第八章 二元一次方程组 章末检测卷（解析版）

第八章二元一次方程组章末检测卷全卷共26题，满分：120分，时间：120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022·河南淇县·七年级期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数为1的整式方程对个选项进行一一排查即可．【详解】解：A.第二个方程中的是二次的,故本选项错误；B.方程组中含有3个未知数，故本选项错误；C.符合二元一次方程组的定义，故本选项正确；D.第二个方程中的xy是二次的，故本选项错误．故选C．【点睛】:根据组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，判断各选项即可．2．（2022·江苏宿迁·七年级期末）二元一次方程有无数个解，下列各组数值中，不是该方程的解的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将选项中的解代入方程中即可判断是否为正确的解．【详解】解：A．，此选项不符合题意；B．，此选项符合题意；C．，此选项不符合题意；D．，此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组解的问题，解题的关键是进行正确的计算．3．（2022·重庆北碚区·七年级期末）古代《折绳测井》“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？“译文大致是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等分，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等分，井外余绳1尺，问绳长、井深各是多少尺？“如果设绳长x尺，井深y尺，根据题意列方程组正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．【详解】解：设绳长x尺，井深y尺，根据题意可得故选：A【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．4．（2022·江苏·七年级期中）小明解得方程组解为，由于不小心上了两滴墨水刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（

）A．10和4 B．2和－4 C．－2和4 D．－2和－4【答案】B【分析】把，代入，得，把，代入，得．【详解】解：把，代入，得★，★，即，把，代入，得，，故选：B．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握将解代入原方程组求出有关的数值是解题关键．5．（2022·江苏·七年级课时练习）我们规定：表示不超过的最大整数，例如：，，，则关于和的二元一次方程组的解为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据的意义可得，和均为整数，两方程相减可求出，，将代入第二个方程可求出x.【详解】解：，∵表示不超过的最大整数，∴，和均为整数，∴x为整数，即，∴①－②得：，∴，，将代入②得：，∴，故选：A.【点睛】本题考查了新定义以及解二元一次方程组，正确理解的意义是解题的关键.6．（2022·遂宁市七年级期中）解方程组如果要使运算简便，那么消元时最好应（

）A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消常数项【答案】B【分析】观察发现，未知数y的系数具有相同，或互为相反数，从而可确定先消去y．【详解】解：观察未知数的系数特点发现：未知数y的系数要么相等，要么互为相反数，所以要使运算简便，那么消元时最好应先消去y，故选B【点睛】本题考查的是解方程组，消元的技巧，掌握“根据相同未知数的系数特点进行消元”是解本题的关键．7．（2022·河南·漯河七年级期末）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，利用换元法，结合题意求出，从而得出，再解关于m、n的二元一次方程组即可．【详解】解：设，则，由题意得：，即，解得．故答案为：A【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能得出关于m、n的方程组是解此题的关键．8．（2022·湖北黄冈·七年级期末）已知x，y，z满足，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】按照解三元一次方程组的步骤先求出、，后代入式子中进行计算即可解答．【详解】解：，由①+②得：，∴③，将③代入①，得，解得：，∴==3，故选：B．【点睛】本题考查了解三元一次方程组，求代数式的值，熟练掌握解三元一次方程组的方法——代入消元法和加减消元法是解题的关键．9．（2022·湖南邵阳·七年级期中）已知关于，的方程组有下列结论：①是方程组的解；②存在，使得；③当时，方程组的解也是方程的解；④，的解都为自然数的解有无数对．其中正确的个数为（

）A．3个 B．2个 C．1个 D．4个【答案】A【分析】由方程组可得x=2a+2、y=a-1，将x=2、y=1分别代入求得a的值可判断①；由x=y求得a的值可判断②；由a=0求得x、y的值，代入x+y=1+a可判断③；由y=a-1得a=y+1，将其代入x=2a+2可判断④．【详解】解：，②-①，得：3y=3a-3，即y=a-1，代入①，得：x=2a+2，若x=2得2a+2=2，解得a=0，若y=1得a-1=1，解得：a=2，故①错误；当x=y时，2a+2=a-1，解得a=-3，故②正确；当a=0时，方程组的解为，代入x+y=1+a得2-1=1+0，成立，故③正确；由y=a-1得a=y+1，代入x=2a+2，得：x=2y+4，此方程有无数组自然数解，故④正确；正确的有②③④．故选：A．【点睛】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解是解题的关键．10．（2022·仁寿县七年级期中）我校七年级某班为筹备篮球运动会，准备用265元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱恰好用尽的条件下，有(

