2021新高考数学新课程一轮复习学案第三章第7讲解三角形应用举例

第7讲解三角形应用举例[考纲解读]1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．(重点)2.利用正、余弦定理解决实际问题，主要考查根据实际问题建立三角函数模型，将实际问题转化为数学问题．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个考查内容．预计2021年会强化对应用问题的考查．以与三角形有关的应用问题为主要命题方向，结合正、余弦定理求解平面几何中的基本量，实际背景中求距离、高度、角度等均可作为命题角度．试题可以为客观题也可以是解答题，难度以中档为主.1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线eq\o(□,\s\up4(01))上方的角叫仰角，在水平线eq\o(□,\s\up4(02))下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．1．概念辨析(1)东北方向就是北偏东45°的方向．()(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的()A．北偏西34°27′ B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′ D．南偏西34°27′答案A解析由方向角的概念知，B在A的北偏西34°27′.(2)已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为()A．10km B．10eq\r(3)kmC．10eq\r(5)km D．10eq\r(7)km答案D解析由余弦定理可得，AC2＝AB2＋CB2－2AB·CB·cos120°＝102＋202－2×10×20×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝700.∴AC＝10eq\r(7)(km)．(3)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________m.答案50eq\r(2)解析在△ABC中，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，又因为AC＝50m，所以由正弦定理得AB＝eq\f(ACsin∠ACB,sin∠ABC)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．(4)如图，从无人机A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时无人机的高度是46m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，eq\r(3)≈1.73)答案60解析由图可知，AB＝eq\f(46,sin67°)，在△ABC中，由正弦定理可知eq\f(AB,sin30°)＝eq\f(BC,sin37°)，所以BC＝eq\f(ABsin37°,sin30°)＝eq\f(46sin37°,sin67°sin30°)≈eq\f(46×0.60,0.92×0.5)＝60(m)．题型一测量距离问题1．一艘船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为()A．15eq\r(2)km B．30eq\r(2)kmC．45eq\r(2)km D．60eq\r(2)km答案B解析作出示意图如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，∴∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.在△AMB中，由正弦定理，得eq\f(60,sin45°)＝eq\f(BM,sin30°)，解得BM＝30eq\r(2).2．(2019·宁德模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点的距离为________．答案80eq\r(5)解析由已知，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理，得AC＝eq\f(80sin150°,sin15°)＝eq\f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq\r(6)＋eq\r(2))，在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠CBD＝30°，由正弦定理eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，得BC＝eq\f(CD·sin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(80×sin15°,\f(1,2))＝160sin15°＝40(eq\r(6)－eq\r(2))；在△ABC中，由余弦定理，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1600×(8＋4eq\r(3))＋1600×(8－4eq\r(3))＋2×1600×(eq\r(6)＋eq\r(2))×(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(1,2)＝1600×16＋1600×4＝32000，解得AB＝80eq\r(5)，则A，B两点的距离为80eq\r(5).(1)测量距离问题，无论题型如何变化，即两点的情况如何变化，实质都是要求这两点间的距离，无非就是两点所在三角形及其构成元素的所知情况不同而已，恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形是解题的基础，将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键.(2)求距离问题的两个策略①选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.②确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.如图，在海岸线上相距2eq\r(6)千米的A，C两地分别测得小岛B在A的北偏西α方向，在C的北偏西eq\f(π,2)－α方向，且cosα＝eq\f(\r(6),3)，则B，C之间的距离是()A.30eq\r(3)千米 B．30千米C.12eq\r(3)千米 D．12千米答案D解析由题意，得AC＝2eq\r(6)，sinA＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα＝eq\f(\r(6),3)，sinB＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝cos2α＝2cos2α－1＝eq\f(1,3)，在△ABC中，由正弦定理得BC＝eq\f(ACsinA,sinB)＝eq\f(2\r(6)×\f(\r(6),3),\f(1,3))＝12，则B与C的距离是12千米.题型二测量高度问题1．(2019·长沙一中模拟)如图，在路边安装路灯，路宽为OD，灯柱OB高为10m，灯杆AB长为1m，且灯杆与灯柱成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，其轴截面的顶角为2θ，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直．若灯罩截面的两条母线所在直线中的一条恰好经过点O，另一条与地面的交点为E.则该路灯照在路面上的宽度OE的长是________m.答案eq\f(40\r(3),3)解析在△AOB中，由余弦定理可得OA＝eq\r(111)m，由正弦定理得sin∠BAO＝eq\f(5\r(37),37)，因为∠BAO＋θ＝eq\f(π,2)，所以cosθ＝sin∠BAO＝eq\f(5\r(37),37)，sinθ＝eq\f(2\r(3),\r(37))，则sin2θ＝2sinθcosθ＝eq\f(20\r(3),37).易知∠ACO＝60°，则sin∠AEO＝sin(60°－θ)＝eq\f(3\r(3),2\r(37))，在△AOE中，由正弦定理可得OE＝eq\f(OAsin2θ,sin∠AEO)＝eq\f(40\r(3),3)m.2．如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽车从B点到C点历时14s，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1).参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(5)≈2.236.答案22.6解析因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.设这辆汽车的速度为vm/s，则BC＝14v.在Rt△ADB中，AB＝eq\f(AD,cos∠BAD)＝eq\f(100,cos60°)＝200.在Rt△ADC中，AC＝eq\f(AD,cos∠CAD)＝eq\f(100,cos45°)＝100eq\r(2).在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(100eq\r(2))2＋2002－2×100eq\r(2)×200×cos135°，所以v＝eq\f(50\r(10),7)≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6m/s.求解高度问题的注意事项(1)理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)等的定义.(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．如举例说明2.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.1．如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为()A.700m B．640mC．600m D．560m答案C解析在Rt△AMD中，AM＝eq\f(MD,sin45°)＝eq\f(400,\f(\r(2),2))＝400eq\r(2)(m)，在△MAC中，∠AMC＝45°＋15°＝60°，∠MAC＝180°－45°－60°＝75°，∠MCA＝180°－∠AMC－∠MAC＝45°，由正弦定理得AC＝eq\f(AMsin∠AMC,sin∠MCA)＝eq\f(400\r(2)×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝400eq\r(3)(m)．在Rt△ABC中，BC＝ACsin∠BAC＝400eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝600(m).2．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.答案150解析在△ABC中，AC＝100eq\r(2)，在△MAC中，eq\f(MA,sin60°)＝eq\f(AC,sin45°)，解得MA＝100eq\r(3)，在△MNA中，eq\f(MN,100\r(3))＝sin60°＝eq\f(\r(3),2)，故MN＝150，即山高MN为150m.题型三测量角度问题1.在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进10eq\r(3)m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，则θ的大小为________.答案15°解析在△ACD中，AC＝BC＝30，AD＝CD＝10eq\r(3)，∠ADC＝180°－4θ，由正弦定理得eq\f(10\r(3),sin2θ)＝eq\f(30,sin180°－4θ)，所以eq\f(10\r(3),sin2θ)＝eq\f(30,2sin2θcos2θ)，cos2θ＝eq\f(\r(3),2)，所以2θ＝30°，θ＝15°.2．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.解如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处拦截住蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根据正弦定理得eq\f(BC,sinα)＝eq\f(AC,sin120°)，解得sinα＝eq\f(20sin120°,28)＝eq\f