2024届新高考数学一轮复习配套练习 函数的单调性与最值

2024届新高考数学一轮复习配套练习专题3.2函数的单调性与最值

练基础

x+l,x>0

1.(2021•全国高一课时练习)函数貝x)=<在7?上()

%—l,x<0

A.是减函数B.是增函数

C.先减后增D.先增后减

2.(2021•全国高一课时练习)若定义在R上的函数次0对任意两个不相等的实数a,b,总有彳S)>o

a-b

成立，则必有()

A.7(x)在R上是增函数B.兀r)在R上是减函数

C.函数兀v)先增后减D.函数次x)先减后増

3.(2021•全国高一课时练习)设函数./(x)是(-8,+8)上的减函数，则()

A.加)42a)B.Xa2)</(a)

C.m2+q)勺⑷D.X«2+l)</(a)

4.(2021•西藏高三二模(理))已知函数/(x)=-3d—2x,若/(加一3)+/(-2m)<0,则实数加的取

值范围为()

A.(-co,3)B.(3,+oo)C.(-3)D.(―3,+<x>)

5.(2021・广西来宾市•高三其他模拟(理))已知定义在R上的偶函数/(x)满足在［0,+8)上单调递增,

/(3)=0,则关于x的不等式/(》+2)+/(—x—2)〉0的解集为()

x

A.(-5,-2)(0,+8)B.S,-5)U(0,l)

C.(-3,0)53,”)D.(-5,0)11(1,+<»)

6.(2021•黑龙江哈尔滨市•哈师大附中高三三模(文))已知函数/(力=/一厂2()

A.是奇函数，(0,+?)单调递增B.是奇函数，(0,+?)单调递减

C.是偶函数，(0,+?)单调递减D.是偶函数，(0,+?)单调递增

7.(2021•全国高三月考(理))若f(x)是奇函数，且在(-8,0)上是减函数，又/(-4)=0,则

/(x+2)-/(x2)>0的解集是()

x

A.(-4,0)u(4,+w)B.(-6,-2)u(0,2)

C.(-6,-2)u(2,+oo)D.(-oo,-4)u(0,4)

8.(2021•全国高三专题练习(文))已知函数/(x)="|x]-2x,则下列结论正确的是()

A./0)是偶函数，递增区间是(-8,0)

B./(x)是偶函数，递减区间是(9,1)

C./(X)是奇函数，递减区间是

D./1)是奇函数，递增区间是(。，+8)

9.(2021.宁夏银川市.高三二模(文))设函数小)=/-七，则/(x)()

A.是偶函数，且在(f,0)单调递增B.是偶函数,且在(f,0)单调递减

C.是奇函数，且在(-^,0)单调递增D.是奇函数，且在(-8,0)单调递减

10.(2021•全国高一课时练习)已知冃(x)是定义在区间(-2,2)上单调递减的函数，若加"-1)习(1-2孙则加

的取值范围是.

练提升

I.(2021.黑龙江大庆市.大庆实验中学高二月考(文))定义在N*上的函数/(力=《一'为递

[ax,x>3

增函数，则头数。的取值范围是()

A.(1,2)B.(q，1,C.?/)D.(1,3)

2.(2021•上海高三二模)已知函数y=.f(x),y=g(x)满足：对任意罚,马€氏，都有

|/0)一/㈤|N|g(%)-g(%)|.

命题P：若y=/(x)是增函数，则y=/(x)—g(x)不是减函数；

命题4：若y=/(x)有最大值和最小值，则y=g(x)也有最大值和最小值.

则下列判断正确的是()

A.P和夕都是真命题B.2和夕都是假命题

C.P是真命题，夕是假命题D.。是假命题，4是真命题

3.(2021•全国高三二模(理))已知实数a,b,c,。满足a>6>c,且a+/?+c=(),a"?+?)"一人=o，

则d的取值范围是()

A.(―oo,-[0,+<x>)B.(-1,1)

C.>/2,5/2^D.1—5/2,—14-^2j

4.【多选题】(2021•湖南高三三模)关于函数/(》)=丄+丄的结论正确的是()

XX+1

A./(X)在定义域内单调递减B.“X)的值域为R

c.7(x)在定义城内有两个零点D.y=是奇函数

5.【多选题】(2021.全国高三专题练习)(多选题)已知函数/U)的定义域为R,对任意实数x,y满足次x+y)