)种购买方案．A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【答案】B【分析】设甲种运动服买了x套，乙种买了y套，根据准备用265元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下可列出方程，且根据x，y必需为正整数可求出解．【详解】解：设甲种运动服买了x套，乙种买了y套，20x+35y=265，得，∵x，y必须为正整数，∴＞0，即0＜y＜，∴当y=3时，x=8当y=7时，x=1．所以有两种方案．故选：B．【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是根据题意列出二元一次方程，然后根据解为正整数确定值从而得出结果．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11．（2022·天津七年级期中）若是关于，的二元一次方程，则_________，_________．【答案】

【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．据此解答即可．【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程，∴且，解得，n=4．故答案为：，．【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．12．（2022·北京市第三十九中学七年级期中）已知关于，的二元一次方程组的解是，则______．【答案】3【分析】首先把代入原方程组得到关于、的方程组，然后解这个方程组求出、的值，最后代入所求代数式计算即可．【详解】解：把代入原方程组得：，解这个方程组得：，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程组解的定义，也考查了求代数式的值的问题，根据题意求出a、b是解题的关键．13．（2022·湖南·长沙市中雅培粹学校八年级开学考试）已知，满足方程组，则的值为______．【答案】2【分析】利用整体思想的得出结果，之后等式两边都除以，即可得出的值．【详解】解：，得，；故答案为：．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握用整体思想解决问题是解题的关键．14．（2022·江苏·七年级期末）一家四口人的年龄加在一起是100岁，弟弟比姐姐小8岁，父亲比母亲大2岁，十年前他们全家人年龄的和是65岁，则父亲今年的年龄为__________岁．【答案】42【分析】由题意得：弟弟今年的年龄为5岁，姐姐今年的年龄为13岁，设母亲今年的年龄为x岁，父亲今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是100岁，父亲比母亲大2岁，列出方程组，解方程组即可．【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁，但实际上100-65=35（岁），说明十年前弟弟没出生，则弟弟的年龄为10-（40-35）=5（岁），姐姐的年龄为5+8=13（岁），设母亲今年的年龄为x岁，父亲今年的年龄为y岁，由题意得：，解得：，即父亲今年的年龄为42岁，故答案为：42．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．15．（2022·江苏·扬州市江都区第三中学七年级阶段练习）若方程组无解，则a的值为________【答案】-6【分析】根据加减消元法得出，然后根据方程组无解，得到a+6=0，求出即可．【详解】解∶，①×3+②，得，∵方程组无解，∴a+6=0，∴a=-6．故答案为：-6．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点的应用，关键是根据题意得出一个关于a的方程（a＋6＝0），题目比较典型，有一点难度，是一道容易出错的题目．16．（2022·江苏·七年级阶段练习）如图，正方形由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍，若中间小正方形的面积为1，则大正方形的面积是__________．【答案】16【分析】设小长方形的长为a，宽为b，则大长方形的长为2a，宽为2a，根据图形中大小长方形长与宽之间的关系，列出二元一次方程组，进行计算即可得．【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b，则大长方形的长为2a，宽为2a，依题意得，解得，∴大长方形的边长为：，∴，故答案为：16．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系列出二元一次方程组并正确求解．17．（2022·上海普陀·期末）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．如果一个二元一次方程的解中两个未知数的绝对值相等，那么我们把这个解称做这个二元一次方程的等模解．二元一次方程2x﹣5y＝7的等模解是____．【答案】或【详解】解：根据题意得：或，解得：或，故答案为：或．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是需要分两种情况解方程组，注意不要漏解．18．（2022·重庆·七年级期末）我国的经济总量己居世界第二，人民富裕了，很多家庭都拥有多种车型．小明家有A、B、C三种车型，已知3辆A型车的载重量与4辆B型车的载重量之和刚好等于2辆C型车的载重量；4辆B型车的载重量与1辆C型车的载重量之和刚好等于6辆A型车的载重量．现有一批货物，原计划用1辆C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排1辆A型车单独装运9次，余下的货物由1辆B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运____次(每辆车每次都满载重量)．【答案】8．【分析】设每辆A型车满载重量为a，设每辆B型车满载重量为b，设每辆C型车满载重量为c，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运x次，根据题意列出方程组解得x便可．【详解】解：设每辆A型车满载重量为a，设每辆B型车满载重量为b，设每辆C型车满载重量为c，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运x次，根据题意得，，②﹣①，得9a＝3c，∴a＝c，把a＝c代入②，得b＝c，把a＝c，b＝c，代入③得，3c+cx﹣5c=0，∴cx＝8c，∵c≠0，∴x＝8．故答案为8．【点睛】本题考查方程组的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出正确的方程组并求解．三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022·浙江台州·七年级期末）用适当方法解下列方程组：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用加减消元法，进行计算即可解答；（2）利用代入消元法，进行计算即可解答．（1）解①+②得：解得把代入①得：解得∴原方程组的解为．（2）把①代入②得：解得把代入①得：解得∴原方程组的解为【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．