高考数学考前最后一轮基础知识巩固之第八章第1课直线的方程

第1课直线的方程

【考点导读】

理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形

式，能根据条件，求出直线的方程.

高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线

方程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考.

【基础练习】

+v13y+2=0的倾斜角X围是0,：5兀

1.直线xcosaU.一•，兀

O6

2.过点。(2,3),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是

x-y+1=0或3x-2y=0

3.直线1经过点(3,-1),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线1的方程为

y=x-4或y=-x+2

4.无论左取任何实数，直线(1+4左卜-(2-3k%+(2-14k)=0必经过一定点p,则p的坐

标为(2,2)

5.已知直线1过点P(-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形面积为5个平方单位，求直线1的

28

方程y=~~x~6或y=--%—12

【X例导析】

例1.已知两点A(―1,2)、B(m,3)

(1)求直线AB的斜率k；

(2)求直线AB的方程；

(3)已知实数me---1,73-1,求直线AB的倾斜角a的取值X围.

分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况.

解：(1)当m=—1时，直线AB的斜率不存在.

,1

当mW—1时，k=——-)

m+1

(2)当m=-l时，AB：x=-l,

当mWl时，AB：y-2=_J—(x+l).

m+1

71

(3)①当m=—1时，。=,；

②当mW—1时，

-1-/5

1

k

m+1

712兀

故综合①、②得，直线AB的倾斜角ae

o3

点拨：本题容易忽视对分母等于0和斜率不存在情况的讨论.

例2.直线1过点P(2,1),且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B、0为坐标原点.

(1)当△AOB的面积最小时,求直线1的方程；

⑵当|PA|•|PB|取最小值时,求直线1的方程.

分析：引进合适的变量,建立相应的目标函数,通过寻找函数最值的取得条件来求1的方程.

11

解(1)设直线1的方程为yT=k(x-2),则点A(2-丁，0),B(0,l-2k),且2-丁>0,l-2k〉0,即

kk

k<0.

111111

△AOB的面积S=-(l-2k)(2-—)=一[(-妹)+—+4]24,当-4k=—，即k=一—时，ZSAOB的面

2k2-k-k2

积有最小值4,则所求直线方程是x+2y-4=0.

(2)解法一：由题设,可令直线方程1为y-l=k(x-2).

分别令y=0和x=0,得A(2-J,0),B(0,l-2k),

k

|PA|•|PB|=J(4+4左2)(1+')=小8+4(左2+2)24,当且仅当b=1,即k=+1时，

PA•PB取得最小值4.又k<0,.-.k=-l,这是直线1的方程是x+y-3=0.

兀\PB\PF\4

解法二:如下图，设NBA0=。，由题意得。£(0,方)，且|PA|•|PB|二F•一二「布24

2sirocos?sin2b

兀

当且仅当下时，|PA|•|PB|取得最小值4,此时直线1的斜率为-1,直线1的方程是

4

点评①求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直

线的基本量.②在研究最值问题时，可以从几何图形开始，找到取最值时的情形，也可以从代

-2-/5

数角度出发，构建目标函数，利用函数的单调性或基本不等式等知识来求最值.

例3.直线1被两条直线1：4x+y+3=0和1：3x-5y-5=0截得的线段中点为P(T,

12

2).求直线1的方程.

分析本题关键是如何使用好中点坐标，对问题进行适当转化.

解：解法一设直线1交1于A(a,b),则点(-2-a,4-b)必在1,所以有

12

4。+/?+3—0a=—2

<角率V

3(—2—〃)一5(4—与一5:0、[b=5

直线1过A(-2,5),P(-1,2),它的方程是3x+y+1=0.

解法二由已知可设直线1与1的交点为A(-1+m,2+n),则直线1与1的交点为B(一

n4(-1++(2+")+3=0

1—m,2—n),且1的斜率k=—,：A,B两点分别L和12上,

m3(-1-m)-5(2-0)-5=0

消去常数项得一3m=n,所以k=-3,

从而直线1的方程为3x+y+l=0.

解法三设1、12与1的交点分别为A,B,则,关于点P(—1,2)对称的直线m过点B,

利用对称关系可求得m的方程为4x+y+l=0,因为直线1过点B,故直线1的方程可设为3x

—5y—5+入(4x+y+l)=0.由于直线1点P(―1,2),所以可求得入=—18,从而1的

方程为3x—5y—5—18(4x+y+l)=0,即3x+y+l=0.

点评本题主要复习有关线段中点的几种解法，本题也可以先设直线方程，然后求交点，

再根据中点坐标求出直线1的斜率，但这种解法思路清晰，计算量大，解法一和解法二灵活

运用中点坐标公式，使计算简化，对解法二还可以用来求已知中点坐标的圆锥曲线的弦所在

直线方程，解法三是利用直线系方程求解，对学生的思维层次要求较高。

反馈练习：

1.已知下列四个命题①经过定点P°(x°,y。)的直线都可以用方程y-y°=k(x-x。)表示；②经过任

意两个不同点P](xjy)、P,&y.)的直线都可以用方程(y-y)(x[X])=(x-x)(y「y)表示；③

不经过原点的直线都可以用方程一x+；y=1表示；④经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y

ab

=kx+b表示，其中正确的是①③④

2.设直线1的方程为2x+(左-3%-2k+6=0缶w3),当直线1的斜率为-1时,k值为2,

当直线1在x轴、y轴上截距之和等于0时，k值为1或3

3.设直线ax+by+c=o的倾斜角为a,且sina+cosa=0,则a,b满足的关系式为a-1=0

4.若直线1：y=kx-y/3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线1的倾斜角的取

-3-/5

兀71

值X围是(d,1)

11

5.若直线4x-3y-12=0被两坐标轴截得的线段长为-，则c的值为三

c5

6.过点P(l,1)作直线1，与两坐标轴相交所得三角形面积为10,则直线1有生条

7.若三点A(2,2),B(a,0),C(Q,b)(abw0)共线，则1+；的值等于1.

ab2

8.若直线(m2—l)x—y—2m+『0不经过第一象限，则实数m的取值X围是;,1

9.已知直线,被两直线/：4x+y+6=0与/：3x—5y—6=0截得的线段中点为坐标原点，

12

那么直线，的方程是x+6y=0.

10.已知两直线ax+by+l=0和ax+by+l=0的交点为P(2,3),求过两点Q(a,b)、Q(a,

112211122

b)(aWa)的直线方程

212

务析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答

解：(2,3)在已知直线上,

2a+3b+1—0,2a+3b+1=0

1122

9

・••所求直线方程为y—b二一—(x-a)

131

/.2x+3y—(2a+3bp=0,BP2x+3y+l=0

点拨：1.由已点求露率；2.运用了整体代入的思想，方法巧妙.

11.在4ABC中,BC边上的高所在的直线方程为x-2y+l=0,ZA的平分线所在直线方程为

y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.

分析：利用高线与NA的平分线求得点A坐标,然后求出直线AC与BC的方程,从而求出C

点坐标.

解A点既在BC边的高线上，又在NA的平分线上，

x-2y+l=0

由，八得A(T,0),Jk=1,而x轴是角A的平分线，.・.k=-1,

y=0皿AC

・・・AC边所在直线方程为y=-(x+1)①

又k二-2,・,・BC边所在直线方程为y-2=-2(x-1)②

BC

联立①②得C的坐标为(5,-6)

点拨：综合运用三角形和直线有关知识,寻找解题突破口，将问题转化为先求一些直线方

程,再求直线的交点.这是解决这一类问题的常用办法.

12.一条直线经过点P(3,2),并且分别满足下列条件，求直线方程：

-4-/5