=段)+貝))+；，且，(；)=0,当■时，於)>0,则以下结论正确的是()

A.<0)=—；，X-l)=-1-

B.Kx)为R上的减函数

C.4x)+g为奇函数

D./(x)+l为偶函数

6.【多选题】(2021.全国高一单元测试)如果函数/(x)在切上是增函数，对于任意的

x^x2E[a,b](xt*x2),则下列结论中正确的是()

A."石)一"々)〉0B.(x1-x2)[/(%1)-/(x2)]>()

X1~X2

c./(a)</(%))<f(x2)<f(b)D./(X()>/(X2)

/Ui)-/U)

E.------------------2-<<u0

司一々

7.【多选题】(2021•全国高一课时练习)(多选题)已知函数/(x)的定义域为。，若存在区间[加，川口。使

得/(X)：

(1)/(X)在［孙网上是单调函数；

(2)f(x)在［肛”］上的值域是［2S2〃］,

则称区间［%〃］为函数/(x)的“倍值区间

下列函数中存在“倍值区间”的有()

113x

A.f(x)~x2；B./(x)=—；C.J'(无)=xd■一；D./(x)-—.

XXX+1

8.(2021.全国高三专题练习(理))已知。>1,beR，当x>0时，［(a-l)x-l>—-——220恒成立，

I2x)

则。+%的最小值是.

9.(2021.全国高三专题练习)对于满足加区2的所有实数p,则使不等式x2+〃x+l>2p+x恒成立的x

的取值范围为.

|x+«|+|x-2|,x>0

10.(2021・上海高三二模)己知aeH,函数21的最小值为2a,则由满足条

x—ox+—a+l,x<0

I2

件的。的值组成的集合是.

练真题

1.(2020•全国高考真题(文))设函数/。)=丁-4,则/(x)()

x

A.是奇函数，且在(0,+8)单调递增B.是奇函数，且在(0,+8)单调递减

C.是偶函数，且在(0,+8)单调递增D.是偶函数，且在(0,+8)单调递减

2.(2019•北京高考真题(文))下列函数中，在区间(0,+oo)上单调递增的是()

A.v.JB.尸2Tc.y=l°gjD.尸丄

》一人2X

(2~xx<0

3.(2018•全国高考真题(文))设函数〃%)=<'一，则满足〃X+l)</(2x)的x的取值范围是

1,x>0

()

A.(-oo,—1］B.(0,+8)C.(—1,0)D.(—co,0)

4.（2017课标II）函数/（x）=ln（x2—2x—8）的单调递增区间是（)

A.（—QO,-2）B.（―GO,-1）C.（1,-+w）D.（4,-+-oo）

6.（2020.北京高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达

标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间/的关系为W=/Q）,用一/（"）―/（"）的大小评价

b-a

在切这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如

下图所示.

给出下列四个结论：

①在［心］这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在厶时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在4时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在［04］,L历］，也4］这三段时间中，在［°4］的污水治理能力最强.

其中所有正确结论的序号是.专题3.2函数的单调性与最值

练基础

\■

x+l,x>0

1.（2021.全国高一课时练习）函数段）=〈।八在R上（）

%—l,x<0

A.是减函数B.是增函数

C.先减后增D.先增后减

【答案】B

【解析】

画出函数图像即可得解.

【详解】

选8.画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数.

故选：B.

2.（2021•全国高一课时练习）若定义在R上的函数负x）对任意两个不相等的实数”，h,总有J©'”力＞0

a-b

成立，则必有（）

A../（X）在R上是增函数B.在R上是减函数

C.函数7U）先增后减D.函数式X）先减后增

【答案】A

【解析】

根据条件可得当。幼时，沢。）勺（勿，或当。»时，儿0訳3，从而可判断.

【详解】

由＞0知检）他泻a-b同号,，即当a＜b时，即）勺S）,或当a＞b时、所以貝x）在/?上是

a-b

增函数.

故选：A.

3.（2021•全国高一课时练习）设函数人为是（@,+oo）上的减函数，则（）

A./（«）＞/（2a）B.X«2）＜/（a）

C.j（a2+a）＜J（a）D.A«2+D＜A«）

【答案】D

【解析】

利用a=0排除ABC,作差可知a?+1＞a,根据单调性可知D正确.

