高三数学一轮复习 第28讲 数列概念及等差数列

第28讲数列概念及等差数列

一.【课标要求】

1.数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示

方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数；

2.通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式；

3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会

等差数列与一次函数的关系C

二.【命题走向】

数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答

题。对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前n项

和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较蔵

预测2010年高考：

1.题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活

中的实际问题的解答题；

2.知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还

可能涉及部分考察证明的推理题C

三.【要点精讲】

1.数列的概念

(1)数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作a在数列第一个位置的项叫第1项(或首项),

n

在第二个位置的叫第2项.....序号为〃的项叫第”项(也叫通项)记作.;

tl

数列的一般形式■.a,a,a.....a.....简记作｛a｝。

123nn

(2)通项公式的定义：如果数列｝的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那

n

么这个公式就叫这个数列的通项公式C

例如，数列①的通项公式是a=n(n<7,neN),数列②的通项公式是a=1

n

(〃eNX

+

说明：①9｝表示数列，a表示数列中的第〃项，a=/(〃)表示数列的通项公式：②同

nnn

施口，a=(_1>=(T'"=2"T(Ae乃；

“[+L〃=2攵

翔睹隋通项公式.怫口，1,1.4,1.41,1.414,……

(3)数列的函数特征与图象表示：

序号：123456

项：456789

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函

数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N(或它的有限子集)的函数/(〃)当自变量〃从

+

1开始依次取值时对应的一系列函数值/⑴"(2)"(3),……，/(〃)............通常用。来代替

n

/G),其图象是一群孤立点。

(4)数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与

项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列c

(5)递推公式定义：如果已知数列七)的第1项(或前几项)，且任一项a与它的前一

nn

项a(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个

〃一1

数列的递推公式。

2.等差数列

(1)等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于

同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母a

表示。用递推公式表ZF为〃-a=d(〃22)或a-a=>1)o

nn-ln+ln

(2)/^1」的通项公式：a=a+(n-l)J；

n1

说明：等差数列(通常可称为AP数列)的单调性：”〉0为递增数列，d=0为常数列，

d<0为递减数列。

(3)等差中项的概念：

定义：如果a,4,成等差数列，那么A叫做。与〃的等差中项。其中厶=土也

2

a,A,。成等差数列oA=空^。

2

(4)等差数列的前和的求和公式：S"+吧3d。

"212

四.【典例解析】

题型L数列概念

(2009安徽卷文)已知(乐)为等差数列，四+&+劭=105,%+04+右=99,则生n等于

A.-1B.1C.3D.7

【解析】Va+a+a=105即3a=105,a=35同理可得a=33公差d=a-a=-2

13533443

a=a+(20—4)xd=1.选B。

204

【答案】B

2.根据数列前4项，写出它的通项公式：

(1)1,3,5,7

(2)22-132-142-152-1.

2'3'4'5'

(3)一丄丄「丄_Lo

1*2'2*33*4'4*5

解析：(1)a=2n-l；(2)a=(〃+l"T；(3)a=上曳。

n«〃+ln〃(及+1)

点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这

对考生的归纳推理能力有较高的要求。

例2.数列Q｝中,已知),

〃〃3+

(1)写出a,a,a；(2)79”是否是数列中的项？若是，是第几项？

10”+1„23

解析：(1)Ya=〃2+"l(“eN),102+10-1109

a=--------------=-----

«3+•o33

G+l)2+G+0-1«2+3n+lvz2Z+n2-l出+〃2-1

a=-------------------------=--------------,a=------------------=--------------

n+]33〃233

(2)令79三「""I,解方程得〃=15,或〃=-16,

33

7

〃=15,即79—为该数列的第15项。

+3

(2)求粒子从原点运动到点P(16,44)时所需的时间;

