2023届高考数学三轮复习卷：离散型随机变量（含解析）

2023届高考数学三轮冲刺卷：离散型随机变量

一、选择题(共20小题；)

1.若随机变量X的概率分布如下表所示，则表中α的值为()

X1234

111

P266ɑ

A1BC

∙∙ΞIDl

2.已知某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验成功的次数，则P(X=0)

等于()

A.0B.i11C.-2D.-

233

3.若随机变量f~B(n,0.6),且E(f)=3,则P(f=l)的值是()

A.2×0.44B.2×0.4sC.3×0.44D.3×0.64

4.甲射击时命中目标的概率为0.75,乙射击时命中目标的概率为|,当两人同时射击同一目标时，

该目标被击中的概率为()

1Ii5

A.iB.1C.iiD.-

2126

5.在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是|,那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的

概率是()

A.—B.史C,-D.空

243243243243

6.一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数

记为X,则下列概率等于吗辱的是()

t26

A.P(O<X≤2)B.P(X≤1)

C.P(X=1)D.P(X=2)

7.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹，命中后的剩余子

弹数目f的期望为()

A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4

8.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件

4在一次试验中发生的概率P的取值范围是()

A.[0.4,1]B.(0,0.4]C.(0,0.6]D.[0.6,1]

9.设随机变量f的分布列为PG=i)=αQ',i=1,2,3,则实数ɑ的值为()

10.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出

现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X=I2)等于()

A"暗"GYB∙⅛G)902C-⅛®9O2

11.已知随机变量f,V满足4=-2t+5,若EC)=3,D(ξ)=2,则(

A.E(η)y=-1,Ds)=8B.E(τj)=-1,D(η)=-4

CES)=3De)=2D.E(z∕)=-3,DS)=I

12.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为pi，P2,P3,P4,且∑f=IPi=1，则下面四

种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()

A.Pl=P4=0.1,p2=pɜ=0.4B.Pl=P4=0.4jP2=P3=θ∙i

C.Pl—pq=0.2,P2=pɜ=0∙3D.Pl—∙P4=0.3,P2=P3=0,2

13.一射手对靶射击，直到第一次命中为止,每次命中的概率都为0.6,现有4颗子弹，则射击停止

后剩余子弹的数目X的均值为()

A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4

14.某群体中每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立，设X为该群体10

位成员中使用移动支付的人数，D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),则P=()

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

15.现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课

本的概率是会则语文课本的本数为()

A.2本B.3本C.4本D.5本

16.某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验；若试验失败，则再重新试验一次；若试验3次

均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为|,则此人试验次数S的数学期望是()

BTc∙l

17.函数y=f(x)的图象如图所示，在区间［α,b］上可找到n(n≥2且n6N)个不同的数X］,X2,

,则九的取值范围是()

C.{3,4,5}D.{2,3}

18.己知a1b,C为实数，随机变量X,丫的分布列如下：

X-1O1

111

P

326

Y-1O1

Pabc

若E(Y)=P(Y=-I),随机变量Z满足Z=XY,其中随机变量X,y相互独立，则E(Z)的取值范

围是()

A∙FJ-1B∙[-^°c∙[⅛1lD∙M

19.在下列各函数中，最小值等于2的函数是()

A.y=%+ɪB.y=cos%+—(0<%<-)

/％JCosx\2/

J=瓷D.y=e'+:2

20.某地一条主于道上有46盏路灯，相邻两盏路灯之间间隔30米，有关部门想在所有相邻路灯间

都新添一盏，假设工人每次在两盏灯之间添新路灯是随机，并且每次添新路灯相互独立.新添

路灯与左右相邻路灯的间隔都不小于10米是符合要求的，记符合要求的新添路灯数量为〈，则

。(<)=()

A.30B.15C.10D.5

二、填空题(共5小题；)

21.设离散型随机变量X的分布列为

XoI234

P0.20.10.10.30.3

若离散型随机变量y满足y=2x+ι,则E(y)=；o(y)=.

22.设3次独立重复试验中，事件A发生的概率相等，若已知A至少发生一次的概率等于则事

件A在一次试验中发生的概率是.

23.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,

则他连续罚球3次，得到的分数X的期望为.

24.设离散型随机变量S的可能取值为1,2,3,4,PG=k)=αk+b(k=l,2,3,4),又f的数学

期望E(f)=3,则α+b=.

25.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿

出黄球的个数为f,则P(f=0)=；EG)=.

三、解答题(共5小题；)

26.某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门

从某地区(人数众多)随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测,

结果如下：

患者的检测结果人数

阳性76

阴性4

非患者的检测结果人数

阳性1

阴性99

(1)从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率;

(2)从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X表

示检测结果为阳性的患者人数，利用(I)中所得概率，求X的分布列和数学期望；

（3）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一

次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5?并说明理由

27.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100

位顾客的相关数据，如表所示.

