新版高中数学北师大版必修1习题第三章指数函数和对数函数3.5.2

5.2对数函数y=log2x的图像和性质课时过关·能力提升1已知f(x)是函数y=log2x的反函数,则y=f(1x)的图像是()解析:函数y=log2x的反函数为y=2x,故f(x)=2x,于是f(1x)=21x=12x-1,此函数在R上为减函数,其图像过点(0,2),答案:C2设f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则当x<0时,f(x)等于()A.log2x B.log2(x)C.logx2 D.log2(x)解析:因为x<0,所以x>0.所以f(x)=log2(x).又因为f(x)是奇函数,所以f(x)=f(x).所以f(x)=log2(x).故选D.答案:D3下列函数中,在区间(0,+∞)上是减少的函数的是()A.y=x2+2x B.y=x3C.y=2x+1 D.y=log2x解析:A选项中y=x2+2x在(0,1)上是增加的,在(1,+∞)上是减少的;B选项中y=x3在(0,+∞)上是增加的;C选项中y=2x+1在(0,+∞)上是减少的;D选项中y=log2x在(0,+∞)上是增加的.故选C.答案:C4已知集合M={x|x<3},N={x|log2x>1},则M∩N=()A.⌀ B.{x|0<x<3}C.{x|1<x<3} D.{x|2<x<3}解析:由log2x>1,得x>2,故N={x|x>2}.则M∩N={x|2<x<3}.故选D.答案:D5如果log2x<log2y<0,则()A.y<x<1 B.x<y<1C.1<x<y D.1<y<x解析:∵log2x<log2y<0,∴log2x>log2y>0.又y=log2x在定义域(0,+∞)上是增函数,且log21=0,可得x>y>1.故选D.答案:D6已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足f(m)=f(n),若f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,则m,n的值分别为()A.12,2 B.C.14,2 D.1解析:f(x)=|log2x|的图像如图.由f(m)=f(n)可知,m,n位于1的两侧,又f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,所以|log2m2|=2.所以log2m2=2.所以m2=14,故m=1又f12=|log212所以f(n)=log2n=1.所以n=2.所以m=12,n=2答案:A7函数f(x)=log2x在区间[a,2a](a>0)上的最大值与最小值之差为.

解析:∵f(x)=log2x在区间[a,2a]上是增加的,∴f(x)maxf(x)min=f(2a)f(a)=log22alog2a=1.答案:18已知y=log2(ax+1)(a≠0)的定义域为(∞,1),则a的值是.

解析:∵f(x)的定义域为(∞,1),∴ax+1>0的解集为(∞,1).当a=0时,ax+1>0恒成立.当a>0时,ax+1>0可变形为x>1a,不合题意当a<0时,ax+1>0可变形为x<1a由题意可知,1a=解得a=1.答案:a=19已知log2m<log2n<0,求m,n的关系.解:∵log2m<log2n<0,∴m,n∈(0,1).又y=log2x在(0,+∞)上是增函数,∴m<n.∴m,n的关系是0<m<n<1.10已知函数f(x)=log2x,若f(ab)=1,求f(a2)+f(b2)的值.解:∵函数f(x)=log2x,f(ab)=log2(ab)=1,∴ab=2.∴f(a2)+f(b2)=log2a2+log2b2=2log2|a|+2log2|b|=2(log2|a|+log2|b|)=2log2|ab|=2log22=2.11(拔高题)设方程2x+x3=0的根是a,方程log2x+x3=0的根为b,求a+b的值.解:将方程整理得2x=3x,log2x=3x.由图可知,a是指数函数y=2x与直线y=3x的交点A的横坐标,b是对数函数y=log2x与直线y=3x交点B的横坐标,由于函数y=log2x与y=2x互为反函数,它们的