重难点突破：专题01 相交线（解析版）

专题01相交线重点邻补角与对顶角的有关概念和计算难点同位角、内错角、同旁内角的判断易错垂线的画法，识别同位角、内错角、同旁内角一、对顶角和邻补角的有关计算1．补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个．2．识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边．先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线．两条直线相交形成两对对顶角．【例1】如图，直线，相交于点，，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵直线AB，CD相交于点O，∠BOC与∠BOD是邻补角，∴∠BOC+∠BOD=180°.∵OM⊥AB，∴∠BOM=∠BOD+∠MOD=90°，∴∠BOD=90°-∠MOD=90°-30°=60°，∴∠BOC=180°-∠BOD=180°-60°=120°.故选：C【例2】如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论：①当时，；②为的平分线；③若时，；④．其中正确的结论有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【解析】解：∵∠AOE=90°，∠DOF=90°，∴∠BOE=90°=∠AOE=∠DOF，∴∠AOF+∠EOF=90°，∠EOF+∠EOD=90°，∠EOD+∠BOD=90°，∴∠EOF=∠BOD，∠AOF=∠DOE，∴当∠AOF=50°时，∠DOE=50°；故①正确；∵OB平分∠DOG，∴∠BOD=∠BOG，∴∠BOD=∠BOG=∠EOF=∠AOC，故④正确；∵，∴∠BOD=180°-150°=30°，∴故③正确；若为的平分线，则∠DOE=∠DOG，∴∠BOG+∠BOD=90°-∠EOE，∴∠EOF=30°，而无法确定，∴无法说明②的正确性；故选：B．二、垂线的定义与垂线段的性质1．垂线的定义具有判定和性质的双重作用，即：知直角得线垂直；反之，知线垂直得直角．2．线段是一条线段，可以度量长度，“一点”必须在直线外，若这点在直线上，就构不成垂线段，故这一点不能在直线上．3．垂线段和点到直线的距离是两个不同的概念，垂线段是一条线段，是图形；而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量．【例3】如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则下列结论中，正确的个数为（）①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】①，AB⊥AC，①正确；②∠DAC≠90°，AD与AC不互相垂直，②错误；③点C到AB的垂线段是线段AC，③错误；④点A到BC的距离是线段AD的长度，④错误；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离，⑤正确；⑥线段AB的长度是点B到AC的距离，⑥错误．综上所述：①⑤正确，共计2个．故选B．【例4】如图，直线AB与CD相交于点O，∠BOD=40°，OE⊥AB，则∠COE的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∵∠BOD=40°，∴∠AOC=∠BOD=40°，∴∠EOC=∠AOE+∠AOC=130°．故选：B．三、同位角、内错角、同旁内角的识别1．识别同位角、内错角、同旁内角时，先在图形上标出两个角的边，然后抽取图形，并观察图形属于“F”“Z”还是“U”形，进而根据所属的形状确定角的类型．2．在“三线八角”图形中，由两角判别截线和被截线的方法是看角的两边的位置；共线的一边所在的直线为截线，另两边所在的直线为被截线．3．这三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况下，大小是不确定的；同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，没有公共顶点，但有一条边共线，且在截线上，另一边分别在两条被截线上；两条直线被第三条直线截成的8个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．【例5】下列四幅图中，和是同位角的是（

）A．（1）、（2） B．（3）、（4） C．（1）、（2）、（4） D．（2）、（3）、（4）【答案】C【解析】解：（1）、（2）、（4）的两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，故选：C．【例6】如图，与∠B互为同旁内角的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】解：∠B的同旁内角有：∠BDE、∠BCE、∠BAC共3个．故选C．【例7】如图，图形中不是同位角的是（）​A．∠3与∠6 B．∠4与∠7 C．∠1与∠5 D．∠2与∠5【答案】C【解析】解：A、∠3与∠6符合同位角定义，正确；B、∠4与∠7符合同位角定义，正确；C、∠1与∠5是同旁内角，错误；D、∠2与∠5符合同位角定义，正确；故选C．一、单选题1．下列各图中，与是对顶角的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：A．根据对顶角的定义，∠1与∠2不是对顶角，故选项错误，不符合题意；B．根据对顶角的定义，∠1与∠2是对顶角，故选项正确，符合题意；C．根据对顶角的定义，∠1与∠2不是对顶角，故选项错误，不符合题意；D．根据对顶角的定义，∠1与∠2不是对顶角，故选项错误，不符合题意；故选：B．2．（2021·重庆市第九十五初级中学校七年级阶段练习）下列图中，∠1与∠2是同位角的是（

）A． B． C．D．【答案】B【解析】解：选项A中的两个角是同旁内角，因此不符合题意；选项C中的两个角既不是同位角、也不是内错角、同旁内角，因此不符合题意；选项D不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意；只有选项B中的两个角符合同位角的意义，符合题意；故选：B．3．如图，河道的同侧有、两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（

）A．B．C． D．【答案】D【解析】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：故选：D．4．如图所示，直线AB与CD相交于点O，则下列说法正确的是（