一次购物量/件1~45~89~1213~16≥17

顾客数/人X3025y10

结算时间/（分钟/人）11.522.53

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

（1）确定X,y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望.

（2）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结

算前的等候时间不超过2.5分钟的概率（注：将频率视为概率）.

28.4B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：

4组：10,11,12,13,14,15,16

B组：12,13,15,16,17,14,a

假设所有病人的康复时间互相独立，从A,B两组随几各选1人，4组选出的人记为甲，B组选

出的人记为乙.

（1）求甲的康复时间不少于14天的概率.

（2）如果α=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率.

（3）当α为何值时，A,B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

29.已知某种动物服用某种特药一次后当天出现A症状的概率为（为了研究连续服用该药物后出现

A症状的情况，做药物试验.试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期.假设

每次用药后当天是否出现A症状与上次用药无关.

（1）如果出现A症状即停止试验，求试验至多持续一个用药周期的概率；

（2）如果在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至

多持续两个周期.设药物试验持续的用药周期数为心求4的期望.

30.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概

率分别为J,^>

234

（1）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；

（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

答案

1.D

2.C【解析】“X=0”表示试验失败，“X=l”表示试验成功.设失败率为p,则成功率为2p,则

p+2p=1,得P=/

3.C【解析】利用二项分布期望公式求得n=5,利用独立重复试验概率公式：P(f=1)=Cl×

0.44×0.61可求.

4.C【解析】所求概率P=I-(I-==

\3/4312

5.B

【解析】根据每次比赛中，运动员甲胜运动员乙的概率是|,故在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜

的概率是CMIy(I一|)2=果

6.B【解析】本题相当于至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率.

7.C【解析】由题意知f=0,1,2,3,

因为当f=0时，表示前三次都没射中，第四次还要射击，但结果不计，

所以P(f=0)=0.43,

因为当§=1时，表示前两次都没射中，第三次射中，

所以P(f=I)=O.6X0.42,

因为当f=2时，表示第一次没射中，第二次射中，

所以P(f=2)=0.6x0.4,

因为当f=3时，表示第一次射中，

所以P(f=3)=0.6,

所以Ef=2.376.

8.A【解析】设事件4发生的概率为p,则C和(I—p)3≤田p2(i-p)2,解得p≥0.4.

9.D【解析】因为随机变量本的分布列为PG=D=ɑG)',i=1,2,3,

所以*+S+(护=L解得。=高

10.D

【解析】“X=12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，

因此P(X=I2)=沁GyGy=咯铲针.

H.A【解析】因为?7=—2f+5,所以Es)=-2E(f)+5,DS)=(-2ADG),

又E(f)=3,0(f)=2,所以Ee)=—LDS)=8.

12.B【解析】E(%)=1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0,1=2.5,所以

22

O(X)=(1-2.5)2×0.1+(2-2.5)2X04+(3-2.5)X0.4+(4-2.5)X0.1

=0.65;

同理选项B：E(X)=2.5,DOC)=1.85；

选项C：E(x)=2.5,D(x)=1.05；

选项D：EQ)=2.5,D(x)=1.45.

13.C

14.B【解析】某群体中每位成员使用移动支付的概率都为p,可看做是独立重复事件，该群体10

位成员的支付情况满足X~B(10,p),

H中[D(X)=2.4,PoP(I-P)=2.4,

4664

'、TIP(X=4)<P(X=6)⅛(1-p)<Cf0p(l-p),

解得p=0.4或0.6,且p>0.5,故p=0.6.

15.C

【解析】设语文课本有m本，任取2本书中的语文课本数为X,

则X服从参数为N=7,M=m,n=2的超几何分布，

其中X的所有可能取值为0,1,2,

pk「2-k

且P(X=Ii)=⅛⅛≡(fc=0,1,2).

C7

由题意，得

P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)

「「

_u0mu27-mIpcrlnrv-∙7l-m

1(7-τn)(6-m)m(7-m)

=-X---------------t1----------

22121

5

=—

7°

所以m2—m—12=0,

解得m=4或?n=-3.

即7本书中语文课本有4本.

16.B【解析】试验次数f的可能取值为1,2,3,

p(f=I)=2,P(ξ=2)^-×'-=~,P(ξ=3)=-×-×(-+^∖-.

73V>7339V)733\33/9

所以，的分布列为

ξ123

221

P———

399

所以E(f)=lx|+2x|+3x；学

17.B【解析】设3=3=…=3=k,则y=f(x)的图象与直线y=kx的交点的坐标满足

xlx2xn

题中等式.由题图易知交点可以有。个，1个，2个，3个或4个，又J1≥2且neN,故n的取值可

以是2,3,4.