(3)粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标。

解析：(1)由图形可设A(1,0),A(2,0),厶，A(〃,())，当粒子从原点到达4时，明显有

12nn

a=3,a+1,

।21

a=。+12=a+3x4,Q=Q+1,

3I143

a=a+20=a+5x4,4=Q+1,

53365

a-a+(2〃-1)x4,a=a+1,

2n-\2”-32n2n-i

a=a+4[3+5+厶+(2〃-1)]=4〃2—1,

2n-lI

a=a+1=47?2o

2n2n-\

b=a-2(2〃-1)=4〃2—4九+1,

2n-\2n-l

b-a+2x2〃=4/12+4〃。

2n2n

c-h+(2n-1)=4〃2—2n=(2九-1)2+(2n-l),

2n-\2n-]

c-a+2〃=4〃2+2〃=(2〃)2+(2〃)，

2n2n

艮卩C=〃2+〃°

n

(2)有图形知，粒子从原点运动到点P(16,44)时所需的时间是到达点C所经过得时间

44

c再加(44-16)=28秒，

44

所以1=442+44+28=2008秒。

(3)由c=〃2+〃<2004,解得1«几41+避017,取最大得「二彳%

“2

经计算，得c=1980<2004,从而粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点C,再

4444

向左运行24秒所到达的点的坐标为(20,44)o

点评：从起始项入手，逐步展开解题思维。由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，

这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在。

例4.(1)已知数列。｝适合a=\,a=卫一，写出前五项并写出其通项公式；

“•"+i。+2

n

(2)用上面的数列｛a｝，通过等式=a-a构造新数列%｝，写出b,并写出M｝的

nnnn+\nnn

前5项°

解22222

i23344556〃”+1

222

(2)6=____：______

nn+\n+2(及+1)(〃+2)

,1,1,1,1,1

b=一,b=—，b=一,b=一,b=

1326310415521

点评：会根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，了解递推公式是给出数列的又一

种重要方法，能根据递推公式写出数列的前几项。

题型3：数列的应用

例5.湖南省2008届十二校联考第一次考试

如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常

数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差.

(1)设数列｛a｝是公方差为p的等方差数列，求a和a(〃22,〃GN)的关系式；

Mnn-1

(2)若数列｛a｝既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列；

n

⑶设数列｛a｝是首项为2,公方差为2的等方差数列，若将a,a,a,L,a这种顺

n12310

序的排列作为某种密码，求这种密码的个数.

(1)解：由等方差数列的定义可知：02-02=p(n>2,neN).......................5分

nn-1

⑵证法一：•••｛。｝是等差数列，设公差为d,则a=a—a=d

nn/i-ln+ln

又｛a｝是等方差数列，a2-a2=a2-ai...............................................................................7分

nnH-1w+1n

(a+a)(a-a)=(a+a)(a-a)

nn-1nn-\n+1n〃+ln

即+a-a-a)=-2d2=0,..................................................10分

nn-\n+1n

.•.d=0,即｛。｝是常数列................................11分

n

证法二：•••｛〃｝是等差数列，设公差为d,则a=d……①

nnrt-1

又伍｝是等方差数列，设公方差为p,则=p……②........7分

nnn-\

①代入②得，di+Ida一〃=。....③

n

同理有，d2+Ida-p=0........④

M-l

两式相减得:即2d(a-a)=2厶=0,...................................................10分

nn-1

・即伍｝是常数列........................................分

••d=0,n11

证法三：(接证法二①、②)

由①、②得出：若1=0,则仅｝是常数列..............8分

n

若d—0,则a=£+_L是常数，."=0,矛盾........10分

"22d

｛｝是常数列...............分

•••4n11

(3)依题意，02-02=2(n>2,ne7V),

nn-\

〃2=4,=4+2(〃-1)=2n+2

1n

a=[2n+2，或a=-+2,.........................................13分

即该密码的第一个数确定的方法数是1,其余每个数都有“正”或“负”两种

确定方法，当每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数是29=512种,

故，这种密码共512种.........................................16分

点评：解决此类问题的思路是先将实际问题转化为数列模型来处理。

例6.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表

观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白()内石

年齡〈岁)303S404SS0G5的必

收解压(水梗柱毫米)110115120125130135（一）145

舒窕压(7%帳柱老米)7D737S788083＜一)88

答案：14085

解析：从题目所给数据规律可以看到：收缩压是等差数列.舒张压的数据变化也很有规律：

随着年龄的变化，舒张压分别增加了3毫米、2毫米，…照此规律，60岁时的收缩压和舒张

压分别为140；85.