）A．和互为余角 B．和是对顶角C． D．【答案】D【解析】解：A．和互为邻补角，故此选项错误，不符合题意；B．和互为邻补角，故此选项错误，不符合题意；C．不一定成立，故此选项错误，不符合题意；D．和互为邻补角，，故此选项正确，符合题意；故选：D．5．两条直线相交构成四个角，给出下列条件：①有一个角是直角；②有一对对顶角互补；③有三个角都相等；④有一组邻补角相等．其中能判定这两条直线互相垂直的有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【解析】解：①如图，若∠AOC=90°，∴AB⊥CD，所以此选项能判定这两条直线垂直；②如图，若∠AOC+∠BOD=180°，∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC=∠BOD=90°，∴AB⊥CD；所以此选项能判定这两条直线垂直；③如图，若∠AOC=∠COB=∠BOD，∵∠AOD=∠COB，∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD，∵∠AOC+∠COB+∠BOD+∠AOD=360°，∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°，∴AB⊥CD；所以此选项能判定这两条直线垂直；④如图，若∠AOC=∠AOD，∵∠AOC+∠AOD=180°，∴∠AOC=∠BOD=90°，所以此选项能判定这两条直线垂直；故能判定这两条直线垂直的有：①②③④；故选：A．6．如图，小明手持手电筒照向地面，手电筒发出的光线CO与地面AB形成了两个角，∠BOC＝8∠AOC，则∠BOC的度数是（）A．160° B．150° C．120° D．20°【答案】A【解析】解：，，，，，故选：A．二、填空题7．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝72°，过点O作OF⊥CD，则∠EOF＝_____度．【答案】54【解析】解：∵∠AOC＝72°，∴∠DOB＝72°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠DOB＝36°，∵OF⊥CD，∴∠DOF＝90°，∴∠EOF＝90°﹣36°＝54°．故答案为：548．射线OA表示的方位角是南偏东，射线OB与射线OA构成平角，那么射线OB所表示的方位角是___．【答案】北偏西25°【解析】解：如图，∵射线OB与射线OA构成平角，∴∠BOD=∠AOC=25°，即射线OB所表示的方位角是北偏西25°．故答案为：北偏西25°三、解答题9．如图，直线AB，CD，EF交于点O，OB平分∠DOG，且CD⊥EF，∠AOE＝65°，求∠DOG的度数．【答案】∠DOG＝50°．【解析】解：∵CD⊥EF，∴∠DOE＝90°，∵∠AOE＝65°，∴∠DOB＝180°﹣∠AOE﹣∠EOD＝25°，∵OB平分∠DOG，∴∠DOG＝2∠DOB＝50°．10．如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠COB，OF是∠EOD的角平分线．(1)证明：∠AOD＝2∠COE；(2)若∠AOC＝50°，求∠EOF的度数；(3)若∠BOF＝15°，求∠AOC的度数．【答案】(1)见解析(2)57.5°(3)40°【解析】(1)解：∵OE平分∠COB，∴∠COE=∠COB，∵∠AOD=∠COB，∴∠AOD=2∠COE；(2)解：∵∠AOC=50°，∴∠BOC=180°-50°=130°，∴∠EOC=∠BOC=65°，∴∠DOE=180°-∠EOC=180°-65°=115°，∵OF平分∠DOE，∴∠EOF=∠DOE=57.5°；(3)解：设∠AOC=∠BOD=α，则∠DOF=α+15°，∴∠EOF=∠DOF=α+15°，∴∠EOB=∠EOF+∠BOF=α+30°，∴∠COB=2∠EOB=2α+60°，而∠COB+∠BOD=180°，即，3α+60°=180°，解得，α=40°，即，∠AOC=40°．一、单选题1．下列图形中，与是同旁内角的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵A选项中的两个角，符合同旁内角的定义，∴选项A正确；∵B选项中的两个角，不符合同旁内角的定义，∴选项B错误；∵C选项中的两个角，不符合同旁内角的定义，∴选项C错误；∵D选项中的两个角，不符合同旁内角的定义，∴选项D错误；故选A．2．如图，两条直线CD，EF相交于点O，OM平分∠EOD，若∠COF＝120°，则∠EOM的度数是（

）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】B【解析】解：∵∠COF＝120°，∴∠EOD＝∠COF＝120°，∵OM平分∠EOD，∴∠EOM∠EOD＝60°．故选：B．3．如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，若，则的度数为（

）A．30° B．25° C．20° D．10°【答案】D【解析】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．故选：D．4．下列说法中，正确的是（）A．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离B．互相垂直的两条直线不一定相交C．直线AB外一点P与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是7cm，则点P到直线AB的距离是7cmD．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线【答案】C【解析】从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，即选项A错误；在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交，即选项B错误；直线AB外一点P与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是7cm，则点P到直线AB的距离是7cm，即选项C正确；在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，即选项D错误；故选：C．5．、、是直线上的三点，是直线外一点，且，，．由此可知，点到直线的距离是（

）A． B．不小于 C．不大于 D．在与之间【答案】C【解析】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，∴点P到直线l的距离≤PA，即点P到直线l的距离不大于5cm，∴点P到直线l的距离不可能是在6cm与8cm之间．故选：C．6．如图所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（）①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD的长度；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥AD+BD＞AB．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解析】解：由∠BAC＝90°，AD⊥BC，得AB⊥AC，故①正确；AD与AC不垂直，故②错误；点C到AB的垂线段是线段AC的长，故③错误；点A到BC的距离是线段AD的长度，故④正确；线段AB的长度是点B到AC的距离，故⑤正确；AD+BD＞AB，故⑥正确；故选：C．二、填空题7．如下图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是，理由是______．【答案】垂线段最短【解析】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，∵PB⊥AD，∴PB最短．故答案为：垂线段最短．8．如图，已知平面内，，若平分，，则____________°．【答案】或【解析】解：如图，，，平分，，如图，同理可得：故答案为：或三、解答题9．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2：∠1=4：1，求∠AOF．【答案】【解析】解：设，则，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴．10．如图，直线AB、CD相交于点O，