18.B【解析】由已知得，fi,(r)=c-α,P(y=-l)=α,

所以c—α=α,即c=2α,

又α+b+c=l,故b=1—α—c=1-3α6[0,1],

所以αe[θ尚，

随机变量Z的可能取值为-1,0,1,

i

p(Z=-l)=ic+α=-α,

366

P(Z=0)=∣b÷∣b+∣b+∣(α÷c)=1-∣Q,

P(Z=I)=XQ+*C=2Q,

κ7363

可得随机变量Z的分布列为

Z-IO1

532

P-a1--a-a

623

所以E(Z)=—∖Q+∣Q=—ɪɑ∈[―ɪ,θl.

OɔOLIoJ

19.D【解析】对于选项A：当％<O时，A显然不满足条件；

选项B：y=cos%+—^—≥2,当COSX=I时取等号，

COSX

当O<%<T时，COSxH1,B显然不满足条件；

对于C:不能保证√≡E=*,故错；

√x2+2

对于D：因为ex>θ,所以D+三一2≥2限二一2=2,

exy∣ex

故只有D满足条件.

20.C

【解析】因为工人每次在两盏灯之间添新路灯是随机，并且每次添新路灯相互独立，

所以符合要求的新添路灯数量为<服从二项分布，

因为相邻两盏路灯之间间隔30米，且新添路灯与左右相邻路灯的间隔都不小于10米是符合要求的,

所以每次添路灯符合要求的概率PW

由题可知要添路灯45盏路灯，则《~B(45,

所以£)«)=np(l-p)=45X：X(1-§=10.

21.5.8,8.96

22.-

3

23.2.1

24.—

10

25.ɔ1

3

【解析】因为f=O对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球,

所以PG=O)=：+"3号.

随机变量f=0,1,2,

C“V、21,211,1211

P(W=1)=—X—I—×—×—I—X—X—=—,

7434324323

P(f=2)=1—三一三=3

所以E(f)=0×∣+l×∣+2×i=1.

26.(1)由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性.

所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为9=W

8020

(2)由题意可知X—B(n,p),其中九=3,P=奈

X的所有可能的取值为0,L2,3.

/I∖0

/

P(X=O)=C弘第°X(-)

∖√8OOO

210

/-257

P(X=I)=C哨1X(

∖2108OO0

-

1

/2101O83

P(X=2)=Cf匿)2X(-

X08OO0

20

/\6859

3/

P(X=3)=CQX()

\/8OO0

所以X的分布列为

X0123

P---------------------------------

8000800080008000

故X的数学期望E(X)=np=jɪ.

(3)此人患该疾病的概率未超过0.5,理由如下：

由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为99000X*+IOOOX

100

1^=990+950=1940,其中患者人数为950.

若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为需<翟=0.5,

19401940

所以此人患该疾病的概率未超过0.5.

27.(1)由己知得25+y+10=55,%+30=45,所以X=I5,y=20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为

总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P(X=I)=芸=5,P(X=I.5)=器=

ɪ,p(x=2)=至=ɪ,P(X=2.5)=-=-fP(X=3)=—=

10k71004k71005kj10010

X的分布列如表所示.

XlI.522.53

33111%

p一_______

20104510

的数学期望为E(X)=l×^-÷1.5×⅛+2×i+2.5×i+3×-i-=1.9.

/UXUT,OJLlU

(2)记4为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟“，Xi(i=1,2)为该顾客前面第i位顾

士山人田仆rr,P(4)=P(XI=I且X2=1)+P(Xl=I且X2=1∙5)

客的结算时间，贝IJ:12<v,

+P(X1=1.5且X2=1).

由于各顾客的结算相互独立，且Xi，X2的分布列都与X的分布列相同，所以

P(A)=P(XI=1)×P(X2=1)+P(Xl=1)×P(X2=1.5)

+P(Xι=1.5)×P(X2=1)

=A×ΛxΛ×A+Λ×±

202020101020

9

-80,

故该顾客结算前的等候时间不超过分钟的概率为

2.5OU

28.(1)设“甲康复的时间不少于14天”为事件从

由“从4,B两组随机地各选1人”，可认为基本事件数为7X7=49,其中满足“甲康复的时间不少于

14天”的基本事件数为3x7=21,所以P(A)=g^=∣.

(2)设事件4为“甲是4组第i个人"，事件Bi为“乙是B组第i个人"，i=l,2,∙∙∙,7.

由题知，当甲是从4组中康复时间为10,11两人中选或乙是从B组中康复时间为17,25两人中选时,

必不满足“甲的康复时间比乙的康复时间长故甲是从A组中康复时间为12,13,14,15,16五人

中选取，且乙是从B组中康复时间为12,13,14,15,16五人中选取，

可认为基本事件数为5×5=25,其中满足“甲的康复时间比乙的康复时间长”的基本事件数为10.

设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，因此P(C)=^×∣×g=g.

(3)α=11或18；

29.(1)方法一：设持续i天为事件4,i=1,2,3,4,

用药持续最多一个周