点评：本题以实际问题为背景，考查了如何把实际生活中的问题转化为数学问题的能力.

它不需要技能、技巧及繁杂的计算，需要有一定的数学意识，有效地把数学过程实施为数学

思维活动。

题型4：等差数列的概念

例7.设S"是数列｛4｝的前。项和，且S,="2,则｛4｝是()

A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列

答案：B；

初、+P(〃=DP("=D

解法一：a=s1=>«=5

nS—S(n>2)“2n-l(n>2)

nn-1

：.a=2n-l(nGN)

又4+】一%=2为常数，屋=豊1二常数

n+1na2n-l

，｛4｝是等差数列，但不是等比数列.

解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数，则这个数列一定是

等差数列。

点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式

—s〃]的推理能力.但不要忽略外,解法一紧扣定义，解法二较为灵活。

例8.设数列｛〃｝、g｝、｛c｝满足：b=a—a，c=a+2a+3〃(,

nnnnnn+2nnn+\n+2

证明：｛4｝为等差数列的充分必要条件是｛c｝为等差数列且b46(n=l,2,3,...)

nnnn+1

证明：1。必要性：设数列｛a｝是公差为d的等差数列，则：

n]

b一。=(a-a)-((7-a)=(a—a)-(a-a)=J-d=0,

n+ln〃+l/i+3nn+2n+1nn+3n+211

•1-b<b(n=l,2,3,...)成立；

nM+1

又c-c=(a-a)+2(a-a)+3(〃-a)=6d(常数)(n=l/2,3/...)

n+lnn+1nn+2〃+1〃+3n+21

,数列｛c｝为等差数列。

n

2。充分性:设数列｛c｝是公差为d的等差数列，且3<b(n=l,2,3,...),

n2nn+1

c=a+2a+3a……①二c=a+2a+3a......②

nnn+1n+2n+2n+2n+3〃+4

①-②得：

c-c—(a—a)+2(〃-ci)+3(〃-ci)=b+2b+3b

nn+2nn+2n+\n+3n+2〃+4nn+In+2

*'c-c=(cc)+(c-c)=-2d

nn+2n〃+1n+1n+22

•1-b+2b+3b=-2d……③从而有b+2b+3b=-2d……④

nn+1n+22n+1n+2n+32

④一③得：S-b)+20-b)+3(6-b)=0......⑤

〃+lnn+2n+1n+3n+2

•(b-Z?)>0,b-b>0,b—b>0,

n+1nn+2n+1n+3n+2

由⑤得：b-b=0(r)=l,2,3,・・.)，

w+ln

由此，不妨设b=d(“=1,23.・.)，则a-a=d(常数)

n3nn+23

故c=a+2。+3。=4。+2。-3d......⑥

nnM+1n+2n/:+13-

从《而c—4。+2a—3d=4。+2a—5d.....

n+1n+\n+23H+1n3

⑦一⑥得：c—c=2(〃—a)-2d，

n+ln〃+ln3

故Q-a=—(c-c)+d=Ld+d(常数)(〃=1,2,3,…)，

n+ln2〃+1n323

二数列｛4｝为等差数列。

n

综上所述：｛a｝为等差数列的充分必要条件是｛c｝为等差数列且b<b("=1,2,3,...)。

nnnn+1

证法二：

a

令An=n+ra/由一令b.知a-a/Wan+j

aa

从而a.rn^n+3-a.2,即An》An+2(n=l,2,3,…)

由c=a+2ai+3ac.=4a1+2a--3a。得

nnn+1n+2,n+1n+1n+2n+3

CCaaaa+3aa

n+rn=(n+l"nJn+2-n+l)(n+3-n+2)»即

A+2A+3A=d

nn+1n+22-⑥

由此得

A+2A+3A=d,.⑦

n+2n+3n+22

⑥-⑦得

(A-A,)+2(A-A,)+3(A-AJ=0⑧

nn+2n+1n+3n+2n+4〜

因为A-A,20,A-AA-A，20,

i/"nn+2n+1n+3n+2n+4'