20．（2022河南安阳·七年级期末）已知关于x、y的方程组的解和的解相同，求代数式2a+b的平方根．【答案】代数式2a+b的平方根是．【分析】由已知解方程组，解得，将代入中，得，即可求解．【详解】解：方程组的解和的解相同，与的解相同，，①得，③，②得，④，③④得，，将代入①得，，方程组的解为，将代入中，得，的平方根为．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，理解同解二元一次方程组的含义，将所给方程组重新组合新的方程组，灵活运用加减消元法和代入消元法求方程组的解是解题的关键，也考查了平方根的性质．21．（2022·北京市怀柔区第五中学七年级期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式．(1)填空：将写成矩阵形式为：；(2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意中的定义将方程组转换为：，按照定义即可写出矩阵；（2）根据矩阵形式写成方程组的形式，将题目告知的解代入方程组，解得系数a、b．（1）解：整理方程得，，因此矩阵形式为：；（2）根据矩阵形式得到方程组为：，将代入上述方程得，，解得：．【点睛】本题是二元一次方程组求解题，解题关键在于正确理解题意并计算．22．（2022·河北石家庄·七年级期中）甲、乙、丙在探讨问题“已知，满足，且求的值．”的解题思路时，甲同学说：“可以先解关于，的方程组再求的值．”乙、丙同学听了甲同学的说法后，都认为自己的解题思路比甲同学的简单，乙、丙同学的解题思路如下．乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求的值；丙同学：先解方程组，再求的值．你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．【答案】我最欣赏乙同学的解法，，理由见解析【分析】我最欣赏乙同学的解法，根据乙的思路求出的值，分析简便的原因．【详解】解：我最欣赏乙同学的解法，，得：，整理得：，代入得：，解得：，这样解题采用了整体代入的思想，利用简化运算．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，能观察方程特点并运用整体代入的方法是解题的关键．消元的方法有：代入消元法与加减消元法．23．（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级阶段练习）已知方程组，求的值．小明凑出“”，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦！他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设，对照方程两边各项的系数可列出方程组它的解就是你凑的数！(1)根据丁老师的提示，已知方程组，求的值．(2)已知，且，当为时，为定值，此定值是．（直接写出结果）【答案】(1)7(2)-2，8【分析】（1）仿照样例进行解答便可；（2）仿照样例进行解答．（1）解：假设2x+5y+8z＝m•（x+2y+3z）+n•（4x+3y+2z），对照方程两边各项的系数可列出方程组解得，∴，∴．（2）设8a+3b﹣2c＝m（2a﹣b+kc）+n（a+3b+2c），，∴，∴8a+3b﹣2＝3×4+2×（﹣2）＝8．故答案为：﹣2；8．【点睛】本题主要考查了方程组的解法，求代数式的值，关键读懂样例的解题方法．24．（2022·浙江湖州·七年级期末）某水果销售商前往水果批发市场进货，已知苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱．(1)问苹果、橙子各购买了多少箱？(2)该水果销售商有甲、乙两家店铺，因地段不同，每售出一箱苹果和橙子的获利也不同，甲店分别可获利12元和18元，乙店分别可获利10元和15元．现将购进的80箱水果中的a箱苹果和b箱橙子分配到甲店，其余的分配到乙店．由于口碑良好，两家店都很快卖完这批水果．若此次销售过程中销售商在甲店获利600元，那么在乙店获利多少元？【答案】(1)苹果、橙子各购买50箱、30箱．(2)在乙店获利450元．【分析】（1）设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱，根据“苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱”，列出方程组求解即可；（2）由题意可得销售商在甲店获利，整理后得到2a＋3b＝100，再表示出在乙店的获利，整理后把2a＋3b＝100整体代入即可得到答案．（1）解：设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱，根据题意得，，解得，，答：苹果、橙子各购买了50箱、30箱．（2）解：由题意可得销售商在甲店获利为：12a＋18b＝600（元），整理得，2a＋3b＝100，销售商在乙店获利为：10（50－a）＋15（30－b）＝950－10a－15b＝950－5（2a＋3b）＝950－5×100＝450（元），即在乙店获利450元．答：在乙店获利450元．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程组是解题的关键．25．（2022·河南南阳·七年级期中）我市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段长360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治16米，乙工程队每天整治24米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？(1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下：①小明同学：设整治任务完成后单工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据题意，得②小华同学：设整治任务完成后，表示______，表示______；则可列方程组为请你补全小明、小华两位同学的解题思路．(2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程．【答案】(1)①；②甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数；见解析(2)见解析【分析】（1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．根据甲、乙两队共完成120米的整治河道任务且共同时20天，即可得出关于x，y的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出m，n表示的意义；（2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论．（1）①

故答案为：；

②m表示甲工程队工作的天数；n表示乙工程队工作的天数故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数；（2）选择①解：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．则解得

经检验，符合题意答：甲工