【详解】

当a=0时，选项A、B、C都不正确；

13

因为/+1-a=（。一彳）2+：＞0,所以q2+l〉a，

因为/（x）在（F,+°。）上为减函数，所以/（/+1）＜/3）,故D正确.

故选：D

4.（2021•西藏高三二模（理））已知函数/（x）=-3%3-2x,若/（加―3）+/（—2加）＜0,则实数加的取

值范围为（）

A.（-8,3）B.（3,+co）C.（YO,-3）D.（一3,+co）

【答案】C

【解析】

根据函数为奇函数且在R上单调递减可得/（加-3）＜/（2"）求解.

【详解】

易知/（X）为R上的奇函数，且在R上单调递减，

由y（m-3）+/（-2zn）＜0,

得/（加一3）＜-/（-2m）=/（2m）,

于是得加一3＞2根，解得加＜一3.

故选：C.

5.（2021•广西来宾市•高三其他模拟（理））已知定义在R上的偶函数/（幻满足在［（）,+8）上单调递增，

/（3）=0,则关于x的不等式/。+2）+/（T2）＞0的解集为（）

x

A.（-5-2）（0,+8）B.（f,-5）U（0,D

C.（-3,0）53收）D.（-5,0）L（1,+8）

【答案】D

【解析】

根据题意作出函数“X）的草图，将1。+2）+/（*2）〉0,转化为21（.+2）＞0,利用数形结合法求

XX

解.

【详解】

因为定义在R上的偶函数Ax)满足在(0,+8)内单调递增,

所以/(X)满足在(一8,0)内单调递减，又/(3)=0,

所以/(—3)=/(3)=0.

作出函数/(x)的草图如下:

f{x+2)+f(-x-2)f(x+2)+/[-(x+2)]

tn---------------------------------->U,1号----------------------------------：u,

XX

X

x>0,x<0,

所以或I

/(x+2)>0,f(x+2)<Q,

x>0,x<0,

所以〈

x+2>3,—3<x+2<3,

解得x>l或一5vxv。,

即不等式."x+2)+./(—1—2)〉0的解集为(_5,o)(1,+8).

X

故选：D

6.(2021•黑龙江哈尔滨市•哈师大附中高三三模(文))已知函数/(力=%2--()

A.是奇函数，(0,+?)单调递增B.是奇函数，(0,+?)单调递减

C.是偶函数，(0,+?)单调递减D.是偶函数，(0,+?)单调递增

【答案】D

【解析】

利用奇偶性和单调性的定义判断即可

【详解】

解：定义域为｛x|xw。｝，

因为/(-X)=(-X)2-(-X)-2=x2-X-2=/(X),所以/(X)为偶函数,

任取X1,%2e(0,+8),且芭C々，贝11/(々)一/(王)=々2-々-2一办2+42

=(无2-%)(无2+%)(1+—7-),

玉々

因为不<々，XpX2G(0,+OO),所以(々一1)(々+%)(1+_2：2)>0，所以/(%)>/(X)，所以/(幻在

(0,+?)单调递增，

故选：D

7.(2021.全国高三月考(理))若f(x)是奇函数，且在(-8,全上是减函数,又/(—4)=(),则

/(")­(*2)>0的解集是()

x

A.(—4,0)kJ(4,+co)B.(—6,—2)(0,2)

C.(-6,-2)u(2,+oo)D.(-oo,-4)u(0,4)

【答案】B

【解析】

根据函数/(x)为奇函数，/(-4)=0得到/(4)=0,再由函数在(一*0)上是减函数，作出函数〃x)的图

象，再由：(x+2)_/(-x—2)〉0,等价于2/(1+2)>0,利用数形结合法求解.

XX

【详解】

因为函数/(X)为奇函数，

所以/(T)=_/(4)=0,

所以/(4)=0,

因为函数/(x)在(-8,0)上是减函数,

所以函数人幻在（0,内）上是减函数.

作岀函数的大致图象如图所示,

而於+2)-52)>0,等价于/("2)—/[一(“+2)]>0,即空0o,

XXX

x<0x>0

则《或丿

[f(x+2)<(T]/U+2)>0,

x<Qx>0

所以《或W

-4<x+2<0-[0<x+2<4

解得-6<x<-2或0<x<2.