所以由⑧得An-An+2=0(n=l,2,3,…)。

于是由⑥得

4A+2A=A+2A+3A=d,⑨

nn+1n+1n+2n+22

从而

2A+4A=4A+2A_=d⑩

nn+1n+1n+22

由⑨和⑩得4An+2An+1=2An+4An+1,故An+1=A.,即

aa

an+2-n+i=n+ra「(n=l,2,3,…)，

所以数列｛aj是等差数列。

点评：该题考察判断等差数列的方法，我们要讲平时积累的方法巧妙应用，有些结论可

以起到事半功倍的效舄

题型5：等差数列通项公式

例9.(2009天津卷文)已知等差数列伍｝的公差d不为0,设S=a+aq+\+aq，，-\

nn12n

T=a-a夕+A+(—l)，i〃qn-i,q工0,nsN”

(I)若q=l,a=1,S=15，求数列伍｝的通项公式；

13n

(H)若。=",且5,5,S成等比数列，求q的值。

I123

(III)若"±L证明(1一4)S-(1+4)7JdqQ-qW/GN*

2〃2nX—q2

(1)解：由题设，s=a+(a+d)q+(a+2d)q2,将q=I,。=1,S=15

3I1I13

代入解得d=4,所以。=4〃-3〃eN*

n

(2)解：当a=d,S=d,S=d+2dq,S=d+2dq+3dq2,6S,S,S成等比数列，所以S2=5S,

1123I23213

即(d+2歯)2=d(d+2dq+3dq2),注意到dwO,整理得夕二一2

(3)证明：由题设，可得。=cjn-i,则

n

S=a+aq+aq2+Aaq2n-\①

2nI23In

T=a-aq+aq?-A-aq2«-i②

2nI232n

①-②得，

S-T=2(a4+a夕3+A+aq2n-1)

In2n242n

①+②得，

S+T=2(a4+a92+A+a(72^-2)③

2n2n132n-l

③式两边同乘以q,得夕(S+T)=2(a4+a夕2+A+aq2,1-2)

2nIn132〃-1

所以(l-q)S-(1+q)T=2d(q+q3+A+g2"-i)=

2〃2nl-q2

(3)证明：c-c=(a-a)/?+(〃-a)/7+(〃-a)b

12勺《I勺42k”lnn

=(k-I)db+(2-I)dh+A+(k-I)dbqi

11122Inn1

因为d0,bwO,所以

I

c-c

-i----2.=(k-/)+(&-/)g+A+(k-/)q，i

db1122n

1

若kW/,取i=n,

nn

若k=/，取i满足kw/,且2=/,z+1<y<H

nniijj

由(1)(2)及题设知，1<i。,且

——S.=(k-/)+(左-/)q+A+(&-Z)(7M-1

dbII22nn

1

①当k</时，k-I<-1,由k-/<q-l,i=1,2A-1

iiiiii

即左-/<q-\,(k-I)q<(k-I)qi-2<q｛q-l)»-2

1122r-1i-1

c—c1—qi-\

所以-D+g-4-((7-l)qi-2-qi-\=((7-l)--------qn=-l

db^\-q

因此c-cw0

12

②当k>/时，同理可得鼠二%./—1,因此c-c*0

iidb12

1

综上，cwc

12

【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前％项和等基本知识，考查运

算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力C

例10.已知等比数列*｝的各项为不等于1的正数，数列｛)，｝满足ylog

nnnxn

设y=18,y=12o

36

(1)求数列｛y｝的前多少项和最大，最大值为多少？

n

(2)试判断是否存在自然数M,使当〃〉M时，x>1恒成立？若存在，求出相应的M,若

n

不存在，请说明理由；

(3)令a=logx(〃〉13,〃eN),试判断数列｛a｝的增减性?

nxnn+1n

解：(1)由已知得：y=2logx

nan

设等比数列｛x“｝的公比为q(q,1)

