重组卷01-2023年高考数学真题重组卷（北京）（解析版）

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冲刺2023年高考数学真题重组卷01

北京地区专用(解析版)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.(2022・北京.统考高考真题)已知全集U={x∣-3<x<3},集合A={x∣-2<x≤l},则Q,A=()

A.(-2,1]B.(—3,—2)1,[1,3)C.[-2,1)D.(—3,—2](1,3)

【答案】D

【解析】由补集定义可知：4,A={x∣-3<x≤-2或l<x<3},即屯4=(一3,-2](1,3),

故选：D.

2.(2021.北京.统考高考真题)在复平面内，复数Z满足(IT)Z=2,则Z=()

A.-I-ZB.-l+zC.1-/D.1+Z

【答案】D

22(l+z)2(l+z)

【解析】由题意可得：Z=L='，=-=I+1•

I-J(l-z)(l+z)2

故选：D.

3.(2022・北京•统考高考真题)设{%}是公差不为0的无穷等差数列，则“{叫为递增数列”是“存在正整数N。，

当”>N"时，>0”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】设等差数列{”“}的公差为d,则dw(),记[x]为不超过X的最大整数.

若｛«„｝为单调递增数列，则d>O,

若《20,则当“22时，«„>«1>0；若4<0,则4,=q+("-l)d,

由4=α1+(〃T)d>0可得〃>1-3,取M=l-¾+1,则当〃>乂时，a,,>0,

aLa.

所以，"｛q,｝是递增数列”=>“存在正整数N。，当心时时,α,,>0-i

若存在正整数N。，当”>N。时，¾>0,取keN*且k>M,ak>0,

假设d<0,令4=为+(〃—k)d<O可得〃>k-”,且女一">k,

dd

当”>k-^+1时，α,,<0,与题设矛盾，假设不成立，则d>O,即数列｛%｝是递增数列.

所以，“｛%｝是递增数列”U“存在正整数M，当”>N。时，4>0”.

所以，“｛4｝是递增数列”是“存在正整数M，当”>M时•，为>0”的充分必要条件.

故选：C.

4.(2020・北京・统考高考真题)在(«-2)5的展开式中，∕的系数为().

A.-5B.5C.-10D.10

【答案】C

5rrr

【解析】(石-2)’展开式的通项公式为：τr+l=C；(√^)^(-2)=(-2)eʃɪɪ.

令3=2可得：/=1,则V的系数为：(_2)七；=(—2)χ5=-10.

故选：C.

5.(2021•北京•统考高考真题)已知/")是定义在上［0,1］的函数，那么“函数/")在上单调递增”是“函

数/(x)在［0,1］上的最大值为了⑴”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若函数”x)在［05上单调递增,则/(%)在［0,1］上的最大值为」⑴,

若/(x)在［05上的最大值为/(1)，

比如"x)=bTj,

为增函数,

故〃x)在[0』上的最大值为〃1)推不出〃力在[0,1]上单调递增，

故”函数F(X)在[0,1]上单调递增”是“/(X)在[05上的最大值为“1)”的充分不必要条件，

故选：A.

6.(2022•北京•统考高考真题)在一ABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°.P为一ABC所在平面内的动点，且

PC=I,则EVPB的取值范围是()

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则C(0,0),4(3,0),8(0,4),

因为尸C=I,所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动,

设P(CoSo,sinθ),θ∈[(),2π],

所以PA=(3-CoSa-Sine),PB=(-cos6,4-sin6),

所以PA∙P3=(-cos6)x(3-cos^)+(4-sinθ)×(-sin6)

=cos2，一3cos4-4sin夕+sin,θ

=l-3cos，一4sin。

=1—5Sin(O+9),其中Sino=COSe=g,

因为一l≤sin(e+°)≤l,所以T≤l-5sin(e+0)≤6,BRPA-PBG[-4,6];

故选：D

7.(2021・北京•统考高考真题)函数f(x)=COsx-COS2x是

A.奇函数，且最大值为2B.偶函数，且最大值为2

C.奇函数，且最大值为总D.偶函数，且最大值为总

OO

【答案】D

【解析】由题意，/(-X)=cos(-x)-cos(-2x)=COSX-COSIx=/(X),所以该函数为偶函数，

(]Y9

又f(χ)=cosX-cos2x=-2cos2x+cosx+1=-2∣cosx--I+—，

19

所以当COSX=T时，/(X)取最大值一.

故选：D.