综上，/（产2）-/（士2）>0的解集是（一6一2）u（0,2）.

x

故选：B

8.（2021•全国高三专题练习（文））已知函数f（x）=x」x|-2x,则下列结论正确的是（）

A./（幻是偶函数，递增区间是（-8,0）

B./（x）是偶函数，递减区间是（一8,1）

C.f（x）是奇函数，递减区间是（-1，1）

D./（x）是奇函数，递增区间是（0，+8）

【答案】C

【解析】

将函数解析式化为分段函数型，画岀函数图象，数形结合即可判断；

【详解】

f—2x（>0

解：将函数/（x）=x-|x|-2x去掉绝对值得/（%）={2,'.一，

—厂—2,Xfx<0

画出函数/。）的图象，如图，观察图象可知,

故函数/（X）为奇函数，且在（-1,1）上单调递减，

故选：C

9.（2021•宁夏银川市•高三二模（文））设函数/（x）=V-百，则/（X）（）

A.是偶函数，且在（3,（））单调递增B.是偶函数，且在（—,（））单调递减

C.是奇函数，且在（F,o）单调递增D.是奇函数，且在（F,o）单调递减

【答案】B

【解析】

利用定义可判断函数/（X）的奇偶性，化简函数“X）在（-8,0）上的解析式，利用函数单调性的性质可判

断函数”X）在（-8,0）上的单调性.

【详解】

函数/（x）=x2-卷的定义域为{巾00},/（-x）=（-x）2-p^=x2-p=/（x）,

所以，函数/（X）为偶函数，

当了＜0时，f（x）=x2+—,由于函数y=f、y=丄在（-00,0）上均为减函数，

XX

所以，函数/（%）在（F,0）上单调递减，

故选：B.

10.（2021•全国高一课时练习）已知产/U）是定义在区间（-2,2）上单调递减的函数，若优-1）41-2〃?），则加

的取值范围是

_1_2

【答案】

2(3

【解析】

结合函数定义域和函数的单调性列不等式求解即可.

【详解】

-2<m-\<2,

12

由题意得：12<1-2机<2,解得——<,"<一.

23

m-1<\-2m,

、（12、

故答案为：~~

I23丿

练提升

22o

、“、x—ax+a,x<3

1.（2021•黑龙江大庆市・大庆实验中学高二月考（文））定义在N”上的函数/（》）=<为递

ax,x>3

增函数，则头数”的取值范围是（）

A.（1,2）B.[7]C.W,丿D.。,3）

【答案】D

【解析】

根据定义域和单调性可知/⑴<”2）,再根据x23时/（x）的单调性判断出〃3）>/（2）,由此求解出

a的取值范围..

【详解】

因为xeN*,所以尤<3时，即xe{l,2},由单调性可知〃2）>〃1）,所以1一〃+〃<4—2a+〃，解

得a<3；

当xN3时，>="为增函数，若/（力单调递增，则只需〃3）>/（2）,所以3a>4-2〃+/,解得

l<a<4,

综上可知。的取值范围是：（1,3）,

故选：D.

2.(2021♦上海高三二模)已知函数y=/(x),y=g(x)满足：对任意司,々€氏，都有

|/(石)一/1㈤|N|gQ)—g(w)h

命题P：若y=〃x)是增函数,则y=/(x)-g(x)不是减函数;

命题4：若y=/(x)有最大值和最小值，则y=g(x)也有最大值和最小值.

则下列判断正确的是()

A.〃和夕都是真命题B.，和夕都是假命题

c.，是真命题，q是假命题D.p是假命题，q是真命题

【答案】A

【解析】

利用函数单调性定义结合已知判断命题〃的真假，再利用函数最大、最小值的意义借助不等式性质判断命

题q的真假而得解.

【详解】

对于命题设芭<当，因为y=/(x)是R上的增函数，所以，

所以|•/■(王)一/(x2)|=/(x2)-•/'(xJ,

因为|/(七)一/(々)|之年(5)一g(/)|，

所以一/(/)+(g(%)-g(々)</a)-/a)

所以/a)—ga)<.〃/)一g(々)

故函数y=/(x)-g(x)不是减函数，

故命题P为真命题；

对于命题q：〉=/(x)在R上有最大值M,此时x=a,有最小值加，此时x=b,

因为|/(x)-因a)|>|g(x)-g(a)|o因为一MWg(x)-g(a)<M-f(x),

\f(x)-f(b)\>|g(x)-g(b)\o<g(x)-g(b)<f(x)~m

b…/、/、m-M+g(a)+g(。)，、/M-m+g(a)+g(Z7)

所以加一〃K2g(x)—g(a)—g(Z?)<M一根=------------------<g(zx)<-----------------------,

所以y=g(x)也有最大值和最小值，故命题q为真命题.