Y

由y-y=2(logx-logx)=2logtz=2logq得｛y｝为等差数列，设公差为d

n+1nan+\an九an

*.*y-18,y-12,：・d=­2；/.y=y+(〃-3)d=24-2〃

36n3

y<0

设前上项为最大，则《Al-^ll<k<12y=0

y>0%

、k

.•.前11项和前12项和为最大，其和为132

(2)X“=al2-",〃GN*;若X.>1,则«12-n>1

当a>l时，〃V12,显然不成立；当0<a<l时，ft>12

存在M=12,13,14,—,当〃〉M时，x>1

n

i.n_11

(3)。=logX=log12-nQ12-S+1)=---------------

"\〃+ian-12

..72—10/?—11—1

•a—a=-----------------=---------------------<0

w+,〃n-11H-12(n-1l)(n-12)

।〃>13时数列｛a,为递减数列

点评：该题通过求通项公式，最终通过通项公式解释复杂的不等问题，属于综合性的题

目，解题过程中注意观察规律.

题型6：等差数列的前n项和公式

例11.（1）若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,

则这个数列有（）

A.13项B.12项C.11项D.10项

（2）设数列｛%｝是递增等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是

（）

A.lB,2C.4D.6

q1q

（3））设是等差数列｛an｝的前八项和，若'=•!>,则'=（）

nn535

612

A.—B.1C.1D.1

10389

解析：（1）答案：A

设这个数列有n项

S=3a+___d

3123(«+d)=34

1

<S=S—S=3a+3nd—6d3a+3d(〃-2)=146

3nn-31।

〃（〃一1）.〃(〃-l)d

Sp=an+dan+------------=390

nI2i2

.*.n=13

(2)答案：B

S

前三项和为12,/./.a2=-j.=4

&••。3=48,Va2=4,/.a1•a3=12,ax+a3=8,

把g,03作为方程的两根且外<。3，

，

.♦.X2—8x+12=0,X]=6,X2=2,•.a1=2,a3=6,.,.选B.

(3)答案为A；

点评：本题考查了数列等差数列的前n项和公式的运用和考生分析问题、解决问题的能

力C

例12.(1)设｛an｝为等差数列，S.为数列｛3｝的前。项和，已知57=7,15=75,7

S

为数列｛一｝的前n项和，求7；。

n

(2)已知数列｛"｝是等差数列，4=1,4+与+…+b]°=ioo.

(1)求数列｛》｝的通项"；

(II)设数列｛4｝的通项an=\g(1+—),记S。是数列｛%｝的前n项和，试比较5n

n

与glgb.]的大小，并证明你的结论。

解析：(1)设等差数列｛%｝的公差为d,则

5=na,+Ln(n-1)d.：.S=7,S,=75,

n1Q715

7a+21d=7,\a+3d=l,

：.<i即《】

15a+1056?=75,a+7d=5,

51i

解得d=-2,d=l.A——a+—(n—1)d=-2+—(n—1)

1n12120

・・SS_1

•--n-=一,

〃+1n2

Si

・・・数列｛一｝是等差数列，其首项为-2,公差为：，

n2

19

=—ni——n.

44

b=1,

(2)(I)设数列｛2｝的公差为d,由题意得<Wb+10(10-1)t/=100.

I'2

解得工\b[=2\,•,•2=2。T.

Cl—乙.

(II)由b=2n~l,知

S=lg(1+1)+\g(1+—)+…+lg(1+―—)

n2〃一1

=\gL(l+1)(1+1)…(1+1

)],

21

^gbn+=\gyj2n+l.

因此要比较"与Jgbn+i的大小，可先比较(1+1)(1+1)…(1+五」)与J2〃+1的

大小.

取n=l,有(1+1)>J2J+1,

取n=2,有(1+1)(1+；)>J2•2+1,.......

由此推测(1+1)(1+：)…(1+」~k)>+1.①

32n-l

若①式成立，则由对数函数性质可断定：S>hgbn+1.

下面用数学归纳法证明①式。

(i)当n=l时已验证①式成立。

(ii)假设当n=k(kNl)时，①式成立，即(1+1)(1+1)•••(1+—!—)>12k+1.

