第一讲 方程思想在解三角形中的应用（原卷版）

方程思想在解三角形中的应用方程思想是高中数学重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（组）、或构造方程来分析数学变量问的等量关系，通过解方程（组），或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决。孰练运用方程思想解决数学问题是高中阶段重要的数学能力之一，也是历年高考的重点。在解三角形的学习中,尤其注重对方程思想的考查,例如方程思想在已知周长、面积等几何信息解三角形，在已知周长、面积等几何信息求长度、周长、面积等最值，在“双正弦”及“双余弦”类解三角形中都有广泛的重要应用，而本文会重点就方程思想思想在解三角形中的几类应用展开详细讲解。【应用一】方程思想在已知周长、面积等几何信息解三角形中的应用我们在学习解三角形时，会遇到已知边角关系、周长面积关系来解三角形，求出其他对应元素或对应值，此时我们常常借助正余弦定理来综合解题，在使用正余弦定理解题时，我们经常说：“由正弦定理可得”，得到一个方程，“由余弦定理可得”，再得到一个方程，或者说：“由周长或面积关系”，得到一个方程，而此时我们需要把一个方程或多个方程联立求解，这就是数学中常见的方程思想，也是解三角形中常见的重要数学思想，接下来我们会分类学习方程思想在解三角形中的应用，首先学习方程思想在已知周长、面积等几何信息解三角形中的应用，例如下面这道例题：【例1】（2023·辽宁·校联考模拟预测）在中，角，，所对的边分别为、、，已知（1）求角的大小；（2）若的面积为，且，求，.本题是模考或高考中解三角形较常规的题型，解题关键突破口在于运用已知条件列式求解，第一问由正弦定理的边角互化可求得；第二问已知三角形面积为，此时我们利用面积公式来把面积关系表示出来，面积公式有关于三边高及三个角的，我们该如何选择求解公式呢？其实题目中已知或求解出哪个角，我们便可以选择使用关于这个角的面积公式，即，可解到，我们记为方程①；通过观察发现第二问题干还已知了，结合，这类已知对边对角且要求解另外两边的问题，我们选择余弦定理求解，即，解得，我们记为方程②，此时联立方程组便可求解【思维提升】通过本题我们不难发现，对于已知周长、面积等几何信息解三角形时，我们都可以使用方程思想，列式联立方程求解即可，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究解三角形中其他形式的求值问题【变式1.1】（2023·广东·高三联考）在中，，，分别为内角，，的对边，若，，且，则（

）A． B．4 C． D．5【变式1.2】（2023·黑龙江·高三统考）在中，内角、、所对的边分别为、、，已知．（1）求的值；（2）若的面积为，，求、的值．【变式1.3】（2023·湖北武汉高三模拟预测）设的内角、、的对边长分别为、、，，.(1)求；(2)若，求的周长.【应用二】方程思想在已知周长、面积等几何信息求长度、周长、面积等最值中的应用我们在学习解三角形时，经常会遇到关于角度、三角函数值、边长、周长和面积的最值求解，若能转换成三角函数，我们可以求出值域从而得到最值范围，但有些题不能转换成三角函数或转换后不易求解，那么此时我们又该怎样求解最值及范围呢？其实我们可以借助基本不等式来求解最值，首先补充下基本不等式的相关公式及应用，，当且仅当时取等号，或写成，当且仅当时取等号；有时我们也会使用到重要不等式，，当且仅当时取等号。其实在使用基本（重要）不等式求解最值时，就是方程思想在数学中的应用，例如下面这道例题：【例2】（2023·全国·高三模拟预测改编）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则△ABC面积的最大值为．周长的最大值为．本题是模考或高考中解三角形较常规的题型，解题关键突破口在于运用已知条件列式求解得到关于“、或”的表达式，由结合三角形内角和关系及倍角公式可解得，利用余弦定理于是我们得到，即，再结合重要不等式，即解得，进而可求得面积最大值。那么周长的最大值又该如何求解呢？其实要求周长最大值，等价于求解的最大值，我们需要去建立关于“”的式子，由，即，即，，故，进而可求得周长最值【思维提升】通过本题我们不难发现，对于周长及面积类最值，我们都可以使用方程思想，列式得到关于“、或”的表达式，进而通过基本不等式及重要不等式可求解，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究解三角形中其他形式的最值问题【变式2.1】（2023·陕西·统考二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若的面积为，则的最小值为．【变式2.2】（2023·全国·高三模拟）记的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)求A；(2)若，求的面积的最大值.【变式2.3】（2023·湖南·高三模拟）在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，．(1)若，求的面积；(2)求周长的最大值．【应用三】方程思想在“双正弦”及“双余弦”类解三角形中的应用我们在学习解三角形时，经常会遇到有公共边或互补角的直观的图形类或文字类的三角形求解，我们经常在不同的三角形中由正弦定理或余弦定理列方程，再通过两个三角形的边角关系可联立方程求解，其实这类思想就是数学中的方程思想，例如下面这两道例题：【例3.1】（2023·江苏·高三模拟）已知四边形是由和拼接而成的，且在中，.（1）求角的大小；（2）若，，，，求的长.本题第一问由题干条件和余弦定理解得；第二问中由四边形ABCD内角和可求得，可设，则，所以，在中和在中分别由正弦定理列方程得①，②，联立方程即可求解【例3.2】（2023·重庆·高三重庆一中校考）如图，在中，若，D为边上一点，，，，则．

本题第由题干条件和正弦定理解得，可设，则，在中和在中分别由余弦定理列方程得①，②，再结合，即（），解方程即可求解【思维提升】通过本题我们不难发现，对于有公共边或互补角的直观的图形类或文字类的三角形求解，我们可以在不同的三角形中由正弦定理或余弦定理列方程，再通过两个三角形的边角关系可联立方程求解，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究解三角形中其他较复杂的双正余弦问题【变式3.1】（2023·上海·高三模拟预测）如图，在中，角的对边分别为.已知.(1)求角；(2)若为线段延长线上一点，且，求.【变式3.2】（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且．(1)求证：；(2)若，求．【变式3.3】（2023春·高三模拟）已知的内角的对边分别为，满足，(1)求；(2)是线段边上的点，若，求的面积.【变式3.4】（2023·湖北武汉·统考一模）在中，，D为中点，.(1)若，求的长；(2)若，求的长.巩固练习1．（2022·内蒙古·赤峰二中校考一模）中，分别是角的对边，成等差数列，，的面积为，那么=．2．（2023·广东·高三校考）已知中，，若，则周长的最大值为.3．（2023辽宁大连·高二校考开学考试）已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）证明：；（2）记线段上靠近点的三等分点为，若，，求.4．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求；(2)若，的面积为，求的周长.5．（2023·山东枣庄·统考三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求；(2)求的最小值.6．（2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习）在中，角的对边分别是，点是边上的一点，且.(1)求证：；(2)若求面积.7．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）在中，角的对边分别为，且满足.(1)求角的大小；(2)若为边的中点，且，求的面积.8．（2023春·全国·高