故选：A

3.(2021•全国高三二模(理))已知实数a,b,c,d满足a＞6＞c,且a+b+c=0,ad?+2bd—b=()，

则d的取值范围是()

A.(-oo,-1]_[0,+oo)B.(-1,1)

C.(-夜,0)D.1—^2,—1+\/2j

【答案】D

【解析】

先求解出方程的解4.2,然后利用换元法(/=-)将d表示为关于f的函数，根据条件分析f的取值范围,

a

然后分析出d关于，的函数的单调性，由此求解出d的取值范围.

【详解】

因为ad?+2bd—b=0,所以4,二匕――+"二_J±『纟]+纟且A=+4aZ?之()，

aa'[a丿a

令，=''则4,2=T±J/+E,且/+/N0，所以，[0,+oo),

又因为a+Z?+c=0且。＞6＞c,所以。＞0且。=一。一/?＜人＜。，

1卜

所以一av2Z?,Z?V。，所以一一＜—=，＜1,所以，6[0,1),

2a

「、4=-/+J/2+/=/'——=,——(7

1

当re[0,l)时，#77+/O+1，

因为y在(0,1)上单调递减，所以y=T+J^77在(0,1)上单调递增，

当f=o时，4=0,当f=i时，d]=V2—1,所以4e[。,丿^一1)；

当，£[0,1)时，4=-，-+f，

因为y=，、y=/+/在[0,1)上单调递增，所以y=T—炉工在[0,1)上单调递减，

当£=0时，d2=09当，=1时，d2=—1—＞/2,所以以£(-1—丿^，°]，

综上可知：d1—＞/2,—1+V2j,

故选：D.

4.【多选题】(2021•湖南高三三模)关于函数/(x)=：+占的结论正确的是()

A.“X)在定义域内单调递减B./(%)的值域为域

C."X)在定义城内有两个零点D.y=是奇函数

【答案】BD

【解析】

根据所给函数结合函数性质，对各项逐个分析判断，即可得解.

【详解】

小)1++的定义域为EFU(T0)U(0,+8),

而丄和丄在各段定义域内均为减函数，

XX+1

故在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，故A错误;

当工£（一1,0）,x—一］时，有〃工）=丄+」--->4-00,

XX+1

当x—>0时，有/(x)=—।--------->,

Xx+l

所以/(x)的值域为凡故B正确；

令可得户一(

所以/(X)在定义城内有一个零点，故C错误;

令g(x)=盜，易知xw士!，此时定义域关于原点对称,

2

L/、Sx/、

且g（r）==-g。）’故g(x)为奇函数,

所以y=是奇函数,故D正确,

故选：BD.

5.【多选题】（2021•全国高三专题练习）（多选题）已知函数小）的定义域为R,对任意实数x,y满足貝x+y）

=/）+,心）+/，且/（；）=0，当时，/）＞0,则以下结论正确的是（）

A.犬0）=—：，/-1）=-1

B.7U）为R上的减函数

C.火x）+g•为奇函数

D.火x）+l为偶函数

【答案】AC

【解析】

g,x=y=—g得出f(O),/(-1)的值进而判断A；由/(一l)</(0)

取x=y=0,x=-,y=

判断B；令丁=一刀结合奇偶性的定义判断C；令g（x）=/（x）+g,结合g（x）为奇函数，得出

/（一幻+1=—/"）,从而判断D.

【详解】

由已知，令x=y=0,得y（o）=/（o）+/（（））+；,.,/（（））=_；,令x=g,y=_g,得

「目=-|'再令*='=一3,»

（I1、（1、/1、13

/---~+/—+不，；./（—1）=——A正确；•./（—1）＜/（0）,不是R上的

I22丿I2丿I2丿，2

减函数，B错误；令丁=一％,得/(x-x)=/(x)+/(—©+；,.•./(x)+1+/(-尤)+；=0,故C

正确；令g(x)=/(x)+；,由C可知g(x)为奇函数，g(—x)+；=—g(x)+；,即

/(-x)+1+；=一/(x)+；+；，•••/(-x)+l=-/(%),故D错误.