32k—1

那么，当/?=女+1时，(1+1)(1+1)…(1+—1—)[1+——1——]>42k+1

32k-12(K+1)-1

1J2FTT

•(1+--------)='----------(2k+2)。

2k+12k+l

•；r(2k+2”2-2

2k+1

_4左2+8左+4—(4攵2+8攵+3)_1

2k+\-2T+T

...v2&+1曜女+2)>721^3=J2(_+l)+l..

2k=1

因而(1+1)(1+；)A(1+元二)(1+五二)>F*+1)+1.

D乙K1乙K-r1

这就是说①式当n=k+l时也成立.

由(i),(ii)知①式对任何正整数"都成立.

由此证得：Sn>l|gbn+1o

评述：本题主要考查等差数列的求和公式的求解和应用，对一些综合性的问题要先理清

思路再行求解。

题型7：等差数列的性质及变形公式

例13.(1)设｛%｝(nGN*)是等差数列，S”是其前n项的和,且S5Vs6,S6=S7>S8>

则下列结论續误的是()

A.d<0B.a7=0

C.Sq>S.D.Sfi与s7均为sn的最大值

(2)等差数列｛%｝的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()

A.130B.170C.210D.260

解析：(1)答案：C；

由5[<5二得。]+生+凡+…+4<d+d+…・•.4>(),

□O1Z331Z□OO

>

又S=S_,.\a1+a_+>-+a=an+a_+--•+0.+0,,a=0,

由$7>Sa，得4<0,而C选项Sq>Sg,即a6+a7+aa+aq>on2(a+a)>0,

/ooy□o/oy/o7R

由题设。7=0,%<o,显然c选项是错误的。

(2)答案：C

m(m—1),cc

ma+d=30

i2

解法一:由题意得方程组

2ma+2-(2"—l)d=I。。

2

视m为己知数，解得d=-,a=1°(加+2),

m2।m2

°c3ma(3/n-l),n10(m+2)3nz(3m-l)40_

S=3ma+____12________-d=3m-____-+_________1=210

一0

3，"।2m22m2

解法二：设前m项的和为与，第m+1到2m项之和为玛，第2m+l到3m项之和为b3,

则与，b2,%也成等差数列。

于是4=30,b2=100-30=70,公差4=70-30=40。

b3=b2+d=70+40=110

.•.前3m项之和S=b.+b+b=210.

3m1273

—

解法三：取m=l,贝Ua1=S1=30,a2=S251=70,从而d=a2—a1=40o

于是a3=a2+d=70+40=110.10。

点评：本题考查等差数列的基本知识，及灵活运用等差数列解决问题的能力，解法二中

是利用构造新数列研究问题，等比数列也有类似性质.解法三中，从题给选择支获得的信息可

知，对任意变化的自然数m,题给数列前3m项的和是与m无关的不变量，在含有某种变化

过程的数学问题，利用不变量的思想求解，立竿见影。

p

例14.在XOY平面上有一点列P](4，%),P2(a2，n(%，与)，…，对每

个自然数。，点P。位于函数y=2000(Qx(0VaV10=的图象上，且点P.、点(c,0)与

点(n+1,0)构成一个以匕为顶点的等腰三角形。

(I)求点P”的纵坐标与的表达式；

(H)若对每个自然数"，以2,b.I，42为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；

(III)(理)设8.=%,b?…与(〃GN).若a取(H)中确定的范围内的最小整数，求数

列｛BJ的最大项的项玲

(文)设t=lg(与)(cCN).若。取(II)中确定的范围内的最小整数，问数列｛cj

前多少项的和最大?试说明理由。

解析：.解：(I)由题意，a=n+-,：.b=2000(二)n+to

n2n10

(II),函数y=2000(.)x(0<a<10)递减，

对每个自然数n,有2

则以幺，纟J与2为边长能构成一个三角形的充要条件是",+b,>b，

即(--)2+(——―1)>0,

1010

解得aV—5(1+-J5)或。>5(-J5—1),

.*.5(V5-1)<a<10.