8.(2011・北京•高考真题)在_A3C中，角A,B,C的对边分别为α,b,c,且8=。力=有间=1,则C=

A.1B.2C.√3-lD.√3

【答案】B

【解析】由余弦定理82=/+。2-为理。$3可得：(6『=『+。2-2ccosg

即H-C-2=0,解得C=2,或C=-I(舍)

故选B

9.(2021•北京•统考高考真题)已知｛《,｝是各项均为整数的递增数列，且％≥3,若q+%+…+q,=10θ,贝IJ〃的

最大值为()

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】若要使"尽可能的大，则叫，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为3,公差为1的等差

Cɪ-j*,=更上χ∣2=W2>IOO

数列，其前〃项和为S),则。・="+2,2,所以w≤ll.

ɪɔS11∙^-^κll=88<IOO

对于“+2,•'2

取数列k1各项为=〃+2("=1,2,…10),all=25,

则q+&+…+4]=]θθ,

所以”的最大值为IL

故选：C.

10.（2022•北京•统考高考真题）已知正三棱锥尸-ABC的六条棱长均为6,S是一ABC及其内部的点构成的

集合.设集合7={QeS∣PQ≤5},则T表示的区域的面积为（）

34ʌ

A.—B.4C.2"D.3τr

4

【答案】B

【解析】

设顶点P在底面上的投影为O,连接80,则。为三角形ABC的中心,

∏.BO=-×6×-=2√3,⅛PO=√36-12=2√6.

32

因为PQ=5,故OQ=1,

故S的轨迹为以。为圆心，1为半径的圆，

2x3x36

而三角形ABC内切圆的圆心为。，半径为ZXlrXJ°=6>1'

故S的轨迹圆在三角形A8C内部，故其面积为万

故选：B

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题5小题，每小题5分，共25分.

11.（2008•北京・高考真题）如图，函数/（X）的图象是折线段ABC,其中AB,C的坐标分别为

(0,4),(2,0),(6,4),则/(f(0))=；函数/(X)在x=l处的导数/⑴=

【解析】/（/（0））=/（4）=2;f'（y）=kAB=-2.

12.（2022.北京.统考高考真题）已知双曲线/+工=1的渐近线方程为＞则加=.

m3

【答案】-3

22

【解析】对于双曲线V+L=ι,所以加＜0,即双曲线的标准方程为＞2-3-=1,

m-m

则a=l,b=Q,又双曲线/+三=1的渐近线方程为y=±且X,

m3

所以N=立，即I==且，解得ZM=—3；

b3sj-m3

故答案为：-3

13.（2021•北京•统考高考真题）若点A（COSaSin。）关于＞轴对称点为B（CoS（O+刍,Sins+刍），写出。的一个取

66

值为—.

【答案】K（满足。=|+*",&eZ即可）

【解析】A（COSaSin。）与8卜s16+∖）sin（e+γ））关于y轴对称，

π

即夕。+:关于＞轴对称，

6

π

夕+——∖-θ=7v+2kπ,k∈Z,

6

则θ=kπ+——,k∈Z,

12

当左=O时，可取。的一个值为昌.

12

STESTT

故答案为：∈-(满足O=ATT+二MeZ即可).

14.(2010・北京・高考真题)从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直

方图(如图)。由图中数据可知“=.若要从身高在［120,130),［130,140加40,150］三组内的学生中,用分层抽

样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在∣140,150∣内的学生中选取的人数应为

频率

【答案】0.030,3

【解析】因为IO(O∙035+0.02+0.01+0.005+a)=l,.∙.a=0.03,身高在［120,130),［130,140),［140,150］Ξ

组内的学生人数为IoOX(O∙03+0.02+0.01)xl0=60人，其中身高在［140,150］内的学生中人数为

IOoXO.01x10=10,所以从身高在［140,150］内的学生中选取的人数应为2xl8=3人.

15.(2021•北京•统考高考真题)已知函数/(x)=IlgH-"-2,给出下列四个结论：

①若k=0,/O)恰有2个零点；

②存在负数3使得F(X)恰有1个零点；

③存在负数%,使得ʃ(ɪ)恰有3个零点；

④存在正数3使得/O)恰有3个零点.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【解析】对于①，当&=0时，由"x)=∣lgΛ∣-2=0,可得x=±或X=Io0,①正确；

对于②，考查直线y=h+2与曲线y=—IgX(O<x<l)相切于点P(f,Tgf),

e

kt+2=-Igft=----

对函数y=τgχ求导得y'=-一二，由题意可得100

_1，解得,

XlnlOIOO

^rlnlθκf=------I1ge

e

所以，存在％=-W91ge<0,使得f(x)只有一个零点，②正确:

e

对于③，当直线y=h+2过点(1,0)时，％+2=0,解得左=-2,

所以，当-〜lge<无<-2时，直线y=h+2与曲线y=—IgX(O<x<l)有两个交点，

e

若函数F(X)有三个零点，则直线y=H+2与曲线y=-IgX(O<x<l)有两个交点，

100

直线y=履+2与曲线y=lgx(x>l)有一个交点，所以，Γ~ge<<一，此不等式无解,

fc+2>0

因此，不存在％<0,使得函数/(χ)有三个零点，③错误;