故选：AC

6.【多选题】（2021•全国高一单元测试）如果函数/W在［。力］上是增函数，对于任意的

X|，We［a,勿(X工*2)，则下列结论中正确的是()

［］

A.一"")>0B.(%,-^)/(%,)-/(%2)>0

X1一居

C./(a)</(x,)</(x2)</0)D./(%,)>/(x2)

fW-f(x)

E.----------------2--<u

X］-z

【答案】AB

【解析】

利用函数单调性的定义：玉一々与/(再)一/(%2)同号，判断A、B、E的正误；而对于C、D选项，由于X”占

的大小不定，/(%)与/(%2)的大小关系不能确定.

【详解】

由函数单调性的定义知，若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数，则玉-%与/(%)一/(%)同号，由

此可知，选项A,B正确，E错误；

对于选项C、D,因为巧,毛的大小关系无法判断，则/(玉)与/(马)的大小关系确定也无法判断，故C，D

不正确.

故选：AB.

7.【多选题】(2021•全国高一课时练习)(多选题)己知函数的定义域为£>,若存在区间［私使

得f(x)：

(1)/(x)在［九鹿］上是单调函数；

(2)/(x)在［九出上的值域是［2肛2〃］,

则称区间［九M为函数/(x)的“倍值区间

下列函数中存在“倍值区间”的有()

11

A.f(x)=x2；B.f(x)=-；C.f(x)=x+-；D.f(x)=.

XXX"+1

【答案】ABD

【解析】

/(m)=2m、/(，”)=2〃

函数中存在“倍值区间”，则在卜〃,〃］内是单调函数,，或，对四个函数的单调

J(〃)=2〃f(n)=2m'

性分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”.

【详解】

f(m)=2mf(m)=In

函数中存在''倍值区间”，则(1)/(x)在［乃川内是单调函数，(2)\或，

/(〃)=2nf(〃)=2m'

/(m)=2mm1=2m7/2=0、

对于A,/(x)=X2,若存在“倍值区间”［加,可，则＜f(n)=2n=n2=2n='〃=2'R3=X'

存在“倍值区间”［0,2］；

1c

一=2n

m=＞加〃=丄，故只需加〃=丄

对于B,/(x)=-(xe/?),若存在“倍值区间叫见川，当X＞0时一

X1。22

一=2m

即可，故存在;

对于C,f(x)=x+-当x＞0时，在区间［0,1］上单调递减，在区间口,啓)上单调递增,

X;

力+丄=2m=>m2-2mn+1=0,

若存在“倍值区间叫加,«］c［0,ll=＞m+—=2/?,

mn

n2—2mn+1=0=>m2=n2不符题意;

若存在“倍值区间叫北川q［l,+oo)=m+丄=2w，〃+丄=2〃=＞加2=n1=1不符题意，故此函数不存在

mn

“倍值区间”;

f()=3x_3

对于D,J⑶、+］——r,所以F(x)在区间［0,1］上单调递增，在区间口,”)上单调递减，若存在“倍

X4---

X

3m3nCV2

值区间叫人川口(),1],=2m,=2〃，.A♦.〃！=(),n------

〃r+1n2+12

即存在“倍值区间”［0,；

故选：ABD.

員2_4、

8.(2021•全国高三专题练习(理))已知。＞1,beR,当工〉0时，［(。-1口一1卜———b20恒成立,

I2x丿

则人+3。的最小值是

【答案】V2+3

【解析】

根据题中条件，先讨论xe(o,一二，根据不等式恒成立求出力-^--4(0-1)；再讨论

［a-\2a-\

xe-^—,+ooj,求出Ov]—-4(a-l)得到》,再由基本不等式即可求出结果.

a-\丿2a-\

【详解】

(11r2-4

当xe|O,-----时，(。一l)x-l<0,即--------840恒成立,

Ia-l]2x

5；=匚3=2-2是%€(0,—17]上的增函数,

2x2xIa-\\

b>—

2r一我…

-1、x2-4

当xe-----,+oc|时，(a-l)jf-l>0,即-------820恒成立,

L«-l)2x

］

y=厂是xe丄；,+00上的增函数,

2x2xa-\)

：.b<---------4(«-l)

2a-\

：当〃=也+1时等号成立.

•■•"4-4(^-1),.b+3a=―?—+(。-1)+32夜+3,

a-12(。-1)2

故答案为：V2+3.

