所有可行方案的序号；（3）选择（2）中的一种方案，并结合以下数据，计算出两塔顶DF之间的距离，精确到米．∠ABF＝58.0°，∠ABE＝50.2°，∠DAF＝16.7°，∠EAF＝41.5°，∠ECF＝53.8°，∠AFB＝32.0°．【分析】（1）利用三角形内角和求出∠ACB，由正弦定理求出AC，在△ACD中，利用边角关系求解CD即可；（2）分别利用三角形内角和定义以及余弦定理进行分析判断即可；（3）利用（2）中的计算过程，代入数值计算即可．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝180°﹣75°﹣60°＝45°，由正弦定理可得，，所以米，又由题意可知，DC⊥AC，∠DAC＝30°，所以米；（2）可行方案：①②③．理由如下：由（1）知，米，因为∠BAE＝90°，所以AB⊥AE，由已知AB⊥EF，且AE∩EF＝E，所以AB⊥平面AEF，又AF⊂平面AEF，所以AB⊥AF，∠BAF＝90°，①若已知∠ABF和∠DAF．在直角△ABF中，AF＝AB•tan∠ABF，在△ADF中，由余弦定理可得，．②若已知∠ABE和∠EAF．在直角△ABE中，AE＝AB•tan∠ABE，因为∠EAC＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣75°＝15°，所以在△EAC中，由余弦定理可得，，在直角△AEF中，EF＝AE•tan∠EAF，在EF上截取EG＝CD，则FG＝EF﹣EG，且四边形DCEG为矩形，故EC＝DG，在直角△DGF中，．③若已知∠ABE和∠ECF．在直角△ABE中，AE＝AB•tan∠ABE，因为∠EAC＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣75°＝15°，所以在△EAC中，由余弦定理可得，，在直角△ECF中，EF＝EC•tan∠ECF，在EF上截取EG＝CD，则FG＝EF﹣EG，且四边形DCEG为矩形，故EC＝DG，在直角△DGF中，．④由于∠ABF和∠AFB在同一个三角形中，无法获取其他三角形中的边角关系，故而无法利用正弦定理和余弦定理进行求解．（3）选择方案①，解析如下：∠ABF＝58.0°，∠DAF＝16.7°，由（1）知，米．由（2）中方案①知，在直角△ABF中，AF＝AB•tan∠ABF＝100•tan58.0°＝160.03米，在△ADF中，由余弦定理可得，＝，故两塔顶DF之间的距离为47米．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，同时考查了线面垂直的判定，逻辑推理能力、转化化归能力与化简运算能力，属于中档题．20．已知函数y＝f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＜P⋅f（x）成立，则称函数f（x）是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有f（x+T）＝P⋅f（x）成立，则称函数f（x）是D上的P级周期函数，周期为T．（1）判断函数f（x）＝x2+3是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？（2）已知，y＝f（x）是[0，+∞）上的P级周期函数，且y＝f（x）是[0，+∞）上的严格增函数，当时，f（x）＝sinx+1．求当时，函数y＝f（x）的解析式，并求实数P的取值范围；（3）是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论．【分析】（1）利用P级递减周期函数定义，计算验证作答；（2）根据给定条件，利用P级周期函数定义，依次计算n＝1，2，3时解析式，根据规律写出结论作答；（3）假定存在符合题意的k值，利用P级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答．【解答】解：（1）依题意，函数f（x）＝x2+3定义域是R，2f（x）﹣f（x+1）＝2（x2+3）﹣[（x+1）2+3]＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1＞0，即∀x∈R，f（x+1）＜2f（x）成立，∴函数f（x）是R上的周期为1的2级递减周期函数；（2）∵T＝，y＝f（x）是[0，+∞）上的Pxey周期函数，∴f（x+）＝P•f（x），即f（x）＝P•f（x﹣），当x∈[0，）时，f（x）＝sinx+1，当x∈[，π）时，x﹣∈[0，），f（x）＝P[sin（x﹣）+1]，当x∈[，2π）时，x﹣∈[π，），则f（x）＝Pf（x﹣）＝P3[sin（x﹣）+1]，•••当x∈[）时，x﹣∈[（n﹣1），），则f（x）＝Pf（x﹣）＝Pn[sin（x﹣n）+1]，当x∈[0，）时，y∈[1，2），当x∈[，π）时，y∈[P，2P），当x∈[）时，y∈[P2，2P2），当x∈[）时，y∈[Pn，2Pn），∵y＝f（x）是[0，+∞）上的严格增函数，则有，解得P≥2，∴当x∈[（n∈N*）时，f（x）＝Pn[sin（x﹣）+1]，且P∈[2，+∞）．（3）假定存在非零实数，使函数f（x）＝（）x•coskx是R上的周期为T的T级周期函数，即∀x∈R，恒有cos（kx+kT）＝T•2T•coskx成立，当k≠0时，x∈R，则kx∈R，kx+kT∈R，∴coskx∈[﹣1，1]，cos（kx+kT）∈[﹣1，1]，要使cos（kx+kT）＝T•2T•coskx恒成立，则有T•2T＝±1，当T•2T＝﹣1，即时，由函数y＝2x与y＝﹣的图解存在交点知方程有解，∴存在k＝，m∈Z，符合题意，其中T满足T•2T＝1．【点评】本题考查函数新定义问题，理解新定义、找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题解答，是中档题．21．已知函数f（x）＝sin2ωx+2sinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0）．（1）化简y＝f（x）的表达式；（2）若y＝f（x）的最小正周期为π，求y＝f（x），x∈（0，）的单调区间与值域；（3）将（2）中的函数f（x）图像上所有的点向右平移φ（φ∈[0，]）个单位长度，得到函数y＝g（x），且y＝g（x）图像关于x＝0对称．若