对于④，考查直线y="+2与曲线y=IgX(X>1)相切于点PaIgf),

[Q+2=lgfZ=IOOe

对函数y=igχ求导得y'=一二，由题意可得L1,解得LIge

XlnlOk=------K=-Ξ-

ZlnlO1006

所以，当0<%<黑时，函数f(x)有三个零点，④正确.

故答案为：①②④.

三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.(2022•北京•统考高考真题)在一ABC中，sin2C-√3sinC.

⑴求

(2)若Z?=6,且，ASC的面积为6百，求..ABC的周长.

【解析】(1)因为C£(0,乃),则SinC>0,由已知可得由SinC=2sinCcosC,

可得CoSC=史∙，因此，C=J.

26

(2)由三角形的面积公式可得SjC=BaAinC=Ta=66,解得α=4λ^∙

由余弦定理可得C?="?+/.出;CoSC=48+36-2X4√5X6X^=12,.∙.c=2√3-

2

所以，.ABC的周长为α+6+c=ðʌ/ɜ+6.

17.(2021•北京・统考高考真题)如图：在正方体ABa)-A4G。中，E为AA中点，BC与平面Cr)E交于

点、F.

(1)求证：尸为qG的中点；

(2)点M是棱4与上一点，且二面角M-FC-E的余弦值为更，求整的值.

3A由

【解析】⑴如图所示，取BC的中点/，连结Z)E,EF；FC,

由于A8CZ)-AAG。为正方体，E尸为中点，故E尸CD,

从而E,F,C,。四点共面，即平面CDE即平面CDE尸，

据此可得：直线瓦G交平面C3E于点厂，

当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点尸与点尸重合，

即点尸为Be中点.

(2)以点。为坐标原点，1M,DC,OR方向分别为X轴，y轴，Z轴正方向，建立空间直角坐标系。-孙z,

=λ(0≤Λ≤l),

则：M(2,2Λ,2),C(0,2,0),F(l,2,2),E(l,0,2),

从而：MC=(―2,2—24—2),CF=(1,0,2),尸E=(0,—2,0),

设平面MCF的法向量为：m=(xl,y1,z1),则:

m`MC=-2xl+(2—2Λ)yl-2zl=0

m∙CF=xi+2z1=0

令Zl=T可得：m=2------1

,1-Λ,

设平面CfE的法向量为:τi=(孙％*2)，则:

n∙FE=-Zy2=O

n∙CF=x2+Iz2=0

令Zl=T可得：^=(2,0,-1),

从而：7H∙∕ι=5,∣An∣=√5,

113

整理可得：(2-I)9-=w，故a=](2=]舍去).

18.(2020・北京•统考高考真题)某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、

方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表:

男生女生

支持不支持支持不支持

方案一200人400人300人100人

方案二350人250人150人250人

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.

(I)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；

(II)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的

概率；

(UI)将该校学生支持方案二的概率估计值记为Po,假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年

级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为化，试比较P。与Pl的大小.(结论不要求证明)

【解析】(I)该校男生支持方案一的概率为W‰;=：，

200+4003

该校女生支持方案一的概率3为00W}3

300+1004

(II)3人中恰有2人支持方案一分两种情况，(1)仅有两个男生支持方案一，(2)仅有一个男生支持方案

一，一个女生支持方案一，

所以3人中恰有2人支持方案一概率为：(孑(1-$+%)(01|;

(III)P∖<P0

19.(2020•北京・统考高考真题)已知函数/(X)=12-χ2.

(I)求曲线y=f(χ)的斜率等于-2的切线方程；

(Il)设曲线y=f(χ)在点α,∕Q))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为5(/),求5(f)的最小值.

【解析】(I)因为/(x)=12γ2,所以f'(x)=-2x,

设切点为(∙⅞,12-Λ0),则-2X0=-2,即AO=1,所以切点为(1,11),

由点斜式可得切线方程为：y-11-2(x-l),即2x+y-13=0.