9.(2021•全国高三专题练习)对于满足刨W2的所有实数p,则使不等式d+px+l>2p+x恒成立的x

的取值范围为.

【答案】1)U(3,+co).

【解析】

将不等式转化为在［-2,2］内关于P的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x的范围的问题.

【详解】

解：原不等式可化为（x_i）p+x2_2x+l＞0,^f（p）=（x-l）p+x2-2x+l,则原问题等价于f（p）＞0在

〃6［-2,2］上恒成立,

x2-4x+3>0,尤。财3

则《即2解得:/或无＞3.

[7⑵>0-1>0x（-l或

即X的取值范围为（一8,—1）=（3,+8）.

故答案为：(-0O,-l)u(3,+oo).

|x+tz|+|x-2|,x>0

10.（2021•上海高三二模）已知aeR,函数/（x）=,)]的最小值为2a,则由满足条

x+—tz+l,x<0

件的4的值组成的集合是

【答案】卜3-旧｝

【解析】

讨论一。与0、2的大小关系，判断函数”尤）在［0,+8）、（—8,0）上的单调性与最小值，根据函数“X）的

最小值列方程解出实数〃的值.

【详解】

分以下三种情况讨论:

2x+a-2,x>2

①若一aWO时，即当时,〃x)='«+2,0<x<2

21,

x-uxH—a+l,x<()

2

所以，函数/（x）在（F,0）上单调递减，且〃x）＞ga+l,

当X20时，“XL=a+2>ga+l,

此时，函数/（尤）无最小值;

2x+a-2,x>2

〃+2,一。W2

②若0<一。<2时，即当一2Wa<0时，/(x)=,-2x-a+2,04x<-a，

f—ax4—a+l,x<0

2

当x<0时,/(x)2/0=—'+ga+l,

当了20时，f(x)>a+2.

2

a+2>2a,所以，—幺+q+l=2a,整理可得/+6“一4=0，

42

.—2<a<0,解得a=—3±Jf^(舍去);

2x+a—2,x>-a

-a-2,2<x<-a

③当一。>2时，即当。<一2时，/(x)=«-2x-a+2,04x<2

x?—cixH—a+l,x<0

I2

当无<0时,/(%)"闾=-亍+；a+l,

当了20时，f\x)>-a-2.

因为—a-2>0>2a,所以，一二+^+l=2a,整理可得巒+6。一4=0，

42

Qa<-2,解得a=—3—或a=一3+巫(舍去).

综上所述，实数。的取值集合为卜3-9}.

故答案为：卜3-屈}.

练真题

1.(2020•全国高考真题(文))设函数/。)=戸-；厕/(x)()

X'

A.是奇函数，且在(0,+8)单调递增B.是奇函数，且在(0,+oo)单调递减

C.是偶函数，且在(0,+8)单调递增D.是偶函数，且在(0,+8)单调递减

【答案】A

【解析】

根据函数的解析式可知函数的定义域为{X|XHO},利用定义可得出函数/（x）为奇函数，

再根据函数的单调性法则，即可解出.

【详解】

因为函数〃"=/一!定义域为卜归。0},其关于原点对称，而/（一力=一/（力，

所以函数/'（X）为奇函数.

又因为函数y=d在（0,+?）上单调递增，在（-?,0）上单调递增，

而y=5=/在（0,+?）上单调递减，在（一？，0）上单调递减，

所以函数〃力=%3-/•在（0,+?）上单调递增，在（-？，0）上单调递增.

故选：A.

2.（2019•北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0,+8）上单调递增的是（）

A.v-JB.尸2Tc.产唾产D.尸丄

y~A2x

【答案】A

【解析】

函数y=2-x,y=log丄X,

2

y=-在区间（0,+s）上单调递减，

X

函数在区间（0,+8）上单调递增，故选4

2Tx<0

3.（2018•全国高考真题（文））设函数=<'一，则满足〃x+l）</,（2x）的x的取值范围是

[1,x>0

（）

A.（―oo,-1]B.（0,+8）C.（—1,0）D.（—co,0）

【答案】D

【解析】

分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有/(x+l)</(2x)成立,

2x<Q

一定会有C，从而求得结果.

2x<x+l

详解：将函数/(X)的图像画出来，观察图像可知会有,丫<Y+］，解得x<0,所以满足〃x+l)</(2x)

的X的取值范围是(F,o),故选〃

4.(2017课标II