2024年中考圆知识点全面总结

初中圆复习

一、圆的概念

集合形式的概念:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长时点的集合;

2、圆日勺外部：可以看作是到定点日勺距离不小于定长时点的集合;

3、圆的内部:可以看作是到定点日勺距离不不小于定长时点时集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点日勺距离等于定长日勺点日勺轨迹就是以定点为圆心,定长为半径日勺圆；

2、垂直平分线：到线段两端距离相等日勺点的I轨迹是这条线段日勺垂直平分线（也叫中垂

线）；

3、角的平分线:到角两边距离相等日勺点日勺轨迹是这个角的平分线；

4、到直线口勺距离相等时点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长时

两条直线;

5、到两条平行线距离相等时点的轨迹是:平行于这两条平

行线且到两条直线距离都相等日勺一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内nd<r=点C在圆内;

2、点在圆上二d=r二点8在圆上;

3、点在圆外二d>rn点A在圆外;

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离=d>r=无交点;

2、直线与圆相切=d=r=有一种交点;

3、直线与圆相交nd<r=有两个交点;

四、圆与圆的位置关系

外离（图l）n无交点d>R+r;

外切（图2）n有一种交点nd=R+r;

相交（图3）n有两个交点nR-r<d<R+r;

内切（图4）今有一种交点0d=R-r-,

内含（图5）0无交点nd<R—r；

五、垂径定理

垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）日勺直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条

弧；

（2）弦的垂直平分线通过圆心，并且平分弦所对的两条弧;

（3）平分弦所对日勺一条弧日勺直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中，只要懂得其中2个即可推

出其他3个结论，即：①是直径②③CE=DE④弧BC=弧5。⑤

弧AC=弧4。中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

c；D

\0

即:在。。中，AB//CD卜---’2

・•.弧4。=弧5。

六、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等,所对的I弧

相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中,

只要懂得其中日勺1个相等，则可以推出其他日勺3个结论,

即：①NAO3=/DOE；②AB=DE;

@OC=OF;®弧R4=弧班）

七、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角口勺二分

之一。

即：ZAOB和ZACB是弧所对的圆心角和圆周角

/.ZAOB=2ZACB

2、圆周角定理的I推论:

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆

周角所对的弧是等弧;

即:在。。中，•.•/C、都是所对日勺圆周角

：.NC=NO

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角c所对日勺

弧是半圆,所对的弦是直径。B\A

即:在。。中，：A3是直径或：/。=90。

/.ZC=90°，是直径

推论3:若三角形一边上的中线等于这边的二分之一，那么这个三角

形是直角三角形。

即：在△ABC中，：OC=Q4=O5

・•.△ABC是直角三角形或ZC=90°

法意:此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上日勺中线等于斜边的二分

之一的逆定理。

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在。。中，•.•四边ABC。是内接四边形

ZC+ZBAD=180°

ZB+ZD=180°

NDAE=NC

九、切线的性质与鉴定定理

1、切线的鉴定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;

两个条件：过半径外端且垂直半径，两者缺一不可

即：：MN，Q4且MN过半径OA外端

，是。。的I切线

2、性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2:过切点垂直于切线时直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中懂得其中两个条件就能推出最终一种。

十、切线长定理

切线长定理：从圆外一点引圆日勺两条切线，它们日勺切线长相

等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：...PA、是日勺两条切线

PA=PB,PO平分ZBPA

十五、扇形、圆柱和圆锥的有关计算公式

1、扇形：(1)弧长公式：/=辿；

180

(2)扇形面积公式：S=^^=-IR

3602

”:圆心角R:扇形多对应的I圆的I半径/:扇形弧长S:扇形面积

2、圆柱：

D1

(1)圆柱侧面展开图

母线长

底面圆周长

01

$表=S侧+25底=17irh+2]产

（2）圆柱的体积：V=

3、圆锥侧面展开图

（1）S表=s侧+S底=%在厂+"2

⑵圆锥日勺体积：V"

3

练习题

1.若。。时半径为4cm,点A到圆心。的距离为3cm,那么点人与OO的位置关系是（）

A.点A在圆内B.点A在圆上c.点A在圆外D.不能确定

2.已知。。日勺半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是

3.如图,是半径为1的。。的直径，点A在。。上，ZAMN=30°,2为AN弧附中点，点尸是直径MN

上一种动点，则求PA+PB的最小值

4如图2,已知BD是。O的直径,。0时弦ACLBD于点E,若NAOD=60。，则NDBC时度数为

5.与直线L相切于已知点时圆的圆心的轨迹是.

6.已知直角三角形的两直角边长分别为5和12,则它的外接圆半径R=,内切圆半径r=

7.OO的半径为6,OO的一条弦AB为6g,以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是

8.PA,P8是。。的切线，切点是A、B,NAPB=50°,过A作。。直径AC,连接C6,则/尸8C=_

9.如图4,AB是。。的直径，弦AC、BO相交于P,则CD：AM等于

A.sinBPCDB.cosBPCC.tanBPCUUD.cotBPC

图4图5

10.如图5,点尸为弦上一点，连结OP,过PC作尸。_LOP,PC交。。于C,若AP=4,P8=2,则PC

时长是

A.V2B.2。C.2VIo»D.3

11.圆的最大的弦长为12cm,假如直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d,那么

A.d<6cmg“B.6cm<d<12cm

C.d26cmegoD.d>12cm

12.如图6,在以。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦/刀是小圆的切线，P为切点，设AB=12,则两圆构成

圆环面积为•

-1

图6图7

13.如图7,PE是。。的切线,£为切点,B4B、PCD是割线/2=35,C£)=50,AC：DB=\：2,则24=____

14.如图8,是。。的直径，点。在日勺延长线上，&BD=OB,点。在。。上,N0/5=30°,

求证：。。是。。的切线.

一

图8

15.如图，AB既是。C时切线也是。D的切线,。C与。D相外切,。C—

时半径r=2,G)D的半径R=6,求四边形ABCD的面积。

16.如图10,BC是。。於I直径,A是弦2。延长线上一点，切线。E平分力。于耳求证:

(1)/。是。。的切线.(2)若4。：。2=3：2/C=15,求。。的直径.(12分)

,A

图10

17.如图11,AB是。。的直径，点。在84时延长线上，弦CDI4民垂足为况且PC2=PE-PO.(1)

求证:PC是。。的I切线;(2)若。E：EA=1：2,PA=6,求。。的半径；(3)求sinPCA时值.(12分)