(II)［方法一］：导数法

显然f≠o,因为y=〃x)在点(f,12-J)处的切线方程为：y-(12-r)=-2r(x-r),

≠2119

令X=0,得y=∕+12,令y=0,得X=-------，

2t

所以s(o=9r+i2)∙［号,

不妨设f>OQ<O时，结果一样),

则S(>"上=*+24f+中,

所以S'")=」©产+24-卑)=3(/+”:48)

4t4t

_3(/-4)(>+12)_3(1—2)"+2)(产+12)

4/4t2

由S'(r)>O,得t>2,由S'(r)<O,得0<t<2,

所以S⑺在(0,2)上递减,在(2,+8)上递增,

所以f=2时，5(f)取得极小值,

也是最小值为S(2)=Wg=32.

O

［方法二］【最优解】：换元加导数法

1z2+12/\1(厂+⑵

S(t)=---------------仔9+12)=—∙ʌ-------LqW0).

2∣2r∣`74∖t∖

因为SQ)为偶函数，不妨设”0,

令g=√7,则，=Q2,Q>0∙

令g(α)=U*,则面积为S=}g(α)F,只需求出g(α)=G±艮的最小值.

a4a

4w,∙a-a*i-∖23八12_3(«2-2)(a2+2)_3(α-√2)(a+√2)(a2+2)

g'(α)=

因为α>0,所以令g'(α)=0,得α=√∑∙

随着”的变化，g'(α),g(α)的变化情况如下表:

a(。向6(a,+(»)

g’(")-0÷

g(4)减极小值增

所以［g(α)］mM=g(&)=%=8四.

所以当“=应，即r=2时，［5(f)］mi„=；x(8&)2=32.

因为［5(f)］为偶函数,当/<0时，［S(%n=S(-2)=S⑵=32

综上,当f=±2时，S⑺的最小值为32.

［方法三］：多元均值不等式法

同方法二，只需求出g(α)=此卫(4>0)的最小值.

a

人,、“"+124443444r-

Vg(α)=---------=a3H1-----1—≥4ij∕∏-------------=8ov2»

aaaa∖aaa

4

当且仅当/=一，即α=&时取等号.

a

所以当α=JL即f=2时，［S(f)］mm=(x(80)2=32∙

因为S(f)为偶函数，当f<O时，［S(f)］而n=S(-2)=S(2)=32.

综上，当f=±2时，SQ)的最小值为32.

［方法四］：两次使用基本不等式法

同方法一得到S(f)=(入⑵>(八⑵=(尸+4)+叫+4)+64=+64+↑6≥?痫+16=32

4∣∕∣r+4广+4`7r÷4

,下同方法一.

【整体点评】(H)的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；

方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不

等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.

r22

20.(2021.北京.统考高考真题)已知椭圆［v=Im">0)一个顶点40,-2),以椭圆E的四个顶点

a~b-

为顶点的四边形面积为4石.

(I)求椭圆E的方程；

(2)过点P(0,-3)的直线/斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点8,C,直线A8,AC分别与直线交

y=-3交于点M,N,当∣PM∣+∣PMWI5时，求k的取值范围.

【解析】(1)因为椭圆过A(0,—2),故匕=2,

因为四个顶点围成的四边形的面积为4石，故gx2αx2⅛=4√5,即0=有，

O-5

故椭圆的标准方程为：上+X=1.

54

设8(χ,y),C(x2,%),

因为直线BC的斜率存在，故XIX2#。，

…乂+2-XXr

故直线A8:y=^—x-2,令y=_3,则XM=一一1⅛,同理砺=一一

x∣y∣+2y2+2

Y=JΖJQ—3

直线BUy=履-3,由7+5^=20可得CSGX-30履+25=0,

i⅛Δ=900⅛2-*4l∞(4+5⅛2)>0,解得k<—1或&>1.

,30k25

又%+%=E'k2=E故XIX2>0，所以XMXN>0

又IPM+BM=曷+⅞∣=

%+，％+/

50k3(R

2烟”(4+W)=4+5/-4+5攵2

22

kxλx1-⅛(x1+x2)+125攵*30⅛十1

4+5⅛2-4+5⅛2+

故5∣M≤15即k∣v3,

综上，-3≤%<T或l<）l≤3.

21.（2021∙北京•统考高考真题）设P为实数.若无穷数列｛4｝满足如下三个性质，则称｛可｝为火.数列：

①al+p≥O,且,+P=O;

②*〈勾”,（"=1,2,…）；

③q…θ｛⅛+q+p，q“+%+p+1｝,（加,〃=1,2,…）.

（1）如果数列｛q｝的前4项为2,-2,-2,-1,那么｛%｝是否可能为见数列？说明理由；

（2）若数列｛%｝是况。数列，求为；

（3）设数列｛4｝的前”项和为S